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华中师大一附中2017—2018学年度上学期高一期中检数学试题及答案


华中师大一附中 2017—2018 学年度上学期高一期中检测

数 学 试 题
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 命题人:陈开懋 审题人:黄进林 一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1.设全集 U ? {1,2,3,4,5,6} ,集合 A ? {2,3,4}, B ? {3,4,5},则 U(A∩B)= ( ) 2} 4} 2, 3, 4} 2, 5, 6} A. {1, B. {3, C. {1, D. {1, 2.下列对应不是映射的是 ( )

3.已知函数 f ( x) ? ?

? x ? 1, x ? 1 5 ,则 f [ f ( )] 等于 2 ?? x ? 3, x ? 1
B.

(

)

A.

1 2

3 2

5 C.2

D.

9 2
( )

4.函数 g ( x) ? 2 x ? 5x 的零点 x0 所在的一个区间是 A. (?2,?1) 5.函数 f ( x) ? A.(-2,0) 6.函数 y ? B. (?1,0)
lg(2 ? x ? x 2 ) 的定义域为 | x | ?x

C. (0,1)

D. (1,2) ( )

B.(-1,0)

C.( -1,2)

D. (-1,0)∪(0,2) ( )

x x

? x 的图象是

高一年级数学试题

第1页 共8页

7.若关于 x 的不等式 | x ? 3 | ? | x ? 4 |? a 无解,则实数 a 的取值范围是 A. a ? ?1 B.

(

)

a ? ?1

C.

a ? ?1
,则

D.

a ? ?1
( )

8.已知 a ? 5log2 3.4 , b ? 5log4 3.6 , c ? ? ? A. a ? b ? c B. b ? a ? c

?1? ?5?

log3 0.3

C. a ? c ? b

D. c ? a ? b

9.若定义在 R 上的函数 f ( x) 满足: 对任意的 x1 , x2 ? R , 都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,则 A. f ( x) 是奇函数,且在 R 上是增函数 C. f ( x) 是奇函数,但在 R 上不是单调函数 ( B. f ( x) 是奇函数,且在 R 上是减函数 D.无法确定 f ( x) 的单调性和奇偶性 )

10.已知定义域为 R 的函数 f ( x ) 满足 f (3 ? x) ? f ( x ? 1) ,当 x ? 2 时, f ( x ) 单调递减, 且 f (a) ? f (0) ,则实数 a 的取值范围是 A.[2,+ ∞) C. (-∞,0) 11.已知函数 f ( x) ? x 2 ? B.[0,4] D.(-∞,0)∪[4,+∞) ( )

4 若对任意的 x1 ?[?1, 2] , 总存在 x2 ?[1, 3] , ? 3 ,g ( x) = kx + 2 , x2
(
1 C. ( ,1) 2

使得 g ( x1 ) > f ( x2 ) ,则实数 k 的取值范围是 A.(-

)

1 ,1) 2

1 2 B. (? , ) 3 3

D.以上都不对

12.函数 f ( x ) 的定义域为 D, 若对于任意的 x1 , x2 ? D , 当 x1 ? x2 时, 都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则称函数 f ( x ) 在 D 上为非减函数.设函数 f ( x ) 在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个 条件:① f (0) ? 0 ;② f ( ) ?

x 3

1 1 f ( x) ;③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) ,则 f ( ) 等于 ( 2017 2
C.

)

A.

1 16

B.

1 32

1 64

D.

1 128

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.函数 y ? a x ? 3(a ? 0 且 a ? 1) 的图象恒过定点____________.

高一年级数学试题

第2页 共8页

14.若 f ( x) ? lg(

2x ? a)( a ? R) 是奇函数,则常数 a 的值为____________. 1? x

15.某同学在研究函数 f ( x) ? ②函数的值域为 (?1,1) ;

x ( x ? R) 时,给出了下面几个结论: 1? | x |

①等式 f (? x) ? f ( x) ? 0 对任意的 x∈R 恒成立; ③若 x1 ? x2 ,则一定有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ;

④函数 g ( x) ? f ( x) ? x 在 R 上有三个零点. 其中正确结论的序号是____________(写出所有正确结论的序号). 16. 设 定 义 域 为 R 的 函 数 f ( x) ? ?

?| lg x |, x ? 0
2 ? ? x ? 2 x, x ? 0



若 关 于 x 的 函 数

y ? 2 f 2 ( x) ? 2bf ( x) ? 1 有 8 个不同的零点,则实数 b 的取值范围是____________.
三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)计算:

(1)

3

1 1 0 ?1 (?4) ? ( ) ? 0.25 2 ? ( ) ?4 ; 2 2 3

1 (2) lg 25 ? lg 2 ? lg 0.1 ? log 2 9 ? log 3 2 . 2

18.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? (1)求函数 f ( x) ?

2x ,函数 g ( x) ? ax ? 5 ? 2a (a ? 0) . x ?1
2

2x 的值域; x ?1
2

(2)若对于任意的 x1 ? R ,总存在 x2 ??0,1? ,使得 g ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立,求实数 的取值 范围.

高一年级数学试题

第3页 共8页

19.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? loga (ax ? x) .
2

(1)若 a=

1 ,求 f ( x ) 的单调区间; 2

(2)若 f ( x ) 在区间 [2, 4] 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)一片森林原面积为 a .计划从某年开始,每年砍伐一些树林,且每 年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比相等.并 计 划砍伐到原面积的一半时,所用时间是 10 年.为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的

1 .已知到今年为止,森林剩余面 4

积为原面积的

2 . 2

(1)求每年砍伐面积与上一年剩余面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)为保护生态环境,今后最多还能砍伐多少年?

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

(1)求函数 f ( x) 在 (??, 0) 上的单调区间,并给出证明;

2x2 ? a ,且 f (1) ? 3 . x

(2)设关于 x 的方程 f ( x) ? x ? b 的两根为 x1 , x2 ,试问是否存在实数 m ,使得不等式

m2 ? tm ? 1 ?| x1 ? x2 | 对任意的 b ?[2, 13] 及 t ? [?1,1] 恒成立?若存在,求出 m 的取值
范围;若不存在,说明理由.

22.(本小题满分 12 分)已知幂函数 f ( x) ? ( p 2 ? 3 p ? 3) x (1)求函数 f ( x ) 的解析式;

3 1 p2 ? p ? 2 2

满足 f (2) ? f (4) .

(2)若函数 g ( x) ? f 2 ( x) ? mf ( x),x ?[1,9] ,是否存在实数 m 使得 g ( x) 的最小值为 0 ? 若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由.
高一年级数学试题 第4页 共8页

(3)若函数 h( x) ? n ? f ( x ? 3) ,是否存在实数 a, b(a ? b) ,使函数 h( x) 在 [a, b] 上的值域 为 [a, b] ?若存在,求出实数 n 的取值范围;若不存在,说明理由.

华中师大一附中 2017——2018 学年度上学期期中检测 高一数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D B B B C A C 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (0, 4) 14. a ? ?1 15.①②③ 16. ?

9 B

10 B

11 A

12 D

3 ?b?? 2 2

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.解: (1) ?3 ………………………………………………………………………………5 分 (2) ?

1 ………………………………………………………………………………10 分 2

18.解: (1) (2)

? y | ?1 ? y ? 1? …………………………………………………………………6 分 设 A ? ? f ( x) | x ? R? ? [?1,1] , B ? ?g ( x) | x ?[0,1]? ? [5 ? 2a,5 ? a] .

依题意 A ? B ?a ? 0 ? 即 ?5 ? 2a ? ?1 ?5 ? a ? 1 ? 即 3 ? a ? 4 ………………………………………………………………………12 分 19.解:(1)当 a=

1 1 2 时,f(x)=log 1 ( x -x) 2 2 2

定义域为(-∞,0)∪(2,+∞) 增区间为(-∞,0) ;减区间为(2,+∞) ……………………………………………5 分 (2)令 u( x) ? ax2 ? x ,
2 ? ?u ( x) ? ax ? x在[2, 4]递减 ①当 0 ? a ? 1 时,则 ? , 2 ? ?u ( x) ? ax ? x ? 0, ?x ? [2, 4]

高一年级数学试题

第5页 共8页

?1 ?4 ? ? 2a ? 无解; ∴? ?u (4) ? 1 a ? 1 ? 0 ? 16 4 ? ?u ( x) ? ax 2 ? x在[2, 4]递增 ? ②当 a ? 1 时,则 ? 2 ? ?u ( x) ? ax ? x ? 0, ?x ? [2, 4]

?1 1 ? ?2 ?a? , ∴ ? 2a 又 a ? 1 ,∴ a ? 1 2 ? ?u (2) ? 4a ? 2 ? 0 综上所述, a ? 1 ………………………………………………………………………12 分
20.解:(1)设每年降低百分比为 x ( 0 ? x ? 1 ). 则 a (1 ? x)
10

?

1 1 1 1 a , 即 (1 ? x)10 ? ,解得 x ? 1 ? ( )10 …………………………4 分 2 2 2
2 2

(2)设经过 n 年剩余面积为原的

则 a(1 ? x)n ?

n 1 1 n 1 1 2 a , 即 ( )10 ? ( ) 2 , ? , n ? 5 10 2 2 2 2

到今年为止,已砍伐了 5 年……………………………………………………………8 分 (3)设从今年开始,以后砍伐了 n 年,则 n 年后剩 余面积为

2 a (1 ? x) n 2



n 3 1 n 1 3 2 1 2 ? , n ? 15 . , ( )10 ? ( ) 2 , a(1 ? x)n ? a ,即 (1 ? x)n ? 10 2 2 2 2 4 4

故今后最多还能砍伐 15 年……………………………………………………………12 分

2 x2 ? 1 21.解:(1)∵ f (1) ? 3 , ∴ a ? 1 ,∴ f ( x) ? x 任取 x1 , x2 ? (??,0) ,且 x1 ? x2 ? 0 1 1 1 ? (2 x1 ? ) ? ( x2 ? x1 )(2 ? ) 则 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 2 x2 ? x2 x1 x1 x2
1° 当 x1 ? x2 ? ?

1 2 1 2 ? 0 ,又 x2 ? x1 ? 0 时, x1 x2 ? x2 ? ,∴ 2 ? 2 2 x1 x2
高一年级数学试题 第6页 共8页

∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,∴ f ( x) 在 (??, 2° 当?

2 ] 上单调递增 2

1 2 1 ? 0 ,又 x2 ? x1 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0 时, 0 ? x1 x2 ? x12 ? ,∴ 2 ? 2 2 x1 x2

2 , 0) 上单调递减 2 2 2 ∴ f ( x) 在 (??, 0) 上的单调递增区间为 (??, ? ] ,单调递减区间为 (? , 0) 2 2
∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,∴ f ( x) 在 (? ……………………………………………………………………………………………6 分
2 (2)∵ f ( x) ? x ? b , ∴ x ? bx ? 1 ? 0 , | x1 ? x2 |?

( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? b 2 ? 4 ,

又 2 ? b ? 13 ,∴ 0 ?| x1 ? x2 |? 3 故只须当 t ? [?1,1] ,使 m ? mt ? 1 ? 3 恒成立,记 g (t ) ? mt ? m2 ? 2
2

只须: ?

? g (?1) ? 0 ? g (1) ? 0

2 ? ?m ? m ? 2 ? 0 ∴? 2 ? ?m ? m ? 2 ? 0 ? m ? 2或m ? ?1 ∴? ? m ? 1或m ? ?2

∴ m ? ?2 或 m ? 2 故存在实数 m 符合题意,其取值范围是 (??, ?2] ? [2, ??) …………………………12 分 22.解:(1)∵ f ( x) 是幂函数, ∴ p2 ? 3 p ? 3=1 ,解得 p ? 1 或 p ? 2 当 p ? 1 时, f ( x) ? x ?1 ,不满足 f (2) ? f (4) 当 p ? 2 时, f ( x) ? x 2 ,满足 f (2) ? f (4) ∴ p ? 2 , f ( x) ? x 2 …………………………………………………………………3 分 (2)令 t ? f ( x), x ?[1,9] ,则 t ?[1,3] ,记 ? (t ) ? t 2 ? mt , t ?[1,3]
1 1

m ? 1 即 m ? ?2 时 2 ?min (t ) ? ? (1) ? m ? 1 ? 0 ,解得 m ? ?1 m ②当 1 ? ? ? 3 即 ?6 ? m ? ?2 时 2
①当 ?
高一年级数学试题 第7页 共8页

?min (t ) ? ? (? ) ? ?
③当 ?

m 2

m2 ? 0 ,解得 m ? 0 (舍去) 4

m ? 3 即 m ? ?6 时 2 ?min (t ) ? ? (3) ? 3m ? 9 ? 0 ,解得 m ? ?3 (舍去) 综上所述,存在 m ? ?1 使得 g ( x) 的最小值为 0 …………………………………7 分
(3)

h( x) ? n ? f ( x ? 3) ? n ? x ? 3 在定义域内为单调递减函数
若存在实数 a, b(a ? b) ,使函数 h( x) 在 [a, b] 上的值域为 [a, b] 则

? ? h( a ) ? n ? a ? 3 ? b ? ① ? ? ?h(b) ? n ? b ? 3 ? a ? ②

②-① 得 a ? 3 ? b ? 3 ? a ? b ? (a ? 3) ? (b ? 3)
∴ a ? 3 ? b ? 3 ? 1 ……③ 将③代入②得, n ? a ? b ? 3 ? a ? 1 ? a ? 3

1 a ? 3 ,? a ? b ,? t ? [0, ) 2 9 ? n ? t 2 ? t ? 2 ? (? , ?2] …………………………………………………………12 分 4
令t ?

高一年级数学试题

第8页 共8页


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