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2010年普通高等学校招生全国统一考试数学(文)解析版


2010 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(文史类)

本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟。 第 I 卷 1 至 3 页。第Ⅱ卷 4 至 11 页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利! 第I卷 注意事项: 1.答 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考 试用条形码。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试卷上的无效。 3.本卷共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 ?棱柱的体积公式 V=Sh.

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

其中 S 表示棱柱的底面积.

h 表示棱柱的高 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)i 是虚数单位,复数 (A)1+2i 【答案】A 【解析】本题主要考查复数代数形式的基本运算,属于容易题。 进行复数的除法的运算需要份子、分母同时乘以分母的共轭复数,同时将 i 改为-1.
2

3?i = 1? i
(C)-1-2i (D)2-i

(B)2+4i

3 ? i (3 ? i)(1+i ) 2 ? 4i ? ? ? 1 ? 2i 1-i (1-i )(1+i ) 2
【温馨提示】近几年天津卷每年都有一道关于复数基本运算的小题,运算时要细心, 不要失分哦。

? x ? y ? 3, ? (2)设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1, 则目标函数 z=4x+2y 的最大值为 ? y ? 1, ?
(A)12 (B)10 (C)8 (D)2 【答案】B 【解析】本题主要考查目标函数最值的求法,属于容易题,做出可行域,如图

由图可知,当目标函数过直线 y=1 与 x+y=3 的交点(2,1)时 z 取得最大值 10. (3)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为 (A)-1 (B)0 【答案】B (C)1 (D)3

【解析】 本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用,属于容易题。 第一次运行程序时 i=1,s=3;第二次运行程序时,i=2,s=2;第三次运行程 序时,i=3,s=1;第四次运行程序时,i=4,s=0,此时执行 i=i+1 后 i=5,推出 循环输出 s=0. 【温馨提示】 涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决。 (4)函数 f(x)= e ? x ? 2的零点所在的一个区间是
x

(A)(-2,-1) (B) (-1,0) (C) (0,1) (D) (1,2) 【答案】C 【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题。 因为 f(0)=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间(0,1)上,选 C 【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解。 (5)下列命题中,真命题是 (A) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)是偶函数
2

(B) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)是奇函数
2

(C) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)都是偶函数
2

(D) ?m ? R,使函数f(x)=x ? mx(x ? R)都是奇函数
2

【答案】A 【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念,与存在量词、全称量词的含义,属于容易题。当 2 m=0 时,函数 f(x)=x 是偶函数,所以选 A. 【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。

( , (6)设 a ? log5 4,b ? log5 3) c ? log 4 ,则
2 5

(A)a<c<b

(B) )b<c<a

(C) )a<b<c

(D) )b<a<c

【答案】D 【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法,属于容易题。 因为 0 ? log5 4 ? 1, 所以b<a<c 【温馨提示】比较对数值的大小时,通常利用 0,1 进行,本题也可以利用对数函数的图像 进行比较。 (7)设集合 A ? ?x||x-a|<1,x ? R? , B ? ? x |1 ? x ? 5, x ? R? .若A ? B ? ?, 则实数 a 的取值 范围是 (A) ?a | 0 ? a ? 6? (C) ?a | a ? 0, 或a ? 6? (B) ?a | a ? 2, 或a ? 4? (D) ?a | 2 ? a ? 4?

【答案】C 【解析】本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算,属于中等题。 由|x-a|<1 得-1<x-a<1,即 a-1<x<a+1.如图 由图可知

a+1≦1 或 a-1≧5,所以 a≦0 或 a≧6. 【温馨提示】不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行,解题时注意验证区间端点是 否符合题意。 (8) 右图是函数y ? A sin ? x +?)(x ? R)在区间 ?( 这个函数的图象, 只要将 y ? sin x(x ? R) 的图象上 所有的点

? ? 5? ? 为了得到 , 上的图象, ? 6 6 ? ?

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标 3 1 缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 ? (B) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标 3
(A)向左平移 伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 6 ? (D) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6
(C) 向左平移 【答案】A 【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识,属于中等题。

? , 6 ? ? ? 0)可得 ? 的一个值为 ,故图像中函数的一个表达式是 y=sin(2x+ ),即 y=sin2(x+ ), 3 3 6
由图像可知函数的周期为 ? ,振幅为 1,所以函数的表达式可以是 y=sin(2x+ ? ).代入(-

所以只需将 y=sinx(x∈R)的图像上所有的点向左平移 坐标缩短到原来的

? 个单位长度,再把所得各点的横 6

【温馨提示】根据图像求函数的表达式时,一般先求周期、振幅,最后求 ? 。三角函数图像 进行平移变换时注意提取 x 的系数,进行周期变换时,需要将 x 的系数变为原来的

1 倍,纵坐标不变。 2

1

??? ? ???? ???? ??? ? ???? (9)如图,在Δ ABC 中, AD ? AB , BC ? 3 BD , AD ? 1 ,则 AC ? AD =
(A) 2 3 (B)

?

3 2

(C)

3 3

(D) 3

【答案】D 【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知 识,属于难题。

???? ???? ???? ???? ???? ???? AC ? AD ?| AC | ? | AD | cos∠DAC ?| AC | ? cos∠DAC ?| AC | sin ∠BAC

??? ? ? BC sin B ? 3
【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影,且均属于中等题或难题,应加强 平面向量的基本运算的训练,尤其是与三角形综合的问题。 (10)设函数 g ( x) ? x ? 2( x ? R) ,
2

x x g( f ( x) ? {g (( x )) ? x ,?x4,g?x ). x ), 则 f ( x) 的值域是 g x ? ? (

(A) ? ?

9 ? 9 ? ? 9 ? , 0 ? ? (1, ??) (B) [0, ??) (C) [? , ??) (D) ? ? , 0 ? ? (2, ??) 4 ? 4 ? ? 4 ?

【答案】D 【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法,属于难题。 依题意知 f ( x) ?

? x 2 ? 2 ? ( x ? 4), x ? x 2 ? 2 ? x 2 ? 2, x ? ?1或x ? 2 ? ? , f ( x) ? 2 2 2 ? x ? 2 ? x, x ? x ? 2 ? x ? 2 ? x , ?1 ? x ? 2 ? ?

2010 年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 数 学(文史类) 第Ⅱ卷
注意事项: 1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2. 用钢笔或圆珠笔直接答在试卷上。 3. 本卷共 12 小题,共 100 分。 题号 得分 二 (17) (18) (19) 三 (20) (21) (22) 总分

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分。把答案填在 题中的横线上。 (11)如图,四边形 ABCD 是圆 O 的内接四边形,延长 AB 和 DC 相交于点 P。若 PB=1,PD=3,则 【答案】

BC 的值为 AD



1 3

【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质,属于容易题。 因为 A,B,C,D 四点共圆,所以 ?DAB ? ?PCB, ?CDA ? ?PBC ,因为 ?P 为公共角,所以 ?PBC∽?PAB,所以

BC PB 1 = = AD PD 3

【温馨提示】 四点共圆时四边形对角互补, 圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重 要内容,也是考查的热点。 (12)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 。 【答案】3 【解析】本题主要考查三视图的基础知识,和主题体积的计算,属于容易题。 由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形,则正视图和俯视图可知该几何体的高为 1,结合 三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱,所以该几何题的体积为

1 (1+2) 2 ? 1=3 ? 2
【温馨提示】正视图和侧视图的高是几何体的高,由俯视图可以确定几何体底面的形状,本 题也可以将几何体看作是底面是长为 3,宽为 2,高为 1 的长方体的一半。

(13) 已知双曲线 方程是 y ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线 a 2 b2

2 3x , 它的一个焦点与抛物线 y ? 16 x 的焦点

相同。则双曲线的方程为 【答案】



x2 y 2 ? ?1 4 12

【解析】本题主要考查了双曲线和抛物线的几何性质及双 曲线的标准方程,属于容易题。 由渐近线方程可知

b ? 3 ① a
② ③

因为抛物线的焦点为(4,0) ,所以 c=4 又c ? a ?b
2 2 2

联立①②③,解得 a ? 4, b ? 12 ,所以双曲线的方程为
2 2

x2 y 2 ? ?1 4 12

【温馨提示】求圆锥曲线的标准方程通常利用待定洗漱法求解,注意双曲线中 c 最大。 (14)已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为 。 【答案】 ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

本题主要考查直线的参数方程,圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识,属于容易题。 令 y=0 得 x=-1,所以直线 x-y+1=0,与 x 轴的交点为(-1.0) 因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即 r ? 的方程为 ( x ? 1) ? y ? 2
2 2

| ?1 ? 0 ? 3 | ? 2 ,所以圆 C 2

【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。

(15)设{an}是等比数列,公比 q ?

2 ,Sn 为{an}的前 n 项和。记 Tn ?


17 Sn ? S2 n , n ? N *. an ?1

设 Tn0 为数列{ Tn }的最大项,则 n0 =

【答案】4 【解析】 本题主要考查了等比数列的前 n 项和公式与通项及平均值不等式的应用, 属于中等 题。

17a1[1 ? ( 2) n ] a1[1 ? ( 2) 2 n ] ? 1 ( 2) 2 n ? 17( 2) n ? 16 1? 2 1? 2 Tn ? ? ? a1 ( 2) n 1? 2 ( 2) n
? 1 16 16 n ≧8,当且仅当 ( 2) =4,即 n=4 时取 ? [( 2) n ? ? 17] 因为 ( 2) n ? n n 1? 2 ( 2) ( 2)

等号,所以当 n0=4 时 Tn 有最大值。 【温馨提示】本题的实质是求 Tn 取得最大值时的 n 值,求解时为便于运算可以对 ( 2) 进 行换元,分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.
n

(16) 设函数 f(x)=x-

1 ,对任意 x ?[1, ??),f(mx)+mf(x)<0 恒成立, 则实数 m 的取值范 x

围是________ 【答案】m<-1 【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,属于难题。 已知 f(x)为增函数且 m≠0 若 m>0,由复合函数的单调性可知 f(mx)和 mf(x)均为增函数,此时不符合题意。

1 m 1 1 1 ? mx ? ? 0 ? 2mx ? (m ? ) ? ? 0 ? 1 ? 2 ? 2 x 2 因为 y ? 2 x 2 mx x m x m 1 2 在 x ?[1, ??) 上的最小值为 2,所以 1+ 2 ? 2 即 m >1,解得 m<-1. m
M<0,时有 mx ? 【温馨提示】 本题是较为典型的恒成立问题, 解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为 最值的方法求解。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分 12 分) 在 ? ABC 中,

AC cos B 。 ? AB cos C

(Ⅰ)证明 B=C: (Ⅱ)若 cos A =-

?? 1 ? ,求 sin ? 4B ? ? 的值。 3? 3 ?

【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角 的正弦与余弦等基础知识,考查基本运算能力.满分 12 分. ( Ⅰ ) 证 明 : 在 △ ABC 中 , 由 正 弦 定 理 及 已 知 得

sinBcosC-cosBsinC=0,即 sin(B-C)=0.因为 ?? ? B ? C ? ? ,从而 B-C=0. 所以 B=C.

s i n B cosB = .于是 s i n C cosC

(Ⅱ)解:由 A+B+C= ? 和(Ⅰ)得 A= ? -2B,故 cos2B=-cos( ? -2B)=-cosA= 又 0<2B< ? ,于是 sin2B= 1 ? cos 2B =
2

1 . 3

2 2 . 3

从而 sin4B=2sin2Bcos2B=

4 2 7 ,cos4B= cos 2 2 B ? sin 2 2 B ? ? . 9 9

所以 sin(4 B ?

?
3

) ? sin 4 B cos

?
3

? cos 4 Bsin

?
3

?

4 2 ?7 3 18

(18) (本小题满分 12 分) 有编号为 A 1 , A 2 ,? A 10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm) ,得到下面数据:

其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品。 (Ⅰ)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (Ⅱ)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ)求这 2 个零件直径相等的概率。本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的 基本事件数及事件发生的概率等基础知识, 考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实 际问题的能力。满分 12 分 【解析】 (Ⅰ)解:由所给数据可知,一等品零件共有 6 个.设“从 10 个零件中,随机抽取 一个为一等品”为事件 A,则 P(A)=

6 3 = . 10 5

(Ⅱ) (i)解:一等品零件的编号为 A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 .从这 6 个一等品零件中随 机抽取 2 个, 所有可能的结果有: A1 , A2 ? , ? A1 , A3 ? , ? A1 , A4 ? , ? A1 , A5 ? , ? A1 , A6 ? , ? A2 , A3 ? , ?

? A2 , A4 ? , ? A2 , A5 ? , ? A2 , A6 ? , ? A3 , A4 ? , ? A3 , A5 ? , ? A3 , A6 ? , ? A4 , A5 ? , ? A4 , A6 ? , ? A5 , A6 ? 共
有 15 种. (ii)解: “从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等” (记为事件 B)的所有可 能结果有: ? A1 , A4 ? , ? A1 , A6 ? , ? A4 , A6 ? , ? A2 , A3 ? , ? A2 , A5 ? , ? A3 , A5 ? ,共有 6 种. 所以 P(B)=

6 2 ? . 15 5

(19) (本小题满分 12 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ADEF 是正方形, FA⊥平面 ABCD,BC∥AD,CD=1,AD= 2 2 ,∠BAD =∠CDA=45°. (Ⅰ)求异面直线 CE 与 AF 所成角的余弦值; (Ⅱ)证明 CD⊥平面 ABF;

(Ⅲ)求二面角 B-EF-A 的正切值。

【解析】本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识,考查空 间想象能力,运算能力和推理论证能力.满分 12 分. (I)解:因为四边形 ADEF 是正方形,所以 FA//ED.故 ?CED 为异面直线 CE 与 AF 所成 的角. 因为 FA ? 平面 ABCD,所以 FA ? CD.故 ED ? CD. 在 Rt△CDE 中,CD=1,ED= 2 2 ,CE= CD ? ED =3,故 cos ?CED =
2 2

ED 2 2 = . 3 CE

所以异面直线 CE 和 AF 所成角的余弦值为

2 2 . 3
? ?

(Ⅱ)证明: 过点 B 作 BG//CD,交 AD 于点 G, ?BGA ? ?CDA ? 45 .由 ?BAD ? 45 , 则 可得 BG ? AB,从而 CD ? AB,又 CD ? FA,FA ? AB=A,所以 CD ? 平面 ABF. (Ⅲ)解:由(Ⅱ)及已知,可得 AG= 2 ,即 G 为 AD 的中点.取 EF 的中点 N,连接 GN, 则 GN ? EF,因为 BC//AD,所以 BC//EF.过点 N 作 NM ? EF,交 BC 于 M,则 ?GNM 为二面角 B-EF-A 的平面角。 连接 GM,可得 AD ? 平面 GNM,故 AD ? GM.从而 BC ? GM.由已知,可得 GM= NG//FA,FA ? GM,得 NG ? GM. 在 Rt△NGM 中,tan ?GNM ? 所以二面角 B-EF-A 的正切值为

2 .由 2

GM 1 ? , NG 4

1 . 4

(20) (本小题满分 12 分)

已知函数 f(x)= ax3 ?

3 2 x ? 1( x ? R) ,其中 a>0. 2

(Ⅰ)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程; (Ⅱ)若在区间 ? ?

? 1 1? , 上,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围. ? 2 2? ?

【解析】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等 基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法.满分 12 分. (Ⅰ)解:当 a=1 时,f(x)= x 3 ?

3 2 x ? 1 ,f(2)=3;f’(x)= 3x 2 ? 3x , f’(2)=6. 2
1 . a

所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2) )处的切线方程为 y-3=6(x-2) ,即 y=6x-9. (Ⅱ)解:f’(x)= 3ax ? 3x ? 3x(ax ? 1) .令 f’(x)=0,解得 x=0 或 x=
2

以下分两种情况讨论: (1) 若 0 ? a ? 2,则

1 1 ? ,当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: a 2
0

X

? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?
+

? 1? ? 0, ? ? 2?
-

f’(x) f(x)

0 极大值

?

?

1 ?5 ? a ? ? f ( ? 2 ) ? 0, ? 8 ? 0, ? ? ? 1 1? 即? 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? ? 2 2? ? f ( 1 ) ? 0, ? 5 ? a ? 0. ? 2 ? 8 ? ?
解不等式组得-5<a<5.因此 0 ? a ? 2 . (2) 若 a>2,则 0 ?

1 1 ? .当 x 变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: a 2
0 0 极大值

X f’(x) f(x)

? 1 ? 0 ? ? ,? ? 2 ?
+

? 1? ? 0, ? ? a?
-

1 a
0 极小值

?1 1? ? ,? ?a 2?
+

?

?

?

?5 ? a ? 1 ?f(- 2 )>0, ? 8 >0, ? ? ? 1 1? 当 x ? ? ? , ? 时,f(x)>0 等价于 ? 即? ? 2 2? ?f( 1 )>0, ?1- 1 >0. ? a ? 2a 2 ? ?
解不等式组得

2 2 ? a ? 5或a ? ? .因此 2<a<5. 2 2

综合(1)和(2) ,可知 a 的取值范围为 0<a<5.

(21) (本小题满分 14 分) 已知椭圆

x2 y 2 3 ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积 ? 2 ? 1(a>b>0)的离心率 e= 2 2 a b

为 4. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A、B,已知点 A 的坐标为(-a,0).

|= (i)若|AB

4 2 ,求直线 l 的倾斜角; 5
???? ??? ?

(0,y0) QB=4 .求 y 0 的值. (ii)若点 Q 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ?
【解析】 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、 直线的方程、 两点间的距离公式、 直线的倾斜角、 平面向量等基础知识, 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合 的思想,考查综合分析与运算能力.满分 14 分. (Ⅰ)解:由 e=

c 3 2 2 2 2 2 ? ,得 3a ? 4c .再由 c ? a ? b ,解得 a=2b. a 2

由题意可知

1 ? 2a ? 2b ? 4 ,即 ab=2. 2

解方程组 ?

? a ? 2b, 得 a=2,b=1. ? ab ? 2,

x2 ? y 2 ? 1. 所以椭圆的方程为 4
(Ⅱ)(i)解:由(Ⅰ)可知点 A 的坐标是(-2,0).设点 B 的坐标为 ( x1 , y1 ) ,直线 l 的斜率为 k.则直线 l 的方程为 y=k(x+2).

? y ? k ( x ? 2), ? 于是 A、B 两点的坐标满足方程组 ? x 2 消去 y 并整理,得 2 ? ? y ? 1. ?4
(1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0 .
由 ?2 x1 ?

16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 4k ,得 x1 ? .从而 y1 ? . 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2

? 2 ? 8k 2 ? ? 4k ? 4 1? k 2 所以 | AB |? ? ?2 ? . ? ?? ? ? 1 ? 4k 2 ? ? 1 ? 4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ?
2

2

由 | AB |?

4 1? k 2 4 2 4 2 ? ,得 . 1 ? 4k 2 5 5
4 2
2 2

整理得 32k ? 9k ? 23 ? 0 ,即 (k ? 1)(32k ? 23) ? 0 ,解得 k= ?1 . 所以直线 l 的倾斜角为

? 3? 或 . 4 4
? 8k 2 2k ? , . 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4k ?

(ii)解:设线段 AB 的中点为 M,由(i)得到 M 的坐标为 ? ?

以下分两种情况: (1)当 k=0 时,点 B 的坐标是(2,0) ,线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是

??? ? ??? ? ??? ??? ? ? QA ? ? ?2, ? y0 ? , QB ? ? 2, ? y0 ? . 由 QA ? QB ? 4 ,得 y0 ? ?2 2 。
(2)当 k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 y ?

2k 1? 8k 2 ? ? ? ?x? ?。 1 ? 4k 2 k? 1 ? 4k 2 ?

6k 。 1 ? 4k 2 ??? ? ??? ? 由 QA ? ? ?2, ? y0 ? , QB ? ? x1 , y1 ? y0 ? ,
令 x ? 0 ,解得 y0 ? ?

??? ??? ? ? ?2 ? 2 ? 8k 2 ? 6k ? 4k 6k ? QA ? QB ? ?2 x1 ? y0 ? y1 ? y0 ? ? ? ? ? 2 2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k ? 1 ? 4k 1 ? 4k 2 ?

?

4 ?16k 4 ? 15k 2 ? 1?

?1 ? 4k 2 ?
2

2

? 4,

整理得 7k ? 2 。故 k ? ?

14 2 14 。所以 y0 ? ? 。 7 5 2 14 5

综上, y0 ? ?2 2 或 y0 ? ?

(22) (本小题满分 14 分) 在数列 ?a n ? 中, a 1 =0,且对任意 k ? N , a 2k ?1 , a 2k , a 2k+1 成等差数列,其公差为 2k.
*

(Ⅰ)证明 a 4 , a 5 , a 6 成等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式;

22 32 n2 3 ? ? ? ?? ,证明 ? 2n ? Tn ? (n ? 2) ? (Ⅲ)记 Tn ? . 2 a2 a3 an 2
【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前 n 项和公式、等比数列的定义、数列求和等基 础知识, 考查运算能力、 推理论证能力、 综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法, 满分 14 分。

a a a a (I) 证明: 由题设可知, 2 ? a1 ? 2 ? 2 , 3 ? a2 ? 2 ? 4 , 4 ? a3 ? 4 ? 8 , 5 ? a4 ? 4 ? 12 , a6 ? a5 ? 6 ? 18 。
从而

a6 a5 3 ? ? ,所以 a4 , a5 , a6 成等比数列。 a5 a4 2

(II)解:由题设可得 a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? 4k , k ? N * 所以 a2 k ?1 ? a1 ? ? a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? ? ? a2 k ?1 ? a2 k ?3 ? ? ... ? a3 ? a1 ?

? 4k ? 4 ? k ? 1? ? ... ? 4 ?1 ? 2k ? k ? 1? , k ? N * .
2 由 a1 ? 0 ,得 a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1? ,从而 a2 k ? a2 k ?1 ? 2k ? 2k .

? n2 ? 1 n ? 2 , n为奇数 n 2 ? ?1? ? 1 ? ? 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? 2 或写为 an ? , n ? N *。 2 4 n ? , n为偶数 ?2 ?
2 (III)证明:由(II)可知 a2 k ?1 ? 2k ? k ? 1? , a2 k ? 2k ,

以下分两种情况进行讨论: (1) 当 n 为偶数时,设 n=2m ? m ? N *? 若 m ? 1,则 2n ? 若 m ? 2 ,则
m ? 2k ? ? m?1 ? 2k ? 1? ? m 4k 2 ? m ?1 4k 2 ? 4k ? 1 k2 ?? ? a k ?1 a ? a ? 2k 2 ? 2k ? k ? 1? k ?2 k k ?1 k ?1 k ?1 2k 2 k ?1 n 2 2

k2 ? a ? 2, k ?2 k
n

m ?1 ? m ?1 ? 4k 2 ? 4k 1 ? 1?1 1 ?? ? 2m ? ? ? ? ? 2m ? ? ? 2 ? ? ? ? ? 2k ? k ? 1? ? 2 ? k k ? 1 ?? k ?1 ? 2 k ? k ? 1? k ?1 ? ?

1 1 3 1 ? 2m ? 2? m ? 1? ? ? ? ? n2 ? . ? ? ? 1 ? 2? m? 2 n
所以 2n ? ?
n k2 3 1 3 k2 ? ? ,从而 ? 2n ? ? ? 2, n ? 4, 6,8,.... 2 n 2 k ? 2 ak k ? 2 ak n

(2) 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ? 1? m ? N *? 。

? 2m ? 1? k 2 2 m k 2 ? 2m ? 1? 3 1 ? 4m ? ? ? ?a ??a ? a 2 2m 2m ? m ? 1? k ?2 k k ?2 k 2 m ?1
n 2 2

? 4m ?
n

1 1 3 1 ? ? 2n ? ? 2 2 ? m ? 1? 2 n ?1

所以 2n ?

n k2 3 1 3 k2 ? ? ? 2, n ? 3,5, 7,.... ,从而 ? 2n ? ? ? a 2 n ?1 2 k ?2 k k ? 2 ak

综合(1)和(2)可知,对任意 n ? 2, n ? N *, 有

3 ? 2n ? Tn ? 2. 2


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