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【优选整合】人教A版高中数学选修1-1 2.1.1 椭圆及其标准方程 学案


2.1.1 椭圆及其标准方程 学案 (一)教学目标 1.理解椭圆的定义; 2.理解椭圆的标准方程的推导,在化简椭圆方程的过程中提高学生的运算能力; 3.掌握椭圆的标准方程; 会根据条件求椭圆的标准方程, 会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。 (二)教学重点与难点 重点:掌握椭圆的标准方程 难点:会根据条件求椭圆的标准方程,会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。 (三)教学过程 问题 1:前面两节课,说一说所学习过的内容? 1、 曲线与方程的概念? 2、 求曲线的方程的步骤? 引例 1:1997 年初,中国科学院紫金山天文台发布了一条消息,从 1997 年 2 月中旬起, 海尔· 波普彗星将逐渐接近地球, 过 4 月以后,又将渐渐离去,并预测 3000 年后,它还将光临 地球上空 1997 年 2 月至 3 月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现 的准确时间呢?原来,海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆,通过观察它运行中的一些有 关数据,可以推算出它的运行轨道的方程,从而算出它运行周期及轨道的的周长 引例 2:手工操作演示椭圆的形成:取一条定长的细绳,把它的两端固定在画图板上的 F1 , F2 两点,当绳长大于两点间的距离时,用铅笔把绳子拉近,使笔尖在图板上慢慢移动, 就可以画出一个椭圆 1、椭圆定义: 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨迹叫作 这两个定点叫做椭圆的 ,两焦点间的距离叫做椭圆的 , 即 |PF 1 , F2 ;焦距: | F 1 F2 | 1 | ? | PF 2 |?| F 1F 2 | ;焦点: F 注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方: (1)两个定点---两点间距离确定 (2)绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定 思考:在同样的绳长下,两定点间距离较长,则所画出的椭圆较扁( ?线段) 在同样的绳长下,两定点间距离较短,则所画出的椭圆较圆( ?圆) F1 F2 P 由此,椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫) 问题 2:你能利用上一节学过的坐标法求出椭圆的方程吗? 问题 3:书本 P39 页思考? 问题 4:书本 P40 页思考? 如 果 椭 圆 的 焦 点 在 y 轴 上 ( 选 取 方 式 不 同 , 调 换 x, y 轴 ) 焦 点 则 变 成 y P F2 O F1 (0,?c), F2 (0, c) ,只要将方程 x y y x ? 2 ? 1 中的 x, y 调换,即可得 2 ? 2 ? 1 ,也是椭圆的标准方程 2 a b a b 2、椭圆标准方程: (1)焦点在焦点在 x 轴上,焦点是 F1 (?c,0) F2 (c,0) , 中心在坐标原点的椭圆方程 2 2 2 2 x F1 x2 y2 ? ?1 a2 b2 其中 a ? c ? b 2 2 2 (2)焦 点 在 焦 点 在 y 轴 上 , 焦 点 是 F1 (0,?c), F2 (0, c) , 中 心 在 坐 标 原 点 的 椭 圆 方 程 y2 x2 ? ?1 a2 b2 其中 a ? c ? b 2 2 2 (3)方程 x2 y2 ? ? 1(m ? 0, n ? 0, m ? n) 就不能肯定焦点在哪个轴上;由于 m与n 的大 m n 小关系判断焦点在那个坐标轴上。 活动三:合作学习、探究新知 例 1: 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: 两个焦点坐标分别是(-4,0)、 (4,0) ,椭圆上一点 P 到两焦点的距离之和等于 10;

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