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高中数学题库-三角函数2


解三角形、三角恒等变换习题课 例 3: (2009 福建卷理)如图,某市拟在长为 8km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段 OSM, 该曲线段为函数 y=Asin ? x(A>0,

? >0) x ? [0,4]的图象,且

图象的最高点为 S(3, 2 3 ); 赛道的后一部分为折线段 MNP, 为保证参赛运动员的安全,限定 ? MNP=120 (I)求 A ,
o

? 的值和 M,P 两点间的距离;

(II)应如何设计,才能使折线段赛道 MNP 最长? 本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识,考查运算求解能力以及应用数学知识分析 和解决实际问题的能力,考查化归与转化思想、数形结合思想, 解法一
T 2? ? ? 2? (Ⅰ)依题意,有 A ? 2 3 , ? 3 ,又 T ? ,? ? ? 。? y ? 2 3 sin x 当 x ? 4 是,? y ? 2 3 sin ?3 4 ? 6 6 3
? M (4, 3) 又 p(8, 3) ? MP ? 42 ? 32 ? 5

(Ⅱ)在△ MNP 中∠MNP=120° ,MP=5,设∠PMN= ? ,则 0° < ? <60° 由正弦定理得
MP NP MN 10 3 10 3 ? ? ? NP ? sin ? , ? MN ? sin(600 ? ? ) 0 0 sin ? sin(60 ? ? ) 3 3 sin 120

故 NP ? MN ?

10 3 10 3 10 3 1 3 10 3 sin(? ? 600 ) sin ? ? sin(600 ? ? ) ? ( sin ? ? cos ? ) ? 3 3 3 3 2 3

< ? <60° ,? 当 ? =30° 时,折线段赛道 MNP 最长亦即将∠PMN 设计为 30° 时,折线段道 MNP 最长 ? 0° 解法二: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ)在△ MNP 中,∠MNP=120° ,MP=5,由余弦定理得 MN 2 ? NP 2 ? 2MN ?NP?cos ∠MNP= MP 2 即 MN 2 ? NP 2 ? MN ?NP ? 25 ,故 (MN ? NP)2 ? 25 ? MN ?NP ? (
MN ? NP 2 ) 2

10 3 3 从而 (MN ? NP)2 ? 25 ,即 MN ? NP ? ,当且仅当 MN ? NP 时,折线段道 MNP 最长 3 4

注:本题第(Ⅱ)问答案及其呈现方式均不唯一,除了解法一、解法二给出的两种设计方式,还可以设计 为:① N (
12 ? 3 9 ? 4 3 12 ? 3 9 ? 4 3 , ) , ) ;② N ( ;③点 N 在线段 MP 的垂直平分线上等 2 6 2 6

三、巩固练习 1.

1 sin 110? sin 20? =__________. 2 ? 2 ? 2 cos 155 ? sin 155

2. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且满足 cos 积是________. 2

A 2 5 , AB ? AC ? 3 ,则 ?ABC 的面 ? 2 5

3. 在 ?ABC 中,已知 AB ? 2, AC ? 2 2 ,则 ?C 的最大值是_______. 4. 若

?
4

?x?

?
2

? 4

,则函数 y ? tan2x tan3 x 的最大值是________. -8

要点回顾: 1. 三角函数综合问题分三类:一类与代数函数综合,如例 2;一类是三角函数内部知识的综合,如三角函 数公式的综合运用,如例 1;一类是运用三角函数知识解决实际应用问题,如例 3; 2. 处理三角函数综合问题的基本思想通常与函数综合问题的处理思想相似,如分解转化、数形结合、换元 转化、方程思想等. 同时注意自身特点,充分运用三角函数之间的关系进行相互转化; 3. 与代数函数一样,三角函数的综合问题通常先研究函数的性质,再运用其性质转化或简化相应的问题. 自我测试: 1. 已知函数 f ( x) ? 3 sin ?x ? cos?x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图象与直线 y ? 2 的两个相邻交点间的距离 等于 ? ,则 f ( x) 的单调地递增区间为_________. 2. 函数 f ( x) ? A sin(wx ? ? ), ( A, w, ? 是常数, A ? 0, w ? 0) 的部分图象如图所示,则 f(0)=

3. 已知角 ? 为锐角,则 sin ? ? 3 cos? 的取值范围是_______. 4. 已知函数 f ( x) ? sin(x ? ? ) ( x ? R,0 ? ? ? ? ) , 若点 ?

? ?? 1 ? , ? 在函数 y ? f (2 x ? ) 的图象上,则 ? 的 6 ? 6 2?

值为_________.

? 3

() x?3 s i n x ? c o s, x x ? R 5. (2011 湖北)已知函数 f ,若 f ( x ) ? 1 ,则 x 的取值范围为________.
6. 已知 tan ? ? ? 为________. 7. 已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I ? A sin(?t ? ? ) .

1 5 , cos? ? , ? , ? ? ?0, ? ? ,则函数 f ( x) ? 2 sin(x ? ? ) ? cos(x ? ? ) 的最大值 3 5

(1) 如图是 I ? A sin(?t ? ? )( ? ? 0, ? ? 的解析式; (2)如果 t 在任意一段 正整数值是多少?629

?
2

) 在一个周期内的图象, 根据图中数据求 I ? A sin(?t ? ? )

1 s 的时间内,电流 I ? A sin(?t ? ? ) 都能取得最大值和最小值,那么 ? 的最小 100

8. 已知函数 f ( x) ? 2 sin(?x ? (1)求 ? 的值;

?
6

) sin(?x ?

?
3

) (其中 ? 为正常数)的最小正周期为 ? .

(2)在 ?ABC 中,若 A ? B ,且 f ( A) ? f ( B ) ?

BC 1 ,求 . AB 2

9. (2011 江苏卷)在△ ABC 中,角 A、B、C 所对应的边为 a, b, c (1)若 sin( A ?

) ? 2 cos A, 求 A 的值; 6 1 (2)若 cos A ? , b ? 3c ,求 sin C 的值. 3
10. 设函数 f ( x) ? cos( 2 x ?

?

?

3

) ? sin 2 x

(1)求函数 f ( x) 的最大值与最小正周期;

os B ? (2)设角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 c

1 C 1 2 2? 3 ,f ( ) ? ? , 且 C 为锐角,求 sin A . 3 2 4 6

11. 设函数 f ( x) ? cos2x ? 2 3 sin x cos x 的最大值为 M ,最小正周期为 T . (1)求 M 和 T 的值及函数 f ( x) 的单调区间; (2)若 10 个互不相等的正数 xi 满足 f ( xi ) ? M ,且 xi ? 10? ( i ? 1,2,3,?,10 ) ,求 x1 ? x2 ? ? ? x10 的 值;

140? 3

(3)指出该函数的图象经过怎样的平移与伸缩变换可得到函数 y ? sin x 的图象

12. (2011 湖南)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 c sinA=acosC. (1)求角 C 的大小; (2)求 3 sinA-cos(B+

? )的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小. 4

两角和与差的正切: 1. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 点 P ( , cos ? ) 在 角 ? 的 终 边 上 , 点 Q(sin2 ? ,?1) 在 角 ? 的 终 边 上 , 且
2

1 2

OP ? OQ ? ?

1 2 13 9

? ? ? ) 的值; ? (1)求 tan(
(2)若 ? ? ? 0, 求值问题

? ? ?? ? ? ? ? , ? ? ? ? ,0 ? ,求 ? ? 2? 的值. ? 2 ? 2? ? 2 ?

1. 形如 tan? ? tan ? ? ? tan? tan ? 的代数式如何化简?
? ? ? ? ? ? 例 1: tan10 tan20 ? tan10 tan60 ? tan20 tan60 的值为_ _______.

例 2:在 ?ABC 中,已知 A ? C ? 2 B ,求 tan 2. 平几问题中利用两角和差的正切研究

A C A C ? tan ? 3 tan tan 的值. 2 2 2 2

例: A, B 是圆 O 上的两点,点 C 是圆 O 与 x 轴正半轴的交点,已知 A(?3,4) ,点 B 在劣弧上,且 ?AOB 是正三角形,求 tan ?COB 的值. 关键:如何转化为两角和差的正切问题来处理? ?COB ? ?COA ? (角的拆分:目标角向已知角的转化) 3. 三角形中的化简求值问题 法 1:化切为弦; 法 2:三角形中的若干恒等式: sin( A ? B) ? sin C; cos(A ? B) ? ? cosC; tan(A ? B) ? ? tanC 例:在 ?ABC ,已知 1 ? (1)求角 A 的大小;

?
3

tan A 2 sin C ? tan B sin B

(2)当 sin C ? 3 sin B 时,求 tan( B ?

?
3

) 的值.

已知 sin(? ? ? ) ?

1 1 tan( ? ? ? ) ? tan? ? tan? , sin(? ? ? ) ? ,求 2 3 tan2 ? ? tan( ? ? ?)

4 3 1. 向量 a=(cos(α+β),sin(α+β)),b=(cos(α-β),sin(α-β)),且 a+b=( , ). 5 5 (1)求 tanα 的值; α 2cos2 -3sinα-1 2 (2)求 的值. π 2sin?α+ ? 4 解:(1)∵a+b=(cosαcosβ-sinαsinβ+cosαcosβ+sinαsinβ,sinαcosβ+cosαsinβ+sinαcosβ-cosαsinβ) 4 3 4 3 3 =(2cosαcosβ,2sinαcosβ)=( , ),∴2cosαcosβ= ,2sinαcosβ= ,∴tanα= . 5 5 5 5 4 α 2cos2 -3sinα-1 2 cosα-3sinα 1-3tanα 5 (2) = = =- . π 7 cosα+sinα 1+tanα 2sin?α+ ? 4 2. (2011 年镇江调研) 在等式 cos(★)(1+ 3tan10° )=1 的括号中,填写一个锐角,使得等式成立,这个锐 角是________. 解析:∵1+ 3tan10° = cos10° + 3sin10° 2cos? 10° -60° ? 2cos50° 2sin40° 2sin40° 1 = = = = = cos10° cos10° cos10° sin80° 2sin40° cos40° cos40°

∴cos40° (1+ 3tan10° )=1. 答案:40° 1 3 2.已知 tanx- = ,则 tan2x=________. tanx 2 1 3 tanx 2 解析:由 tanx- = ,可得 =- , tanx 2 3 1-tan2x 2tanx 4 ∴tan2x= =- . 3 1-tan2x 4 答案:- 3 π 4π 1 3.满足 sin sinx+cos cosx= 的锐角 x=________. 5 5 2

π 4π π π π 1 π 2π 7π 解析: sin sinx+cos cosx=sin sinx-cos cosx=-cos(x+ )= ,得 x+ = ,即 x= . 5 5 5 5 5 2 5 3 15 7π 答案: 15 1 4.(2011 年盐城市调研)已知函数 f(x)= + 2tanx x x sin cos 2 2 π ,则 f( )的值为________. x 8 2cos2 -1 2

1 sinx cos2x+sin2x cosx 2 1 解析:f(x)= + = = , 2sinx cosx 2sinxcosx sin2x π 1 ∴f( )= = 2. 8 π sin 4 答案: 2 6.已知 f(α)= 1+cos2α π ,α∈(0, ),则 f(α)取得最大值时 α 的值是________. 1 α 2 -tan α 2 tan 2

解析:f(α)=

1+cos2α 2cos2α = 1 α α α -tan cos sin α 2 2 2 tan - 2 α α sin cos 2 2

α α 2cos2αsin cos 2 2 sinαcos2α 1 = = = sin2α, cosα 2 2α 2α cos -sin 2 2 π π 当 2α= ,即 α= 时,函数 f(α)取得最大值. 2 4 π 答案: 4

二倍角公式 1. 求下列各式的值:

1 1 ? ? 2 ? ? ; (2) sin 375 sin105 ? 4 cos 22 30? ? 1 ? tan 15 1 ? tan 15? 3 ? 2. 设 ? 是第二象限角,且 sin ? ? ,求 sin( ? 2? ) 的值. 5 6 1 ? ? ?4 ,求 tan( ? 2? ) 的值. 3. 已知 tan ? ? tan ? 4
(1) 4. 已知向量 a ? (sin x ? cos x,2 cos x),b ? (sin x ? cos x, sin x) (1)若 a ? b ,求 tan 2 x 的值;

(2)若 a ? b ?

3 ,求 sin 4 x 的值. 5

5. 函数 y ? sin x cos x cos 2 x 的最小正周期为__________ 6. 已知 2 cos?2? ? ? ? ? 3 cos ? ? 0 ,则 tan?? ? ? ? tan? =__________ 7. 已知 sin ? ? sin ? ? a, cos? ? cos ? ? b ,则 cos?? ? ? ? ? __________ 8. 在 ?ABC 中,已知 tan A ? tan B ? tan A tan B ? 1,则角 C 的度数为__________ 9. 已知 sin ? ? 3 cos? ? m ? 1 ,则实数 m 的取值范围为__________ 10. 求证: tan

?
2

?

sin ? 1 ? cos ? ? 1 ? cos ? sin ?

11. 已知函数 y ? sin 2 x ? 2 sin x cos x ? 3 cos2 x, x ? R (1)求函数的最小正周期 (2)求函数的最大值以及对应的 x 的取值 12. (1)求 (1 ? tan10 )(1 ? tan440 ) 的值 (2)求 1 ? tan10 1 ? tan20 1 ? tan30 ? 1 ? tan440 1 ? tan450 的值

?

??

??

? ?

??

?

4 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为________. 5 1 14. 已知 sin ? ? cos ? ? ,则 sin 2? 的值为________. 2
13. 已知 cos ? ? 15. 已知 ? ? ?

? 2? ? ,2? ? ,化简 1 ? sin 2? ? 1 ? sin 2? =_________. ? 3 ?

16. 已知 tan? ? ? 17. 已知 sin

? ?

??

1 ?? 1 ? ? ? , tan? ? ? ? ? ? ,则 tan?? ? ? ?的值为_________. 2? 2 2? 3 ?

?

3 ? 4 ? , cos ? ? ,则角 ? 在第______象限. 2 5 2 5
0 0 0

18. 求值: sin 10 cos20 cos40 =_________. 19. 已知 cos? ? ?

3 0 0 ,且 180 ? ? ? 270 ,求 sin 2? , cos 2? , tan2? 的值 3

20. 已知 sin ? ? m sin ?2? ? ? ? ,且 ? ? ? ?

?
2

? k? ?k ? Z ?, ? ?

k? ?k ? Z ?, m ? 1 ,求证: 2

1? m tan ?? ? ? ? ? tan ? 1? m
21. 结合两角和差与倍角的三角函数公式,用 sin ? 表示 sin 3? . 22. 如图,将矩形纸片的右下角折起,是的该角的顶点落在矩形的左边上,那么折痕长度 l 取决于角 ? 的大

小,探求 l , ? 之间的关系式,并导出用 ? 表示 l 的函数表达式。
D θ l C

A

E

B

23. 2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是我国以古代数学家赵爽的弦图为基 础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形 (如右 图).如果小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 θ, 7 那么 cos 2θ 的值等于________.答案: 25

正弦定理: 1. (2006 江西高考)如图,已知△ ABC 是边长为 1 的正三角形,M MN 经过△ ABC 的中心 G,设?MGA=?( (1)试将△ AGM (2)求 y=
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N 分别是边 AB

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AC 上的点,线段

?
3

?? ?

2? ) 3

A

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△ AGN 的面积(分别记为 S1 与 S2)表示为?的函数

1 1 + 2 的最大值与最小值 2 S1 S2
B

?
G M D

N

C

3. 在 ?ABC 中,解如下三角形: (1) a ? 4, b ? 8, A ? 30 ;
? (2) b ? 2 , c ? 3 , B ? 45 ; ?

(3) b ?

2 , c ? 2 , B ? 30? .

1. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , a ?

5 , b ? 15 , A ? 30? ,则 c ? _____ .

? 2. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , a ? 2 , b ? 2 2 , A ? 30 ,则 B ? _____.

3. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c , b ? 3, B ? 60? , c ? 1 ,则 a ? ______ . 探究:在上面的例 2 中,已知 ?ABC 的两边和一边对角,为什么有些是无解,有些是一解,有些是两解? 能否利用几何作图法作出三角形研究三角形解的个数?

(1)若 ?ABC 为锐角三角形: a ? b sin A 时无解; a ? b sin A 时一解; b ? a ? b sin A 时两解; a ? b 时 一解; (2)若 ?ABC 为钝角三角形: a ? b 时一解; a ? b 时无解. 探究 2:我们知道,全等三角形的判别方法有 SSS , ASA , SAS ,为何没有 SSA 呢?请就此问题发表一 下你的看法?
? 探究 4:在 ?ABC 中, A ? 30 , a ? 4 .

(1)给出一个 b 值,使得三角形只有唯一解? 0 ? b ? 4 或 b ? 8 (2)给出一个 b 值,使得三角形有两解? 4 ? b ? 8 (3)给出一个 b 值,使得三角形无解? b ? 8 4. 如图,在ΔABC 中,∠A 的平分线 AD 与边 BC 相交于点 D,求证:

BD AB ? DC AC

A

C D 思考题 1:若结论改为外角角平分线,结论仍然成立么?请说明理由. 成立.
思考题 2:如图,已知在 ?ABC 中, AB ? 2 AC ,且 ?BAD ? 30? , ?CAD ? 45? ,求

B

BD 的值. DC

2

A

C D 5. 设 R 是 ?ABC 的外接圆的半径, S 是 ?ABC 的面积,利用扩充的正弦定理求证:
(1) S ?

B

abc ; 4R
2

(2) S ? 2R sin A sin B sin C . 练习:已知三角形的面积为

1 ,其外接圆面积为 ? ,则这个三角形三边的积为______. 1 4

1 xv ? yu . 2 31 练习:已知 ?ABC 的三个顶点是 A(?5,0), B(3,?3), C (0,2) ,求 ?ABC 的面积. 2
6. 在 ?ABC 中, AB ? ( x, y), AC ? (u, v) ,求证: ?ABC 的面积为 S ? 7. 一船在海上由西向东航行,在 A 处测得某岛 M 的方位角为北偏东 ? 角,前进 m(km) 后在 B 处测得该 岛的方位角为北偏东 ? 角, 已知该岛周围 n(km) 范围内 (包括边界) 有暗礁, 现该船继续东行.试确定 ? , ?

满足的条件,使船能安全航行. m cos? cos? ? n sin(? ? ? ) 8. 在 ?ABC 中, 边 a, b, c 所对的角分别是 A, B, C , 且

B C 的形状为_______. , 则 ?A s i n A a 9. 在锐角 ?ABC 中, A ? 2 B ,边 a, b, c 所对的角分别是 A, B, C ,则 的取值范围是______. b c 变式:在 ?ABC 中,若 C ? 3 B ,则 的取值范围是________. b

a

s i n B

?

b

s i n C

?

c

10. 在 ?ABC 中,设

cos B cos C cos A ? ? ,求 cos A . 3b 2c a

3 6

11. (2011 安徽)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , a ? 求边 BC 上的高.

3 , b ? 2 , 1 ? 2 cos(B ? C ) ? 0 ,

12. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c . 若 a ? 2, C ? _________.

?
4

, cos

B 2 5 ,则 ?ABC 的面积为 ? 2 5

8 7
2

13. (2011 辽宁)在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , a sin Asin B ? b cos A ? 的值为_______.

2a ,则

b a

2

. 7:5:3 14. 在 ?ABC 中,已知 (b ? c) : (c ? a) : (a ? b) ? 4 : 5 : 6 ,则 sin A : sin B : sin C ? ________
15. 在 ?ABC 中,已知

a 2 sin B b 2 sin A ? ,则 ?ABC 的形状为_________. 等腰或直角三角形 cos B cos A
2 2 2 2

变式:在 ?ABC 中,已知 (a ? b ) sin(A ? B) ? (a ? b ) sin(A ? B) ,则 ?ABC 的形状为________. 16. 在 ?ABC 中,已知 2 B ? A ? C , b ? 1 ,则 a ? c 的取值范围是_________. ?1,2?

a?b sin B 2 ? ,且 sin A sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状为________. a sin B ? sin A 1 2 sin B sin C 18. 证明三角形的面积公式: S ? a 2 sin A n a t A 3 c s B ? bo c s A? c, 19. 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边长分别是 a, b, c , 且 ao 则 的值为______> n a t B 5
17. 在 ?ABC 中,已知

20. 在 ?ABC 中, sin A ?

3 , a ? 10 ,则边长 c 的取值范围是_______. 4

? 21. 在 ?ABC 中, ?A ? 60 ,且角 A 的角平分线 AD 将 BC 分成两段 BD, DC ,且 BD : DC ? 2 : 1 ,若

. AD ? 4 3 ,则 C ? _______

? 2

余弦定理: 1. 在△ABC 中, 已知∠BAC=α, AC=b, AB=c, 如图建立直角坐标系, 利用两点之间的距离公式计算 BC2, 并由此证明余弦定理.

2. 用正弦定理证明余弦定理. 3. 已知 ?ABC 的三边分别为 a ? 6, b ? 10, c ? 14 ,试求 ?ABC 中最大角的度数.

2? 3

变式:已知 ?ABC 的三边分别为 sin A : sin B : sin C ? 3 : 5 : 7 ,求 ?ABC 中最大角的度数. 解读:已知三角形的三边,利用余弦定理可解三角形. 4. 在 ?ABC 中,已知 a ?

2? 3

6 , b ? 1 ? 3 , C ? 45? ,求 c 和 A . c ? 2, A ?

?
3

解读:已知三角形的两边及其夹角,利用余弦定理可解三角形. 5. 在 ?ABC 中, S 是 ?ABC 的面积,若 a ? 4, b ? 5, S ? 5 3 ,求 c . 解读:已知三角形的三边,利用余弦定理可解三角形. 6. 余弦定理问题研究四则: 探究 1:用余弦定理证明射影定理; 探究 2:在 ?ABC 中,当 ?C 为锐角时, a ? b ? c ;当 ?C 为钝角时, a ? b ? c ;
2 2 2 2 2 2

21 或 61

当 ?C 为直角时, a ? b ? c (进而思考:逆命题成立吗?)
2 2 2

解读:要判断角是锐角还是钝角,如何验证? 变式:设 2a ? 1, a,2a ? 1 为钝角三角形的三边,求实数 a 的取值范围. ?2,8?

探究 3:在 ?ABC 中,若已知 a ? b ? 2ab ? c ,求角 C 的度数.
2 2 2

探究 4:在 ?ABC 中,已知 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? ac ,求角 B 的度数. 探究 1:判断三角形的形状 例 1. 在 ?ABC 中,已知 a ? 2b cos C ,试判断该三角形的形状. 例 2. 在 ?ABC 中,已知 a2 ? b2 ? (a cos B ? b cos A)2 ,试判断该三角形的形状. 例 3. 在 ?ABC 中,若 b sin C ? c sin B ? 2b cos B cosC ,试判断该三角形的形状.
2 2 2 2

探究 2:正余弦定理的综合应用

1 2 (a ? b 2 ? c 2 ) ,求 C . 4 3 例 2:在 ?ABC 中, AC ? 2, BC ? 1, cos C ? ,求: 4
例 1:在 ?ABC 中,若 S ? (1) AB 的值; (2)求 sin(2 A ? C ) 的值. 例 3:在 △ ABC 中,内角 A, B, C 所对的边长分别是 a, b, c . (1)若 c ? 2 , C ?

?
3

,且 △ ABC 的面积 S ?

3 ,求 a , b 的值;

(2)若 sin C ? sin(B ? A) ? sin 2 A ,试判断 △ ABC 的形状.(注意讨论) 探究 3:中线长公式 例:已知 AM 是 ?ABC 种 BC 边上的中线,求证: AM ? 分析:等式的结构,联想余弦定理,寻找证明的方法. 变式:用余弦定理证明:平行四边形两条对角线平方的和等于四边平方的和.
? 练习 1:在 ?ABC 中, CB ? 2 , AC ? 2 3 , A ? 30 ,求 AB 边上的中线长.

1 2( AB 2 ? AC 2 ) ? BC 2 2

练习 2: (解三角形) a ? 3, b ? 2 , AB 边上的中线长为 2. 探究 4:圆内接四边形问题 例:如图,已知圆内接四边形 ABCD 中,AB=2,BC=6,AD=CD=4,如何求四边形 ABCD 的面积? 8 3

探究 4:应用问题

例 1:如图,我炮兵阵地位于 A 处,两观测所分别设于 C,D 已知△ ACD 为边长等于 a 的正三角形,当目 标出现于 B 时,测得∠CDB=45° ,∠BCD=75° ,试求炮击目标的距离 AB.

5? 2 3 a 3

例 2:如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的 A,B, C 三点进行测量,已知 AB ? 50m , BC ? 120m ,于 A 处测得水深

AD ? 80m ,于 B 处测得水深 BE ? 200m ,于 C 处测得水深 CF ? 110m ,求∠ DEF 的余弦值。

解:作 DM // AC 交 BE 于 N,交 CF 于 M.

21 世纪教育网

DF ? MF 2 ? DM 2 ? 302 ?1702 ? 10 198 , DE ? DN 2 ? EN 2 ? 502 ?1202 ? 130 ,
EF ? ( BE ? FC ) 2 ? BC 2 ? 902 ? 1202 ? 150 .
在 ?DEF 中,由余弦定理, cos ?DEF ?

DE 2 ? EF 2 ? DF 2 1302 ? 1502 ? 102 ? 298 16 ? ? . 2 DE ? EF 2 ?130 ?150 65

探究 5:海伦公式与秦九韶三斜求积公式 例 1:已知三角形的三边为 a, b, c ,设 p ? (1)三角形的面积 S ?

1 ( a ? b ? c) ,求证: 2

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ;
a?b?c?d , 2

能否对该命题做推广?设圆内接四边形 ABCD 的四边长分别为 a, b, c, d ,并设 p ? 则该四边形的面积为 S ? ( p ? a)( p ? b)( p ? c)( p ? d ) ; (2) r 为三角形的内切圆的半径,则 r ?

( p ? a)( p ? b)( p ? c) ; p

(3)把边 BC, CA, AB 上的高分别记为 ha , hb , hc ,则

ha ?

2 2 p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ; hb ? a b 2 hc ? p( p ? a)( p ? b)( p ? c) c

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) ;

1 2 2 ? a 2 ? c2 ? b2 ? ? 例 2:求证:秦九韶求积公式: S ? [a c ? ? ? ? ]. 4 2 ? ?
练习: 1. 在四边形 ABCD 中, ?BAD ? ?BCD ? ? , AB ? 6 , BC ? CD ? 4 , AD ? 2 ,求 BD 的长. 2. 已知钝角三角形的三边分别是 k , k ? 2, k ? 4 ,求实数 k 的取值范围. ?2,6? 3. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,求证: 互化的策略) 4. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,当 a ? c ? b ? ac 时,角 B 的取值范围是_______.
2 2 2

2

16 7

a 2 ? b 2 sin(A ? B) ? (两种方法,归纳边角 c2 sin C

5. 在 ?ABC 中,已知 A ? B ? C ,且 A ? 2C , b ? 4 , a ? c ? 8 ,求 a , c 的长.
? ? 6. 在四边形 ABCD 中,已知 AD ? CD , AD ? 10 , AB ? 14 , ?BDA ? 60 , ?BCD ? 135 ,求 BC

的长.

8 2

7. 在 ?ABC 中,已知三边的长为连续正整数,最大的角为钝角. (1)求最大的角的余弦值; ?

1 4

(2)求以此最大的角为内角,求此角两边之和为 4 的平行四边形的最大面积.
2 8. 在 ?ABC 中,已知 2 B ? A ? C ,且 b ? ac,证明: ?ABC 为等边三角形.

15

9. 在 ?ABC 中,已知 a ? b ? c cos B ? c cos A ,则此三角形的形状为____________.等腰或直角

. 10. 在 ?ABC 中, 2 2 (sin2 A ? sin 2 C) ? (a ? b) sin B , ?ABC 外接圆半径为 2 ,则 C ? ______
11. 若 ?ABC 的面积为 30,内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且 cos A ? __________. 5

? 3

12 , c ? b ? 1 ,则 a 的值为 13

第五课时:综合应用(1)
解三角形应用题的一般步骤是什么?(数学建模的思想) (1)分析:理解题意,分清已知条件与未知条件,画出示意图; (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解斜三 角形的数学模型; (3)求解:利用正弦定理和余弦定理有顺序的解三角形,求得实际问题的解; (4)检验:检验上述所求的三角形是否具有实际意义,从而得出实际问题的解. 例 1. (航行问题)如图,有两条相交成 60° 角的直路 XX?,YY?,交点是 O,甲、乙分别在 OX,OY 上,起 初甲离 O 点 3 km ,乙离 O 点 1 km .后来甲沿 XX?的方向,乙沿 Y?Y 的方向,同时用 4 km / h 的速度步行. (1)起初两人的距离是多少? (2)t h 后两人的距离是多少? (3)什么时候两人的距离最短? X? Y?
乙 60° O 甲

Y

X

(1)由余弦定理,得起初两人的距离为 12 ? 32 ? 2 ?1? 3 ? cos60? ? 7 . (2)设 t h 后两人的距离为 d(t),则 当0 ? t ? 当t ?

3 时,此时 d (t ) ? (1 ? 4t )2 ? (3 ? 4t )2 ? 2 ? (1 ? 4t ) ? (3 ? 4t ) ? cos60? ? 48t 2 ? 24t ? 7 4

3 时,此时 d (t ) ? (1 ? 4t )2 ? (4t ? 3)2 ? 2 ? (1 ? 4t ) ? (4t ? 3) ? cos120? ? 48t 2 ? 24t ? 7 4

所以 d (t ) ? 48t 2 ? 24t ? 7 .
?24 1 ? ( h )时,两人的距离最短. 2?8 4 例 2. (航海问题)如图所示,在一条海防警戒线上的点 A 、 B 、 C 处各有一个水声 监测点, B 、 C 两

(3)当 t ? ?

点到点 A 的距离分别为 20 千米和 50 千米.某时刻, B 收到发自静止目标 P 的一个声波信号,8 秒后 A 、

C 同时接收到该声波信号,已知声波 在水中的传播速度是 1.5 千米/秒.
(1)设 A 到 P 的距离为 x 千米,用 x 表示 B , C 到 P 的距离,并求 x 的值; (2)求 P 到海防警戒线 AC 的距离.

解: (1)Z|依题意,有 PA ? PC ? x , PB ? x ? 1.5 ? 8 ? x ? 12 . 在△PAB 中,AB=20[来

PA2 ? AB2 ? PB2 x 2 ? 202 ? ( x ? 12) 2 3x ? 32 cos?PAB ? ? ? 2 PA? AB 2 x ? 20 5x
同理,在△PAB 中,AC=50

.

PA2 ? AC 2 ? PC2 x 2 ? 502 ? x 2 25 cos?PAC ? ? ? , 2 PA ? AC 2 x ? 50 x
∵ cos?PAB ? cos?PAC, ∴

3 x ? 32 25 ? 5x x
25 31

解之,得 x ? 31 .. (2)作 PD ? AC于D,在△ADP 中,由 cos ?PAD ? 得 sin ?PAD ? 1 ? cos2 ?PAD ? ∴ PD ? PAsin ?APD ? 31?

4 21 31

4 21 ? 4 21 ? 18.33 千米 31

答:静止目标 P 到海防警戒线 AC 的距离为 18 .33 千米. 例 4: (航行问题)如图,港口 A 在港口 O 的正东 120 海里处,小岛 B 在港口 O 的北偏东 60? 的方向,且 在港口 A 北偏西 30? 的方向上. 一艘科学考察船从港口 O 出发, 沿北偏东 30? 的 OD 方向以 20 海里/小时的 速度驶离港口 O.一艘给养快艇从港口 A 以 60 海里/小时的速度驶向小岛 B,在 B 岛转运补给物资后以相 同的航速送往科考船.已知两船同时出发,补给装船时间为 1 小时. (1)求给养快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间; (2)给养快艇驶离港口 A 后,最少经过多少时间能和科考船相遇? 【解】 (1)由题意知,在△OAB 中, 北 D C B

?OAB ? 60o . OA=120, ?AOB ? 30o,
于是 AB ? 60 ,而快艇的速度为 60 海里/小时, 所以快艇从港口 A 到小岛 B 的航行时间为 1 小时. ………5 分 (2)由(1)知,给养快艇从港口 A 驶离 2 小时后,从小岛 B 出发 与科考船汇合. O

A



为使航行的时间最少,快艇从小岛 B 驶离后必须按直线方向航行,设 t 小时后恰与科考船在 C 处相遇.

OC ? 20(2 ? t ) , ?BOC ? 30 o ,由余弦定 在△OAB 中,可计算得 OB ? 60 3 ,而在△OCB 中, BC ? 60 t ,
理, 得 BC 2 ? OB 2 ? OC 2 ? 2OB ? OC ? cos ?BOC , 即( 6 0) t 亦即 8 t 2 ? 5 t ? 13 ? 0 ,解得 t ? 1 或 t ? ? 13 (舍去) . 8 故 t ? 2 ? 3. 即给养快艇驶离港口 A 后,最少经过 3 小时能和科考船相遇
2

6 ? 03

?

2 0 ( 2 ? ?)

?

2

? 2 t6 0? ? 3? 2 0 ( 2 )?
2

? ?t

3, 2

在某海滨城市附近海面有一台风,据监测,当前台风中心位于城市 O(如图)的东偏南 ? (cos? ?

2 方 ) 10

向 300km 的海面 P 处,并以 20km/h 的速度向西偏北 45 ? 方向移动,台风侵袭的范围为圆形区域,当前半 径为 60km,并以 10km/h 的速度不断增大,问几小时后该城市开始受到台风的侵袭? 解:如图建立坐标系以 O 为原点,正东方向为 x 轴正向. 在时刻: ( 1 ) 台 风 中 心 P ( x,
? 2 2 ? 20 ? t, ? x ? 300? ? 10 2 ? ? y ? ?300? 7 2 ? 20 ? 2 t. ? 10 2 ?

y )的坐标为
O 海 岸

y

北 东 O

?
O

x

此时台风侵袭的区域是 ( x ? x) ? ( y ? y) ? [r(t )] ,
2 2

线

其中 r (t ) ? 10t ? 60, 若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵 袭,则有
(0 ? x) 2 ? (0 ? y) 2 ? (10t ? 60) 2 .

P
即 r(t) O

45 ?

2 2 2 7 2 2 2 (300? ? 20 ? t ) ? (?300? ? 20 ? t) 10 2 10 2

P

? (10t ? 60) 2 ,即t 2 ? 36t ? 288 ? 0, 解得 12 ? t ? 24
答:12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.

类型二:三角形中的几何计算 例 1.在路边安装路灯,灯柱 AB 与地面垂直, BC 与灯柱 AB 所在平面与道路垂直, ?ABC ? 120? ,路 灯 C 采用锥形灯罩,射出的光线如图中阴影部分所示,已知 ?ACD ? 60? ,路宽 AD ? 24 米,设灯柱高

AB ? h (米) , ?ACB ? ? ( 30? ? ? ? 45? )
(1)求灯柱的高 h (用 ? 表示) ; (2)若灯杆 BC 与灯柱 AB 所用材料相同,记此用料长度和为 S ,求 S 关于 ? 的函数表达式,并求出 S 的 最小值.

C B

A

D

例 2.如图,某城市有一条公路从正西方 AO 通过市中心 O 后转向东北方 OB,现要修筑一条铁路 L,L 在 OA 上设一站 A,在 OB 上设一站 B,铁路在 AB 部分为直线段,现要求市中心 O 到 AB 的距离为 10km,设

?OAB ? ? .
(1)试求 AB 关于角 ? 的函数关系式; (2)问把 A、B 分别设在公路上离市中心 O 多远处,才能使 AB 最短,并求其最短距离.

解:由题意 ?AOB ? 135? , ? ? (0?, 45?) , ?OBA ? 45? ? ? . 在 ?AOB 中,由正弦定理得

AB OB 2 OB ? ,即 AB ? . ? sin135? sin ? 2 sin ?

在 ?MOB 中, OB ?

10 , sin(45? ? ? )

所以 AB ?

2 OB 2 10 1 . ? ? ? ?5 2 2 sin ? 2 sin ? sin(45? ? ? ) sin ? sin(45? ? ? )
10 20 2 10 ? ? ? 2 2 sin ? (sin 45? cos ? ? cos 45? sin ? ) sin ? cos ? ? sin ? sin 2? ? cos 2? ? 1

(2) AB ?

?

20 . 因为 ? ? (0?, 45?) ,所以当 ? ? 22.5? 时有 AB 的最小值 20( 2 ? 1) . 2 sin(2? ? 45?) ? 1
10 ? 10 4 ? 4 2 . sin 22.5?

此时, OA ? OB ?

答:A、B 都设在公路上离市中心 10 4 ? 4 2 km 处,才能使 AB 最短,其最短距离是 20( 2 ? 1) km.

例 3.半圆 O 的直径为 2, A 为直径延长线上的一点, OA ? 2 , B 为半圆上的任意一点,以 AB 为一边作 等边三角形 ABC ,问点 B 在什么位置时,四边形 OACB 的面积最大?

变式 1: A, P, Q, B 为平面上四点,其中 A, B 为定点,且 AB ? 3 ,动点 P, Q 满足 AP ? PQ ? QB ? 1 , 设 ?APB 和 ?PQB 的面积分别为 S , T ,试求:
2 2 2 (1)求 S ? T 的最大值; S ? T ? ? cos ? ?
2 2

3 2

3 3 (设角 A 为 ? ) cos? ? 2 4

(2)当 S ? T 取最大值时, ?APB 的形状如何?等腰三角形
2 2

变式 2: 解: S1 ? S2 ? 12sin C ? 2 AB ? sin C ? 2(6 ? AB) sin C 由余弦定理得: 16 ? AB ? 8 AB ? cosC ? 16 ? 36 ? 48cosC
2

整理得: cos C ?

6 ? AB 64 ? t 2 t 64 ? t 2 ,令 6 ? AB ? t ,则 S1 ? S2 ? 2(6 ? AB) sin C ? 2t ? ? 8 8 4

t 2 ? (64 ? t 2 ) 2 ? ? 8 ,当且仅当 t ? 4 2 ,即 AB ? 6 ? 4 2 时等号成立. 4

例 4:一次机器人足球比赛中,甲队 1 号机器人由点 A 开始做匀速直线运动,到达点 B 时,发现足球在点 D 处正以 2 倍于自己的速度向点 A 做匀速直线滚动.如图所示,已知 AB ? 4 2 dm, AD ? 17 dm ,

?BAC ? 45? 若忽略机器人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球?

练习 1: 在地面上某处, 测得塔顶的仰角为 ? , 由此处向塔走 30m, 测得塔顶的仰角为 2? , 再向塔走 10 3m , 测得塔顶仰角为 4? , 试求角 ? 的度数 练习 2:在 ?ABC 中,已知 B ?

?
4

, D 是 BC 边上一点, AD ? 10 , AC ? 14 , DC ? 6 ,求 AB 的长.

练习 3:外轮除特许外,不得进入离我国海岸线 d 海里以内的区域,如图,设 A,B 是相距 s 海里的两个观 察站,一外轮在 P 点,测得∠BAP=α,∠ABP=β 问:α,β 满足什么关系时就该向外轮发出警告,令其退 出海域?

练习 4: 把一根长为 30cm 的木条锯成两段, 分别作钝角三角形 ABC 的两边 AB 和 BC , 且 ?ABC ? 120 ,
?

如何锯断木条,才能使第三条边 AC 最短?

研究: 1. 是否存在一个三角形具有以下性质: (1)三边是连续的三个自然数? (2)最大角是最小角的 2 倍?

某观测站 C 在城 A 的南偏西 25° 的方向上,由 A 城出发有一条公 是南偏东 50° ,在 C 处测得距 C 为 12 3 km 的公路上 B 处,有一 A 250 500 C B D

路,走向 人 正 沿

公路向 A 城走去,走了 12 km 后,到达 D 处,此时 C、D 间距离为 12 km,问这人还需走多少千米到达 A 城?

如图, 某渔船在航行中不幸遇险, 发出呼救信号.我海军舰艇在 A 处获悉后, 测出该渔船在方位角为 30 ? , 距离为 10 海里的 C 处,并测得该渔船正沿方位角为 90 ? 的方向,以 30 海里/时的速度向小岛 P 靠拢.我海 军舰艇立即以 30 3 海里/时的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间. (注:方位角是从指北 方向顺时针转到目标方向线的角) 北 C 北
30 ?

P

A 解:设舰艇收到信号后 x 小时在 B 处靠拢渔船,则 AB ? 30 3x, BC ? 30x , 又 AC ? 10, ?ACB ? 120? , 由余弦定理,得 AB2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?ACB , 即 (30 3x)2 ? 102 ? (30 x)2 ? 2 ?10 ? (30 x)cos120? , 化简,得 18 x 2 ? 3x ? 1 ? 0 , ……………… 5 分

1 解得 x ? (小时) ? 20(分钟) (负值舍去) . 3
由正弦定理,得

AB BC . ? sin ?ACB sin ?BAC BC sin ?ACB 30 x sin120? 1 sin ?BAC ? ? ? .所以 ?BAC ? 30? , AB 2 30 3x

………… 14 分

所以方位角为 30 ? + 30 ? = 60 ? .

1. 在 ?ABC 中,已知 b ? 1 , sin C ?

3 8 , b cos C ? c cos B ? 2 ,则 AC ? BC ? _______ .? 5 5

2. ?ABC 的外接圆的半径为 1,圆心为 O,且 2OA ? AB ? AC ? 0 ,且 OA ? AB ,则 CA ? CB ? ____. 3. 在 ?ABC 中,三边长分别为 a ? 2, a, a ? 2 ,最大角的正弦值为

3 ,则这个三角形的面积为_______. 2

4. 已知等腰三角形腰上的中线长为 a ,则该三角形的面积的最大值是_________. 非常低.导数法是解决高次函数或复杂函数的强有力的工具. 已知等腰三角形腰上的中线长为 3 ,则该三角形的面积的最大值是 . A G B E 图4 F C

如图, △ ABC 中, E, F 分别为底 BC 与腰 AC 的中点, BF 与 AE 交于点 G, 则 G 为△ ABC
2 2 3 的重心,于是 BG=CG= BF ? ,且 AE=3GE. 3 3

1 3 2 3 2 ) ?2, 所以, S?ABC ? 3S?BGC ? 3 ? GB ? GC sin BGC ? ? ( 2 2 3

当且仅当∠BGC=

? ,即 BG⊥GC 时,△ ABC 的面积取最大值 2. 2

设函数 f ( x) ? 6cos2 x ? 2 3sin x cos x . (1)求 f ( x) 的最小正周期和值域; (2)在锐角△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 f ( B) ? 0 且 b ? 2 , cos A ? 解: (1) f ( x) ? 6 ?

4 ,求 a 和 sin C . 5

1+cos 2x p ? 3 sin 2 x = 3cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 = 2 3 cos(2 x ? ) ? 3 . 2 6 2p ? p ,值域为 [3 ? 2 3,3 ? 2 3] . 2

所以 f ( x) 的最小正周期为 T ?

π 3 (2)由 f ( B) ? 0 ,得 cos(2 B ? ) ? ? . 6 2 π π 7π π 5π π , 2B ? ? ,∴ B ? . ? B 为锐角,∴ ? 2B ? ? 6 6 6 6 6 3

4 3 4 ∵ cos A ? , A ? (0, p ) ,∴ sin A ? 1 ? ( ) 2 ? . 5 5 5

b sin A 在△ABC 中,由正弦定理得 a ? ? sin B

2?

3 5 ?4 3. 5 3 2

∴ sin C ? sin(p ? A ? B)= sin(

2p 3 1 3? 4 3 ? A) ? cos A ? sin A ? . 3 2 2 10

已知向量 m ? (sin A, sin B) , n ? (cosB, cos A) , m ? n ? sin 2C ,其中 A 、 B 、C 为 ?ABC 的内角.(1) 求角 C 的大小; (2)若 sin A , sin C , sin B 成等差数列,且 CA ? ( AB ? AC) ? 18 ,求 AB 的长. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的对边长分别为 a、b、c ; (1)设向量 x ? (sin B, sin C) ,向量 y ? (cosB, cosC) ,向量 z ? (cosB,? cosC) ,若 z //( x ? y) ,求

tan B ? tan C 的值;
2 2 (2)已知 a ? c ? 8b ,且 sin A cos C ? 3cos A sin C ? 0 ,求 b .

如图, 圆 O 为单位圆,A(1, 0),

B(

3 1 2 2 1 3 , ), C ( , ), D ( , ), E (0,1), F (? 1 , 3 ) 为圆 O 上的定点,点 M 2 2 2 2 2 2 2 2

为圆 O 上的动点.M 第一次由点 A 按逆时针方向运动到某定点,所形成的角为 ? ;M 第二次由点 A 按逆时针方向运动到 某定点,所形成的角为 ? . (1) 当点 M 第一次由点 A 按逆时针方向运动到定点 C, 第二次由点 A 按逆时针方向运动到定点 D 时,求 cos(? 值; (2)在 且 tan

? ?) 的

A、B、C、D、E、F 中是否存在两个点,能使角 ? , ?

同时满足 ?

? 2 ? ? 3? , 2

? tan ? ? 3 ? 2 3 ?
2

若不存在, 说明理由; 若存在, 找出定点并证明.

解(Ⅰ)当动点 M 第一次由点 A 按逆时针方向运动到定点 C(

2 2 , ) 时,由已知 2 2

条件可知,所形成的角为 ? ,由三角函数的定义可得

cos? ?

2 2 . , sin ? ? 2 2

2分

当动点 M 第二次由点 A 按逆时针方向运动到定点 D(

1 3 , ) 时, 2 2

由已知条件可知,所形成的角为 ? , 由三角函数的定

义可得

cos ? ?

1 3 , sin ? ? 2 2



4分

所以

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ?

2 1 2 3 ? ? ? ? 2 2 2 2

2? 6 4



6分

(Ⅱ) 动点 M 第一次由点 A 按逆时针方向运动到定点 B( 时, 能使角 ? , ? 同时满足

3 1 , 第二次由点 A 按逆时针方向运动到定点 1 3 , ) F (? , ) 2 2 2 2

? ? 2 ? ? 3? , tan ? tan ? ? 3 ? 2 3 ;
2 2
当动点 M 第一次由点 A 按逆时针方向运动到定点 B(

8分

3 1 , ) 时, 2 2

由已知条件可知,所形成的角为 ? , 由三角函数的定

义可得

cos? ?


3 1 , sin ? ? . 2 2
10 分

所以

???

6

当动点 M 第二次由点 A 按逆时针方向运动到定点 F(?

1 3 , ) 时, 2 2

由已知条件可知,所形成的角为 ? , 由三角函数的

定义可得

1 3 cos ? ? ? , sin ? ? 2 2 3
.所以



所以

? ? 2?

? ? 2? ? ? ? 2 ? 2? ? 3?
6 3 2



12 分

tan

? tan ? ? tan ? tan 2? ? tan(? ? ? )(? tan ? ) ?
2 12 3 4 6 3

1?

3 3

3 1? 3

? ( ? 3 ) ? 3 ? 2 3.

14 分

如图,直角三角形 ABC 中,∠ B = 90? , AB =1, BC = 3 .点 M , N 分别在边 AB 和 AC 上( M 点 和 B 点 不 重合 ) , 将 △ AMN 沿 MN 翻折 , △ AMN 变 为 △ A?MN ,使顶点 A? 落在边 BC 上( A? 点和 B 点不重合).设 ∠

AMN = ? .
(1) 用 ? 表示线段 AM 的长度,并写出 ? 的取值范围; (2) 求线段 A?N 长度的最小值.

解: (1)设 MA ? MA? ? x ,则 MB ? 1 ? x . 在 Rt△ MB A? 中, cos(180? ? 2?) ? ∴ MA ? x ?

1? x , x

1 1 . ? 1 ? cos 2? 2sin 2 ?

源 :学 .科 .网 Z.X.X.K]

∵点 M 在线段 AB 上,M 点和 B 点不重合, A? 点和 B 点不重合,∴ 45? ? ? ? 90? . (2)在△ AMN 中,∠ANM= 120? ? ? ,

AN MA ? , sin ? sin(120? ? ?)
1 1 2sin 2 ? = . AN ? ? 2sin ? sin(120? ? ?) sin(120 ? ?) sin ? ?
1 3 令 t ? 2sin ? sin(120? ? ?) ? 2sin ?( sin ? ? cos ?) = sin 2 ? ? 3 sin ? cos ? 2 2 1 3 1 1 = ? sin 2? ? cos 2? ? ? sin(2? ? 30? ) . 2 2 2 2
∵ 45? ? ? ? 90? , ∴ 60? ? 2? ? 30? ? 150? .

当且仅当 2? ? 30? ? 90? , ? ? 60? 时,有最大值 ∴ ? ? 60? 时, A?N 有最小值

3 , 2

2 . 3

在锐角 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C . (1)求角 B 的大小;

?? ? ?? ? (2)设 m ? (sin A ,1) , n ? (3 , cos2 A) ,试求 m ? n 的取值范围.

在 ?ABC 中,三个内角 A, B, C 所对的边分别是 a , b, c ,已知 b ? 1 , c ? 2 . (1)若 A ? 60? ,求 ?ABC 外接圆的半径 R ; (2)若 BC 边上的中线长为
3 ,求 ?ABC 的面积. 2

解: (1)∵ a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? cos A ? 1 ? 4 ? 2 ? 1? 2 ? cos 60? ? 3 , ∴a ? 3. ………………2 分

又 2R ?

a 3 ? ? 2 , ∴ ?ABC 外接圆的半径 R ? 1 . sin A sin 60?

………4 分

(2)设 BC 边中点为 O, BO ? CO ? x , 在 ?ABO, ?ACO 中,
? 3? 2 1 13 x ?? x2 ? x2 ? ? 2 ? ? ?2 4 ,…………8 分 ? ? 4 ,同理 cos ?AOC ? cos ?AOB ? ? 3 ? x 3 3?x 2x ? 2
2 2

∵ ?AOB ? ?AOC ? ? ,∴ cos ?AOB ? cos ?AOC ? 0 . 解得 x ?
7 . 2

………………10 分

1 ∴ BC ? 7 ,∴ cos ?A ? ? ,∴ ?A ? 120? . 2
∴ S?ABC ?
1 3 3 ?1? 2 ? ? . 2 2 2

………………14 分

18. 如图,设 D、E 是△ABC 的边 AB 上的两点,已知: ?ACD=?,?ECB=? ,AC=14, AD=7,AB=28,CE=12.
C

(0, ) (1)若 ? ? ,且 sin(? ? 3 (0, ) (2)若 ?、? ? ,且 4

?

?
6

)?

?

4 ,求 sin ? 5
A D E B

? ? ? ? ? ? 试探究 ?、? 的数量关系式 (1+sin2? ? cos 2? ) ?1 ? tan( ? ? ) ? ? (1+sin2? ? cos 2? ) ? tan( ? ? ) ? 1? , 4 ? 4 ? ? ?
(3)在(2)的结论下,求 BC.

(0, ) 解: (1)∵ ? ? ∴? ? 3

?

?

? 3 ? ?? ? ? 0, ? ∴ cos(? ? ) ? 6 5 6 ? 2?

.

∴ sin ? ? sin ?(? ?

? ?

?

?? ? ? ? ? 4 3 ?3 ) ? ? ? sin(? ? ) cos ? cos(? ? )sin ? 6 6? 6 6 6 6 10
?

tan( ? ? ) ? 1 1+sin2? ? cos 2? 4 (2)由条件可化为 . ? 1+sin2? ? cos 2? 1 ? tan( ? ? ? ) 4

1+2sin? cos ? ? (1 ? 2sin 2 ? ) 2sin ? (cos ? ? sin ? ) 左边 = ? ? tan ? . 1+2sin? cos? ? (2cos 2 ? ? 1) 2cos ? (cos ? ? sin ? )
右边 = tan ?( ? ?

? ?

?

? ?? (0, ) ,故 ? =? . ) ? ? = tan ? . ∴ tan ? ? tan ? 又 ?、? ? 4 4 4?

AD AC (3)由(2)得 ? =? , = ?△ACD∽△ABC?∠ABC=∠ACD=∠BCE. AC AB

∴ CE=BE=12.AE=AB-BE=16. AC2+AE2-CE2 142+162-122 142+28· 4 11 ∴ cosA= = = = .. 2AC· AE 2· 14· 16 2· 14· 16 16 11 ∴ BC2=AC2+AB2-2AC· ABcosA=142+282-2· 14· 28· =72· 9?BC=21. 16 (苏锡常镇四市高三二模)在△ABC 中,设角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,满足 A = B ? 30° . (1)若 c = 1, b ? sin B ,求 B.

1 (2)若 a2 ? c2 ? ac ? b2 ,求 sin A 的值. 2
(2010 年江苏高考变式)在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边长分别是 a , b, c ,若 a 2 ? b2 ? 2014c 2 ,则

tan C tan C ? ? tan A tan B



2 2013

如图, A, B 为相距 50 海里的两个小岛上的观测站, B 位于

N
30?

A 站北偏东 30? 方向.某船位于 A 站正东方向 40 海里的点 M 处,并正沿一定的方向匀速航行,3 小时 20 分钟后,在 B 站测得该船位于北偏西 30? 且与 B 站相距 30 海里的 N 处,
求该船的航行速度. 【解】连 AN ,在△ ABN 中, BN ? 30 , AB ? 40 , ?NBA ? 120? . 由余弦定理 AN ? 30 ? 50 ? 2 ? 30 ? 50 ? cos120 ? 4900 ,
2 2 2 ?

B

30?

所以 AN ? 70 .

…………………………… 4 分

A
(第 19 题)

M

3 3 AN BN 由正弦定理 ,得 sin ?BAN ? . ? 14 sin ?ABN sin ?BAN 13 所以 cos ?BAN ? . 14

…………………………… 6 分

所以 cos ?NAM ? cos(?NAB ? 60? )

? cos ?NAB cos60? ? sin ?NAB sin 60? ?

1 .… 10 分 7

在△ AMN 中, MN 2 ? 402 ? 702 ? 2 ? 40 ? 70 ? cos ?MAN ? 5700 , 所以 MN ? 10 57 . 设该船的航行速度为 v ,则 v ?
10 57 ? 3 57 . 10 3

…………………………… 13 分 …………………………… 15 分

答:该船的航行速度为 3 57 海里/小时.

…………………………… 16 分

π π (2014 南京三模)将函数 f(x)=sin(3x+ )的图象向右平移 个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则函数 4 3 π 2π y=g(x)在[ , ]上的最小值为 3 3 . - 2 2

tanB 2c (2014 南京三模)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 +1= . tanA a π 1 (1)求 B; (2)若 cos(C+ )= ,求 sinA 的值. 6 3 tanB 2c sinBcosA 2sinC 解:(1)由 +1= 及正弦定理,得 +1= ,…………………2 分 tanA a cosBsinA sinA sinBcosA+cosBsinA 2sinC sin(A+B) 2sinC sinC 2sinC 所以 = ,即 = ,则 = . cosBsinA sinA cosBsinA sinA cosBsinA sinA 1 因为在△ABC 中,sinA≠0,sinC≠0,所以 cosB= . 2 π 因为 B∈(0,π),所以 B= . 3 2π π π 5π (2)因为 0<C< ,所以 <C+ < . 3 6 6 6 π 1 π 2 2 因为 cos(C+ )= ,所以 sin(C+ )= . 6 3 6 3 π π π 所以 sinA=sin(B+C)=sin(C+ )=sin[(C+ )+ ] 3 6 6 π π π π 2 6+1 =sin(C+ )cos +cos(C+ )sin = . 6 6 6 6 6 ………10 分 ………………12 分 ……14 分 ………5 分 ………………7 分

某地一天 6 时至 20 时的温度变化近似满足函数 y ? 10 sin(
?

?
8

x?

3? ) ? 20, x ? ?6,20 ?,其中 x (时)表示 4

? 时间, y ( C ) 表示温度,设温度不低于 20 C 时某人可以进行室外活动,则此人在 6 时至 20 时中,可以

进行室外活动的时间约为________小时. 8

已知 a, b, c 是 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边,其中 c ? b ,若 a ? 4 , cos A ? ? 点,且 AD ? BC ? 0 , AB ? AD ? (1) AD ; (2) b, c . 15. (本小题满分 14 分)
??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 如图,在△ ABC 中,| AB ? AC |=3,| BC ? BA |=5,| CA ? CB |=7.

1 , D 为 BC 边上一 4

135 ,求: 64

(1)求 C 的大小; (2)设 D 为 AB 的中点,求 CD 的长. A D

C B

(第 15 题图)

解:(1)依题意 BC=3,CA=5,AB=7.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1分 由余弦定理,得 cos C ?

1 CB2 ? CA2 ? AB2 =? . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分 2 2 ? CB ? CA

因 0<C<π,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分 故 C=

2? .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 3 13 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 11 分 14

(2)由余弦定理,得 cos A ? 在△ ADC 中,AD= 于是 CD=

7 19 ,CD2=AC2+AD2-2AC×AD×cosA= , 2 4

19 .· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 2 ??? ? 2 19 ??? ? 1 ??? ? ??? ? 第(2)另解:因 CD ? (CA ? CB) ,故 CD = . 4 2

第(2)问,可改为求∠C 的平分线 CD 的长.这时可用等面积法,即

1 ? 1 ? 1 ?? . ? AC ? CD ? sin ? ? BC ? CD ? sin ? ? AC ? BC ? sin 2 3 2 3 2 3
角 ? 终 边 上 的 点 P 与 A(a, b)(ab ? 0) 关 于 x 轴 对 称 , 角 ? 终 边 上 的 点 Q 与 A 关 于 y ? x 对 称 , 则

sin ? tan ? 1 ? ? 的值为____________. cos ? tan ? sin ? cos ?
已知

1 ? sin ? 1 ? sin ? ? ? ?2 tan ? ,试确定等式成立的角 ? 的集合. 1 ? sin ? 1 ? sin ?
2

已知 sin ? ,cos ? 是关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 0(a ? R) 的两个根.
3 (1) 求 cos (

?

? ? ) ? sin 3 ( ? ? ) 的值; 2 2

?

(2) 求 tan(? ? ? ) ?

1 的值. tan ?

已知定义在区间 [ ? ? ,

? 2 ? 2 ? ] 上的函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? ? 对称,当 x ? [ ? , ? ] 时,函数 6 3 6 3
?
? ? ? ) ,其图象如图所示. 2 2
2 的解. 2 y
1
?

f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ( A ? 0 , ? ? 0 , ? 2 3

?

(1)求函数 y ? f ( x) 在 [ ? ? , ? ] 的表达式;(2)求方程 f ( x ) ?


x??

?

?
6

o

? 6

2? 3

?

x

设 a=?sin2

? ?

π+2x ? b. ,cosx+sinx?,b=(4sinx,cosx-sinx),f(x)=a· 4 ?

(1)求函数 f(x)的解析式; π 2π - , ?上是增函数,求 ω 的取值范围; (2)已知常数 ω>0,若 y=f(ωx)在区间? ? 2 3? 2 ? ? π ? (3)设集合 A=?x? ?6≤x≤3π ,B={x||f(x)-m|<2},若 A ? B,求实数 m 的取值范围.
? ?

4 1. 已知 3sin2α+2sin2β?2sinα=0,则 y=sin2α+sin2β 的最大值为________ 9 2. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对边分别为 a,b,c,且 1 ? n ? cos B, 2cos2 C ,试求|m ? n|的最小值. 2 解: (Ⅰ)由正弦定理得, 1 ? 即
tan A 2c sin A cos B 2sin C , ? ?1? ? tan B b sin B cos A sin B tan A 2 c . (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)若 m ? (0, ?1) , ? tan B b

?

?

π sin B cos A ? sin A cos B 2sin C sin( A ? B) 2sin C 1 ,∴ ,∴ cos A ? .∵ 0 ? A ? π ,∴ A ? . ? ? 3 sin B cos A sin B sin B cos A sin B 2 C 2π 1 π ? 1) ? (cos B,cos C) ,? |m ? n| 2 ? cos2 B ? cos2 C ? cos2 B ? cos2 ( ? B) ? 1 ? sin(2B ? ) . 2 3 2 6

(Ⅱ)m ? n ? (cos B,2cos2 ∵A?

π 2π 2π π π 7π ,∴ B ? C ? ,∴ B ? (0, ) .从而 ? ? 2B ? ? . 3 3 3 6 6 6

2 π 1 π 2 ∴当 sin(2B ? ) =1,即 B ? 时,|m ? n| 取得最小值 .所以,|m ? n| min ? . 2 3 2 6

如图, 在矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 1, 将矩形 ABCD 绕点 B 按顺时针方向旋转 60° 后得到矩形 A?BC ?D ? , 则点 D' 到直线 AB 的距离是 (课本中的问题) .

D? A?
DB A
(第 12 题)
B

C

C?

B B


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