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2014年浙江省温州市高三第二次适应性测试数学(文科)试题2014.4.16(Word版)


2014 年温州市高三第二次适应性测试 数学(文科)试题
2014.4

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 3 至 4 页.满分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么 棱柱的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) 如果事件 A, B 相互独立,那么 P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是

V ? Sh 其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高
棱锥的体积公式

p ,那么

1 V ? Sh 3

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n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn (k ) ? C p (1 ? p)
k n k n?k

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱台的体积公式

,(k ? 0,1, 2,?, n)

球的表面积公式
S ? 4? R2

V ?

1 h( S1 ? S1S2 ? S2 ) 3

其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积,

球的体积公式

h 表示棱台的高

4 V ? ?R 3 其中 R 表示球的半径 3

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求。 1.已知集合 A ? {x | y ? 2 } , B ? { y | y ? 2 } ,则 A I B ? ( ▲ )
x x

A. [0, ??) A. 1

B. (0, ??)

C. R

D. ? D. 5

2. 已知 i 为虚数单位,则 1 ? 2i ? ( ▲ ) C. ?2 3. 已知向量 a ? ( x,2), b = (3, y) ,则“ x ? 1, y ? ?6 ”是“ a ? b ”的( ▲ ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 B. 2 错误!未找到引用源。 C.充分必要条件 A. f (1) ? f ( ) ? f (e) C. f (e) ? f (1) ? f ( ) D.既不充分也不必要条件 B. f ( ) ? f (e) ? f (1) D. f (e) ? f ( ) ? f (1) 4. 设函数 f ( x) ? ln x ,则下列结论中正确的是( ▲ )

1 2

1 2

1 2

1 2

数学(文科)试题 第 1 页(共 4 页)

5.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图是( ▲ )

A

B

C
(第 5 题图)

D

6.设 α 是一个平面, m, n 是两条不同的直线,以下命题不正确 的是( ▲ ) ... A.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n C.若 m ? ? , n ? ? ,则 m ? n 7. 已知函数 f ( x) ? B.若 m ? ? , m ? n ,则 n ? ? D.若 m ? ? , m ? n ,则 n ? ?

sin( x ? π) ,则下列结论中正确的是( ▲ ) cos( π ? x)
B. f ( x) 在 [4,5] 上单调递增 D. f ( x) 的图像关于点 (
2

A. f ( x) 的最小正周期是 2π C. f ( x) 的图像关于 x ?

π 对称 2

3π ,0) 对称 2

8. 在 ?ABC 中,若 AC ? AB ?| AC | ,则有( ▲ ) A. | AC |?| BC |

uuu r

uuu r

B. | BC |?| AC |

C. | AC |?| AB |

D. | AB |?| BC |

9. 下列四个函数① f ( x) ? x ? 1 ,② f ( x) ? 2 x3 ,③ f ( x) ? x sin x ,④ f ( x) ? 圆 O : x ? y ? 1 的面积的是( ▲ )
2 2

x 的图像能等分 cos x

A.②③ 10. 双曲线

B.②④

C.②③④

D. ①②③④

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,过 F1 作圆 x 2 ? y 2 ? a 2 的切线交双曲线的 a2 b2

左、右支分别于点 B 、 C ,且 | BC |?| CF2 | ,则双曲线的渐近线方程为( ▲ ) A. y ? ?3x B. y ? ?2 2 x C. y ? ?( 3 ? 1) x D. y ? ?( 3 ? 1) x

数学(文科)试题 第 2 页(共 4 页)

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.已知函数 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,则 f (2) = 12.已知 cos 2? ? ? ▲ .

3 π π , ? ? (0, ) ,则 sin(? ? ) ? ▲ . 5 2 2 13.某程序框图如图所示,若输出的 a ? 161 ,则输入的 N ? ▲ .
?x ? 0 ? 14.已知实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值 ?x ? 3y ? 3 ? 0 ?
是 ▲ .
(第 13 题图)

15.甲、乙两名学生选修 4 门课程(每门课程被选中的机会相等),要求每名学生必须选 1 门且只 需选 1 门,则他们选修的课程互不相同的概率是 ▲ . 16.已知 a>1,ab=2a+b,则(a+1) (b+2)的最小值是 ▲ . 17.如图,在四面体 ABCD 中,E,F 分别为 AB,CD 的中点,过 EF 任作一个平面 ? 分别与直 线 BC,AD 相交于点 G,H,则下列结论正确的是 ▲ . ①对于任意的平面 ? ,都有直线 GF,EH,BD 相交于同一点; ②存在一个平面 ? 0 ,使得 GF//EH//BD; ③存在一个平面 ? 0 ,使得点 G 在线段 BC 上,点 H 在线段 AD 的延长线上; ④对于任意的平面 ? ,都有 S?EFG ? S?EFH .
(第 17 题图)

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2? A x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? [0, π) )的 18.(本题满分 14 分)如图,点 P (0, ) 是函数 y ? A sin( 3 2 图像与 y 轴的交点,点 Q, 点 R 是它与 x 轴的两个交点. (I)求 ? 的值; (II)若 PQ ? PR ,求 A 的值.

(第 18 题图) 数学(文科)试题 第 3 页(共 4 页)

19.(本题满分 14 分)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , (an ? S n ?1 ) ? S n ? S n ?1 ( n ? 2 ) ,
2

且 a1 ? 1 , an ? 0 . (I)求 a2 的值,并证明 ? S n ? 是等比数列;
n (II)设 bn ? (?1) log 2 Sn , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 Tn .

20.(本题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为平 行四边形,AB ? 1 ,BC ? 上, AE ? PC . (I)证明: AE ⊥平面 PCD ; (II)当 PA ? 2 时,求直线 AD 与平面 ABE 所成角的 正弦值.

2 ,?ABC ? 45? , 点 E 在 PC

(第 20 题图)

21.(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2 x, g ( x) ? xe .
2 x

(I)求 f ( x) ? g ( x) 的极值; (II)当 x ? (?2, 0) 时, f ( x) ? 1 ? ag ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

22. (本题满分 15 分) 已知抛物线的顶点为 (0, 0) , 准线为 x ? ?2 , 不垂直于 x 轴的直线 x ? ty ? 1 与该抛物线交于 A, B 两点,圆 M 以 AB 为直径. (I)求抛物线的方程; (II)圆 M 交 x 轴的负半轴于点 C ,是否存在实数 t ,使得 求出 t 的值; ?ABC 的内切圆的圆心在 x 轴上?若存在, 若不存在,说明理由.

(第 22 题图)

数学(文科)试题 第 4 页(共 4 页)

2014 年温州市高三第二次适应性测试 数学(文科)试题参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。 题号 答案 1 B 2 D 3 D 4 A 5 A 6 B 7 D 8 D 9 B 10 C 2014.4

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11. 3 12.

5 5

13. 5

14. 6

15.

3 4

16. 18

17.②④

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A 18.(本题满分 14 分)如图,点 P (0, ) 是函数 y ? A sin( 2

2? x ? ? ) (其中 A ? 0, ? ? [0, π) )的 3

图像与 y 轴的交点,点 Q, 点 R 是它与 x 轴的两个交点. (I)求 ? 的值; (II)若 PQ ? PR ,求 A 的值. 解: (I)∵函数经过点 P (0,

A 1 ) ∴ sin ? ? ???3 分 2 2 又∵ ? ?[0,π ) ,且点 P 在递增区间上,
∴? ?

?
6 2? ? ? ) 3 6

???7 分

(第 18 题图)

(II)由(I)可知 y ? A sin( 令 y ? 0 ,得 sin(

2? ? x? )?0 3 6 2? ? 1 5 1 5 ∴ ∴ Q(? , 0), R( , 0) ???11 分 x? ?0 ∴x ? ? , 3 6 4 4 4 4 uuu r uur A 1 A 5 A 又∵ P (0, ) ,∴ PQ ? (? , ? ) , PR ? ( , ? ) 2 4 2 4 2 uuu r uur 5 1 2 ∵ PQ ? PR ,∴ PQgPR ? ? ? A ? 0 www.zxsx.com 16 4 5 解得: A ? ???14 分 2
19. (本题满分 14 分)已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n , (an ? S n ?1 ) ? S n ? S n ?1 ( n ? 2 ) ,
2

且 a1 ? 1 , an ? 0 . (I)求 a2 的值,并证明 ? S n ? 是等比数列;
数学(文科)试题 第 5 页(共 4 页)

n (II)设 bn ? (?1) log 2 Sn , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 Tn .

解: (I)令 n ? 2 ,得 (a2 ? a1 ) ? (a1 ? a2 ) ? a1 ,化简得: a2 ? 3a2 ? 0
2 2

? an ? 0,? a2 ? 3
由题意得 (Sn ? 2Sn ?1 ) ? Sn ? Sn ?1
2

???2 分 ???4 分

整理得: (Sn ? Sn ?1 )( Sn ? 4Sn ?1 ) ? 0

? an ( Sn ? 4Sn ?1 ) ? 0

???5 分

? an ? 0,?

Sn ?4 Sn ?1
???7 分
n ?1

?{Sn } 是等比数列
(II)由(I)知, S n ? 4

???8 分 ???10 分
n

? bn ? (?1) n (2n ? 2)
?Tn ? 2 ? [0 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (?1) (n ? 1)] ?1 ? n,n为奇数 ?? . ?n, n为偶数
平行四边形, AB ? 1 , BC ? (I)证明: AE ⊥平面 PCD ; (II)当 PA ? 正弦值. (I)证明:∵ AB ? 1 , BC ? 2 , ?ABC ? 45 , ∴ AB ? AC ?????2 分 ∵ PA ? 平面 ABCD , ∴ PA ? AB , 又∵ AC I AP ? A ∴ AB ? 平面 PAC , 又∵ AB P CD ∴ CD ? 平面 PAC ,
?

??14 分

20. (本题满分 14 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,四边形 ABCD 为

2 , ?ABC ? 45? ,点 E 在 PC 上, AE ? PC .

2 时,求直线 AD 与平面 ABE 所成角的

(第 20 题图)

∴ CD ? AE ??????4 分 又∵ AE ? PC ,又∵ PC I CD ? C ∴ AE ? 平面 PCD ??????7 分 (II)解:∵ AD P BC ,

?即求直线 BC 与平面 ABE 所成的角 ??????9 分 Q AE ⊥平面 PCD ? A E? P C 又 Q AB ? AC ,且 PC 在平面 ABC 上的射影是 AC ? AB ? PC ? PC ? 平面 ABE ??CBE 是直线 BC 与平面 ABE 所成的角. ???11 分
数学(文科)试题 第 6 页(共 4 页)

3 3 CE 6 ? Rt ?PAC 中, CE ? ? 3 ? ,? Rt ?CBE 中, sin ?CBE ? 3 CB 6 2
即直线 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值为
2

6 . 6

?????14 分
x

21. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2 x, g ( x) ? xe . (I)求 f ( x) ? g ( x) 的极值; (II)当 x ? (?2,0) 时, f ( x) ? 1 ? ag ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (I)令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 h?( x) ? ( x ? 1)(2 ? e x ) ???2 分

x
h?( x) h( x )

(??, ?1)

?1
0
(??, ? ln 2) 极小值

(?1,ln 2)

ln 2
0

(ln 2, ??)

?
?

?
?

?
?
???5 分

极大值

1 ? h( x)极小值 =h(?1) ? ? 1 ,? h( x)极大值 =h(ln 2) ? ln 2 2 .???7 分 e
(II)由已知,当 x ? (?2, 0) 时, x 2 ? 2 x ? 1 ? axe x 恒成立 即a ? 令 t ( x) ?

x 2 ? 2 x ? 1 x ? 2 ? x ?1 恒成立, ? xe x ex

???9 分

x ? 2 ? x ?1 ( x 2 ? 1)( x ? 1) ? ,则 t ( x ) ? ? ex x 2e x

???12 分

?当 x ? (?2, ?1) 时, t ?( x) ? 0 , t ( x ) 单调递增
当 x ? (?1,0) 时, t ?( x) ? 0 , t ( x ) 单调递减 故当 x ? (?2, 0) 时, t ( x)max ? t (?1) ? 0

?a ? 0
与该抛物线交于 A, B 两点,圆 M 以 AB 为直径. (I)求抛物线的方程;

???15 分

22. (本题满分 15 分) 已知抛物线的顶点为 (0, 0) , 准线为 x ? ?2 , 不垂直于 x 轴的直线 x ? ty ? 1

(II) 圆 M 交 x 轴的负半轴于点 C , 是否存在实数 t , 使得 ?ABC 的内切圆的圆心在 x 轴上? 若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由.
数学(文科)试题 第 7 页(共 4 页)

解: (Ⅰ)设抛物线方程为 y ? ax
2

又 a ? 2? 4 ? 8 ???3 分

?抛物线方程为 y 2 ? 8 x
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), C ( x0 , 0) 由 ? x ? ty ? 1 得: y ? 8ty ? 8 ? 0 ,
2

? 2 ? y ? 8x

???5 分

则 ? y1 ? y2 ? 8t

? ? y1 y2 ? ?8

(第 22 题图)

由点 C 在以 AB 为直径的圆上可得, CA ? CB ? 0 又 CA ? ( x1 ? x0 , y1 ? 0), CB ? ( x2 ? x0 , y2 ? 0)

??? ? ??? ?

?????7 分

??? ?

??? ?

? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? y1 y2 ? 0
又 x1 ? ty1 ? 1, x2 ? ty2 ? 1
2 ? x0 ? (8t 2 ? 2) x0 ? 7 ? 0

?

2 y12 y2 2 ? (t ( y1 ? y2 ) ? 2) x0 ? x0 ? y1 y2 ? 0 64

(*)

?????9 分

若存在 t ,使得 ?ABC 的内心在 x 轴上,则 kCA ? kCB ? 0 ??12 分

?

y1 y2 ? ? 0, 即 2ty1 y2 ? ( y1 ? y2 )(1 ? x0 ) ? 0, 即 2t (?8) ? 8t (1 ? x0 ) ? 0 x1 ? x0 x2 ? x0
???14 分

? x0 ? ?1
结合(*)得, t ? ?

2 2 .

???15 分 命题教师:林 荣 陈珍艳 李 芳 戴雪燕 黄成宝 叶事一

数学(文科)试题 第 8 页(共 4 页)


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