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数学理卷·2014届山东省济南市部分学校高三上学期期中联考(2013.11)


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济南市高三部分学校调研考试(11 月)

数学(理科)
本试卷共 4 页,分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共 150 分,考试时 间 120 分钟,

第 I 卷(选择题共 60 分)
注意事项: l.答第 1 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再改涂其他答案标号. 一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.已知全集 U={0,1,2,3,4) ,集合 A={1,2,3) ,B={2,4},则 (CU A) ? B 为 A.{1,2,4) B.{2,3,4)
2

C.{0,2,4)

D.{0,2,3,4)

2.设 z∈R,则 x=l 是 x ? 1 的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

3.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x>0 时, f ( x) ? x ? A. 2 4.函数 y ? B.0 C.1 D.-2

1 ,则 f (?1) = x

x ln x x

的图像可能是

5.已知数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? 2an ? 2 则 a2 等于 A.4 B.2 C.1 D.-2

6.为了得到函数 y ? sin 2 x 的图象,只需把函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图象

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? 个单位 6 ? C.向右平移 个单位 6
A. 向左平移

? 个单位 12 ? D.向右平移 个单位 12
B.向左平移

7.已知各项均为正数的等比数列 ? an ? 中, a1a2 a3 ? 5, a7 a8 a9 ? 10 ,则 a4 a5 a6 ? A. 5 2 B.7 C.6 D. 4 2

8.已知角 x 的终边上一点坐标为 (sin A.

5? 6

B.

11? 6

5? 5? , cos ) ,则角 x 的最小正值为 6 6 5? 2? C. D. 3 3

9.设 a ? log3 6, b ? log5 10, c ? log 7 14 ,则 A. c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D. a>b>c

? ? ? ? ? ? 10.已知向量 a ? b ? (2, ?8), a ? b ? (?8,16) ,则 a 与 b 夹角的余弦值为
A.

63 65

B. ?

63 65

C. ?

63 65

D.

5 13
,则 S1 , S2 , S3 的大

11.若 小关系为 A. S1 ? S2 ? S3 B. S2 ? S1 ? S3 C. S2 ? S3 ? S1 D.

S3 ? S2 ? S1

12.设定义在 R 上的偶函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x ), f '( x) 是 f ( x) 的导函数,当

x ? ? 0,1? 时, ? f ( x) ? 1 ; x ? 0 当 0 () , 2
根的个数为 A.12 B.1 6

且 x ? 1 时, ( x ? 1) f '( x) ? 0 . 则方程 f ( x) ? lg x x

C.18

D.20

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
注意事项: 1.将第Ⅱ卷答案用 0.5 mm 的黑色签字笔答在答题纸的相应位置上. 2.答卷将密封线内的项目填写清楚. 二、填空题(本题共 4 小题,共 1 6 分) 13.若向量 BA ? (2,3), CA ? (4, 7) ,则 BC ? ___________. 14.在等比数列 ? an ? 中,若公比 q=4,且前 3 项之和等于 21,则该数列的通项公式
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??? ?

??? ?

??? ?

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an ? __________.
15. 已知集 合 U ? 2,3, a ? 2a ? 3 , A ? 2a ? 1 , 2 , CU A ? ?5? ,则 实数 a 的值 为
2

?

?

?

?

___________. 16.已知函数 f ( x) ? ln( x ? 1) ,若 f ( x ) ? ax ,则 a 的取值范围是____________. 三、解答题(本题共 6 小题,共 74 分) 17.(本小题满分 12 分) 命 题 p : 关 于 x 的 不 等 式 x ? 2ax ? 4 ? 0 , 对 一 切 x ? R 恒 成 立 ; 命 题 q : 函
2

f ( x) ? (3? 2 x)是增函数.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. a
18.(本小题满分 12 分) 设递增等差数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 a3 ? 1 , a4 是 a3 和 a7 的等比中项. (l)求数列 ? an ? 的通项公式; (2)求数列 ? an ? 的前 n 项和 S n 。 19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? cos(

?

? 1 ? x) cos( ? x) ? sin x cos x ? 3 3 4

(l)求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值; (2)求函数 f ( x) 在 ? 0, ? ? 上的单调递减区间. 20.(本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? (1)求 a,b 的值; (2)证明函数 f ( x) 的单调性. 21.(本小题满分 12 分)

?3x ? b 是奇函数. 3x ?1 ? a

) 已知 m ? (sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x), n ? (cos ? x ?sin ? x, 2sin ? x ,其中 ? ? 0 ,
若函数 f ( x) ? m ? n ,且函数 f ( x) 的图象与直线 y=2 两相邻公共点间的距离为 ? . (l)求 ? 的值; (2)在△ABC 中,以 a,b,c(分别是角 A,B,C 的对边,且 a ? 3, f ( A) ? 1 ,求△ABC 周长的取值范围.
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??

?

?? ?

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22.(本小题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? ax ? ln x, g ( x) ? e ? ax ,其中 a 为正实数.
x

(l)若 x=0 是函数 g ( x) 的极值点,讨论函数 f ( x) 的单调性; (2)若 f ( x) 在 (1, ??) 上无最小值,且 g ( x) 在 (1, ??) 上是单调增函数,求 a 的取值范 围;并由此判断曲线 g ( x) 与曲线 y ?

1 2 ax ? ax 在 (1, ??) 交点个数. 2

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高三部分学校数学(理科)调研考试(11 月)参考答案
一、选择题(本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分)
C A D B A D A C D B B C

二、填空题(本题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分)
13. (?2, ?4) 14. 4n?1 15. a ? 2 16. [?1, 0]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分)
17.解:p 为真:△=4 a -16<0 ? -2< a <2 q 为真:3-2 a >1 ? a <1 因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假 ?p,q 一真一假
2

------------2 分 ------------4 分 ------------6 分 ------------8 分

当 p 真 q 假时, ?

?? 2 ? a ? 2 ?a ? 1

? 1≤ a ? 2 ? a ? ?2

?a ? 2或a ? ?2 当 p 假 q 真时, ? ?a ? 1

------------10 分

? a 的取值范围为 ?1,2? ? ?? ?,?2?
18.解: (1)在递增等差数列 ?a n ? 中,设公差为 d ? 0 ,

------------12 分

?a 4 2 ? a 3 ? a 7 ?(a ? 3d ) 2 ? 1 ? (a1 ? 6d ) ?? 1 解得 ?? a1 ? 2d ? 1 a3 ? 1 ? ?

?a1 ? ?3 ? ? d ?2

------6 分

? a n ? ?3 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 5 ,
(2) S n ?

-------------------9 分

n(?3 ? 2n ? 5) ? n 2 ? 4n 2
--------------------12 分

?所求 a n ? 2n ? 5 , S n ? n 2 ? 4n

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19.解:? f ( x) ? cos( ? x) cos( ? x) ?

π 3

π 3

1 1 sin 2 x ? 2 4

1 3 1 3 1 1 ? ( cos x ? sin x)( cos x ? sin x) ? sin 2 x ? 2 2 2 2 2 4

1 3 1 1 1 ? cos 2 x 3 ? 3cos 2 x 1 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? sin 2 x ? ? ? ? sin 2 x ? 4 4 2 4 8 8 2 4 ?

2 ?? 1 ? cos ? 2 x ? ? (cos 2 x ? sin 2 x) ? 2 4? 2 ?

------6 分

函数 f (x ) 的最小正周期为 T ? ? ,

------7 分

函数 f ( x) 的最大值为 (2)由 2k? ? 2 x ?

2 2

------8 分 得 k? ?

?
4

? 2k ? ? ? , k ? z

?
8

? x ? k? ?

函数 f ( x) 的单调递减区间 [k? ?

?
8

, k? ?

3? ], k ? z 8

3? ,k ? z 8
------10 分

又? x ? [0, ? ] ,则 f ( x) 在 [0, ? ] 上的单调递减区间为 [0,

3? 7? ] ,[ ,? ] 8 8
3? a

------12 分

20.解: (1)因为 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,所以 f (0) ? 0 ,即 ?1 ? b ? 0 ,解得 b ? 1. -------------2 分
x 从而有 f ( x) ? ?3 ? 1 x ?1 3 ?a

1 ? ?1 ?3 ? 1 又由 f (1) ? ? f ( ?1) 知 ? ? 3 ,解得 a 9?a 1? a

? 3.

----------------5 分 (2)由(1)知

?3x ? 1 1 2 f ( x) ? x ?1 ?? ? 3 ?3 3 3(3x ? 1)

----------------7 分 ---------------8 分

对于任意的 x1 ? R, x2 ? R 且 x1

? x2 ,

?? x ? x2 ? x1 ? 0

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?? y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) 1 2 1 2 ? (? ? ) ? (? ? ) x2 x1 3 3(3 ? 1) 3 3(3 ? 1) 2 2 ? ? x2 x1 3(3 ? 1) 3(3 ? 1) 2(3x1 ? 3x2 ) ? ?0 3(3x2 ? 1)(3x1 ? 1)
----------------11 分 所以函数 f ( x) 在全体实数上为单调减函数。 本题也可用导数证明。 21.解: (1) f ? x ? ? m ? n ? sin ? x ? cos ? x, 3 cos ? x ----------------12 分

?? ?

?

? ? cos ? x ? sin ? x, 2sin ? x ?

?? ? ? cos2 ? x ? sin 2 ? x ? 2 3 sin ? x cos ? x ? cos 2? x ? 3 sin 2? x ? 2sin ? 2? x ? ? 6? ?
-------------------------------------3 分

2? ? ? ?? ? 0 ?函数 f ? x ? 的周期 T ? 2? ?

?函数 f ? x ? 的图象与直线 y ? 2 两相邻公共点间的距离为 ? .?
(2)由(Ⅰ)可知 ? ? 1 , f ? x ? ? 2sin ? 2 x ?

? ? ? ?? ? 1 -------4 分 ?

? ?

??
? 6?

?? ?? 1 ? ? ? f ? A ? ? 1 ? 2sin ? 2 A ? ? ? 1 ? sin ? 2 A ? ? ? 6? 6? 2 ? ?
?0 ? A ? ? ?

?
6

? 2A ?

?
6

?

13? ? 5? ? ?2A ? ? ? A? 6 6 6 3

---------7 分

由正弦定理得: b ? 2sin B, c ? 2sin C ,所以求 ?ABC 周长

l ? 3 ? 2sin B ? 2sin C ? 3 ? 2sin B ? 2sin(

2? ? B) 3
-------10 分

? 3 ? 3sin B ? 3 cos B ? 3 ? 2 3 sin( B ? ) 6
?0 ? B ?

?

2? ? ? 5? ,所以三角形周长的取值范围是 (2 3,3 3] ----12 分 ? ? B? ? 3 6 6 6

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22.解:(1) 由 g (0) ? 1 ? a ? 0 得 a ? 1
'

-----------------------2 分 ------------3 分 ------------5 分

f ( x) 的定义域为: (0, ??)

f ' ( x) ? 1 ?

1 x

函数 f ( x) 的增区间为 (1, ??) ,减区间为 (0,1)

(2)由 f ' ( x ) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x

若 0 ? a ? 1 则 f (x) 在 (1,??) 上有最小值 f (a ) 当 a ? 1时, f (x) 在 (1,??) 单调递增无最小值.
x

-------------------7 分

∵ g (x) 在 (1,??) 上是单调增函数∴ g'( x ) ? e ? a ? 0 在 (1,??) 上恒成立 ∴a ? e 综上所述 a 的取值范围为 ?1,e ? 此时 g ( x) ? -----------------9 分 ---------------10 分

2e x 2e x 2e x ( x ? 2) 1 2 , ax ? ax 即 a ? 2 , 令h( x) ? 2 ? h '( x) ? 2 x x x3
-----------------------13 分

则 h(x)在 (0, 2) 单减, 在(2, ??) 单增, 极小值为 h(2) ?

e2 ? e . 故两曲线没有公共点. 2

-----------14 分

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