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函数奇偶性的性质及其应用

函数奇偶性的性质及其应用 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f ( ? x) ? ? f ( x) ,那么函数 f(x)叫做奇函数;如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f ( ? x) ? f ( x) ,那么函数 f(x)叫做偶函数。 其判定的法则是: (1) 看关系式是否出现 f ( ? x) ? ? f ( x)(此为奇函数) 或 f ( ? x) ? f ( x)(此为偶函数) , (2)看定义域是否关于原点对称; (3)看图象是否关于原点对称(此为奇函数)或关于 y 轴对称(此为 偶函数) 。显然,法则(1) , (2)与法则(3)是等价的。也就是说,一个函数不满足这三条法则中的任何 一条,它是非奇非偶函数;如果函数 f(x)满足了法则(1) , (2)或者满足法则(3) ,则可判定它的奇偶性。 因此,就奇偶性而言函数可以分为四类:①奇函数;②偶函数;③既是奇函数又是偶函数;④非奇非 偶函数。 设 f(x)是奇函数,如果当 x>0 时, f ( x) ? g( x) ,则 ?g( x)( x ? 0) f ( x) ? ? ??g( ? x)( x ? 0) (证明从略,类似情况略) 。 设 f(x)是奇函数,如果当 x>0 时,f(x)是增函数,则当 x<0 时,f(x)仍然是增函数(证明从略,类似情 况略) 。 一. 判断函数的奇偶性 例 1. 判定函数 f (x) ? 1 ? x 2 ? x 2 ? 1 的奇偶性。 ?1 ? x 2 ? 0 ? 解:函数的定义域满足 ? 2 ,即为 {?1,1} ,函数的图象表示两个点: (-1,0) , (1,0) 。其图 ? ?x ? 1 ? 0 象既关于原点对称,又关于 y 轴对称。从而函数 f(x)既是奇函数又是偶函数。 二. 求函数的函数值 例 3. 设 f ( x) ? a x ? a ?x ? b ? log c ( x ? x 2 ? 1) ? x 2 (其中 a,b,c 为常数) ,且 f ( ?2) ? 5 ,试求 f(2)的值。 2 a x ? a ?x ? b ? log c ( x ? x 2 ? 1) ,易证 g(x)是奇函数,故 解:设 g( x) ? 2 g(?2) ? ?g(2) ,f ( x) ? g( x) ? x 2 ?f ( ?2) ? g( ?2) ? 4 于是 ? ?f (2) ? ?g( ?2) ? 4 (1) ( 2) 两式相加得: f (2) ? 8 ? f ( ?2) ? 8 ? 5 ? 3 ,即 f (2) ? 3 三. 函数的解析式 例 3. 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时, f ( x) ? lg( x ? 1) ? 2x 2 ? 1 。试求此函数的解析式。 解: (1)当 x=0 时, f (0) ? f ( ?0) ? ? f (0) ,于是 f (0) ? 0 ; (2)当 x<0 时, ?x ? 0 ,则 f (?x) ? lg(?x ? 1) ? 2(?x) 2 ? 1 ,由于 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 f ( x) ? ?f (?x) ? ? l g ? ( x ? 1) ? 2x 2 ? 1 此函数的解析式为 ?? lg( ? x ? 1) ? 2 x 2 ? 1( x ? 0) ? f ( x) ? ?0( x ? 0) ? 3 2 ?x ? 2 x ? 1( x ? 0) 例 4. 设 x ?( ?1,1) ,f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, f ( x) ? g( x) ? 2 x ? lg(1 ? x) ,求 f(x)的表示式。 解:f(x)是奇函数,有 f ( ? x) ? ? f ( x) ;g(x)是偶函数,有 g( ? x) ? g( x) ,则 ( ? x) ?f ( x) ? g( x) ? 2 x ? l g 1 ? ( ? x) ?f ( ? x) ? g( ? x) ? 2( ? x) ? l g 1 ?f ( x) ? g( x) ? 2 x ? lg(1 ? x) 即? ?? f ( x) ? g( x) ? ?2 x ? lg(1 ? x) 两式相减得 f ( x) ? 2x ? 1 1? x lg( ) 2 1? x 四. 解不等式 例 5. 解不等式 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? 120 解:设 f ( x) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ? ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) ,因 f ( ? x) ? f ( x) ,则 f(x)是偶 函数,即 f(x)的奇数次方为 0,可设 f ( x) ? 2x 4 ? Ax 2 ? 48 ,以 x=1 代入,得 2 ? 14 ? A ? 12 ? 48 ? (1 ? 1)(1 ? 2)(1 ? 3)(1 ? 4) ? (1 ? 1)(1 ? 2)(1 ? 3)(1 ? 4) 解得 A=70,即 f ( x) ? 2x 4 ? 70x 2 ? 48 ,原不等式可化为: 2 x 4 ? 70x 2 ? 48 ? 120 即 x 4 ? 35x 2 ? 36 ? 0 即 ( x 2 ? 36)( x 2 ? 1) ? 0 因而 x 2 ? 1,x ? ?1 或 x>1 例 6. (2004 年上海卷)设奇函数 f(x)的定义域是[-5,5] 。当 x ?[0,5] 时,f(x)的图象如图 1,则不等 式 f(x)<0 的解是______________。 图1 解:根据奇函数图象关于原点成中心对称的性质,画出函数 y ? f ( x) 在区间[-5,5]上的图象如图 2, 易知不等式 f ( x) ? 0 的解是 ( ?2,0)

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