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圆锥曲线解题技巧和方法综合


圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型:
(1)中点弦问题
具有斜率的弦中点问题,常用设而不求法(点差法) :设曲线上两点为 ,

,代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意 斜率不存在的请款讨论) ,消去四个参数。 如: (1)

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 与直线相交于 A 、 B ,设弦 AB 中点为 M(x0,y0) ,则有 a2 b2

x0 y 0 ? k ? 0。 a2 b2
(2)

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 与直线 l 相交于 A、B,设弦 AB 中点为 M(x0,y0)则有 a2 b2

x0 y 0 ? k ?0 a2 b2
(3)y2=2px(p>0)与直线 l 相交于 A、B 设弦 AB 中点为 M(x0,y0),则有 2y0k=2p,即 y0k=p.

典型例题

给定双曲线

。 过A (2, 1) 的直线与双曲线交于两点





求线段

的中点 P 的轨迹方程。

(2)焦点三角形问题
椭圆或双曲线上一点 P,与两个焦点 桥。 典型例题 设 P(x,y) 为 椭 圆 , (1)求证离心率 e ? 。 上任一点, , 为焦点, 、 构成的三角形问题,常用正、余弦定理搭

sin(? ? ? ) ; sin ? ? sin ?
1

(2)求

的最值。

(3)直线与圆锥曲线位置关系问题
直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组,进而转化为一元二次方程后利用判 别式、根与系数的关系、求根公式等来处理,应特别注意数形结合的思想,通过图形的直观 性帮助分析解决问题,如果直线过椭圆的焦点,结合三大曲线的定义去解。 典型例题

(1)求证:直线与抛物线总有两个不同交点 (2)设直线与抛物线的交点为 A、B,且 OA⊥OB,求 p 关于 t 的函数 f(t)的表达式。

(4)圆锥曲线的相关最值(范围)问题
圆锥曲线中的有关最值(范围)问题,常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式,则可建立目标函数(通常利用二次函 数,三角函数,均值不等式)求最值。 (1) ,可以设法得到关于 a 的不等式,通过解不等式求出 a 的范围,即: “求范围,找不 等式” 。或者将 a 表示为另一个变量的函数,利用求函数的值域求出 a 的范围;对于(2)首 先要把△NAB 的面积表示为一个变量的函数,然后再求它的最大值,即: “最值问题,函数思 想” 。 最值问题的处理思路: 1、建立目标函数。用坐标表示距离,用方程消参转化为一元二次函数的最值问题,关 键是由方程求 x、y 的范围; 2、数形结合,用化曲为直的转化思想; 3、利用判别式,对于二次函数求最值,往往由条件建立二次方程,用判别式求最值; 4、借助均值不等式求最值。

典型例题 已知抛物线 y2=2px(p>0),过 M(a,0)且斜率为 1 的直线 L 与抛物线交于不同的两点 A、B, |AB|≤2p (1) 求 a 的取值范围; (2) 若线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N, 求△NAB 面积的最大值。

(5)求曲线的方程问题
1.曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。
2

典型例题 已知直线 L 过原点,抛物线 C 的顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上。若点 A(-1,0)和 点 B(0,8)关于 L 的对称点都在 C 上,求直线 L 和抛物线 C 的方程。

2.曲线的形状未知-----求轨迹方程 典型例题 已知直角坐标平面上点 Q(2,0)和圆 C:x2+y2=1, 动 点 M 到圆 C 的切线长与|MQ|的比等于常数 ? ( ? >0), 求动点 M 的轨迹方程,并说明它是什么曲线。 N M

O

Q

(6) 存在两点关于直线对称问题
在曲线上两点关于某直线对称问题,可以按如下方式分三步解决:求两点所在的直线, 求这两直线的交点,使这交点在圆锥曲线形内。 (当然也可以利用韦达定理并结合判别式来 解决) 典型例题 已知椭圆 C 的方程 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线

,椭圆 C 上有不同两点关于直线对称

(7)两线段垂直问题
圆锥曲线两焦半径互相垂直问题,常用 运算来处理。 来处理或用向量的坐标

3

典型例题

已知直线 的斜率为 ,且过点

,抛物线

, 直线 与

抛物线 C 有两个不同的交点(如图) 。 (1)求 的取值范围; (2)直线 的倾斜角 为何值时,A、B 与抛物线 C 的焦点连线互相垂直。

四、解题的技巧方面:
在教学中,学生普遍觉得解析几何问题的计算量较大。事实上,如果我们能够充分利用 几何图形、韦达定理、曲线系方程,以及运用“设而不求”的策略,往往能够减少计算量。 下面举例说明:

(1)充分利用几何图形
解析几何的研究对象就是几何图形及其性质,所以在处理解析几何问题时,除了运用代 数方程外,充分挖掘几何条件,并结合平面几何知识,这往往能减少计算量。 典型例题 坐标原点,若 设直线 ,求 的值。 与圆 相交于 P、Q 两点,O 为

(2) 充分利用韦达定理及“设而不求”的策略
我们经常设出弦的端点坐标而不求它,而是结合韦达定理求解,这种方法在有关斜率、中 点等问题中常常用到。 典型例题 已知中心在原点 O,焦点在 轴上的椭圆与直线 相交于 P、Q 两点, 且 , ,求此椭圆方程。

(3) 充分利用曲线系方程
利用曲线系方程可以避免求曲线的交点,因此也可以减少计算。 典型例题 求经过两已知圆 上的圆的方程。 和 0 的

交点,且圆心在直线 :

4

(4)充分利用椭圆的参数方程
椭圆的参数方程涉及到正、 余弦, 利用正、 余弦的有界性, 可以解决相关的求最值的问题. 这 也是我们常说的三角代换法。 典型例题 P 为椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一动点,A 为长轴的右端点,B 为短轴的上端点,求四 a 2 b2

边形 OAPB 面积的最大值及此时点 P 的坐标。

(5)线段长的几种简便计算方法
① 充分利用现成结果,减少运算过程 一般地,求直线与圆锥曲线相交的弦 AB 长的方法是:把直线方程 曲线方程中,得到型如 的方程,方程的两根设为 , 代入圆锥 ,判别式为△,

则 过程。 例 求直线

△ ,若直接用结论,能减少配方、开方等运算 1 ? k 2· |a|

被椭圆

所截得的线段 AB 的长。

② 结合图形的特殊位置关系,减少运算 在求过圆锥曲线焦点的弦长时, 由于圆锥曲线的定义都涉及焦点, 结合图形运用圆锥曲线 的定义,可回避复杂运算。 例 、 是椭圆 的两个焦点,AB 是经过 的弦,若 ,求值

| F2 A | ? | F2 B |

③ 利用圆锥曲线的定义,把到焦点的距离转化为到准线的距离 例 移动,若 点 A(3,2)为定点,点 F 是抛物线 取得最小值,求点 P 的坐标。 的焦点,点 P 在抛物线 上

5

圆锥曲线解题方法技巧归纳
第一、知识储备: 1. 直线方程的形式 (1)直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 (2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率 k ? tan ? , ? ?[0, ? ) ②点到直线的距离 d ? (3)弦长公式 直线 y ? kx ? b 上两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 间的距离: AB ? 1 ? k
2

Ax0 ? By0 ? C A ?B
2 2

③夹角公式: tan ? ?

k2 ? k1 1 ? k2 k1

x1 ? x2

? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 或 AB ? 1 ?
(4)两条直线的位置关系 ① l1 ? l2 ? k1k2 =-1

1 y1 ? y2 k2

② l1 // l 2 ? k1 ? k 2且b1 ? b2

2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式)

x2 y 2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0且m ? n) 标准方程: m n
2 2 2 2 距离式方程: ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? 2a

参数方程: x ? a cos ? , y ? b sin ? (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程:

x2 y 2 ? ? 1(m ? n ? 0) m n

2 2 2 2 距离式方程: | ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y |? 2a

(3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗?

2b 2 2b 2 椭圆: ;双曲线: ;抛物线: 2p a a
6

(4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗? 如: 已知 F1、F2 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, 平面内一个动点 M 满足 MF1 ? MF2 ? 2 4 3


则动点 M 的轨迹是(

A、双曲线;B、双曲线的一支;C、两条射线;D、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式: P在椭圆上时,S?F1PF2 ? b tan
2

?
2

P在双曲线上时,S?F1PF2 ? b 2 cot
(其中 ?F1PF2 ? ? ,cos ? ?

?
2

? ???? ????? | PF1 |2 ? | PF2 |2 ?4c2 ???? ???? , PF1 ? PF2 ?| PF1 | | PF2 | cos ? ) | PF1 | ? | PF2 |

(6)、记住焦半径公式: ( 1) 椭圆焦点在x轴上时为a ? ex0 ; 焦点在y轴上时为a ? ey0 , 可简记为“左加右减,上加下减” 。 (2) 双曲线焦点在x轴上时为e | x0 | ?a (3) 抛物线焦点在x轴上时为 | x1 | ?

p p , 焦点在y轴上时为 | y1 | ? 2 2

(6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗? 第二、方法储备 1、点差法(中点弦问题) 设

A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y2 ? , M ?a, b? 为椭圆 x
2 2 2 2

2

4
2

?

y2 ? 1 的弦 AB 中点则有 3
2

x1 y x y x ? x2 ? 1 ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ;两式相减得 1 4 3 4 3 4

?

? ? ?y
3a 4b

2

1

? y2 3

2

??0

?

?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ?
4

??

? y1 ? y 2 ?? y1 ? y 2 ?
3

? k AB = ?

2、联立消元法:你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗?经典套路是什么?如果 有两个参数怎么办? 设直线的方程,并且与曲线的方程联立,消去一个未知数,得到一个二次方程,使用判 别式 ? ? 0 , 以及根与系数的关系, 代入弦长公式, 设曲线上的两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 将这两点代入曲线方程得到○ 1 ○ 2 两个式子,然后○ 1 -○ 2 ,整体消元〃 〃 〃 〃 〃 〃 ,若有两

7

个字母未知数, 则要找到它们的联系, 消去一个, 比如直线过焦点, 则可以利用三点 A、 B、F 共线解决之。若有向量的关系,则寻找坐标之间的关系,根与系数的关系结合消 元处理。一旦设直线为 y ? kx ? b ,就意味着 k 存在。 例 1、已知三角形 ABC 的三个顶点均在椭圆 4 x 2 ? 5 y 2 ? 80 上,且点 A 是椭圆短轴的一个 端点(点 A 在 y 轴正半轴上). (1)若三角形 ABC 的重心是椭圆的右焦点,试求直线 BC 的方程; (2)若角 A 为 90 ,AD 垂直 BC 于 D,试求点 D 的轨迹方程. 分析:第一问抓住“重心” ,利用点差法及重心坐标公式可求出中点弦 BC 的斜率,从而写 出 直 线 BC 的 方 程 。 第 二 问 抓 住 角 A 为 90 可 得 出 AB ⊥ AC , 从 而 得
0 0

x1 x2 ? y1 y2 ? 14( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0 ,然后利用联立消元法及交轨法求出点 D 的轨迹方程;
解: (1)设 B( x1 , y1 ),C( x2 , y 2
2 2 x12 y12 x2 y2 ? ? 1, ? ?1 ),BC 中点为( x0 , y0 ),F(2,0)则有 20 16 20 16

两式作差有

( x1 ? x2 )(x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ?0 20 16

x0 y 0 k ? ?0 5 4

(1)

F(2,0)为三角形重心,所以由 入(1)得 k ?

x1 ? x 2 y ? y2 ? 4 ? 2 ,得 x0 ? 3 ,由 1 ? 0 得 y0 ? ?2 ,代 3 3

6 5

直线 BC 的方程为 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 2)由 AB⊥AC 得 x1 x2 ? y1 y2 ? 14( y1 ? y2 ) ? 16 ? 0 设 直 线 BC 方 程 为 (2) , 得

y ? kx ? b, 代入4x 2 ? 5 y 2 ? 80

(4 ? 5k 2 ) x 2 ? 10bkx ? 5b 2 ? 80 ? 0
x1 ? x 2 ? ? 10 kb 5b 2 ? 80 x x ? , 1 2 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2

8k 4b 2 ? 80k 2 y1 ? y 2 ? , y1 y 2 ? 代入(2)式得 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2

8

4 9b 2 ? 32b ? 16 ? 0 ,解得 b ? 4(舍) 或 b ? ? 2 9 4 ? 5k

4 4 9 ? y ? 4 ? ?1 ,即 9 y 2 ? 9x 2 ? 32y ? 16 ? 0 直线过定点(0, ? ) ,设 D(x,y) ,则 9 x x 16 2 20 2 2 所以所求点 D 的轨迹方程是 x ? ( y ? ) ? ( ) ( y ? 4) 。 9 9 y?
4、设而不求法 例 2、如图,已知梯形 ABCD 中 AB ? 2 CD ,点 E 分有向线段 AC 所成的比为 ? , 双曲线过 C、D、E 三点,且以 A、B 为焦点当 值范围。 分析:本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质,推理、运算能

2 3 ? ? ? 时,求双曲线离心率 e 的取 3 4

?c ? 力和综合运用数学知识解决问题的能力。建立直角坐标系 xOy ,如图,若设 C ? , h ? ,代 ?2 ?


x2 y2 x2 y2 h ? ? ? ? 1 ? ? 1 ,建立目标 ,求得 ,进而求得 再代入 x ? ? , y ? ? , E E a 2 b2 a 2 b2

函数 f (a, b, c, ? ) ? 0 ,整理 f (e, ? ) ? 0 ,此运算量可见是难上加难.我们对 h 可采取设而 不求的解题策略, 建立目标函数 f (a, b, c, ? ) ? 0 ,整理 f (e, ? ) ? 0 ,化繁为简. 解法一:如图,以 AB 为垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立直角坐标系 xOy , 则 CD⊥ y 轴因为双曲线经过点 C、D,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知 C、D 关于

y 轴对称
1 ?c ? 依题意,记 A ?? c, 0? ,C ? , h ? ,E ? x 0 , y 0 ? ,其中 c ? | AB | 为双曲线的半 2 ?2 ?
焦距, h 是梯形的高,由定比分点坐标公式得

c ?c? ? 2 ? ?? ? 2 ?c , y ? ?h x0 ? 0 1? ? 2?? ? 1? 1? ?
设双曲线的方程为

x2 y2 c ? ? 1 ,则离心率 e ? a 2 b2 a
9

由点 C、E 在双曲线上,将点 C、E 的坐标和 e ?

c 代入双曲线方程得 a

e2 h 2 ? ?1 , 4 b2



e2 ? ? ? 2 ? ? ? ? h 2 ?1 ? ??? ? 4 ? ? ? 1 ? ? ? ? 1 ? b2
由①式得



h2 e2 ? ?1 , 4 b2



将③式代入②式,整理得

e2 ?4 ? 4? ? ? 1 ? 2? , 4 3 ? ? 1? 2 故 e ?1 2 3 3 2 3 ? 由题设 ? ? ? 得, ? 1 ? 2 3 e ?2 4 3 4
解得

7 ? e ? 10

所以双曲线的离心率的取值范围为

? 7 , 10?

分析:考虑 AE , AC 为焦半径,可用焦半径公式, AE , AC 用 E , C 的横坐标表示,回避 h 的计算, 达到设而不求的解题策略. 解法二:建系同解法一, AE ? ? ? a ? exE ? , AC ? a ? exC ,

c ?c ? ? ? ? ? 2 ? c AE ? 3 2 ? xE ? ,又 , 代 入 整 理 ? ? 1? 2 ,由题设 ? e ?1 1? ? 2 ? ? ? 1? AC 1 ? ?
2 3 3 2 3 ? ? ? ? 得, ? 1 ? 2 3 e ?2 4 3 4
所以双曲线的离心率的取值范围为 5、判别式法
2 2 例 3 已知双曲线 C : y ? x ? 1 ,直线 l 过点 A 2 ,0 ,斜率为 k ,当 0 ? k ? 1 时,双曲

解得

7 ? e ? 10

? 7 , 10?

2

2

?

?

线的上支上有且仅有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ,试求 k 的值及此时点 B 的坐标。 分析 1:解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科,因此,数形结合必然是研 究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手,对照草图,不难想到:过点 B
10

作与 l 平行的直线,必与双曲线 C 相切 . 而相切的代数表现形式是所构造方程的判别式

? ? 0 . 由此出发,可设计如下解题思路:
l : y ? k(x ? 2)

?0 ? k ? 1?
2

直线 l’在 l 的上方且到直线 l 的距离为

l ':

y ? kx ?

2k 2 ? 2 ?

2k

把直线 l’的方程代入双曲线方程,消去 y,令判别式 ?

?0

解得k的值
分析 2:如果从代数推理的角度去思考,就应当把距离用代数式表达,即所谓“有且仅 有一点 B 到直线 l 的距离为 2 ” ,相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路:
问题

关于 x 的方程 解

kx ?

2 ? x2 ? k
2

2k

?1

?

2

?0 ? k

? 1?

有唯一

转化为一元二次方程根的问题

2 ? x 2 ) 为双曲线 C 上支上任一点,则点 M 到直线 l 的距离为: 简解:设点 M ( x, 求解
kx ? 2 ? x 2 ? 2k k ?1
2

? 2

?0 ? k ? 1?

???

于是,问题即可转化为如上关于 x 的方程. 由于 0 ? k ? 1 ,所以 2 ? x ? x ? kx ,从而有
2

kx ? 2 ? x 2 ? 2k ? ?kx ? 2 ? x 2 ? 2k.
于是关于 x 的方程 ???

? ? kx ? 2 ? x 2 ? 2k ? 2(k 2 ? 1)
? 2 ? x 2 2 ? ( 2(k 2 ? 1) ? 2k ? kx) 2 , ?? ? 2 ? ? 2(k ? 1) ? 2k ? kx ? 0

?

?

?k ?? ?
?

2

? 1 x 2 ? 2k 2(k 2 ? 1) ? 2k x ?

?

?

? ? 2(k

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0,

?

2

2 ? ? 2(k ? 1) ? 2k ? kx ? 0.

由 0 ? k ? 1 可知:

11

方程 k 2 ? 1 x 2 ? 2k

?

?

? 2(k

2

? 1) ? 2k x ?

? ? 2(k

2

故 ? 1) ? 2k ? 2 ? 0 的二根同正,

?

2

2(k 2 ? 1) ? 2k ? kx ? 0 恒成立,于是 ??? 等价于

?k

2

? 1 x 2 ? 2k 2(k 2 ? 1) ? 2k x ?

?

?

? ? 2(k

2

? 1) ? 2k ? 2 ? 0 .

?

2

由如上关于 x 的方程有唯一解,得其判别式 ? ? 0 ,就可解得

k?

2 5 . 5

点评:上述解法紧扣解题目标,不断进行问题转换,充分体现了全局观念与整体思维的 优越性. 例 4 已知椭圆 C: 段 AB 上取点 Q,使 和点 P(4,1) ,过 P 作直线交椭圆于 A、B 两点,在线 ,求动点 Q 的轨迹所在曲线的方程.

分析: 这是一个轨迹问题, 解题困难在于多动点的困扰, 学生往往不知从何入手。 其实, 应该想到轨迹问题可以通过参数法求解. 因此, 首先是选定参数, 然后想方设法将点 Q 的横、 纵坐标用参数表达,最后通过消参可达到解题的目的. 由于点 Q( x, y) 的变化是由直线 AB 的变化引起的,自然可选择直线 AB 的斜率 k 作为 参数, 如何将 x, y 与 k 联系起来?一方面利用点 Q 在直线 AB 上; 另一方面就是运用题目条 件: 来转化.由 A、B、P、Q 四点共线,不难得到 x ? 4( x A ? x B ) ? 2 x A x B ,要建立 x
8 ? ( x A ? xB )

与 k 的关系,只需将直线 AB 的方程代入椭圆 C 的方程,利用韦达定理即可. 通过这样的分析,可以看出,虽然我们还没有开始解题,但对于如何解决本题,已经做 到心中有数.
AP PB ?? AQ QB

x?

4( x A ? x B ) ? 2 x A x B 8 ? ( x A ? xB )
将直线方程代入椭圆方程,消去 y,利用韦达定理

x ? f ?k ?
利用点 Q 满足直线 AB 的方程:y = k (x—4)+1,消去参数 k

点 Q 的轨迹方程

12

在得到 x ? f ?k ? 之后, 如果能够从整体上把握, 认识到: 所谓消参, 目的不过是得到关于 x, y 的方程(不含 k) ,则可由 y ? k ( x ? 4) ? 1 解得 k ? 迹方程。从而简化消去参的过程。 简解:设 A?x1 , y1 ?, B( x2,y 2 ), Q( x, y) ,则由

y ?1 ,直接代入 x ? f ?k ? 即可得到轨 x?4

4 ? x1 x ? x1 AP AQ 可得: , ?? ? PB QB x2 ? 4 x2 ? x
(1)

解之得: x ?

4( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 8 ? ( x1 ? x2 )

设直线 AB 的方程为: y ? k ( x ? 4) ? 1 ,代入椭圆 C 的方程,消去 y 得出关于 x 的一 元二次方程:

?2k


2

? 1 x 2 ? 4k (1 ? 4k ) x ? 2(1 ? 4k ) 2 ? 8 ? 0

?

(2)

4k (4k ? 1) ? x1 ? x 2 ? , ? ? 2k 2 ? 1 ? 2 ? x x ? 2(1 ? 4k ) ? 8 . 1 2 2 ? 2k ? 1 ?

代入(1) ,化简得: x ?

4k ? 3 . k?2

(3)

与 y ? k ( x ? 4) ? 1 联立,消去 k 得: ?2 x ? y ? 4?( x ? 4) ? 0. 在(2)中,由 ? ? ?64k ? 64k ? 24 ? 0 ,解得
2

2 ? 10 2 ? 10 ?k? 4 4

,结合(3)可求得

16 ? 2 10 16 ? 2 10 ?x? . 9 9

故知点 Q 的轨迹方程为: 2 x ? y ? 4 ? 0

( 16 ? 2 10 ? x ? 16 ? 2 10 ). 9 9

点评:由方程组实施消元,产生一个标准的关于一个变量的一元二次方程,其判别式、 韦达定理模块思维易于想到. 这当中, 难点在引出参, 活点在应用参, 重点在消去参., 而 “引 参、用参、消参”三步曲,正是解析几何综合问题求解的一条有效通道. 6、求根公式法 例 5 设直线 l 过点 P(0,3) ,和椭圆 值范围. 分析:本题中,绝大多数同学不难得到: AP = ? x A ,但从此后却一筹莫展, 问题的根 PB xB 源在于对题目的整体把握不够. 事实上,所谓求取值范围,不外乎两条路:其一是构造所求

x2 y2 ? ? 1 顺次交于 A、B 两点,试求 9 4

的取

13

变量关于某个(或某几个)参数的函数关系式(或方程) ,这只需利用对应的思想实施;其 二则是构造关于所求量的一个不等关系. 分析 1: 从第一条想法入手, =?

xA 已经是一个关系式,但由于有两个变量 xB

x A , x B ,同时这两个变量的范围不好控制,所以自然想到利用第 3 个变量——直线 AB 的斜
率 k. 问题就转化为如何将 x A , x B 转化为关于 k 的表达式,到此为止,将直线方程代入椭圆 方程,消去 y 得出关于 x 的一元二次方程,其求根公式呼之欲出.
把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程,消去 y 得 到关于 x 的一元二次方程 求根公式 xA= f(k) ,xB = g(k)

AP/PB = —(xA / xB)
得到所求量关于 k 的函数关系式

简解 1:当直线 l 垂直于 x 轴时,可求得

AP 1 ?? ; 由判别式得出 k 的取值范围 PB 5

所求量的取值范围 当 l 与 x 轴不垂直时,设 A?x1 , y1 ?, B( x2,y2 ) ,直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭

圆方程,消去 y 得 9k ? 4 x ? 54kx ? 45 ? 0
2 2

?

?

解之得

x1, 2 ?

? 27k ? 6 9k 2 ? 5 . 9k 2 ? 4

因为椭圆关于 y 轴对称,点 P 在 y 轴上,所以只需考虑 k ? 0 的情形.

? 27k ? 6 9k 2 ? 5 , ? 27k ? 6 9k 2 ? 5 , 当 k ? 0 时, x1 ? x2 ? 2 9k ? 4 9k 2 ? 4
所以

x ? 9k ? 2 9k 2 ? 5 18k AP 18 =1 ? =1 ? ?? 1 = 2 2 PB x2 9k ? 2 9k ? 5 9 k ? 2 9k ? 5 9?2 9? 5

.
k2

由 所以

? ? (?54k ) 2 ? 180 9k 2 ? 4 ? 0 , 解得 k 2 ?
?1 ? 1? 18 9?2 9? 5 k2 1 ?? , 5

?

?

5 , 9

综上

?1 ?

AP 1 ?? . PB 5

分析 2: 如果想构造关于所求量的不等式,则应该考虑到:判别式往往是产生不等的根
14

源. 由判别式值的非负性可以很快确定 k 的取值范围,于是问题转化为如何将所求量与 k 联 系起来. 一般来说,韦达定理总是充当这种问题的桥梁,但本题无法直接应用韦达定理,原 因在于

x AP ? ? 1 不是关于 x1 , x 2 的对称关系式. 原因找到后,解决问题的方法自然也就有 PB x2

了,即我们可以构造关于 x1 , x 2 的对称关系式.
把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程,消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 韦达定理 xA+ xB = f(k) ,xA xB = g(k) AP/PB = —(xA / xB) 构造所求量与 k 的关系式

简解 2:设直线 l 的方程为: y ? kx ? 3 ,代入椭圆方程,消去 y 得
由判别式得出 k 的取值范围

?9k


2

? 4 x 2 关于所求量的不等式 ? 54kx ? 45 ? 0

?

(*)

? 54k ? x1 ? x 2 ? 2 , ? ? 9k ? 4 ? ? x x ? 45 . 1 2 ? 9k 2 ? 4 ?



x1 k2 ? ? ,则, ? ? 1 ? 2 ? 324 . x2 ? 45k 2 ? 20
2

在(*)中,由判别式 ? ? 0, 可得 k ? 从而有

5 , 9 4??? 1

4?

324k 2 36 ,所以 ? 2 45k ? 20 5

?

?2?

36 ,解得 5

1 ? ? ? 5. 5 1 ? ? ? 1. 5 AP 1 ?? . 综上, ? 1 ? PB 5
结合 0 ? ? ? 1 得 点评:范围问题不等关系的建立途径多多,诸如判别式法,均值不等式法,变量的有界 性法,函数的性质法,数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手,给出又一优美解 法.

15

解题犹如打仗,不能只是忙于冲锋陷阵,一时局部的胜利并不能说明问题,有时甚至会 被局部所纠缠而看不清问题的实质所在,只有见微知著,树立全局观念,讲究排兵布阵,运 筹帷幄,方能决胜千里. 第三、推理训练:数学推理是由已知的数学命题得出新命题的基本思维形式,它是数学 求解的核心。以已知的真实数学命题,即定义、公理、定理、性质等为依据,选择恰当的解 题方法,达到解题目标,得出结论的一系列推理过程。在推理过程中,必须注意所使用的命 题之间的相互关系(充分性、必要性、充要性等) ,做到思考缜密、推理严密。通过编写思 维流程图来锤炼自己的大脑,快速提高解题能力。 例 6 椭圆长轴端点为 A, B , O 为椭圆中心, F 为椭圆的右焦点,且 AF ? FB ? 1 ,

OF ? 1 .
(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)记椭圆的上顶点为 M ,直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,问:是否存在直线 l ,使点 F 恰为 ?PQM 的垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。 思维流程:

(Ⅰ)

由 AF ? FB ? 1 , OF ? 1

??? ? ??? ?

??? ?

(a ? c)(a ? c) ? 1 , c ? 1

a ? 2, b ? 1
由 F 为 ?PQM 的重心 (Ⅱ)

写出椭圆方程

PQ ? MF , MP ? FQ

kPQ ? 1

? y ? x?m 消元 ? 2 2 ?x ? 2 y ? 2
两根之和, 两根之积 解题过程:

3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0

???? ??? ? MP ? FQ ? 0

得出关于 m 的方程

解出 m

(Ⅰ)如图建系,设椭圆方程为 又∵ AF ? FB ? 1 即

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则 c ? 1 a 2 b2

(a ? c) ? (a ? c) ? 1 ? a2 ? c2 ,∴ a 2 ? 2
16

故椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2

(Ⅱ)假设存在直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,且 F 恰为 ?PQM 的垂心,则 设 P( x1, y1 ), Q( x2 , y2 ) ,∵ M (0,1), F (1,0) ,故 k PQ ? 1 , 于是设直线 l 为 y ? x ? m ,由 ?

? y ? x?m 2 2 得, 3x ? 4mx ? 2m ? 2 ? 0 2 2 ?x ? 2 y ? 2

∵ MP ? FQ ? 0 ? x1 ( x2 ? 1) ? y2 ( y1 ? 1) 又 yi 得 x1 ( x2

???? ??? ?

? xi ? m(i ? 1,2)

? 1) ? ( x2 ? m)( x1 ? m ? 1) ? 0 即
由韦达定理得

2x1x2 ? ( x1 ? x2 )(m ?1) ? m2 ? m ? 0
2m2 ? 2 4m 2? ? (m ? 1) ? m2 ? m ? 0 3 3
解得 m ? ?

4 4 或 m ? 1 (舍) 经检验 m ? ? 符合条件. 3 3

点石成金:垂心的特点是垂心与顶点的连线垂直对边,然后转化为两向量乘积为零. 例 7、已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A(?2, 0) 、 B(2, 0) 、

? 3? C ?1, ? 三点. ? 2?
(Ⅰ)求椭圆 E 的方程: (Ⅱ)若点 D 为椭圆 E 上不同于 A 、 B 的任意一点, F (?1,0), H (1,0) ,当Δ DFH 内 切圆的面积最大时,求Δ DFH 内心的坐标; 思维流程: (Ⅰ) 由椭圆经过 A、B、C 三点 解出 m, n (Ⅱ) 由 ?DFH 内切圆面积最大 转化为点 D 的纵坐标的绝对值最大最大 转化为 ?DFH 面积最大 设方程为 mx ? ny ? 1
2 2

得 到 m, n 的 方 程 组

D 为椭圆短轴端点

?DFH 面积最大值为 3

17

S ?DFH

1 ? ? 周长 ? r内切圆 2

r内切圆 ?

3 3

3? ? 3 ? ? 解题过程: (Ⅰ) 设椭圆方程为 mx2 ? ny2 ? 1 ?m ? 0, n ? 0? , 将 A(?2, 0) 、B(2, 0) 、
得出 D 点坐标为 ? 0,?

? ? ?

3 C (1, ) 代入椭圆 E 的方程,得 2

? 4m ? 1, 1 1 x2 y 2 ? E m ? , n ? ? ?1 . 解得 . ∴椭圆 的方程 ? 9 4 3 4 3 m ? n ? 1 ? ? 4

(Ⅱ) | FH |? 2 ,设Δ DFH 边上的高为 S ?DFH ?

1 ? 2? h ? h 2

当点 D 在椭圆的上顶点时, h 最大为 3 ,所以 S ?DFH 的最大值为 3 . 设Δ DFH 的内切圆的半径为 R ,因为Δ DFH 的周长为定值 6.所以, S ?DFH ? 所以 R 的最大值为

1 R?6 2

3 .所以内切圆圆心的坐标为 (0, 3 ) 3 3 .
1 ? ?的周长 ? r?的内切圆 2
2 2

点石成金: S ?的内切圆 ?

, 0) 及椭圆 x ? 3 y ? 5 ,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两 例 8、已知定点 C (?1
点. (Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标是 ?

1 ,求直线 AB 的方程; 2

(Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 M ,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若 不存在,请说明理由. 思维流程: (Ⅰ)解:依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 将 y ? k ( x ? 1) 代入 x ? 3 y ? 5 , 消去 y 整理得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0.
2 2

设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),

18

?? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 0, ? 则? 6k 2 x ? x ? ? . ? 1 2 3k 2 ? 1 ?
由线段 AB 中点的横坐标是 ? 意。

(1) (2)

1 , 2



x1 ? x2 3k 2 1 ?? 2 ? ? ,解得 k ? ? 3 ,符合题 2 3k ? 1 2 3

所以直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,或 x ? 3 y ? 1 ? 0 . (Ⅱ)解:假设在 x 轴上存在点 M (m, 0) ,使 MA ? MB 为常数. ① 当 直 线

AB



x























x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 5 , x x ? . 1 2 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1

(3)

所以 MA ? MB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? y1 y2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1)

??? ? ????

? (k 2 ?1) x1x2 ? (k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? k 2 ? m2 . 将 (3) 代 入 , 整 理 得
1 14 (2m ? )(3k 2 ? 1) ? 2m ? ???? ???? (6m ? 1)k 2 ? 5 3 3 ? m2 MA ? MB ? ? m2 ? 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
1 6m ? 14 ? m 2 ? 2m ? ? . 3 3(3k 2 ? 1)
注意到 MA ? MB 是与 k 无关的常数, 从而有 6m ? 14 ? 0,m ? ?

???? ???? 4 7 , 此时 MA ? MB ? . 3 9

② 当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A,B 的坐标分别为 ? ?1 , ?、 ? ? ?1,

? ?

2 ? ? 3? ?

2 ? ? ,当 3?

m??

???? ???? 4 7 时, 亦有 MA ? MB ? . 3 9

综上,在 x 轴上存在定点 M ? ? , 0 ? ,使 MA ? MB 为常数.

? 7 ? ? 3 ?

1 14 (2m ? )(3k 2 ? 1) ? 2m ? ???? ???? (6m ? 1)k 2 ? 5 3 3 ? m2 点石成金: MA ? MB ? ? m2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1
1 6m ? 14 ? m 2 ? 2m ? ? . 3 3(3k 2 ? 1)
例 9、已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,
19

平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) , l 交椭圆于 A、B 两个不同点。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 m 的取值范围; (Ⅲ)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 思维流程:

x2 y2 解: (1)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b

?a ? 2b 2 ? ? ?a ? 8 则? 4 解得? 2 1 ? 2 ?1 ? ? ?b ? 2 2 b ?a

∴椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 8 2

(Ⅱ)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m 又 KOM=

1 2

? l的方程为: y ?

1 x?m 2

1 ? y ? x?m ? ? 2 ? x 2 ? 2m x ? 2m 2 ? 4 ? 0 由? 2 2 ?x ? y ?1 ? 2 ?8
∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

? ? ? (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) ? 0, 解得 ? 2 ? m ? 2, 且m ? 0

(Ⅲ)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ),且x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m ? 4
2

则 k1 ?

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2
2

由 x2 ? 2mx ? 2m ? 4 ? 0可得

x1 ? x2 ? ?2m, x1 x2 ? 2m 2 ? 4
而 k1 ? k 2 ?

y1 ? 1 y 2 ? 1 ( y1 ? 1) ? ( x2 ? 2) ? ( y 2 ? 1)(x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

20

1 1 ( x1 ? m ? 1)(x 2 ? 2) ? ( x 2 ? m ? 1)(x1 ? 2) 2 ? 2 ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) ? ? x1 x 2 ? (m ? 2)(x1 ? x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)(x 2 ? 2)

?

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ?0 ( x1 ? 2)(x2 ? 2)

? k1 ? k 2 ? 0
故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形. 点石成金:直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形 ? k1 ? k 2 ? 0

例 10、已知双曲线

x2 y2 2 3 ? 2 ? 1 的离心率 e ? ,过 A(a,0), B(0,?b) 的直线到原点的距 2 3 a b

离是

3 . 2

(1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y ? kx ? 5(k ? 0) 交双曲线于不同的点 C,D 且 C,D 都在以 B 为圆心的圆 上,求 k 的值. 思维流程: 解 : ∵ ( 1 )
d ? ab a ?b
2 2

c 2 3 ? , 原 点 到 直 线 a 3
? 3. ab ? c 3 . 2 .

AB : x ? y ? 1 的 距 离
a b

? b ? 1, a ?

2 故所求双曲线方程为 x ? y 2 ? 1.

3

(2)把 y ? kx ? 5代入x 2 ? 3 y 2 ? 3 中消去 y,整理得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 30kx ? 78 ? 0 . 设 C( x1 , y1 ), D( x2 , y2 ), CD 的中点是 E( x0 , y0 ) ,则

21

x0 ? k BE

x1 ? x2 15k 5 ? ? y 0 ? kx0 ? 5 ? , 2 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 y ?1 1 ? 0 ?? . x0 k

? x0 ? ky0 ? k ? 0,


15k 5k ? ? k ? 0, 又k ? 0,? k 2 ? 7 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k
故所求 k=± 7 . 点石成金: C,D 都在以 B 为圆心的圆上 ? BC=BD ? BE⊥CD;

例 11、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值 为 3,最小值为 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (II)若直线 l : y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A、B 两点(A、B 不是左右顶点) ,且以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 思维流程: 解: (Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

由已知得: a ? c ? 3,a ? c ? 1 ,

a ? 2,c ? 1, ? b2 ? a 2 ? c2 ? 3

? 椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

(II)设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) .

? y ? kx ? m, ? 联立 ? x 2 y 2 得 (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 ,则 ? 1. ? ? 3 ?4
? ?? ? 64m 2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m 2 ? 3) ? 0,即3 ? 4k 2 ? m 2 ? 0, ? 8mk ? , ? x1 ? x2 ? ? 3 ? 4k 2 ? ? 4(m 2 ? 3) . ? x1 x2 ? 3 ? 4k 2 ?

又 y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m ?
2 2

3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

0) , 因为以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,

22

? k AD kBD ? ?1 ,即
?

y1 y2 ? ? ?1 . x1 ? 2 x2 ? 2

? y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 .
?7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 .

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 15mk ? ? ?4?0. 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

解得: m1 ? ?2k,m2 ? ?

2k 2 2 ,且均满足 3 ? 4k ? m ? 0 . 7

当 m1 ? ?2k 时, l 的方程 y ? k ( x ? 2) ,直线过点 (2, 0) ,与已知矛盾; 当 m2 ? ?

2k 2? ? ?2 ? 时, l 的方程为 y ? k ? x ? ? ,直线过定点 ? , 0? . 7 7? ? ?7 ?

所以,直线 l 过定点,定点坐标为 ? , 0? . 点石成金:以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点 ? CA⊥CB; 例 12、已知双曲线 支上. (Ⅰ)若当点 P 的坐标为 (

?2 ?7

? ?

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右两个焦点分别为 F1、F2 ,点 P 在双曲线右 a2 b2

3 41 16 , ) 时, PF1 ? PF2 ,求双曲线的方程; 5 5

(Ⅱ)若 | PF1 |? 3 | PF2 | ,求双曲线离心率 e 的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程. 思维流程: 解: (Ⅰ)(法一)由题意知, PF1 ? (?c ?

3 41 16 3 41 16 ,? ) , PF2 ? (c ? ,? ) , 5 5 5 5 3 41 3 41 16 ) (c ? ) ? ( ? ) 2 ? 0 (1 分) ? PF1 ? PF2 ,? PF1 ? PF2 ? 0, ? (?c ? 5 5 5
解得 c 2 ? 25,? c ? 5 . 由双曲线定义得: | PF1 | ? | PF2 | ? 2a,

? 2a ? (?5 ?

3 41 2 16 3 41 2 16 ) ? (? ) 2 ? (5 ? ) ? (? ) 2 5 5 5 5

? ( 41 ? 3) 2 ? ( 41 ? 3) 2 ? 6 ,? a ? 3, b ? 4

?所求双曲线的方程为:

x2 y2 ? ?1 9 16

(法二) 因 PF1 ? PF2 ,由斜率之积为 ? 1 ,可得解. (Ⅱ)设 | PF1 |? r1 , | PF2 |? r2 ,

23

( 法 一 ) 设

P

的 坐 标 为

( x? , y ? )

,

由 焦 半 径 公 式 得 ,

r1 ?| a ? ex? |? a ? ex? , r2 ?| a ? ex? |? ex? ? a
? r1 ? 3r2 ,? a ? ex ? ? 3(ex ? ? a),? x? ? 2a 2 2a 2 ? a, ? 2 a ? c , ,? x? ? a,? c c

?e 的最大值为 2,无最小值. 此时

c b c2 ? a2 ? 2, ? ? e2 ?1 ? 3 , a a a

?此时双曲线的渐进线方程为 y ? ? 3x
(法二)设 ?F1 PF2 ? ? , ? ? (0, ? ] .

? 2c ? 4r2 , 2a ? r1 ? r2 ? 2r2 (1)当 ? ? ? 时, ? r1 ? r2 ? 2c, 且r1 ? 3r2,
此时 e ?

2c 4r2 ? ?2. 2a 2r2

(0,?) (2)当 ? ? ,由余弦定理得:
2 (2c) ? r1 ? r2 ? 2r1r2 cos ? ? 10r2 ? 6r2 cos ? 2 2 2 2

?

e?

2c r2 ? 10 ? 6 cos ? 10 ? 6 cos ? , ? ? 2a 2r2 2

? cos ? ? (?1,1) ,? e ? (1,2) ,综上, e 的最大值为 2,但 e 无最小值. (以下法一)

24


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