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广东省广州市普通高中2010届高三综合测试(二)文科数学试题


试卷类型:A

2010 年广州市普通高中毕业班综合测 试(二) 数 学( 文 科)
201 0.4 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟。 注意事项: 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签 字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填 写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型 (A) 填涂在答题卡相应 位置上. 2.选择题每小题选出答案后.用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑; 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区 域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使 用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、 错涂、多涂的,答案无效. 5.考生 必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 小题. 在每小题给出的四个选项中 个选项中. 一、选择题:本大题共 10 小题.每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中.只 选择题: 有一项是符合题目要求的 l.设全集 U = {1, 2,3, 4,5} ,集合 A = {2,3, 4} , B = {2,5} ,则 B ∪ ? A = U A. {5} B. {1, 2,5} C. {1, 2,3, 4,5,} D. ?

(

)

2.已知 i 为虚数单位,若复数 ( a 2 ? 1) + ( a + 1) i 为实数,则实数 a 的值为 A. ? 1 B.0 C. 1 D. ? 1 或 1 3.在长为 3m 的线段 AB 上任取一点 P ,则点 P 与线段两端点 A 、 B 的距离都大于 1m 的 概率是

1 4 1 C. 2
A.

1 3 2 D. 3
B.

4.在如图 1 所示的算法流程图中,若 f ( x ) = 2 x ,

g ( x ) = x 3 ,则 h ( 2 ) 的值为
(注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ← ”或“=”) A.9 B.8 C.6 D.4
[来源:学&科&网 Z&X&X&K][来源:学科网 ZXXK]

5.命题“若 x , y 都是偶数,则 x + y 也是偶数”的逆否命题是

A.若 x + y 是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 B.若 x + y 是偶数,则 x 与 y 都不是偶数 C.若 x + y 不是偶数,则 x 与 y 不都是偶数 D.若 x + y 不是偶数,则 x 与 y 都不是偶数

? x ≤ 2, ? 则目标函数 z = 2 x + y 的最小值为 6.设变量 x , y 满足约束条件 ? y ≤ x, ?x + y ≥ 2 ?
A.6
x x

B.4

C.3

D.2

7.若 x < 0 且 a > b > 1 ,则下列不等式成立的是 A. 0 < b < a < 1 8.函数 f ( x ) = cos ? x + B. 0 < a < b < 1 C. 1 < b < a D. 1 < a < b

? ?

π?

?π ? 1 ? sin ? ? x ? ? 是 4? ?4 ? 2

A.最小正周期为 2π 的偶函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 2π 的奇函数 9.高 8m 和 4m 的两根旗杆笔直地竖在水平地面上,且相距 10m,则地面上观察两旗杆顶 端仰角相等的点的轨迹为 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 10.已知函数 f ( x ) = x ? sin x ,若 x1 , x2 ∈ [ ? 中正确的是 A. x1 > x2
[来源:学*科*网]

π π

, ] 且 f ( x1 ) < f ( x2 ) > 0 ,则下列不等式 2 2
C. x1 + x2 < 0 D. x1 + x2 < 0

B. x1 < x2

小题, 小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 填空题: (一) 必做题 (11~13 题) 11.已知向量 a , b 满足 a = 1 , b = 2 , a ib = 1 ,则 a 与 b 的夹角大小是 .

12.已知双曲线 C :

x2 y2 ? = 1( a > 0, b > 0 ) 的离心率 e = 2 ,且它的一个顶点到相应焦 a2 b2


点的距离为 1,则双曲线 C 的方程为

13.图 2 是一个有 n 层 ( n ≥ 2) 的六边形点阵.它的中心是一个点,算作 第一层,第 2 层每边有 2 个点,第 3 层每边有 3 个点,…,第 n 层 每边有 n 个点,则这个点阵的点数共有 个.

[来源 学 科 网 Z.X.X.K] 来源:学 科.网 来源 学.科 网 来源 学 科

(二) 选做题 (14~15 题.考生只能从中选做一题 二 考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题) 已知直线 l 的参数方程为 ?

?x = 1 = t (参数 t ∈ R ), ? y = 4 ? 2t

圆 C 的参数方程为 ?

? x = 2 cos θ + 2 (参数 θ ∈ [0, 2π ] ), ? y = 2 sin θ

则直线 l 被圆 C 所截得的弦长为 . 15.(几何证明选讲选做题) 如图 3,半径为 5 的圆 O 的两条弦 AD 和 BC 相 交 于 点 P , OD ⊥ BC , P 为 AD 的 中 点 , BC = 6 ,则弦 AD 的长度为 . 小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题: 16.(本小题满分 12 分) 已知 sin α =

5 π 1 , α ∈ (0, ) , tan β = . 5 2 3

(1) 求 tan α 值; (2) 求 tan (α + 2 β ) 的值. 17.(本小题满分 12 分) 某学校课题小组为了研究学生的数学成绩与物理成绩之间的关系,随机抽取高二年级 20 名学生某次考试成绩(满分 1 00 分)如下表所示: 序号 数 学 成绩 物 理 成绩 1 95 90 2 75 63 3 80 72 4 94 87 5 92 91 6 65 71 7 67 58 8 84 82 9 98 93 10 71
[来源:Z§xx§ k.Com]

11 67 77

12 93 82

13 64 48

14 78 85

15 77 69

16 90 91

17 57 61

18 83 84

19 72 78

20 83 86

81

若单科成绩 85 分以上(含 85 分) ,则该科成绩为优秀. (1)根据上表完成下面的 2 × 2 列联表(单位:人) : 数学成绩优秀 物理成绩优秀 物理成绩不优秀 合 计 20 (2)根据题(1)中表格的数据计算,有多大的把握,认为学生的数学成绩与物理成绩之 间有关系? (3) 若从这 20 个人中抽出 1 人来了解有关情况, 求抽到的学生数学成绩与物理成绩至少 有一门不优秀的概率. 参考数据: ①假设有两个分类变量 X 和 Y ,它们 的值域分别为 { x1 , x2 } 和 { y1 , y2 } ,其样本频数列联 表(称为 2 × 2 列联表)为: 数学成绩不优秀 合 计

y1 x1
x2
合计

y2
b d b+d
2

合计

a c
a+c

a+b c+d a+b+c+d
源:学科网] [来

则随机变量 K =
2

( a + b )( c + d )( a + c )( b + d )

n ( ad ? bc )

, 其中 n = a + b + c + d 为样本容量;

②独立检验随机变量 K 2 的临界值参考表:

P ( K 2 ≥ ko ) ko

0.50 0.455

0.40 0.708

0.25 1.323
源:学科网]

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

[来

[来

源:学。科。网 Z。X。X。K]

18.(本小题满分 14 分) 在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB = BC = 1 , AA1 = 2 , 点 M 是 BC 的中点.点 N 是 AA1 的中点. (1) 求证: MN // 平面 A1CD ; (2) 过 N ,C ,D 三点的平面把长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 截成 两部分几何体,求所截成的两部分几何体的体积的比值.

19.(本小题满分 14 分) 我国是水资源比较贫乏的国家之一,各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的. 某市用水收费标准是:水费=基本费+超额费 +定额损耗费.且有如下三条规定: ① 若每月用水量 不超过最低限量 m 立方米时, 只付基本费 9 元和每户每月定额损耗费 a 元; ② 若每月用水量超过 m 立方米时,除了付基本费和定额损耗费外,超过部分每立方米 付 n 元的超额费; ③ 每户每月的定额损耗费 a 不超过 5 元 (1) 求每户每月水费 y (元) 与月用水量 x (立方米 ) 的函数关系; (2) 该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示: 月份 一 用水量(立方米) 4 水费(元) 17

二 三

5 2.5
[来源:Z*xx*k.Com]

23 11

试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量,并求 m , n , a 的 值. 20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y2 + 2 = 1( a > b > 0 ) 的右焦点 F2 与抛物线 C2 : y 2 = 4 x 的焦点重合, 2 a b
5 . C3 的圆心 T 是抛物线 C2 上 圆 3

椭圆 C1 与抛物线 C2 在第一象限的交点为 P ,PF2 =
[来源:Z_xx_k.Com]

的动点,圆 C3 与 y 轴交于 M , N 两点,且 MN = 4 . (1) 求椭圆 C1 的方程; (2) 证明:无论点 T 运动到何处,圆 C3 恒经过椭圆 C1 上一定点.

21.(本小题满 分 14 分) 已知数列 {an } 和 {bn } 满足 a1 = b1 ,且对任意 n ∈ N 都有 an + bn = 1 ,
*

an + 1 b = n2. an 1 ? an

(1) 判断数列 ?

?1? ? 是否 为等差数列,并说明理由; ? an ?
n +1

(2) 证明: (1 + an )

ibnn > 1 .


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