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3.1.3导数的几何意义_图文

导数的几何意义

1、平均变化率 一般的,函数 f ( x) 在区间上

[ x1,x 2 ]的平均变化率为
y=f(x)

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1
②割线的斜率
y f(x2)

B f(x2)-f(x1)=△y

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) k? ? ?x x2 ? x1

f(x1)
O

A x2-x1=△x x x1 x2

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 2.导数的概念 一般地,函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变化 率是

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f lim ? lim ?x ?0 ?x ? 0 ?x ?x 我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数,
记为 f ?( x0 ) 或

y?

x ? xo

,即

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f f ?( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

由导数的定义可知,求函数 y ? f ( x) 在 x0 处的 导数的步骤: (1)求函数的增量: ?f ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ;

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f ? (2)求平均变化率: ; ?x ?x ?f lim . (3)取极限,得导数: f ?( x0 ) ? ? x ?0 ?x
注意:这里的增量不是一般意义上的增量,它可正也可负. 自变量的增量Δx的形式是多样的,但不论Δx选择 哪种形式, Δy也必须选择与之相对应的形式.

练习:设f ( x) ? x , 求f '( x), f '(?1), f '(2)
2

解:由导数的定义有 f ( x ? ?x) ? f ( x) ( x ? ?x) 2 ? x 2 f ' ( x)= lim ? lim ?x?0 ?x?0 ?x ?x ?x(2 x ? ?x) ? lim ? 2x ?x?0 ?x

? f ' (?1)=f ' ( x) x??1 ? 2 ? (?1) ? ?2 f ' (2) ? f ' ( x) x?2 ? 2 ? 2 ? 4

导数的几何意义:
y
y=f(x) Q

▲如图:PQ叫做曲线的割线 那么,它们的 横坐标相差( ?x ) 纵坐标相差( ?y ) ?y 请问: 是割线PQ的什么? ?x O 斜率

Δy P
β

Δx

M x

▲当Q点沿曲线靠近P时,割线PQ怎么变化?△x呢?

△y呢?

导数的几何意义:
y
y=f(x)

Q

割 线
T 切线

P

?

o

x 我们发现,当点Q沿着曲线无限接近点P即 Δ x→0时,割线PQ如果有一个极限位置PT.则我 们把直线PT称为曲线在点P处的切线.

设切线的倾斜角为α ,那 么当Δx→0时,割线PQ的斜 率,称为曲线在点P处的切 线的斜率.
'

y

?

P o

y=f(x) 割 Q 线 T 切 线 x

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim 即: k切线 ? f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数.

要注意,曲线在某点处的切线:

1)与该点的位置有关;
2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极 限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在 此点处无切线(注意和y轴关系); 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.

1.在函数 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10 的
/

图像上,(1)用图形来体现导数 h (1) ? ?3.3 ,

h (0.5) ? 1.6 的几何意义.
/
h

O

0 .5

1 .0

t

(2)请描述,比较曲线分别在t 0 , t1 , t 2 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。 在 t 3 , t 4 附近呢?
h

O

t3

t4

t0

t1

t2

t

(2)请描述,比较曲线分别在t 0 , t1 , t 2 附近增(减)以及增(减)快慢的情况。 在

t 3 , t 4 附近呢?

附近:瞬时 增(减): 变化率(正或负) 即:瞬时变化率(导数) =切线的斜率 增(减)快慢: 即:导数 的绝对值的大小 切线的倾斜程度 =切线斜率的绝对值的 (陡峭程度) 大小 画切线(数形结合,以直代曲) 以简单对象刻画复杂的对象

(2) 曲线在 t 0 时,切线平行于x轴,曲线在
h / (t1 ), h / (t 2 ) ? 0 曲线在 t1 , t 2 处切线 l1 , l 2 的斜率 小于 0 大于 l 3 , l 4 h / (t 3 ), h / (t 4 ) ? 0 t3 , t 4

t 0 附近比较平坦,几乎没有升降.

在 t1 , t 2 附近,曲线 下降 ,函数在 t1 , t 2
t3 ,

t4

附近单调 递减
递增

上升

t3 , t 4

如图,切线 l 2 的倾斜程度大于切线 l1 的 l4 倾斜程度, l 3
这说明曲线在 t 2 附近比在 t1附近 下降 t3 得迅速. 上升 t4

2:求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程. f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) 解 : k ? lim y ?x ? 0 Q ?x (1 ? ?x ) 2 ? 1 ? (1 ? 1) ? lim 2 ?x ? 0 ?x y = x +1 2 ?x ? ( ?x ) 2 ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x P 因此,切线方程为y-2=2(x-1), ?x 即y=2x. 1 j ※求曲线在某点处的切线方程
的基本步骤: ①求出P点的坐标; ②利用切线斜率的定义求 出切线的斜率; ③利用点斜式求切线方程.
-1 O
1

?y

M

x

3.如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t) (单位:mg/ml)随时间t(单位:min) 变化的函数图像,根据图像,估计 t=0.2,0.4,0.6,0.8(min)时,血管中 药物浓度的瞬时变化率,把数据用表格 的形式列出。(精确到0.1)

血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度 函数f(t)在此时刻的导数, 从图象上看,它表示 曲线在该点处的切线的斜率. (数形结合,以直代曲)

以简单对象刻画复杂的对象

c(mg/mL) 1.1 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2

t(min) 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1

解:血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化 率,就是药物浓度f(t)在此时刻的导数。

作t=0.5处的切线,它的斜率约为0 所以, f ?(0.5) ? 0 作t=0.8处的切线,它的斜率约为-1.5
所以, f ?(0.8) ? ?1.5 因此在t=0.5和0.8处药物浓度的瞬时 变化率分别为0和-1.5.

t

0.2

0.4

0.6

0.8

药物浓度的 瞬时变化率

0 .4

0

? 0 .7

? 1 .4

抽象概括: 导函数 f / ( x) 的概念:
f ?x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) f ?x0 ? ? lim ?x ?0 ?x f ? x ? ?x ? ? f ( x) / f ? x ? ? lim ?x ?0 ?x
/

/ 是确定的数 f ( x0 ) f ( x) 是
/

x

的函数

函数导函数
由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到,当 时,f’(x0) 是一个确定的数.那么,当x变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为f(x)的导函数.即: ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x) ? y? ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.

函数y ? f ( x)在点x0处的导数f ?( x0 ) 等于函数f ( x)的导(函)数f ?( x)在点x0处的 函数值.

函数导函数
▲ 如何求函数y=f(x)的导数?

(1)求函数的增量?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x);
(2)求函数的增量与自变量的增量的比值 : ?y f ( x ? ?x) ? f ( x) ? ; ?x ?x

?y (3)求极限,得导函数y? ? f ?( x) ? lim . ?x ?0 ?x

函数导函数
例4.已知y ? x,求y?.
解:?y ? x ? ?x ? x ?
?y ? ?x 1 x ? ?x ? x

?x x ? ?x ? x

?y 1 1 ? y? ? lim ? lim ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x

课堂小结:
1、弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函 数”、“导数” 之间的区别与联系。 (1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个 常数,不是变数。 (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f ?( x ) 。 (3)函数f(x)在点x0处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在x=x0处的函数值,即 f ?( x0 ) ? f ?( x) |x? x 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
0

课堂小结:
2.求切线方程的步骤: (1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。

(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).