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高中数学人教A版选修1-1课时作业:2.3.2 抛物线的简单几何性质(1)


课时作业 19 一、选择题 1.设抛物线的焦点到顶点的距离为 3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是 ( ) A. (6,+∞) C. (3,+∞) 解析:∵抛物线的焦点到顶点的距离为 3, p ∴ =3,即 p=6. 2 p 又抛物线上的点到准线的距离的最小值为 , 2 ∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3,+∞). 答案:D 2.过抛物线 y2=4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点,它们的横坐标之和 等于 5,则这样的直线( A.有且仅有一条 C.有无穷多条 解析:由定义|AB|=5+2=7, ∵|AB|min=4, ∴这样的直线有且仅有两条. 答案:B 3.[2014· 安徽省合肥六中月考]已知 P 为抛物线 y2=4x 上一个动点,直线 l1:x=-1, l2:x+y+3=0,则 P 到直线 l1,l2 的距离之和的最小值为( A. 2 2 C. 2 B. 4 D. 3 2 +1 2 ) ) B.有且仅有两条 D.不存在 B. [6,+∞) D. [3,+∞) 解析:本题主要考查抛物线的性质的应用.将 P 点到直线 l1:x=-1 的距离转化为 P 到焦点 F(1,0)的距离,过点 F 作直线 l2 的垂线,交抛物线于点 P,此即为所求最小值点,∴ P 到两直线的距离之和的最小值为 |1+0+3| =2 2,故选 A. 12+12 答案:A → → 4.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A 是抛物线上一点,若OA· AF=-4, 则点 A 的坐标是( A.(2,± 2 2) C.(1,2) 解析:F(1,0),设 A( ,y0), 4 2 y2 → y0 → 0 则OA=( ,y0),AF=(1- ,-y0), 4 4 ) B.(1,± 2) D.(2,2 2) y2 0 → → 由OA· AF=-4 得到 y0=± 2.∴A(1,± 2). 答案:B 二、填空题 5.抛物线顶点在坐标原点,以 y 轴为对称轴,过焦点且与 y 轴垂直的弦长为 16,则抛 物线方程为______________. 解析:∵过焦点且与对称轴 y 轴垂直的弦长等于 p 的 2 倍. ∴所求抛物线的方程为 x2=± 16y. 答案:x2=± 16y 6.抛物线 y=x2 上到直线 2x-y-4=0 的距离最短的点的坐标是__________. 解析:把直线 2x-y-4=0 平移至与抛物线 y=x2 相切时,切点即为所求.设此时直线 方程为 2x-y+b=0,联立 y=x2,得 x2-2x-b=0,由题意得 Δ=4+4b=0,b=-1.即 x2 -2x+1=0,解 x=1,y=1. 答案:(1,1) x2 y2 7.[2013· 江西高考]抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 - =1 相交于 3 3 A,B 两点,若△ABF 为等边三角形,则 p=________. 解析:如图, 在正三角形 ABF 中,DF=p,BD= 1 2 p2 p 3 4 上,故 - =1,解得 p=6. 3 3 答案:6 三、解答题 3 3 p p,∴B 点坐标为( p,- ).又点 B 在双曲线 3 3 2 8.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点,M 为准线与 y 轴的交点,A 为抛物 线上一点,且|AM|= 17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程及准线方程. 解:设所求抛物线的标准方程为 p x2=2py(p>0),设 A(x0,y0),M(0,- ), 2 p ∵|AF|=3,∴y0+

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