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954136.com:1.1.3四种命题的关系_图文

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1.1.3四种命题的相互关系

回顾
? ? ?

交换原命题的条件和结论,所得的命题是 逆命题。 ________
同时否定原命题的条件和结论,所得的命 否命题。 题是________ 交换原命题的条件和结论,并且同时否定, 逆否命题。 所得的命题是__________

原命题,逆命题,否命题,逆否命题
四种命题形式: ? 原命题: 若 p, ? 逆命题: 若 q, ? 否命题: 若┐p, ? 逆否命题: 若┐q, 则 q 则 p 则┐q 则┐p

观察与思考
1)若f ( x)是正弦函数,则f ( x)是周期函数。
2)若f ( x)是周期函数,则f ( x)是正弦函数。
3)若f ( x)不是正弦函数,则f ( x)不是周期函数。 4)若f ( x)不是周期函数,则f ( x)不是正弦函数。

你能说出其中任意 两个命题之间的关 系吗?

原命题 若 p则 q

逆命题 若q则p

互 否 命 题

互 否 命 题

否命题 若﹁ p则﹁ q

逆否命题 若﹁ q则﹁p

四种命题的真假性是否有一定的相互关系呢?
例子: 1)原命题:若x=2或x=3,
则x2-5x+6=0。 (真 ) (真 ) 逆命题:若x2-5x+6=0, 则x=2或x=3。 (真 ) 否命题:若x≠2且x≠3, 则x2-5x+6≠0 。 逆否命题:若x2-5x+6≠0,则x≠2且x≠3。 (真 ) 2)原命题:若a=0, 则ab=0。 (真 ) (假 ) 逆命题:若ab=0, 则a=0。 否命题:若a≠ 0, 则ab≠0。 (假 ) 逆否命题:若ab≠0,则a≠0。 (真 ) 3) 原命题:若a > b, 则 ac2>bc2。 (假) (真) 逆命题:若ac2>bc2,则a>b。 (真) 否命题:若a≤b,则ac2≤bc2。 (假) 逆否命题:若ac2≤bc2,则a≤b。

想一想: 由以上三例我们能发现什么?

几条结论:
(1) 原命题为真,则其逆否命题一定为真。但

其逆命题、否命题不一定为真。
(2) 若其逆命题为真,则其否命题一定为真。但

其原命题、逆否命题不一定为真。
想一想? 由以上三例及总结我们能发现什么? 即 原命题与逆否命题同真假。 原命题的逆命题与否命题同真假。 (两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系).

四种命题的真假,有且只有下面四种情况:
原命题
真 真 假 假

逆命题
真 假 真 假

否命题
真 假 真 假

逆否命题
真 真 假 假

练一练
1.判断下列说法是否正确。 (对) 1)一个命题的逆命题为真,它的逆否命题不一定为真;
2)一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真。 3)一个命题的原命题为假,它的逆命题一定为假。 4)一个命题的逆否命题为假,它的否命题为假。 2.四种命题真假的个数可能为( )个。 答:0个、2个、4个。 如:原命题:若A∪B=A, 则A∩B=φ。 逆命题:若A∩B=φ,则A∪B=A。 否命题:若A∪B≠A,则A∩B≠φ。 逆否命题:若A∩B≠φ,则A∪B≠A。 (对) (错) (错)

(假) (假) (假) (假)

例 证明:若p2+q2=2,则p+q≤2.

分析:直接证不好下手.
将“若p2+q2=2,则p+q≤2”看成原命题。 由于原命题和它的逆否命题具有相同的真 假性,要证原命题为真命题,可以证明它 的逆否命题为真命题。
2 2 即证明 为真命题 “若p ? q ? 2, 则p ? q ? 2.”

例 证明:若p2+q2=2,则p+q≤2.
证明: 假设 p ? q ? 2 ,
则 ( p ? q) 2 ? 4 , ∴ p2 ? q 2 ? 2 pq ? 4 ,
2 2

假设原命题结 论的反面成立 看能否推出原命题 条件的反面成立

∵ p ? q ≥ 2 pq , 2 2 2 2 ∴ 2( p ? q ) ? 4 , ∴ p ? q ? 2 , 尝试成功 2 2 ∴ p ?q ? 2. 得证
这表明原命题的逆否命题为真命题 , 从而原命 题也为真命题.

在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
──这是一种很好的尝试,它往往具有 正难则反,出奇制胜的效果.
──它其实是反证法的一种特殊表现: 从命 题结论的反面出发 , 引出矛盾 ( 如证明结论的条 件不成立),从而证明命题成立的推理方法.

反证法:
要证明某一结论A是正确的,但不直接证 明,而是先去证明 A 的反面(非 A )是错 误的,从而断定A是正确的。 ? 即反证法就是通过否定命题的结论而导出 矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的 论证的一种数学证明方法。
?

例 若a2能被2整除,a是整数, 求证:a也能被2整除. 证:假设a不能被2整除,则a必为奇数, 故可令a=2m+1(m为整数), 由此得 a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1, 此结果表明a2是奇数, 这与题中的已知条件(a2能被 2整除)相矛 盾, ∴a能被2整除.

反证法的一般步骤:
(1)假设命题的结论不成立,即假 设结论的反面成立; (2)从这个假设出发,经过推理 论证,得出矛盾; (3) 由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确。
反设

归谬

结论

可能出现矛盾四种情况:
? ?

?
?

与题设矛盾; 与反设矛盾; 与公理、定理矛盾; 在证明过程中,推出自相矛盾的结论。

证明命题的方法
?方法一:直接法,从命题的条件p出发,经 推理直接得出结论p,证明其为真命题; ?方法二:等价法,证明命题(若p,则q) 的等价命题——逆否命题(若┐q,则┐q) 为真,则原命题也为真; ?方法三:反证法,证明命题的否定(若p, 则┐q)为假命题,从而间接地证明了命题 (若p,则q)为真命题。

总结提炼 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论

2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些?

用反证法在归谬中所导出的矛盾可以 是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、 公理、定理矛盾,自相矛盾等.


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