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【预-讲-练-结教学法】人教版高中数学必修四 2.3.2平面向量正交分解及坐标表示(结)

人教版必修四 2. 3.2 平面向量正交分解及坐标表示(练)
1.设平面向量 a=(3,5),b=(-2,1),则 a-2b=( A.(7,3) C.(1,7) [答案] A [解析] a-2b=(3,5)-(-4,2)=(7,3),故选 A. → 2.已知点 A(-1,-5)和向量 a=(2,3),若AB=3a,则点 B 的坐标为( A.(6,9) C.(7,14) [答案] B → → [解析] OA=(-1,-5).AB=3a=(6,9), → → → 故OB=OA+AB=(5,4), 故点 B 坐标为(5,4). → → → 3.原点 O 在正六边形 ABCDEF 的中心,OA=(-1,- 3),OB=(1,- 3),则OC等于 ( ) A.(2,0) C.(0,-2 3) [答案] A [解析] ∵正六边形中,OABC 为平行四边形, → → → ∴OB=OA+OC, → → → ∴OC=OB-OA=(2,0). 4.已知 P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R},Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个向量集 合,则 P∩Q=( A.{(1,1)} C.{(1,0)} [答案] A [解析] 根据题意知,a=(1,0)+m(0,1)=(1,m),b=(1,1)+n(-1,1)=(1-n,1+n),
?1=1-n ?n=0 ? ? 令 a=b 得,? ,解得? ,∴a=(1,1)=b. ? ? ?m=1+n ?m=1 -1-

)

B.(7,7) D.(1,3)

)

B.(5,4) D.(9,24)

B.(-2,0) D.(0, 3)

) B.{(-1,1)} D.{(0,1)}

∴P∩Q={(1,1)}. → → 5.已知四边形 ABCD 的三个顶点 A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且BC=2AD,则顶点 D 的坐标为( 7? A.? ?2,2? C.(3,2) [答案] A → [解析] BC=(3,1)-(-1,-2)=(4,3), → 2AD=2(x,y-2)=(2x,2y-4) → → ∵BC=2AD, x=2 ? ?4=2x ? ? ∴? ,解得? 7 ? ?3=2y-4 ? ?y=2 ) 1? B.? ?2,-2? D.(1,3)

,故选 A.

→ → → 1→ → 6.在△ABC 中,已知 D 是 AB 边上一点,若AD=2DB,CD= CA+λCB,则 λ 等于( 3 2 A. 3 1 C.- 3 [答案] A → → [解析] ∵AD=2DB, → → → → ∴CD-CA=2(CB-CD), → 1→ 2→ ∴CD= CA+ CB. 3 3 2 → 1→ → 又∵CD= CA+λCB,∴λ= . 3 3 1 B. 3 2 D.- 3

)

→ → → 7.已知 O、A、B 是平面上的三个点,直线 AB 上有一点 C,满足 2AC+CB=0,则OC= ( ) → → A.2OA-OB 2→ 1→ C. OA- OB 3 3 [答案] A → → [解析] ∵2AC+CB=0, → → → → ∴2(OC-OA)+(OB-OC)=0,
-2-

→ → B.-OA+2OB 1→ 2→ D.- OA+ OB 3 3

→ → → → → → ∴OC+OB-2OA=0,∴OC=2OA-OB. → → 8.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点 A(3,1),B(-1,3),若点 C 满足OC=αOA → +βOB,其中 α、β∈R 且 α+β=1,则点 C 的轨迹方程为( A.(x-1)2+(y-2)2=5 B.3x+2y-11=0 C.2x-y=0 D.x+2y-5=0 [答案] D [分析] 求轨迹方程的问题求哪个点的轨迹设哪个点的坐标,故设 C(x,y),据向量的运 算法则及向量相等的关系,列出关于 α、β、x、y 的关系式,消去 α、β 即得. → → → → → → [解析] 解法 1: 设 C(x, y), 则OC=(x, y), OA=(3,1), OB=(-1, 3). 由OC=αOA+βOB 得 (x,y)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β). x=3α-β, ? ? 于是?y=α+3β, (2) ? ?α+β=1. (3) (1) )

? ?x=4α-1 由(3)得 β=1-α 代入(1)(2)消去 β 得,? . ?y=3-2α ?

再消去 α 得 x+2y=5, 即 x+2y-5=0.∴选 D. → → → 解法 2:由平面向量共线定理,当OC=αOA+βOB,α+β=1 时,A、B、C 三点共线. 因此,点 C 的轨迹为直线 AB, y-1 x-3 由两点式直线方程得 = , 3-1 -1-3 即 x+2y-5=0.∴选 D. 9.已知平面向量 a=(1,-1),b=(-1,2),c=(3,-5),则用 a,b 表示向量 c 为( A.2a-b C.a-2b [答案] C [解析] 设 c=xa+yb,∴(3,-5)=(x-y,-x+2y),
?x-y=3 ?x=1 ? ? ∴? ,解之得? , ?-x+2y=-5 ?y=-2 ? ?

)

B.-a+2b D.a+2b

∴c=a-2b,故选 C.
-3-

10.设向量 a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量 4a,3b-2a,c 的有向线段首尾相接能 构成三角形,则向量 c 为( A.(1,-1) C.(-4,6) [答案] D [解析] 设 c=(x,y),∵a=(1,-3),b=(-2,4),∴4a=(4,-12),3b-2a=(-8,18). 又由表示向量 4a,3b-2a,c 的有向线段首尾相接能构成三角形,则有 4a+(3b-2a)+c= 0, 即(4,-12)+(-8,18)+(x,y)=(0,0), ∴x=4,y=-6,∴c=(4,-6). 二、填空题 → → → 11.已知AB=(2,-1),AC=(-4,1),则BC的坐标为________. [答案] (-6,2) → → → [解析] BC=AC-AB=(-6,2). 12.在坐标平面内,已知 A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面的结论: ①直线 OC 与直线 BA 平行; → → → ②AB+BC=CA; → → → ③OA+OC=OB; → → → ④AC=OB-2OA. 其中所有正确命题的序号为________. [答案] ①③④ → → [解析] ①∵OC=(-2,1),BA=(2,-1), → → ∴OC=-(2,-1)=-BA, 又 OC,BA 不共线,∴OC∥BA,∴①正确; → → → → ②∵AB+BC=AC≠CA,∴②错误; → → → ③∵OA+OC=(0,2)=OB,∴③正确; → → → ④∵AC=(-4,0),OB-2OA=(0,2)-2(2,1) =(-4,0),∴④正确. → → 13.已知点 A(7,1),B(1,4),若直线 y=ax 与线段 AB 交于点 C,且AC=2CB,则实数 a= ________. [答案] 1
-4-

)

B.(-1,1) D.(4,-6)

→ → [解析] 设 C(x0,ax0),则AC=(x0-7,ax0-1),CB=(1-x0,4-ax0),
?x0-7=2(1-x0) ?x0=3 ? ? → → ∵AC=2CB,∴? ,解之得? . ? ? ?ax0-1=2(4-ax0) ?a=1

→ → 14. 已知 G 是△ABC 的重心, 直线 EF 过点 G 且与边 AB、 AC 分别交于点 E、 F, AE=αAB, 1 1 → → AF=βAC,则 + 的值为________. α β [答案] 3 → 2→ 1 → → [解析] 连结 AG 并延长交 BC 于 D,∵G 是△ABC 的重心,∴AG= AD= (AB+AC), 3 3 → → 设EG=λGF, → → → → ∴AG-AE=λ(AF-AG), 1 → λ → → ∴AG= AE+ AF, 1+λ 1+λ 1→ 1 → α → λβ → ∴ AB+ AC= AB+ AC, 3 3 1+λ 1+λ → → ∵AB与AC不共线,

?1+λ=3 ∴? λβ 1 ?1+λ=3
三、解答题

α

1

?α=1+λ ,∴? 1 3λ ?β=1+λ

1

3

1 1 ,∴ + =3. α β

15.已知△ABC 中,A(7,8),B(3,5),C(4,3),M、N 是 AB、AC 的中点,D 是 BC 的中点, → MN 与 AD 交于点 F,求DF. [解析] 因为 A(7,8),B(3,5)C(4,3) → 所以AB=(-4,-3),AC=(-3,-5). → 1 → → 又因为 D 是 BC 的中点,有AD= (AB+AC)=(-3.5,-4),而 M、N 分别为 AB、AC 的 2 中点, 所以 F 为 AD 的中点, 1→ → 1→ 故有DF= DA=- AD=(1.75,2). 2 2 → 1 → → [点评] 注意向量表示的中点公式, M 是 A、 B 的中点, O 是任一点, 则OM= (OA+OB). 2 → 1→ → 1→ 16.如图所示,在?ABCD 中,已知AE= BC,AF= AC. 3 4
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求证:B、F、E 三点共线. 1 → → → → → [证明] 设BA=a,BC=b.则BE=BA+AE=a+ b. 3 → → 1→ 1 ∵AC=b-a,∴AF= AC= (b-a). 4 4 1 1 1 → → → ∴BF=BA+AF=a+ (b-a)=a+ b- a 4 4 4 1 3 1 3 a+ b?. = a+ b= ? 3 ? 4 4 4? → 3→ ∴BF= BE. 4 → → ∴向量BF与向量BE共线,它们有公共点 B. ∴B、F、E 三点共线. 17.已知圆 C:(x-3)2+(y-3)2=4 及点 A(1,1),M 为圆 C 上的任意一点,点 N 在线段 → → MA 的延长线上,且MA=2AN,求点 N 的轨迹方程. [解析] 设 M(x0,y0),N(x,y), → → 由MA=2AN,得(1-x0,1-y0)=2(x-1,y-1),
? ?x0=-2x+3 所以? ,又∵M(x0,y0)在圆 C 上, ? ?y0=-2y+3

把 x0、y0 代入方程(x-3)2+(y-3)2=4, 整理得 x2+y2=1, 所以所求的轨迹方程为 x2+y2=1.

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