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雅思高中2015届补习班第 三 次考试理科数学试题

2015 届雅思高中补习班第三次考试理科数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知全集 U=R,设函数 y=lg(x-1)的定义域为集合 A,函数 y= x 2 ? 2 x ? 5 的值域为集合 B,则 A∩(C U B)= ( A.[1,2] 2.命题“若α = A.若α ≠ ) B.[1,2) C.(1,2] D.(1,2)

? ,则 tanα ≠1 4 ? C. 若 tanα ≠1,则α ≠ 4
3.已知 sinθ=

? ,则 tanα =1”的逆否命题是 4

? ,则 tanα ≠1 4 ? D. 若 tanα ≠1,则α = 4
B. 若α =

4 ,且 sinθ-cosθ>1,则 sin2θ= ( ) 5 24 12 4 A. B.C.25 25 5

D. )

24 25

4. 已知等差数列 {a n } 满足 a1 ? a2 ? a3 ???? ? a101 ? 0, 则有( A. a1 ? a101 ? 0 B. a 2 ? a100 ? 0 C. a 3 ? a 99 ? 0

D. a 51 ? 51 )

5.下列函数中在区间 (1,?? ) 上为增函数,且其图像为轴对称图形的是(

(A) y ? ? x 2 ? 2x ? 1 (B) y ? cos x (C) y ? lg | x ? 1 | (D) y ? x 3 ? 3x 2 ? 3x 6.曲线 y= sin x, y= cos x和直线x= 0, x=

?
2

所围成的平面区域的面积为( )

A.? 2 ? sin x ? cos x ? dx
0

?

B.2 ? 4 ? sin x ? cos x ? dx
0

?

C.? 2 ? cos x ? sin x ? dx
0

?

D.2 ? 4 ? cos x ? sin x ? dx
0

?

7. 函数 y ? 2 sin(

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ]) 为增函数的区间是

A . [ 0,

? ] 3

? 7? B. [ , ] 12 12

? 5? C.[ , ] 3 6

D.[

5? , ?] 6

8.设函数 f ( x) ? ?

?ln x, x ? 0 D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 ?1,0 ? 处的切线 , ??2 x ? 1, x ? 0

所围成的封闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为 A. ?

1 2

B.

1 2

C.1

D.2

9.如图在矩形 ABCD 中,AB ? 3 ,BC ? 4 ,点 E 为 BC 的中点,点 F 在 CD 上,若 AB ? AF ? 3 ,则 AE ? BF 的值是( A. ?5 ? 3 B. 5 ? 3 C. 4 ? 3

D

F

C

uu u r uuu r

) D. 5 ? 3
A

E

10. 已知函数 g (x)=ax3 +bx2 +cx+d (a≠0)的导函数为 f(x), a +b+c =0 ,

B

且 f (0) ? f (1)>0 ,设 x1 ,x2 是方程 f(x)=0 的两根,则| x1 -x2 |的取值范围是( A. [



3 2 , ) 3 3

B. [ ,

1 4 ) 3 9

C. [ ,

1 3 ) 3 3

D. [ , ) 围

1 1 9 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在题中横线上。 11.已知复数 z 满足

1+z =i ,则复数 z 的虚部为 1-z

12.如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 13.已知向量 a ? (4 ? x,1) , b ? ( y, x ? 5) , x, y ? (0,?? ) , 且 a ? b ,则 xy 取得最小值时, y = 14. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边长分别为 a , b, c , 若 a 2 ? c 2 ? b ,且 sin A cos C ? 2 cos A sin C ,则 b ? __________ 15. 记 [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数, 例如,[2] ? 2 ,[1.5] ? 1 。 设 a 为正整数, 数列 {xn }

xn ? [
满足 x1 ? a , xn ?1 ? [

a ] xn

2

](n ? N ? ) ,现有下列命题:

①.当 a ? 5 时,数列 {xn } 的前 3 项依次为 5,3,2; ②.对数列 {xn } 都存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 xn ? xk ; ③.当 n ? 1 时, xn ? a ?1 ; ④.对某个正整数 k ,若 xk ?1 ? xk ,则当 n ? k 时,总有 xn ? [ a ] 。 其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号).

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) D 如图,A、B 是海面上位于东西方向相距 5(3 ? 3) 海里 的两个观测点。现位于 A 点北偏东 45° ,B 点北偏西 60° 的 D 点有一艘轮船发出求救信号。位于 B 点南偏西 60° 且与 B 相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救, 其航行速度为 30 海里/小时。求救援船直线到达 D 的 时间和航行方向。
C
45° 60°

A

B
60°

17.(本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ?) (? ? 0,0 ? ? ? 所示,该图像与 y 轴相交于 点 F (0,1) ,与 x 轴相交于点 B 、 C ,点 M 为最高点,且三 角形 MBC 的面积为 ? . (Ⅰ) 求函数 f ( x ) 的解析式, 并求出 f ( x ) 的对称中心; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边, f ( A) ? 1,且 a ? 3 ,求 S?ABC 的最大值.

?
2

) 的部分图像如右下图

y

x

18. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的通项为 an ,前 n 项的和为 Sn ,且有 Sn ? 2 ? 3an . (1)求 an ; (2)求数列 {nan } 的前 n 项和.

19. (本小题满分 13 分) (1) f ( x) ?

ln( x ? 1) ( x ? 0) ,求证:若 m ? n ? 0 ,则 f (m) ? f (n) . x

(2)求 g ( x) ? ln x ? ax2 在[1,2]上的最大最小值。

x ( x ? 0) ,设 f ( x) 在点 (n, f (n))(n ?N*)处 1? x 1 的切线在 y 轴上的截距为 bn ,数列 ?an ? 满足: a1 ? , an ?1 ? f (an )(n ? N*) . 2 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ?

? bn ? ? b ? ? 取最小值,求 ? 的取值范围; ? ? 中,仅当 n ? 5 时, n 2 2 an an ? an an ? 1 2 (3)令函数 g ( x) ? f ( x)(1 ? x) ,数列 ?cn ? 满足: c1 ? , cn?1 ? g (cn )(n ? N*) , 2 1 1 1 求证:对于一切 n ? 2 的正整数,都满足: 1 ? ? ? ??? ? ? 2. 1 ? c1 1 ? c2 1 ? cn
(2)在数列 ?

2 3? x 21. (本小题满分 13 分)设 x ? 3 是函数 f ? x ? ? x ? ax ? b e , ? x ? R ? 的一个极值点。

?

?

(1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ? x ? 的单调区间; (2) 设 a ? 0, g ? x ? ? ? a ?
2

? ?

25 25 ? x 若存在 使得 f ??1 ? ? g ?? 2 ? ? 成 ?e , ..?1 , ?2 ??0, 4? , 4 4 ?

立,求实数 a 的取值范围。

2015 届雅思高中补习班第三次考试理科数学试题 参考答案
一、选择题: 1. D 2.C 3.A 4.C 5.C 6.D 7.C 二、填空题: 11.1 12.4 13. 三、解答题: 16. 解:AB= 5(3 ? 3) ,∠D=105°,sinD=sin(60°+45°)= 8.D 9.B 10A.

5 14.3 15. ①, ②, ④ 2

6? 2 4

DB AB ? sin 45 ? sin D 得 BD= 10 3
由 在ΔDCB 中,BC=20 3 ,∠DBC=60° CD= (20 3 ) ? (10 3 ) ? 2 ? 20 3 ? 10 3 ?
2 2

1 ? 30 2

∴救援船到达 D 的时间为 由

30 ? 1 小时 30

BD CD 1 ? 得 sin ?DCB ? sin DCB sin 60? 2 1 T ? 2 ? BC ? ? ,则 BC ? ? ? ,即 ? ? 1 2 2

∠DCB=30° ∴救援船的航行方向是北偏东 30°的方向。 17.解: (Ⅰ)由于 S ?MBC ? (2 分)

又由于 f (0) ? 2sin ? ? 1 ,且 0 ? ? ? 故 f ( x ) 的对称中心为 (k? ?

?

?
6

2

,则 ? ?

?

6

,即 f (x) ?2sin( x ?)

?
6

(4 分)

, 0) , k ? Z 2 ? (舍去 0 ) 3
2

(6 分) (8 分)

(Ⅱ)由于 f ( A) ? 1,则 A ?
2 2 2

根据余弦定理得: a ? b ? c ? bc ,则 a ? 3 ? 3bc (当且仅当 b ? c ? 1 时取“=” ) (10 分) 故 S?ABC ?

1 3 bc sin A ? 2 4
n ? 1 时, S1 ? 2 ? 3a1 ? 4a1 ? 2
①-②得

(12 分)

18. 解: (1)∵ S1 ? a1

a1 ?

1 2

当n ? 2时

3an ? 2 ? Sn①3an?1 ? 2 ? Sn?1②

3(an ? an?1 ) ? ?an

∴ 4an ? 3an ?1 ? ∵ {an } 是公比为

an 3 ? an?1 4

3 1 1 3 n ?1 ,首项为 的等比数列, an ? ( ) ??6 分 4 2 2 4

(2)∵ an ?

1 3 n ?1 2 3 3 n ?1 2 3 n ( ) ? ? ( ) ? ?( ) 2 4 3 4 4 3 4

2 3 3 3 Tn ? [1? ( ) ? 2 ? ( ) 2 ? … ? n ? ( ) n ]① 3 4 4 4 3 2 3 2 3 3 3 Tn ? [1? ( ) ? 2 ? ( ) ? … ? n ? ( ) n ?1 ]② 4 3 4 4 4 1 2 3 3 3 3 Tn ? [1? ( ) ? ( ) 2 ? … ? ( ) n ? n ? ( ) n ?1 ] ①-②得 4 3 4 4 4 4 3 3 [1 ? ( ) n ] 8 4 ? n ? ( 3 ) n ?1 ] ? 8[1 ? ( 3 ) n ] ? 8 n ? ( 3 ) n ?1 ∴ Tn ? [ 4 3 3 4 4 3 4 1? 4 3 n 8 3 n ?1 3 8 3 3 ? 8 ? 8( ) ? n( ) ? 8 ? ( ) n [8 ? n ? ] ? 8 ? ( ) n (8 ? 2n) ? ??? ?12 分 4 3 4 4 3 4 4
19. 解:(1)方法一:设 B(m,ln(m+1)),A(n,ln(n+1))为函数 y=ln(x+1)图象上两点 而 f(m),f(n)分别 B、A 两点与原点连线的斜率, 显然 kOA>kOB 即 f(m)<f(n) ……………5 分

x ? ln(x ? 1) x ? 1 方法二: f ' ( x) ? x2 x ? ln( x ? 1) 令 h( x ) ? x ?1 1 1 ?x h' ( x ) ? ? ? ?0 2 x ? 1 ( x ? 1) 2 ( x ? 1) ∴ h( x) 是减函数
由 x>0 得,h(x)<h(0)=0 ∴ f ' ( x) ? 0 ∴f(x)是减函数 由 m>n>0 可得 f(m)<f(n) (2) g ' ( x) ?
2

……………5 分

1 1 ? 2ax ? 2ax ? x x 2 令 g ' ( x) ? 0 得 2ax =1 ……………① 当 a≤0 时, g ' ( x) ? 0 , g ( x) 在[1,2]上为增函数
∴最大值为 g(2),最小值为 g(1)] 当 a>0 时,由①得 x ?

1 2a



1 1 ≥2 即 0<a≤ 时, g ' ( x ) ≥0, g ( x) 在[1,2]上为增函数 8 2a
1 1 ≤1 即 a≥ 时, g ' ( x ) ≤0, g ( x) 在[1,2]上为减函数 2 2a

∴最大值为 g(2),最小值为 g(1) 若

∴最大值为 g(1),最小值为 g(2)

1 1 1 <2 即 <a< 时 8 2 2a 1 1 )上为增函数,在( ,2)上为减函数 g ( x) 在(1, 2a 2a 1 1 1 ∴最大值为 g ( ) ? ? ln 2a ? 2a 2 2
若 1< 最小值为 g(2),g(1)中的较小的数 ∵g(2)-g(1)=ln2-3a

1 3 1 若 a> ln 2 ,则 g(2)<g(1) 3 1 1 ∴当 <a≤ ln 2 时,最小值为 g(1) 8 3 1 1 当 ln 2 <a< 时,最小值为 g(2) 3 2 1 综上得:a≤ 时,最大值为 ln2-4a,最小值为-a 8 1 1 1 1 <a≤ ln 2 时,最大值为 ? ln 2a ? ,最小值为-a 8 3 2 2 1 1 1 1 ln 2 <a< 时,最大值为 ? ln 2a ? ,最小值为 ln-4a 3 2 2 2 1 a≥ 时,最大值为-a,最小值为 ln2-4a. ……………13 分 2
若 a≤ ln 2 ,则 g(2)≥g(1)

a x ( x ? 0) ,则 an ?1 ? f (an ) ? n , 1 ? an 1? x 1 1 1 1 ? ? 1 ,即 ? ? 1, 得 an?1 an an?1 an 1 ∴ 数列 { } 是首项为 2、公差为 1 的等差数列, an 1 1 ∴ ? n ? 1 ,即 an ? . ?4 分 an n ?1 1 (2) [ f ( x)]? ? ,∴ 函数 f ( x) 在点 (n, f (n))(n ?N*)处的切线方程为: (1 ? x) 2
20. 解:(1)

f ( x) ?

y?

n 1 n n n2 ? ( x ? n ) ,令 ,得 . b ? ? ? x?0 n 1 ? n (1 ? n)2 1 ? n (1 ? n) 2 (1 ? n) 2

?

bn ? ? 2 ?2 2 ,仅当 n ? 5 时取得最小值, ? ? n ? ? ( n ? 1) ? ( n ? ) ? ? ? 2 an an 2 4

? 5.5 ,解得 ? 11 ? ? ? ?9 ,故 ? 的取值范围为 (?11,?9) .?8 分 2 (3) g ( x) ? f ( x)(1 ? x)2 ? x(1 ? x) ,故 cn?1 ? g (cn ) ? cn (1 ? cn ) , 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? c1 ? ? 0 ,故 cn ? 0 ,则 ,即 . ? ? ? 1 ? cn cn cn?1 cn?1 cn (1 ? cn ) cn 1 ? cn 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ ? ? ??? ? ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) 1 ? c1 1 ? c2 1 ? cn c1 c2 c2 c3 cn cn?1 1 1 1 ? 2? ? 2. = ? c1 cn?1 cn?1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 26 又 ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1, 1 ? c1 1 ? c2 1 ? cn 1 ? c1 1 ? c2 1 ? 1 1 ? 3 3 7 21 2 4 1 1 1 故1 ? ?13 分 ? ? ??? ? ? 2. 1 ? c1 1 ? c2 1 ? cn
只需 4.5 ? ?
2 3? x 21. 解: (1)∵ f ? x ? ? x ? ax ? b e

?

?

?

∴f

'

? x ? ? ? 2x ? a ?

'

e3? x ? ? x 2 ? ax ? b ? e3? x ? ?1?
2分 3分

2 3? x ? ?? ? x ? ? a ? 2? x ? b ? a ? ?e

由题意得: f

'

?3? ? 0 ,即 32 ? 3? a ? 2? ? b ? a ? 0 , b ? ?2a ? 3

2 3? x ' 3? x ∴ f ? x ? ? x ? ax ? 2a ? 3 e 且 f ? x ? ? ? ? x ? 3?? x ? a ?1? e

?

?

令f

'

? x ? ? 0 得 x1 ? 3 , x2 ? ?a ? 1

2 3? x ∵ x ? 3 是函数 f ? x ? ? x ? ax ? b e , ? x ? R ? 的一个极值点

?

?

∴ x1 ? x2 ,即 a ? ?4 故 a 与 b 的关系式 b ? ?2a ? 3, ? a ? ?4? (Ⅰ)当 a ? ?4 时, x2 ? ?a ? 1 ? 3 ,由 f 由f
' '

5分

? x ? ? 0 得单增区间为: ?3, ?a ?1? ;

? x ? ? 0 得单减区间为: ? ??,3? 、 ? ?a ?1, ??? ;
'

(Ⅰ)当 a ? ?4 时, x2 ? ?a ? 1 ? 3 ,由 f 由f
'

? x ? ? 0 得单增区间为: ? ?a ?1,3? ;
7分

? x ? ? 0 得单减区间为: ? ??, ?a ?1? 、 ?3, ??? ;

(2)由(1)知:当 a ? 0 时, x2 ? ?a ? 1 ? 0 , f ? x ? 在 ?0,3? 上单调递增,在 ?3, 4? 上 单调递减, f ? x ?min ? min f ? 0? , f ? 4? ? ?2 ? a ? 3? e3 , f ? x ?max ? f ?3? ? a ? 6
3 ∴ f ? x ? 在 ? 0, 4? 上的值域为 ? ? ?2 ? a ? 3? e , a ? 6 ? ?

?

?

9分

25 ? x 2 易知 g ? x ? ? ? ? a ? ? e 在 ? 0, 4? 上是增函数 4 ? ?

? 25 25 ? 4 ? 2 ∴ g ? x ? 在 ? 0, 4? 上的值域为 ?a 2 ? , ? ?a ? ?e ? 4 4? ? ? ?

11 分

25 ? 1? ? 2 由于 ? ? a ? ? ? ? a ? 6? ? ? a ? ? ? 0 , 4? 2? ? ?
又∵要存在 ..?1 , ?2 ??0, 4? ,使得 f ??1 ? ? g ?? 2 ? ? 4 成立, ∴必须且只须 ?
? a?0 25 ?? 2 25 ? ?? a ? 4 ? ? ? a ? 6 ? ? 4 ? ? ?

2

25

解得: 0 ? a ? 3

所以: a 的取值范围为 ? 0,3?

13 分


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