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吉林省松原市扶余一中2013-2014学年高一数学下学期期末考试试题新人教A版


高一下学期期末考试数学试题
本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。考试结束后,只交答题纸和答 题卡,试题自己保留。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷 (选择题 60 分) 注意事项 1. 答题前, 考生在答题纸和答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色签字笔将自己的班级、 姓名、 考号填写清楚。请认真核准考号、姓名和科目。 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其他答案标号。在试题卷上作答无效。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合要求. 1.已知集合 A ? {x | x ? x ? 6 ? 0}, B ? {x | x ? 2 x ? 8 ? 0}, 则 A ? B ? (
2 2



A. {x | ?3 ? x ? ?2} C. {x | ?4 ? x ? ?2或2 ? x ? 3} 2.已知 a, b, c, d 均为实数,下列命题中正确的是( A.若 a ? b, c ? d 则 a ? c ? b ? d C.若 a ? b ? 0 则 3 a ? 3 b
3 2

B. {x | 2 ? x ? 3} D. {x | 3 ? x ? 4} )

B.若 a ? b ? 0, c ? d ? 0 则 ac ? bd D.若 a ? b ? 0 则

1 1 ? 2 2 a b
) D.不确定

3. 设 a ? x , b ? x ? x ? 1, 当 x ? 1 时, a 与 b 的大小关系是( A. a ? b B. a ? b C. a ? b )

x 2 ? 2x ? 5 ( x ? ?1) 图象的最低点坐标是 ( 4.函数 y ? x ?1
A. (1,2 2 ) B. (0,2) C. (1, 2 )

D. (1,4) )

5.已知等差数列 {a n } 中, a 6 ? a8 ? 10, a3 ? 1 ,则 a11 的值是( A. 15 B. 9 C. 10 D. 11

6.关于 x 的不等式 2ax 2 ? ax ?

3 ? 0 对一切实数 x 都成立,则 a 的取值范围是( 8

)
1

A. (?3,0)

B. (0,3)

C. [?3,0)

D. (?3,0] )

7.已知 {a n } 为等比数列, a5 ? a8 ? 2, a 6 ? a 7 ? ?8 ,则 a 2 ? a11 =( A. 5 B. 7 C. ? 7 D. ? 5

8. 若 a, b, c 成等比数列,m 是 a, b 的等差中项,n 是 b, c 的等差中项, 则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

a c ( ? 的值为 m n



9.已知数列 {a n } 的前 n 项和是 S n 且满足 a n ? 2 S n ? S n ?1 ? 0(n ? 2) ,若 S 5 ? 则 a1 =( A. 1 ) B. ? 3 C.

1 , 11

1 3

D. ?

1 3

10. 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,若 sin A, sin C , sin B 成等差数列, 且 3c ? 5a ,则角 B ? ( A. ) B.

?
3

2? 3

C.

?
6

D.

?
2

?x ? 1 ? 11.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 若目标函数 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? 2014 ,则 a 的 ? y ? a ( x ? 3) ?
值为( A. 1008 ) B. 1006 C. ? 1008 D. ? 1006

12.已知数列 {a n } 是首项为 2 ,公差为 1 的等差数列, {bn } 是以 1 为首项, 2 为公比的等比数 列,则 a b1 A. 1035

? a b2 ? ... ? a b10 ? (
B. 1033 C. 1037

) D. 1039

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把正确答案填在答题纸的横线上,填在试 卷上的答案无效.

15.已知 x ? 0, y ? 0 且

1 4 ? ? 1. 则 x ? y 的最小值为 x y



16.在直角三角形 ABC 中, C ?

?
2

, CA ? 1, CB ? 2 ,以 CA, CB 分别为 x, y 轴建立直角坐标


系 xoy , p ( x, y ) 在三角形 ABC 内部及其边界上运动,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 三、解答题:共 70 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且 cos C ? (1)若 B ? 2C .求 (2)若 c ?

3 4

b 的值. c

3 , ab ? 2, 求 | a ? b | 的值.

18. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c 且有 (1) 求 cos A 的值. (2) 若 a ?

cos A 2a ?? cos C 3b ? 2c

5 , 求b ? c 的最大值.

19. (本小题满分 12 分) (文科生做)解关于 x 的不等式 x 2 ? ax ? 6a 2 ? 0 .
3

(理科生做)解关于 x 的不等式 ax 2 ? (a ? 2) x ? 2 ? 0 . 20. (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 满足 a1 ? 1 , a n ?1 ? 2a n ? 3 . (1)证明 {a n ? 3} 是等比数列,并求 {a n } 的通项公式. (2) .令 bn ?

2 , c n ? bn ? 1 ,求数列 {nc n } 的前 n 项和 Tn . an ? 3

21. (本小题满分 12 分) 某渔业公司今年初用 98 万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需各种费用 12 万元,从第二年开 始包括维修费在内,每年所需费用均比上一年增加 4 万元,该船每年捕捞的总收入为 50 万元. 问题一: (文科生做) 求该船捕捞几年开始盈利?(即总收入减去成本及所有费用之差为正值) . 问题二: (理科生做) 该船捕捞若干年后,处理方案有两种: ①当年平均盈利达到最大值时,以 26 万元的价格卖出去; ②当盈利总额达到最大值时,以 8 万元的价格卖出; 问哪一种方案较为合算,请说明理由.

22. (本小题满分 12 分) 已知数列 {a n } 的前 n 项和是 S n ,且 ? 1, S n , a n ?1 成等差数列( n ? N ? ), a1 ? 1 . (1)求数列 {a n } 的通项公式. (2)若数列 {bn } 满足 b1 ? a1 , bn ?1 ? bn ?

1 (n ? 1) 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 3a n 1 求数列 {c n } 的前 n 项和 Rn . (n ? 3)[ f (a n ) ? 2]

(3)函数 f ( x) ? log 3 x ,设数列 {c n } 满足 c n ?

4

扶余市第一中学 2013—2014 学年度下学期期末试题 数学参考答案

b sin B sin 2C 3 17(1).解: 由正弦定理得: ? ? ? 2 cos C ? c sin C sin C 2 2 2 2 2 a ?b ?c (a ? b) ? 2ab ? 3 由余弦定理得: cos C ? ? 2ab 2ab 1 ? (a ? b) 2 ? 3 ? ab ? 2 ?| a ? b |? 2 2

19.文:解:将原不等式化为( x ? 2a)( x ? 3a) ? 0 当a ? 0时有 - 2a ? x ? 3a;当a ? 0时有x 2 ? 0无解 当a ? 0时有3a ? x ? ?2a 综上:a ? 0时原不等式的解集为{x | ?2a ? x ? 3a} a ? 0时原不等式的解集为? 当a ? 0时原不等式的解集为{x | 3a ? x ? ?2a}

5

19理:解:将原不等式化为(ax ? 2)( x ? 1) ? 0 ( 1 )当a ? 0时有x ? 1 2 2 (2)当a ? 0时有a ( x ? )( x ? 1) ? 0 ? ( x ? )( x ? 1) ? 0 a a 2 a?2 ?1 ? ? a a 2 2 2 当a ? 2时 ? 1? x ? 或x ? 1;当a ? 2时 ? 1? x ? R且x ? 1 a a a 2 2 当0 ? a ? 2时有 ? 1? x ? 1或x ? a a 2 2 (3)当a ? 0时( x ? )( x ? 1) ? 0 ? ? x ? 1 a a 综上:此处采分点为2分
20解: (1) ? a n ?1 ? 2a n ? 3 ? a n ?1 ? 3 ? 2(a n ? 3) ? a1 ? 3 ? 4 ?{a n ? 3}是等比数列 ? a n ? 3 ? 4 ? 2 n ?1 ? a n ? 2 n ?1 ? 3 (2)bn ? 2 1 1 1 ? n nc n ? n( n ? 1) ? n n ? n (2 ? 3) ? 3 2 , 2 2 1 1 1 1 Tn ? (1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ... ? n ? n ) ? (1 ? 2 ? ... ? n) 2 2 2 2 1 1 1 1 令Rn ? 1 ? ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? ... ? n n 由错位相减得: 2 2 2 2 n?2 n ? 2 n(n ? 1) Rn ? 2 ? n ? Tn ? 2 ? n ? 2 2 2
n ?1

21.文科题:设捕捞n年后开始盈利,盈利为y元,则 n(n ? 1) y ? 50n ? [12n ? ? 4] ? 98 ? ?2n 2 ? 40n ? 98 2 2 由y ? 0, 得n ? 20n ? 49 ? 0解得10 ? 51 ? n ? 10 ? 51(n ? N ) 则3 ? n ? 17, 故n ? 3.即捕捞3年后,开始盈利。 理科题: 方案一:平均盈利为 当且仅当2n ? y 98 98 ? ?2n ? ? 40 ? ?2 2n ? ? 40 ? 12 n n n

98 即n ? 7时, 年平均盈利最大。故经过7年捕捞后年平均盈利最大, n 共盈利12 ? 7 ? 26 ? 110万元.
6

方案二:设捕捞n年后开始盈利,盈利为y元,则 n(n ? 1) ? 4] ? 98 ? ?2n 2 ? 40n ? 98 ? ?2(n ? 10) 2 ? 102 2 当n ? 10时,y的最大值为102万元. y ? 50n ? [12n ? 即经过10年捕捞盈利总额最大,共盈利102 ? 8 ? 110万元。 综上知两种方案获利相等,但方案二的时间长,所以方案一合算。

22. ( 1 ) ? 2 S n ? a n ?1 ? 1当n ? 2时, 2 S n ?1 ? a n ? 1 ? 2( S n ? S n ?1 ) ? a n ?1 ? a n ? ? 2a1 ? a 2 ? 1? a 2 ? 3 ? a n ?1 ?3 an

a2 ?3 a1

?{a n }是以1为首项, 3为公比的等比数列. ? a n ? 3 n ?1
1 1 ? bn ? bn ?1 ? n ?1 n ?1 3?3 3 3 1 累加得b n ? (1 ? n ) 2 3 3 3 1 ?Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? n ? (1 ? n ) 2 4 3 ( 2)bn ?1 ? bn ?

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