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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第四章 数系的扩充 数的概念的扩展典例导航课件 北师大版选修1-2


? 下列命题中,正确命题的个数是( ) ? ①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是 x=y=1; ? ②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i; ? ③若x2+y2=0,则x=y=0. ? A. 0 B. 1 ? C. 2 D. 3

由题目可获取以下主要信息: ①题中给出了三个命题; ②判断正确命题的个数. 解答本题只需根据复数的有关概念判断即可.

?

[解题过程] 序号 结论 理由

由于x,y∈C,所以x+yi不一定 假命 ① 是复数的代数形式,不符合复数 题 相等的充要条件 假命 ② 由于两个虚数不能比较大小 题 假命 A ? ③ 答案: 当x=1,y=i时x2+y2=0 题

? 1.已知下列命题: ? ①复数a+bi不是实数; ? ②两个复数不能比较大小; ? ③若 (x2 - 4) + (x2 + 3x + 2)i 是纯虚数,则实 数x=±2; ? ④若复数z=a+bi,则当且仅当b≠0时,z为 虚数; ? ⑤若a+bi=c+di,则a=c且b=d. ? 其中真命题的个数是( ) ? A. 0个 B. 1个 C. 3个

?

解析: 序 号 ① ②

结论
假命 题 假命 题

理由
因为当a∈R且b=0时,a+bi是 2 实数 ? ?x -4=0 因为由纯虚数的条件? 2 ? ?x +3x+2≠0 因为两个复数是实数时,可以比 较大小

假命 ③ 题 得x=2或x=-2;当x=-2时, ? 答案: A 复数为实数

? 当实数 m 为何值时,复数 z = 2m2 - 3m +1+(m2-5m+4)i. ? (1)为实数;(2)为虚数;(3)为纯虚数;(4) 为零.

? [解题过程] (1)要使z为实数,须有m2-5m +4=0, ? ∴m=1或m=4. ? 即当m=1或m=4时,z为实数; ? (2) 要使 z 为虚数,须有 m2 - 5m + 4≠0 ,即 m≠1且m≠4. ? ∴当m≠1且m≠4时,z为虚数.

(3)要使 z

2 ? m ? -5m+4≠0 为纯虚数,须有? 2 ? ?2m -3m+1=0



m≠1且m≠4 ? ? ∴? . 1 m= 或 m= 1 ? 2 ? 1 1 ∴m= ,即当 m= 时,z 为纯虚数. 2 2

(4)要使 z

2 ? ?2m -3m+1=0 为零,须有? 2 ? ?m -5m+4=0



1 ? ?m = 或 m = 1 2 ∴? ,∴m=1. ? ?m=1或m=4 即当 m=1 时,z 为零.

m2-2m-15 m2-m-6 2.当 m 为何实数时,复数 z= + i满 m+ 2 m+ 3 足下列条件? (1)z 是实数;(2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数.
解析: (1)当 z 为实数时,∵m 是实数,

2 m ? ? ? -m-6=0, ?m=3或m=-2, 即? ? m+ 3 ? ?m≠-2, ∴? 2 ?m -2m-15 有意义,∴m=3,即当 m=3 时,z 为实数. ? m+ 2 ?

(2)当 z 为虚数时,∵m 是实数,
2 m ? ? -m-6≠0 ? m+ 3 ∴? 2 ?m -2m-15 有意义, ? m + 2 ?

∴m≠-3 且 m≠-2 且 m≠3, 即当 m∈(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,3)∪(3,+∞) 时,z 为虚数.

(3)当 z 为纯虚数时,∵m 是实数,
2 m ? ? -2m-15=0, m+ 2 ? ∴? 2 ?m -m-6 ≠ 0, ? ? m+ 3

? ?m=5或m=-3, 即? ? ?m≠3且m≠-2且m≠-3,

∴m=5,即当 m=5 时,z 为纯虚数.

? 已知复数z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2 =2a+(a2+a)i,其中a∈R,若z1>z2,求a的 值.

[解题过程]

∵z1>z2,

∴z1,z2 都是实数且 z1>z2. ?2a2+3a=0 ① ? 2 ∴?a +a=0 ② ?-4a+1>2a ③ ?



3 由①得 a=0 或 a=- , 2

由②得a=0或a=-1, 由③得6a-1<0, 由①②得a=0代入③成立. 因此a的值为0.

? 3.若本例改为“已知复数z=-4a+1+(2a2 +3a)i且z>0”,求a的值.
解析: ∵z=-4a+1+(2a2+3a)i,且 z>0. ① 3 ,由①得 a=0 或 a=- . 2 ②
2 ? ?2a +3a=0 ∴? ? ?-4a+1>0

3 当 a=0 时②成立;当 a=- 时②成立. 2 3 因此 a 的值为 0 或- . 2


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