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2013年深圳二模文科数学试题(含答案)

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绝密★启用前 试卷类型:A

2013 年深圳市高三年级第二次调研考试 数学(文科)
本试卷共 6 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 12 0 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是 否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、 姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码 区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的, 答案无效. 3.非 选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来 的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案 无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错 涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:
[来源:学科网 ZXXK]

2013.4

① 体积公式: V 柱 体

? S ? h, V 锥 体 ?

1 3
?

S ?h

,其中 V , S , h 分别是体积、底面积和高;
n( a d ? b c )
2

② 独立性检验中的随机变量: K 2 为样本容量.

(a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

,其中 n

? a?b?c? d

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. i 为虚数单位,则 i ? A. 0
1 i

等于 B. 2i C. 1 ? i D. ? 1 ? i

2.函数

f( x) ?

lg( 2 ? x ) x ?1

的定义域是 B.[1 , 2 ) D.(1 , 2 ] ”是“ x
? y ? 3

A.(1 , 2 ) C.( ? ?
,1 ) ? ( 2 , ? ? )

3.设 x , y ? R ,则“ x

?1且 y ? 2

”的 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分而不必要条件 C.充要条件

4.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y
? 2
x

B. y

? s in x

C. y

? lo g 2 x

D. y
? 2

? x|x|

5.如果函数 么 A. T C. T

f ( x ) ? s in( π x ? ? ) ( 0 ? ? ? 2 π ) 的最小正周期为 T

,且当 x

时取得最大值,那

? 2 ,? ?

π 2

B. T D. T 的焦点与双曲线 B. 8
x
2

? 1 ,? ? π

? 2 ,? ? π
y
2

? 1 ,? ?

π 2

6.若抛物线 y 2 A. 4 7.设 0 ?

? ax

?

? 1 的右焦点重合,则 a

的值为 D. 8
2

12

4

C. 1 6

a ? b ? 1 ,则下列不等式成立的是
? b
3

A. a 3

B.

1 a

?

1 b

C. a b

?1

D. lg( b
?

? a)? 0

8.若平面向量 b 与 a A.( ? 3 ,4 ) C.( 6 ,? 8 )

? ( 3 , ? 4 ) 的夹角是 1 8 0 ?

,且 | b |? 1 0 ,则 b

B.( ? 6 ,8 ) D.( 8 ,?
6)

2 1 2
正(主)视图

9.某 几何体的三视图如图所示,其俯视图是 由一个半圆与其直径组成的图形,则此几 何体的体积是 A. C.
20 3
10 3 π

4
侧(左)视图

π

B. 6 π D.
16 3
?

π
俯视图
*

(第 9 题图)

10.非空数集 A

? a1 , a 2 , a 3 ,?

, an ?( n ? N ) 中,所有元素的算术平均数记为 E( A ) ,即

E( A ) ?

a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n n

.若非空数集

B

满足下列两个条件:①

B ? A

;②

E( B )? E( A ,则称 B )

为 A 的一个“保均值子集” .据此,集合 ?1 , 2 , 3 , 4 , 5 ? 的“保 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个

均值子集”有 A. 5 个

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.本大题分为必做题和选做题两部 分. (一)必做题:第 11、12 、13 题为必做题,每道试题考生都必须做答 11. P( x , y ) 是以 A( 4 ,1 ) , B( ? 1 , ? 则4x
? 3y
6 ) , C( ? 3 , 2 )

为顶点的三角形及其内部上的任一点,

的最大值为
? 2 ? 0

. 近似解的程序框图,若输入 x1
? 1 , x 2 ? 2 ,? ? 0 .3

12.下图是用二分法求方程 x 2 输出的 m 是

,则

. (注:框图中的“=” ,即为“←”或为“: ) =” 开始 开始
f (x) ? x
2

? 2

输入精确度 ? 和 x 1 , x 2 的初值
m ? x1 ? x 2 2



f ( m ) ? f ( x1 ) ? 0 ?


x1 ? m x2 ? m

x1 ? x 2 ? ?



f (m ) ? 0 ?





输出 m 结束
(第 12 题图)

13. 已知公比为 2 的等比数列 ? a n ? 中,a 2 项的和 S 2 1
?

? a 5 ? a 8 ? a11 ? a 14 ? a 17 ? a 20 ? 1 3

, 则该数列前 2 1



(二 )选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算第一题的 得分. 14. (几何证明选讲) 如图, P 是 ? 与?
O O
C

外一点, P A 与 ?

O

相切于点 A ,割线 P C ,P C
? 3 3

相交于点 B ,C ,且 P A
?

?3

,AB

?

3 2



?O
B

则 AC


A

P

(第 14 题图)

15. (坐标系与参数方程) 在极坐标系中,已知两圆 C 1 : ? 标方程是 .
? 2 cos ?

和C2

: ? ? 2 s in ?

,则过两圆圆心的直线的极坐

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 在 ? A B C 中 ,角 A、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b、 c ,已知 a (1)求角 C 的大小; (2)求 sin( B
? π 3 ) 的值.

? 3

,b

? 5

,c

? 7



[来源:学科网]

17. (本小题满分 12 分)
2 0 1 3 年 3 月1 4

日,CCTV 财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现 ......

象.为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关,某大学实验室随机抽取了 6 0 个

样本,得到了相关数据如下表: 混凝土耐久性达标 使用淡化海砂 使用未经淡化海砂 总计 25 15 40 混凝土耐久性不达标 5 15 20 总计 30 30 60

(1)根据表中数据,利用独立性检验的方法判断,能否在犯错误的概率不超过 1 % 的 前提下,认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关? (2)若用分层抽样的方法在使用淡化海砂 的样本中抽取了 6 个,现从这 6 个样本中任 取 2 个,则取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少? 参考数据:
P( K ≥ k )
k
2

0.10 2.706

0.050 3.841

0.025 5.024

0 .010 6.635

0.001 10.828

18. (本小题满分 14 分) 如图,在三棱柱 A B C 点 D 是 A B 的中点.

[来源:学科网 ZXXK]

? A1 B 1 C 1

中, A A1

?

平面 A B C , A B
A1

? B C ? A A1 ,且 A C ?

2BC
C1



(1)证明: A C 1 // 平面 B 1 C D ; (2)证明:平面 A B C 1
?

B1
[来源:Zxxk.Com]

平面 B 1 C D .

A D B

C

(第 18 题图)

19. (本小题满分 14 分) 各项为正数的数列 ? a n ? 满足 a n 2 (1)求 a 1 , a 2 的值; (2)求数列 ? a n ? 的通项公式;
? 4 Sn ? 2an ? 1 ( n ? N
*

) ,其中 S n 为 ? a n ? 前 n 项和.

(3)是否存在正整数 m 、 n ,使得向量 a 说明理由.

? ( 2 a n ? 2 , m ) 与向量 b ? ( ? a n ? 5 , 3 ? a n ) 垂直?

20. (本小题满分 14 分) 如图,椭圆 E
F
: x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的离心率 e ?
2

3 2

,经过椭圆 E 的下顶点 A 和右焦点
y

的直线 l 与圆 C : x 2

? ( y ? 2b ) ?

27 4

相切.

(1)求椭圆 E 的方程; (2)若动点 P 、 Q 分别在圆 C 与椭圆 E 上运 动,求
PQ

取得最大值时点 Q 的坐标.

?

C

l
O

F A

x

(第 20 题图)

21. (本小题满分 14 分) 已知函数
f ( x ) ? ln x ? a x
2

? (1 ? 2 a )x ( a ? 0 ) .

(1)求函数 (2)求函数

f ( x ) 的最大值;

f ( x ) 在区间(

1 e
a

, 2 ) 上的零点的个数( e

为自然对数的底数) ; 的中点

(3)设函数 y 为 C( x 0

? f ( x ) 图象上任意不同的两点为 A( x 1 , y 1 ) 、 B( x 2 , y 2 ) ,线段 A B

, y 0 ) ,记直线 A B

的斜率为 k ,证明: k

? f ?( x 0 ) .

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