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空间距离(一)


距 离 (一)

试问:那条线段最短?

F1

F2

距离的概念: 图形F1内的任一点与图形F2内的任 一点距离中的最小值叫做图形F1与图 形F2的距离。

1.点到平面的距离
一点到它在一个平面内的正射影的 距离叫做这一点到这个平面的距离
P

A B

练习:
1已知线段AB不在平面内,A、B两点到平面 的距离分别是1和3,那么线段AB的中点到 平面的距离是 2 。
B M A

B'

M'

A'

练 习 2.已知四面体ABCD,AB=AC=AD=6, BC=3,CD=4,BD=5,求点A到平面 BCD的距离。
A

B

O

D

C

3.如图,AB 是⊙O的直径, PA⊥平面 ⊙O,C为圆 周上一点,若 AB=5,AC =2,求B到 平面PAC的距 离。

4.如图,已知P为△ABC外一点,PA、PB、 PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,求P点 到平面ABC的距离。
D

A

O

C

B

2.直线到与它平行平面的距离
一条直线上任一点到与它平行的平面 的距离,叫做这条直线到平面的距离。
l

?

例1 如图,已知正三角形 ABC 的边长为 6cm,点 O 到 ?ABC 各顶点的距离都是 4cm,求点 O 到这个三角形所在平面的 距离。
解:设H为点O在平面ABC内的射影,延 长AH,交BC于E,则 ? OA ? OB ? OC , ? HA ? HB ? HC , 即H是△ABC的外心。在Rt △ABC中,
BE 1 BH ? ?2 3 , BE ? BC ? 3 , cos30? 2
H A O

C E B

OH ? OB 2 ? BH 2 ? 42 ? (2 3)2 ? 2 (cm) ,

即点O到这个三角形所在平面的距离为2 cm.

例 2:直角 ? ABC 在平面 ? 内,点 P 在平面 ? 外, 若 P 到直角顶点 A 的距离为 8,到两条直角 边的距离均为 5 2 ,求 P 到平面 ? 的距离。
P

E

C O

A D B

? 平面 ?PO 如图:过 P作 AO, P 在平面 ? 外, ? 于 O,连结 例2 :直角 ABC 在平面 ? 内,点

过 O 作 OD ? AB 于 D,OE ? AC 于 E,连结 PD、

若 P 到直角顶点 的距离为 PE,由三垂线定理得 PD ?A AB ,PE ? AC。 8,到两条直角 边的距离均为 5 2 ,求 P 到平面 ? 的距离。
? ? BAC=90°∴四边形 ADOE 是正方形 ? PA=8
∴AD= 8 2 ? (5 2 ) 2 ? 14

?

PD=PE= 5 2

∴OD=OE

AO= 14 ? 2 ? 2 7 在 Rt ?PAO 中 PO= PA2 ? AO2 ? 6

P

故点 P 到平面 ? 的距离为 6

E

C O

A D B

例 3:正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点,PC ? 面 ABCD,PC=2。 (1)求证:C 点到平面 PEF 的距离等于 A 点到面 PEF 的距离的 3 倍。 (2)求点 B 到平面 PEF 的距离。
Z P

D

Y

C F

A

E X

B

解法 1:连结 PG, PC⊥平面 ABCD, CE=CF,而4 CE 、 CF 例 3:正方形 ABCD 的边长为 , E 、是 F 斜 PE、PF 在平面 ABCD 上的射影。 AB、AD 的中点,PC ? 面 ABCD,PC=2。 ∴PE=PF。 在等腰三角形 PEF 中,∵G 是 EF 的中点。 ∴PG⊥EF。∴EF⊥平面 PCG。

分别是

(1)求证:C 点到平面 PEF 的距离等于

A 点到面 PEF 的距离的 3,有 倍。 过C 作 PG 的垂线 CH ,交 PG 于 H EF⊥ CH。
∴CH⊥平面 PEF,CH C 到平面 PEF 的距离 (2)求点 B的长即为点 到平面 PEF 的距离。 又∵ AE=EB ∴B 到平面 PEF 的距离等于 A 到平面 PEF 的距离。也等于 C 到平面 PEF 距离的 , 在 Rt△PCG 中,CG= AC=3 2 ,PC=2。 CH=
CG ? PC CG 2 ? PC 2 ? 6 2 22 ? 6 11 11
1 3 3 4 1 3

P

H

D
2 11 11

∴B 到平面 PEF 的距离为 CH=

C

F G A E B

解法 2:连结 EP、 FP、 BD、 AC、 EF, EF 与 BD 分别交 AC 于 H、 O,在正方形 ABCD 中,

例 3:正方形 ABCD E、 F 分别是 AB、 AD 的中点,
∴ EF//BD, H 为 AO 的中点

的边长为 4,E、F 分别是

AB、AD 的中点,PC ? 面 ABCD,PC=2。
∵ EF ? 平面 PEF, BD ? 平面 PEF。 到平面 PEF 的距离。 ∴ BD//( 平面 PEF,则 B 到平面的距离就是 BD 上任一点到平面 PEF 的距离,于是只需求点 O 1)求证: C 点到平面 PEF 的距离等于

A 点到面 PEF 3 倍。 ∵ BD ⊥ AC,∴ EF⊥的距离的 HC ∵ PC⊥平面 ABCD
∴ EF⊥ PC 则 EF⊥平面 PHC ∴平面 PEF⊥平面 PHC。 作 OK⊥ PH 交 PH 于点 K,由两个平面垂直的性质定理作 OK⊥ PH。 交 PH 于点 K,由两个平面垂直的性质定理知 OK⊥平面 PEF 那么线段 OK 的长就是点 B 到平面 PEF 的距离 PC=2 ∴ AC= 4 2 , HO= 2 , PH= 22 ∵正方形的边长为 4

(2)求点 B 到平面 PEF 的距离。

P

由于 Rt△ HKO 和 Rt△ HCP 有一个公共角,故△ HKD∽△ HCP。 ∴ OK=

OH ? PC 2 2 2 11 ? ? HP 11 22
2 11 F 。 11

D H O E B C

即点 B 到平面 PEF 的距离是

G

A

1、找出或作出垂线段、2、证明其符合定义、3、 归结为几何计算或解三角形。 4.利用空间向量方法求点面距离。先确定平面的 法向量,再求点与平面上一点连结线段在平面 的法向量上的射影长。
P0

方法总结: (空间距离转化为点面距离)

n

P

练 习
5.如图,已知在长方体ABCD-A’B’C’D’ 中,棱AA’=5,AB=12,求直线B’C’到 平面A’BCD’的距离。
D A' B' C'

D E A B

C

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在离家之前就已经做了简单的准备呢!“吁—”耿老爹吆喝驴车停了下来,朗声招呼耿正兄妹三个下车:“来,娃儿们,俺们 给五道爷磕个头,许个愿哇!”说着话,耿老爹自己已经麻利地跳下车来,并且伸手从搭连里取出来三柱香和一个很好用的火 镰子。耿正、耿英和耿直也赶快跟着爹爹下车,父子四人一溜儿快步来到五道庙前。耿老爹先用火镰子打火点着了三柱香,再 把它们稳稳地并排插在了庙前的香炉里。然后,他把火镰子装进衣袋里,回头看看身后的三个儿女,自己先恭恭敬敬地跪了下 去。耿正、耿英和耿直也赶快跪在爹爹的身后。耿老爹十二分虔诚地双手合十抬头望着庙堂里端坐着的五道爷塑像,非常字正 腔圆地认真说道:“请五道爷保佑俺们父子四人此趟出门一路顺利,南下创业赚钱遂心如愿,早日衣锦还乡,全家团圆,光宗 耀祖,造福乡里!”耿正、耿英和耿直也十二分虔诚地双手合十抬头望着庙堂里端坐着的五道爷塑像,齐声跟着爹爹说道: “请五道爷保佑俺们父子四人此趟出门一路顺利,南下创业赚钱遂心如愿,早日衣锦还乡,全家团圆,光宗耀祖,造福乡里!” 随后,在耿老爹的带领下,父子四人一起,十二分虔诚地给端坐在庙堂里的五道爷塑像标标准准地磕了三个头。磕完头以后, 父子们站起身来双手合十各自许愿。实际上,耿正兄妹三个所许的愿,都只不过是把刚才说给五道爷听的那些话,又都在心里 边默默地说了几遍罢了。然而,耿老爹此时在心里边默默地跟五道爷述说的,却更加地具体和详细了许多。他衷心地希望,五 道爷能够听得到他的心里话!他相信,五道爷已经听到他在心里说的话了!并且,他更愿意相信,五道爷一定能够保佑他父子 们此趟出门创业一路顺利,也一定能够衣锦还乡造福乡里!许完了愿,耿老爹举起右手有力地一挥,大声说:“娃儿们,上车 喽!”大家又上车坐回到各自的位置上。耿老爹拉起缰绳一声吆喝:“咦—”黑灰色毛驴拉着平车转向左边,又精神抖擞地 “哒哒哒”向东疾步而行。在一片敞亮的晨光中,坐在驾车位置上的耿老爹目光坚毅神采奕奕,那些个曾经在他的脑海里设想 过无数回的巨大成功,此时仿佛已经在向他父子们招手了!望着前方宽阔的东西大道,他爽朗地大声对耿正、耿英和耿直说: “这条东西大道无论是往东走,还是往西走,只要在第一个路口往南拐,就都能通往俺们要去的地方。今儿个俺们打东边儿去, 到南面儿转他一圈儿,找个能站得住脚的好地儿,痛痛快快地好好儿干上一番!等到过几年赚发了以后,俺们再从西边儿回 来!”然而,尽管耿老爹此时是如此得信心满满且神情朗朗,但耿正、耿英和耿直毕竟是平生第一次背井离乡啊!前方的道路 对于还尚未成人的他们来说,既充满向往,但更多的


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