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§4.1-4.2对数及其运算


4.1

对数及其运算

4.2

换底公式

学习目标
? 什么是对数?
? 学会指数和对数互化. ? 对数的公式有那些? ? 利用对数的公式计算

引例: 2000年我国国民经济生产总值为 a亿元,如果按 平均每年增长8.2%估算,那么经过多少年国民经济生产 总值是2000年的2倍?
假设经过x年,国民经济生产总值是2000年的2倍,依题意,有

a(1 ? 8.2%) ? 2a
x



1.082 ? 2
x

对数的概念:
一般地,如果a(a>0且a?1)的b次幂等于N, 就是a b=N,那 么数 b叫做a为底 N的对数, 记作log a N=b,其中a叫做对数的底数,N叫做真数. 指数:b?R 真数:N>0 幂:N>0

b a =N
底数:a>0且 a?1

logaN=b
底数:a>0且 a? 1
对数

性质:
(1)负数与零没有对数; (2)1的对数是0;即loga1=0 (3)底数的对数是1,即log a a=1
(4)

log a a ? n
n

(5)a

loga N

?N

两个特殊对数: 以10为底的对数叫做常用对数, 即N的常用对数记作lgN; 以无理数e(e=2.71828‥‥‥ ) 为底的对数叫做自然对数,N的自然对 数记作lnN.

指数式与对数式的互化:
例1:将下列指数式写成对数式:
(1) 54=625 (3)3 a =27 ; (2)2?6
?
m

1 64

; .

1? (4)? ? ? ?3?

? 5.37

例2.将下列对数式写成指数式:
16 ? ?4 ; (2) log 128 ? 7 ; (1) log 1 2 2

(3)lg 0.01 ? ?2 ;(4)ln10 ? 2.303

例3:求下列各式的值: (1)log749=____ (2)lg100=________ (3)log0.351=____
(4) log 1 8 ? ____ (5)log??=________ (6)lne=_______
2

(7)log2

(sin300)=_______

(8)

log 6

1 36

? _____

积、商、幂的对数运算法则:
如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N n loga M ? nloga M(n ? R) (3)

证明:①设 loga M ? p, 由对数的定义可以得:M
p q

loga N ? q,

p?q a ? a ∴MN= ? loga MN ? p ? q ?a

? a , N ? aq
p

即证得

loga (MN) ? loga M ? loga N (1)

上述证明是运用转化的思想,先通过假设,将对数 式化成指数式,并利用幂的运算性质进行恒等变形; 然后再根据对数定义将指数式化成对数式。

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N loga M n ? nloga M(n ? R) (3)
①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”……

②有时逆向运用公式
③真数的取值范围必须是 (0,??) ④对公式容易错误记忆,要特别注意:
loga (MN ) ? loga M ? loga N , loga (M ? N ) ? loga M ? loga N

其他重要公式1:

log a m
证明:设

n N ? log a N m
n

logam N n ? p,

由对数的定义可以得: ∴

N ? (a ) ,
n m p
m p n

N ?a
n

mp

?N ?a
n

m ? log a N ? p n

即证得

log a m

n N ? log a N m

其他重要公式2——换底公式:

logc N loga N ? logc a 证明:设 loga N ? p
由对数的定义可以得:
p

(a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0)

N ?a ,
p

? logc N ? logc a , ? logc N ? p logc a,
logc N log N c ? p? 即证得 loga N ? logc a logc a
这个公式叫做换底公式

讲解范例

例4 计算:
(1) log9 27 (2) log8 9 ? log27 32

例5
解 :

log2 3 ? log3 7 ? log7 8 log2 3 ? log3 7 ? log7 8
lg 3 lg 7 lg 8 ? ? ? lg 2 lg 3 lg 7

log3 27 3 解:(1) log9 27 ? ? log3 9 2
(2 )
lo g8 9 ? lo g27 3 2 lg 9 lg 3 2 ? ? lg 8 lg 2 7 2 lg 3 5 lg 2 ? ? 3 lg 2 3 lg 3 10 ? 9

lg 2 ? lg 2 3 lg 2 ? lg 2
=3

3

例 6 一种放射性物质不断变化为其他物质,每经过一 年剩留的质量是原来的84%,估计约经过多年,该物 质的剩留量是原来的一半(结果保留1个有效数字)
解 依题意得

0.84
用科学计算器计算得

x

? 0.5

x ? log0.84 0.5 ? 3.98
即 约经过4年,该物质的剩留量是原来的一半.

其他重要公式3:

1 loga b ? logb a

a, b ? (0,1) ? (1,??)

logc N 证明:由换底公式 loga N ? logc a logb b 取以b为底的对数得: loga b ? logb a 1 ? logb b ? 1, ? loga b ? log a b
还可以变形,得

loga b ? logb a ? 1

讲解范例 例7 计算 (1) log2 (25 ? 47 ) 解 : log (25 ? 47 ) ? log 25 7 ? log2 4 2 2

? log2 25 ? log2 214
=5+14=19 (2) log9 27

解 : log9 27 ? log32 3 3 ? log 3 3 2 3 ? 2
3

讲解范例 例8 用

loga x, loga y, loga z 表示下列各式:

x2 y xy (1)loga ; (2) loga 3 z z xy 解(1) log a ? log a ( xy ) ? log a z z ? loga x ? loga y ? loga z

解(2) loga

x2 y
3

z

? loga ( x 2 y ) ? loga z
1 2

1 2

1 3

? loga x 2 ? loga y ? loga z

1 3

1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3

讲解范例 解法一:

7 例9 计算: (1)lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3
解法二:

7 7 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 lg 14 ? 2 lg ? lg 7 ? lg 18 3 3 7 7 2 ? lg14 ? lg( ) ? lg 7 ? lg18 ? lg(2 ? 7) ? 2 lg 3 3 2 ? lg 7 ? lg( 2 ? 3 ) 14? 7 ? lg 7 2 ? lg 2 ? lg 7 ? 2(lg 7 ? lg 3) ( ) ?18 3 ? lg 7 ? (lg 2 ? 2 lg 3) ? lg1 ? 0 ?0

讲解范例

lg 243 (2) lg 9

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 (3) lg1.2

lg 243 lg 35 ? 5 lg 3 ? 5 解: (2) ? 2 lg 9 lg 32 2 lg 3

lg 27 ? lg 8 ? 3 lg 10 lg(3 ) ? lg 23 ? 3 lg(10) (3) ? 3 ? 22 lg1.2 lg 10

1 3 2

1 2

3 (lg 3 ? 2 lg 2 ? 1) ?2 lg 3 ? 2 lg 2 ? 1

3 ? 2

练习 求下列各式的值:

6 (1) log2 6 ? log2 3 ? log 2 ? log2 2 ? 1 3 ? lg(5 ? 2) ? lg10 ? 1 (2) lg 5 ? lg 2

1 (3) log 5 3 ? log 5 3

1 ? log 5 (3 ? ) ? log5 1 ? 0 3 5 ?1 ? log ? ?1 ? log 3 3 3 (4) log3 5 ? log3 15 15

小结:
对数定义:一般地,如果a(a>0且a?1)的b次幂等于N, 就是a b=N,那么数 b叫做a为底 N的对数,

记作log a N=b,a叫做对数的底数,N叫做真数。
性质:

(1)负数与零没有对数; (2)1的对数是0;即loga1=0
(3)底数的对数是1,即log a a=1
(4)

loga a ? n
n

(5)a loga N ? N

积、商、幂的对数运算法则:
如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 有:

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N n loga M ? nloga M(n ? R) (3)
其他重要公式: log a m

logc N loga N ? logc a
loga b ? logb a ? 1

n N ? log a N m
n

(a, c ? (0,1) ? (1,??), N ? 0) a, b ? (0,1) ? (1,??)

预习提纲
? 对数函数?
? 对数函数的图象? ? 对数函数的性质?


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