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【最新】2018-2019学年度人教B版高中数学-必修4教学案-第二章向量的分解与向量的坐标运算(可直接打印)

2.2.1 平面向量基本定理 预习课本 P96~98,思考并完成以下问题 (1)平面向量基本定理的内容是什么? (2)如何定义平面向量基底? (3)直线的向量参数方程式是什么? [新知初探] 1.平面向量基本定理 (1)定理 如果 e1 和 e2 是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任一向量 a,存在唯一的 一对实数 a1,a2,使 a=a1e1+a2e2. (2)基底 把不共线向量 e1,e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为{e1,e2}.a1e1+a2e2 叫做向量 a 关于基底{e1,e2}的分解式. [点睛] 对平面向量基本定理的理解应注意以下三点:①e1,e2 是同一平面内的两个不共 线向量;②该平面内任意向量 a 都可以用 e1,e2 线性表示,且这种表示是唯一的;③基底不唯 一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底. 2.直线的向量参数方程式 已知 A,B 是直线 l 上的任意两点,O 是 l 外一点(如图所示),则对于 直线 l 上任意一点 P,存在唯一实数 t,使 OP =(1-t) OA +t OB ;反 之,对每一个实数 t,在直线 l 上都有唯一的一个点 P 与之对应.向量等 式 OP =(1-t) OA +t OB 叫做直线 l 的向量参数方程式,其中实数 t 叫做参变数,简称参 1 1 数.当 t= 时, OP = ( OA + OB ),此时 P 点为线段 AB 的中点,这是线段 AB 中点的向量 2 2 表达式. [点睛] 直线的向量参数方程式中,其 OA , OB 的系数和为 1. [小试身手] 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底.( ) ) (2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底.( (3)零向量不可以作为基底中的向量.( 答案:(1)× (2)√ (3)√ ) 2.如图,向量 e1,e2,a 的起点与终点均在正方形网格的格点上, 则向量 a 用基底 e1,e2 表示为( A.e1+e2 C.2e1-e2 答案:B 3.设 e1,e2 是同一平面内两个不共线的向量,以下各组向量中不能作为基底的是( A.e1,e2 C.e1,5e2 答案:B 4.设 e1,e2 为两个不共线的向量,若点 O 是?ABCD 的中心, AB =4e1, BC =6e2,则 3e2-2e1=________. 1 解析:3e2-2e1= (6e2-4e1) 2 1 1 = ( BC - AB )= ( AD - AB ) 2 2 1 = BD = BO . 2 答案: BO (答案不唯一) B.e1+e2,3e1+3e2 D.e1,e1+e2 ) ) B.-2e1+e2 D.2e1+e2 用基底表示向量 [典例] 如图,在平行四边形 ABCD 中,设对角线 AC =a, BD =b, 试用基底 a,b 表示 AB , BC . 1 1 1 1 [解] 法一:由题意知, AO = OC = AC = a, BO = OD = BD = b. 2 2 2 2 1 1 所以 AB = AO + OB = AO - BO = a- b, 2 2 BC = BO + OC =2a+2b, 法二:设 AB =x, BC =y,则 AD = BC =y, 1 1 又? ? ? AB + BC = AC , ? ?x+y=a, 则? ? ? ?y-x=b, ? AD - AB = BD , 1 1 1 1 所以 x= a- b,y= a+ b, 2 2 2 2 1 1 1 1 即 AB = a- b, BC = a+ b. 2 2 2 2 用基底表示向量的方法 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量,基本方法有两种:一种是运用向量的线性 运算法则对待求向量不断进行转化,直至用基底表示为止;另一种是通过列向量方程或方程 组的形式,利用基底表示向量的唯一性求解. [活学活用] 如图,已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,E,F 分别是 AD,BC 边上 的中点, 且 BC=3AD,BA =a,BC =b.试以 a, b 为基底表示 EF ,DF , CD . 1 解:∵AD∥BC,且 AD= BC, 3 1 1 ∴ AD = BC = b. 3 3 ∵E 为 AD 的中点, 1 1 ∴ AE = ED = AD = b. 2 6 1 ∵ BF = BC , 2 1 ∴ BF = b, 2 ∴ EF = BA + AB + BF 1 1 1 =- b-a+ b= b-a, 6 2 3 DF = DE + EF =-6b+3b-a=6b-a, 1 1 1 CD = CF + FD =-( DF + FC ) 1 1 ? =-( DF + BF )=-? ?6b-a+2b? 2 =a- b. 3 直线的向量参数方程式的应用 [典例] 已知平面内两定点 A,B,对该平面内任一动点 C,总有 OC =3λ OA +(1-3λ) OB (λ∈R,点 O 为直线 AB 外的一点),则点 C 的轨迹是什么图形?简单说明理由. [解] 法一:3λ+(1-3λ)=1 且 λ∈R,结合直线的向量参数方程式可知点 C 的轨迹是直线 AB. 法二:将已知向量等式两边同时减去 OA ,得 OC - OA =(3λ-1) OA +(1-3λ) OB =(1-3λ)( OB - OA ) =(1-3λ) AB , 即 AC =(1-3λ) AB ,λ∈R, ∴A,B,C 三点共线,即点 C 的轨迹是直线 AB. 直线的向量参数方程式的两方面应用 (1)若 A,B,C 三点共线,则有 OC =x OA +y OB ,且 x+y=1; (2)若 OC =x OA +y OB ,且 x+y=1,则有 A,B,C 三点共线. [活学活用] 1 在△ABC 中,D 为 AB 上一

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