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2013届常德市一中高三理科数学试卷和答案

2013 届常德市一中高三第二次月考数学试卷 (理科) 本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 2012 年 10 月 8 日 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答卷页的表格内. 1. 已知集合 A ? {x x ≥ 3} ,集合 B ? {x ( x ? 2)(x ? 4) ? 0} ,则 A A. {x | x ? 2} B. {x | x ? 4} C. {x | 3 ≤ x ≤ 4} B = ( ) D. {x | 3 ≤ x ? 4} “x ? 2” 2. 设向量 a ? (1, x ? 1) , b ? ( x ? 1,3) ,则 是 ) “a // b ”的 ( A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ?2 x ? 1 , x ? 2 3. 设函数 f ( x) ? ? ,则 f (3) 的值为 ( ? f ( x ? 2) , x ? 2 ) A.0 B.1 C .2 D.3 4. 在 ?ABC 中, B ? 45? , C ? 60? , c ? 1 ,则 ?ABC 中最短边的边长等于( ) 3 2 5.设等差数列 {an } 满足: a1 ? a4 ? a7 ? 12 则 A. B. C. A.14 B.21 6 3 6 2 1 2 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? a7 ? ( D. C.28 ) D. D.35 ) 6. 函数 f ( x) ? sin x ? cos x 图象的一个对称轴方程是( A. x = π 8 B. x = π 4 C. x = π 2 x=π C P A 7. 如图,半圆的直径 AB=6,O 为圆心,C 为半圆上 不同于 A、B 的任意一点,若 P 为半径 OC 上的动点, 则(PA ? PB) ? PC 的最小值是 ( ) C. 9 A. ? 2 9 B. 2 2 ?2 O 第 7 题图 B D. 2 8.函数 y ? 9 ? ? x ? 5? 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为该 等比数列的公比的数是 ( A. ) 3 B. 2 C. 3 D. 5 4 二.填空题: (只要求写出最后结果,并把结果写在答卷页的相应位置上,每题 5 分,共 35 分) 9. 函数 f ( x) ? log2 x ? 2 的定义域为 10.设定义域为 R 的函数 y=f(x)满足: f (2) ? 4, f ?( x) ? 2 ,则不等式 f ( x) ? 2 x 的解集是 3 ? sin 100 的值等于 . 1 ? sin 2 400 12. 若向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 ,且 a ? (a + b) ,则 a 与 b 的夹角为 11. 13. 已知 A、M、B 三点共线,且 m ? OA ? 3OM ? OB ? 0 , BA ? t ? AM ,则实数 t 的值为 14. 若满足条件 C=60° ,AB= 3,BC=a 的△ABC 有两个,那么 a 的取值范围是 3 15. ①若函数 f ( x) ? x ? 3x ? m 在 [0, 2] 上存在零点,则实数 m 的取值范围是 ②若函数 f ( x) ? x ? 3x ? m 在 [0, 2] 上存在两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是 3 三、解答题: (本大题共 6 个小题,满分 75 分.解答中应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 16. 设锐角△A BC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a ,b,c,满足: 3 a ? 2c ? sin A 。 (1)求角 C; (2)若 c =2,△ABC 的面积为 3 ,求 a , b 的值。 17. 已知向量 a=(sin θ,-2) 与向量 b=(1,cos θ ) 互相垂直,其中 θ? (0, (1) 求 sin θ 和 cos θ 的值; (2) 若 5cos(θ- ? )=3 5cos ? ,0<φ< ? 2 ). ? ,求 ? 的值. 2 18. 已知等差数列 {a n } 的公差不为零,且 a3 ? 5 , a1 , a 2 , a5 成等比数列. (1)求数列 {a n } 的通项公式; (2)若数列 {bn } 满足 b1 ? 2b2 ? 2 2 b3 ? ? ? 2 n?1 bn ? an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 S n . 19. 设函数 f ( x) ? tan x ? 8 sin x ,其中 x ? (? (1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若对 ?x1 ? [ 0 , ? ? , ). 2 2 ? 3 ] , ?x 2 ? [ 0 , ? 3 ] ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ a 恒成立,求实数 a 的取值范围。 20. 某学校要建造一个面积为 10 000 平方米的运动场. 如图, 运动场是由一个矩形 ABCD 和分别以 AD、 BC 为直径的两个半圆组成.跑道是一条宽 8 米的塑胶跑道,运动场除跑道外,其它地方均铺设草皮. 设建造塑胶跑道每平方米的造价为 150 元,草皮每平方米的造价为 30 元. (1)设半圆的半径 OA=r (米), 求建造塑胶跑道面积 S 与 r 的函数关系 S(r); (2)设 r ? [30,40],问当 r 取何值时,这个运动场的造价最低?其最低造价 为多少元?(精确到元) 21.已知数列 ?an ? 是首项为 2 的等比数列,且满足 an?1 ? pan ? 2 n , (n ? N ) . * ⑴求常数 p 的值和等比数列 ?an ? 的通项公式; ⑵若依次抽去数列 ?an ? 中的第一项、第四项、第七项、……、第 3n ? 2 项、……,余下的项

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