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2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第13课时)知识过关检测 理 新人教A版


2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 2 章《基本初等 函数、导数及其应用》 (第 13 课时) (新人教 A 版)

一、选择题 3π 1.与定积分∫0 1-cosxdx 相等的是( A. 2∫0 sin dx 2


)


x

B. 2∫0 ?sin ?dx 2

? ?

x?

?

? ? C.? 2∫0 sin dx? 2 ? ?


x

D.以上结论都不对
2

解析:选 B.∵1-cosx=2sin , 2 ∴ ∫0


x

1-cosxdx=∫0
2



2|sin |dx= 2∫0 |sin |dx. 2 2 ,则?1-1f(x)dx 的值是(

x



x

?x ? 2.设 f( x)=? x ? ?2

? x≥0? ? x<0?
x

?

)

A.?1-1x dx

? ?

2

B.?1-12 dx

? ?

x

C.?0-1x dx+?12 dx

2

?0

D.?0-12 dx+?1x dx

x

2

?0

答案:D 3.如果 1N 能拉长弹簧 1 cm,为了将弹簧拉长 6 cm,需做功( ) A.0.18 J B.0.26 J C.0.12 J D.0.28 J 解析: A.设 F=kx, 选 则由题可得 k=100, 所以做功就是求定积分?0.06100xdx=0.18(J).

?0

4. (2013·济南调研)曲线 y= x与 x=1,=4 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为( x 14 5 A. B. 3 3 10 16 C. D. 3 3 解析:选 A.所求的封闭图形的面积为 2 3 14 S=?4 xdx= x |4= . 1 3 2 3 ?
1

)

5.一物体的下落速度为 v(t)=9.8t+6.5(单位:米/秒),则下落后第二个 4 秒内经过 的路程是( ) A.249 米 B.261.2 米 C.310.3 米 D.450 米 8 2 8 解析:选 B.所求路程为 ∫ 4 (9.8t +6.5)dt =(4.9t +6.5t)| 4 =4.9×64+6.5×8- 4.9×16-6.5×4=313.6+52-78.4-26=261.2(米). 二、填空题 2 e 1+2x 6.(2013·日 照质检)积分? 1 dx 的值是________. ?

x

1 e 1+2x e e 1 e e 2 e 2 2 解析:? 1 dx=? 1( +2x)dx=? 1 dx+2? 1xdx=lnx|1+x |1=lne-l n1+e -1 = ? ? ? ?

2

x

x

x

1

e. 答案:e 7.(2012·高考山东卷)设 a>0,若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的 2 面积为 a ,则 a=________. 2 3 a 2 3 1 2 4 a 2 解析:由已知 得 S=? 0 xdx= x |0= a =a ,所以 a = ,所以 a= . ? 3 2 3 2 2 3 9 4 答案: 9 a 2 2 2 8.(201 3·德州质检)若? 0x dx=9,则 a=__________;? -2 4-x dx=________.
2

2

?

?

1 3 a 1 3 a 2 解析:∵? 0x dx= x |0= a =9,∴a=3, ? 3 3 2-2 2 2 2 2 2 又? ? 4-x dx 表示圆 x +y =4 在 x 轴上方的面积,故? -2 4-x dx=2π . ? 答案:3 2π 三、解答题

?x+2 -2≤x<0 ? 9.求函数 f(x)=? π ?2cosx 0≤x≤ 2 ?

的图象与 x 轴所围成的封闭图形 的面积.

解:所求面积为图中阴影部分的面积, ?π ? 由题意知 A(-2,0),B(0,2),C? ,0?, ?2 ? π π 0 ∴所求图形的面积 为? -2(x+2)dx+∫ 0(2cosx)dx=2+2sinx| 0=4. ? 2 2 1 2 10.在曲线 y=x (x≥0)上某一点 A 处作一切线使之与曲线以及 x 轴所围的面积为 . 12 试求:切点 A 的坐标及过切点 A 的切线方程.

解:如图.设切点 A(x0,y0), 2 由 y′=2x,得过点 A 的切线方程为 y-y0=2x0(x-x0),即 y=2x0x-x0. 令 y=0,得 x= .即 C? ,0?. 2 ?2 ? 设由曲线和过 A 点的切线及 x 轴所围成图形面积为 S, 1 x0 S 曲边△AOB=?0 x2dx= x3, 0 ? 3 1 1 x0 1 S△ABC= |BC|·|AB|= (x0- )·x2= x3. 0 0 2 2 2 4 1 3 1 3 1 3 1 即:S= x0- x0= x0 = . 3 4 12 12 所以 x0=1,从而切点 A(1,1),切线方程为 y=2x-1.
2

x0

?x0

?

一、选择题 1. (2013·福建六校联考)已知 f(x)为偶函数且? 0f(x)dx=8, ? -6f(x)dx 等于( 则? ?
6 6

)

A.0 C.8
0 6

B.4 D.16

解析:选 D.原式=? -6f(x)dx+? 0f(x)dx, ? ? ∵原函数为偶函数,∴在 y 轴两侧的图象对称, ∴对应的面积相等,即 8×2=16. 2.

(2012·高考福建卷)如图所示,在边长为 1 的正方形 OABC 中任取一点 P,则点 P 恰好 取自阴影部分的概率为( ) 1 1 A. B. 4 5 1 1 C. D. 6 7 解析:选 C.阴影部分的面积为

阴影部分的面积 1 故所求的概率 P= = ,故选 C. 正方形OABC的面积 6 二、填空题 3. 设函数 f(x)=ax +c(a≠0), ? 0f(x)dx=f(x0), x0≤1, x0 的值为________. 若? 0≤ 则
2 1

1 3 a 3 1 1 2 1 2 解析:? 0f(x)dx=? 0(ax +c)dx=( ax +cx)|0= +c=ax0+c.∴x0= . ? ? 3 3 3 答案: 3 3 若 f(f(1))=1,则 a=

x>0, ?lgx, ? 4.(2011·高考陕西卷)设 f(x)=? ?a 2 ?x+?03t dt,x≤0, ?

________. 3 3 解析:由题意知 f(1)=lg 1=0,∴ f(0)=0+a -0 =1,∴a=1. 答案:1 三、解答题 5.

如图,设点 P 从原点沿 曲线 y=x 向点 A(2,4)移动,记直线 OP、曲线 y=x 及直线 x=
3

2

2

2 所围成的面积分别记为 S1,S2,若 S1=S2,求点 P 的坐标. 解:设直线 OP 的方程为 y=kx, P 点的坐标为(x,y), 则?0 (kx-x )dx=?x(x -kx)dx, ? ?
2 2

x

2

?1 2 1 3? x ?1 3 1 2? 2 即? kx - x ?|0=? x - kx ?|x, 3 ? 2 ? ?2 ?3 1 2 1 3 8 ?1 3 1 2? 解得 kx - x = -2k-? x - kx ?, 2 ? 2 3 3 ?3 4 4 ?4 16? 解得 k= ,即直线 OP 的方程为 y= x,所以点 P 的坐标为? , ?. 3 3 ?3 9 ?

4


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