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2019年-8-1微分方程基本概念-PPT精选文档_图文

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§1 微分方程基本概念
一、 问题的提出 二、 微分方程基本概念

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函数反映了客观世界运动过程中各种变 量之间的函数关系,是研究现实世界运动规 律的重要工具,但在大量的实际问题中遇到 稍为复杂的运动过程时,要直接写出反映运 动规律的量与量之间的函数关系往往是不可 能的,但常可建立含有要找的函数及其导数 的关系式,这种关系式称为微分方程,对微 分方程进行分析,找出未知函数来,这就是 解微分方程。

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一、问题的提出

例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点

M(x, y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程.

解 设所求曲y线 ?y为 (x)

dy ? 2x dx

(1)

其 中 x ? 1 时 ,y ? 2 , 记 成 y |x ? 1 ? 2(2)

y??2xdx 即y?x2?C,
将(2)代入(3)求C 得 ?1,

(3)

所求曲线方y?程x2为 ?1.

(4)

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例 2 一个质量为 m 的质点开始位于 s0 ,并以初速度

v0 做垂直上抛运动,设只考虑重力作用,求质点的

运动方程。

解 设 所 求 质 点 的 运 动 方 程 为 s ? s ( t) ,

s''

(t)

?

d2s dt2

?

?g

其 中 s ( t ) |t? 0 ? s 0 , s ?( t) ? v ( t) |t? 0 ? v 0

(5) (6)

对(5)两边积分可得: s ?( 将t)? (v 6(t))? 代? g 入t? (C 1 7, )s(可t)? 得? :1 2 g t2? C 1 t? C 2(7)

s?s(t)??1 2gt2?v0t?s0

(8)

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二、微分方程的基本概念
分类1:微分方程与偏微分方程 在例1和例2中的(1)和(5)式中都含有未知
函数的导数,我们有:凡含有未知函数的导数或微 分的方程叫微分方程.并称方程中最高阶导数的阶数 为微分方程的阶数。
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些 导数(或微分)之间的关系式. 说明1 (1)一个微分方程中自变量、自变量的未知函数未 必都出现;例1中两者都出现,例2中自变量未必现; (2)例1和例2中的微分方程分别为一阶、二阶微分 方程;

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在上述两个引例中未知函数都是一元的,我们 称未知函数为一元函数的微分方程为常微分方程。
例1和例2中的微分方程分别为一阶常微分方程 和二阶常微分方程; 另一类未知函数为多元函数的方程为偏微分方程
x ?z ? y ?z ? z, xdx?ydy?zdz?0
说明2 ?x ?y
I、一阶微分方程几种形式:
(1)一般形式:F(x,y,y?)?0
(2)一阶显示方程:y??f(x,y) (3)对称形式:d dy x?Q P((xx,,yy))或 者 Pdx?Qdy?0

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II、在一阶方程中,x和y的关系是等价的,因此 有时可以将x看成函数,y看成变量;
本章我们主要研究的是常微分方程。 一般地,n阶常微分方程记为
F (x ,y ,y ?,? ,y (n ))? 0 ,
其中x为自变量,y为未知函数,这里y(n)一定 要出现,其它的可以出现也可以不出现。

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分类2:线性与非线性微分方程 若 F(x,y?,y??, ,y(n))?0可以表示称如下形式
y ( n ) ? a 1 ( x ) y ( n ? 1 ) ? ? a n ? 1 ( x ) y ? ? a n ( x ) y ? f ( x )
则称之为n阶线性常微分方程,
其 中 a 1 (x ),a 2 (x ), ,a n (x ),f(x )均为自变量x的已知函数。 反之,不能写成上面形式的微分方程称为非线性
微分方程。 如引例中的1、2都是线性的微分方程,分别 为一阶和二阶线性微分方程;而
d dy x?ay?ay2和 d dx 2y 2?g tsiny?0 都是一阶和二阶非线性微分方程。

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? 分类3:解与隐式解
(1)若 y ? ( x ) 代 入 方 程 F ( x ,y ? ,y ? ? ,,y ( n ) ) ? 0 后 能使得它变为恒等式
? 则 称 y ? ( x ) 为 F ( x ,y ? ,y ? ? ,,y ( n ) ) ? 0 的 解
(2)若 关 系 式 ?(x,y)?0所确定的隐函数 y ??(x)
是 方 程 F ( x ,y ?,y ??, ,y ( n ))? 0 的 解 则 称 ? ( x , y ) ? 0 为 F ( x , y ? , y ? ? ,, y ( n ) ) ? 0 的 隐 式 解
容易验证:
( 1 ) s(t)? ? 1 2 g t2? C 1 t? C 2 是 s??(t)? ? g 的 解 ;
( 2) x2?y2?1是 dy??x的 隐 式 解 。 dx y
解和隐式解统称为微分方程的解

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微分方程的解的分类:

对 于 n 阶 微 分 方 程 F ( x ,y ?,y ? ?, ,y ( n ) ) ? 0

(1)通解:若上式的解中含有n个独立的任意常数,

即 y??(x,C 1,C 2, ,C n)

例y??y,

通解 y?Cxe;

y???y?0, 通 y ? C 解 1 sx i? C n 2 cx o ; s
(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.

说明3:通解和特解只是方程的两类解, 一阶方程的解要么是通解,要么是特解。

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微分方程求特解的方法和步骤: Step1:首先求出F(x,y?,y??, ,y(n))?0的通解; Step2:然后在根据实际情况找出能求出通解中n
个常数的条件——定解条件; Step3:根据定解条件求出满足条件的特解;
由定解条件求特解的问题,称为微分方程的 定解问题。

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常见的定解条件

y ( x 0 ) ? y 0 ,y ? ( x 0 ) ? y 1 ,,y ( n ? 1 ) ( x 0 ) ? y n ? 1
又称为初始条件;其中 y0,y1, ,yn?1为给定常数
相应的定解问题又称为初值问题,即

? ?F(x,y?,y??, ,y(n))?0

? ? ?y(x0)?y0,y?(x0)?y1,

,y(n? 1)(x0)?yn? 1

如引例中,y |x?1 ? 3 定解条件(或初值);

? dy ? ? dx

?

2x

为定解问题(或初值问题)

?? y | x ? 1 ? 3

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例3 验证:函数x?C1coskt?C2sinkt是微分
方程dd2t2x?k2x?0的解. 并求满足初始条件

xt?0

?A,

dx dtt?0

?0的特解.

解 ? d d? x t?k1C sikn ? tk2 C co k,st

d d22 xt??k2C 1co k? stk2C 2sikn ,t

将dd2t2x和x的表达式代入,原方程

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? k 2 ( C 1 c k ? C o 2 s t k ) ? s i k 2 ( C n t 1 c k ? C o 2 s t k ) ? s i 0

故 x?C 1co k? stC 2sikn 是 t 原方 . 程

?x ?A, dx ?0,

t?0

dtt?0

? C 1? A , C 2? 0 .

所求特解为 x?A ck o.ts

补充: 微分方程的初等解法: 初等积分法.

求解微分方程

求积分

(通解可用初等函数或积分表示出来)

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思考题
函 数 y?3e2x是 微 分 方 程 y???4y?0
的 什 么 解 ?

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思考题解答

?y??6e2x, y???1e22x, y???4y?1e2 2 x? 4?3 e2x?0 ,
?y?3e2x 中不含任意常数,
故为微分方程的特解.


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