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2013年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷(大纲 理科)


2013 年普通高等学校招生全国统一考试
全国卷(大纲 理科数学)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟.

A、 [?1, 0]

B、 [?1, ??]

C、 [0,3]

D、 [3, ??]

10、已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA1 ? 2 AB ,则 CD 与平面 BDC1 所成角的正弦 值等于( A、
2 3

) B、
3 3

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求的) 1、 设集合 A ? {1, 2,3} , B ? {4,5} , M ? {x x ? a ? b, a ? A, b ? B} ,则 M 中元素的个数为 ( A、3 2、 (1 ? 3i) ? (
3

C、

2 3

D、

1 3



11、 已知抛物线 C :y 2 ? 8 x 与点 M (?2, 2) , C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A、B 过 ???? ???? 两点. 若 MA ? MB ? 0 ,则 k ? ( ) A、
1 2

B、4 ) B、8

C、5

D、6

B、

2 2

C、 2

D、2 )

C、 ?8i D、 8i ?? ? ?? ? ?? ? 3、已知向量 m ? (? ? 1,1) , n ? (? ? 2, 2) ,若 (m ? n) ? (m ? n) ,则 ? ? ( A、 ?4 B、 ?3 C、 ?2 D、 ?1

A、 ?8

12、已知函数 f ( x) ? cos x sin 2 x ,下列结论中错误的是( ) A、 y ? f ( x) 的图象关于点 (? , 0) 中心对称 C、 f ( x) 的最大值为
3 2

B、 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?

?
2

对称

4、已知函数 f ( x) 的定义域为 (?1,0) ,则函数 f (2 x ? 1) 的定义域为( ) 1 1 A、 (?1,1) B、 (?1, ? ) C、 (?1,0) D、 ( ,1) 2 2 1 5、函数 f ( x) ? log 2 (1 ? )( x ? 0) 的反函数 f ?1 ( x) ? ( ) x 1 1 A、 x ( x ? 0) B、 x ( x ? 0) C、 2 x ? 1( x ? R) D、 2 x ? 1( x ? 0) 2 ?1 2 ?1 4 6、已知数列 {an } 满足 3an?1 ? an ? 0 , a2 ? ? ,则 {an } 的前 10 项和等于( ) 3 1 A、 ?6(1 ? 3?10 ) B、 (1 ? 310 ) C、 3(1 ? 3?10 ) D、 3(1 ? 3?10 ) 9 8 4 7、 (1 ? x) (1 ? y) 的展开式中 x 2 y 2 的系数是( ) A、56 B、84 C、112 D、168 8、椭圆 C :
x y ? ? 1 的左、右顶点分别为 A1 、 A2 ,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取 4 3
2 2

D、 f ( x) 既是奇函数,又是周期函数

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上) 1 13、已知 ? 是第三象限角, sin ? ? ? ,则 cot ? ? ______; 3 14、6 个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有______种; (用数字作答)
?x ? 0 ? 15、 记不等式组 ? x ? 3 y ? 4 , 所表示的平面区域为 D , 若直线 y ? a( x ? 1) 与 D 有公共点, ?3 x ? y ? 4 ?

则 a 的取值范围是______; 16、已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆,其公共弦长等于球 O 的半径, OK ? 圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 60°,则球 O 的表面积等于______. 三、解答题(共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
2 17、 (本小题满分 10 分)等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,已知 S3 ? a2 ,且 S1 , S2 , S4 成等

3 ,且 2

值范围是 [?2, ?1] ,那么直线 PA1 斜率的取值范围是(
1 3 A、 [ , ] 2 4



3 3 1 3 B、 [ , ] C、 [ ,1] D、 [ ,1] 8 4 2 4 1 1 9、若函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? 在 ( , ??) 是增函数,则 a 的取值范围是( x 2
数学试卷?第 1 页(共 4 页)

比数列,求 {an } 的通项公式. )

数学试卷?第 2 页(共 4 页)

18 、 本 小 题 满 分 12 分 ) 设 ?ABC 的 内 角 A、 B C 的 对 边 分 别 为 a、b、c , ( 、
(a ? b ? c)(a ? b ? c)=ac .

x2 y 2 21、 (本小题满分 12 分) 已知双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 、 a b
F2 ,离心率为 3,直线 y ? 2 与 C 的两个交点间的距离为 6 .

(1)求 B ; (2)若 sin A sin C ?
3 ?1 ,求 C . 4

(1)求 a、b ; (2) 设过 F2 的直线 l 与 C 的左、 右两支分别交于 A、B 两点, AF1 ? BF1 , 且 证明:AF2 、
AB 、 2 成等比数列. BF

19、 (本小题满分 12 分) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中,?ABC ? ?BAD ? 90? ,BC ? 2 AD ,

?PAB 和 ?PAD 都是等边三角形.
(1)证明: PB ? CD ; (2)求二面角 A ? PD ? C 的大小.
D C

P

A B

(第 19 题)

22、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? (1)若 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,求 ? 的最小值;

x(1 ? ? x) . 1? x

1 1 1 1 (2)设数列 {an } 的通项 an ? 1 ? ? ? ? ? ,证明: a2 n ? an ? ? ln 2 . 2 3 n 4n

20、 (本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当 1 裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判. 设各局中双方获胜的概率均为 , 2 各局比赛的结果相互独立,第 1 局甲当裁判. (1)求第 4 局甲当裁判的概率; (2) X 表示前 4 局中乙当裁判的次数,求 X 的数学期望.

数学试卷?第 3 页(共 4 页)

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