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高中数学2-2-2反证法课件新人教A版_图文


2.2.2 反 证 法 反证法 不成立 假设 错误 原命题成立 定理 已知条件 公理 事实 假设 定义 判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)反证法属于间接证明问题的方法.( ) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推 理.( ) (3)反证法的实质是否定结论导出矛盾.( ) 提示:(1)正确.反证法其实是证明其逆否命题成立,所以它 属于间接证明问题的方法. (2)错误.反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理 . (3)正确.否定结论导出矛盾就是反证法的实质,从而肯定原 结论. 答案:(1)√ (2)× (3)√ 【知识点拨】 对反证法概念的三点说明 (1)反证法不是直接去证明结论,而是在否定结论的基础上, 运用演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的真实性 . (2)反证法中的“反设”是应用反证法的第一步,也是关键的 一步.“反设”的结论将是下一步“归谬”的一个已知条件, “反设”是否正确、全面,将直接影响下一步的证明 . (3)反证法的“归谬”是反证法的核心,其含义是:从命题结 论的假设(即把“反设”作为一个新的已知条件)及原命题的 条件出发,引用一系列论据进行正确推理,推出与已知条件、 定义、定理、公理等相矛盾的结果. 类型 一 用反证法证明否定性命题 【典型例题】 1.用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a,b,c中无偶 数”,正确的假设为( A.a,b,c都是奇数 B.a,b,c都是偶数 ) C.a,b,c中至少有两个偶数 D.a,b,c中至少有一个偶数 2.(2013·中山高二检测)设函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中, a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数,求证:f(x)=0无整 数根. 【解题探究】1.a,b,c中无偶数的含义是什么? 2.题2中,f(0)为奇数且f(1)为奇数能说明什么问题? 探究提示: 1.a,b,c中无偶数,即a,b,c都是奇数. 2.f(0)=c且f(1)=a+b+c.由于f(0)为奇数,所以c为奇数,由 于f(1)为奇数,c为奇数,所以a+b为偶数. 【解析】1.选D.a,b,c中无偶数,即a,b,c都是奇数,反设应 是“a,b,c中至少有一个偶数”. 2.假设f(x)=0有整数根n,则an2+bn+c=0(n∈Z). 因为f(0),f(1)均为奇数,且f(0)=c,f(1)=a+b+c, 所以c为奇数,a+b为偶数. 即a,b,c同时为奇数或a,b为偶数,c为奇数. (1)当n为奇数时,an2+bn为偶数. (2)当n为偶数时,an2+bn也是偶数, 即an2+bn+c为奇数,这与an2+bn+c=0矛盾. 所以假设不成立,所以f(x)=0无整数根. 【互动探究】题2中,把“f(0),f(1)均为奇数”改为 f(0),f(1)均为偶数,求证:f(x)=1无整数根. 【证明】假设f(x)=1有整数根n,则an2+bn+c-1=0(n∈Z). 因为f(0),f(1)均为偶数,且f(0)=c,f(1)=a+b+c. 所以c为偶数,a+b为偶数. 即a,b,c同时为偶数或a,b为奇数,c为偶数. (1)n为奇数时,an2+bn为偶数. (2)n为偶数时,an2+bn也为偶数. 即an2+bn+c-1为奇数,这与an2+bn+c=1矛盾, 所以假设不成立,所以f(x)=1无整数根. 【拓展提升】 1.用反证法证明否定性命题的适用类型 结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等

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