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高一数学教案:二倍角的正弦、余弦、正切(二).doc




4.7.2

二倍角的正弦、余弦、正切(二)

(一) 1. (1)sin2α =2sinα cosα 2 2 2 2 (2)cos2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α (3)tan2α =

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

(二) 1. 2.解决一些实际问题. (三) 1. 2.培养学生对数学的应用意识. 和角、差角、倍角公式的灵活应用. 如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式. 通过强化题目的训练,不断总结经验,从而提高解题能力,培养逻辑推理能力.(自学辅 导法) 投影片一张(§4.7.2 A

1.若-2π <α <-

3? 1 ? cos(? ? ? ) ,则 的值是( 2 2
B.cos

A.sin

? 2

C.-sin

? 1 ? sin ? ? cos ? = 5 ,求 的值. 2 1 ? sin ? ? cos ? 3 sin 2? ? 4 cos 2? ? sin 2? ? 4 cos 2 ? 3.证明 2 tan ? ? 1
2.已知 tan Ⅰ. 师:请同学们回顾上节课所推导的二倍角的正弦、余弦、正切公式. 生:(齐声回答) 师(板书):sin2α =2sinα cosα (α 为任意角) 2 2 2 2 cos2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α (α 为任意角) tan2α = Ⅱ.

? 2

? 2

D.-cos

? 2

2 tan ? ? k? ? (α ≠kπ + 且α ≠ + ,k∈Z 2 2 2 4 1 ? tan ?

师:现在我们继续探讨和角、差角、倍角公式的一些应用.

1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? sin 4? ? cos 4? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ? 1 ? sin 4? ? cos 4? 2 tan ? ? 师: 分析: 运用比例的基本性质, 可以发现原式等价于 , 1 ? sin 4? ? cos 4? 1 ? tan 2 ?
[例 1]求证 此式右边就是 tan2θ . 证明:原式等价于

1 ? sin 4? ? cos 4? =tan2θ 1 ? sin 4? ? cos 4?

而上式左边=

sin 4? (1 ? cos4? ) 2 sin 2? cos2? ? 2 sin 2 2? ? sin 4? ? (1 ? cos4? ) 2 sin 2? cos2? ? 2 cos2 2?

?

2 sin 2? (cos2? ? sin 2? ) =tan2θ 2 cos2? (sin 2? ? cos2? )

∴上式成立. 即:原式得证. [例 2]利用三角公式化简 sin50°(1+ 3 tan10°)

解:原式=sin50°(1+

3 sin 10? cos10?

1 3 2( cos10? ? sin 10? 2 =sin50°· 2 cos10?
sin 30? cos10? ? cos30? sin 10? cos10? sin 40? sin 80? cos10? ? 2 cos 40? ? ? ? ?1 cos10? cos10? cos10? ? 2 sin 50? ?
或:原式=sin50°(1+tan60°tan10

sin 60? sin 10? cos 60? cos 10? cos 60? cos 10? ? sin 60? sin 10? =sin50°· cos 60? cos 10? cos(60? ? 10?) sin 50? cos50? =sin50°· ? 1 1 cos10? cos10? 2 2 1 sin 100? cos10? = 2 ? ?1 1 cos10? cos100? 2
=sin50°(1+ 评述:在三角函数式的求值、化简与恒等变形中,有两种典型形式应特别注意,它们在

? 4 ? sinx+ 3 cosx=2sin(x+ 3
sinx+cosx= 2 sin(x+ 或 cosx+ 3 sinx=2sin(x+

? 6

Ⅲ.课堂练习 生:练习课本 P44 2、5. 2 解:2.(1)(sinα -cosα ) =1-sin2α (2)sin

? ? 1 cos = sinθ 2 2 2 4 4 2 2 2 2 (3)cos ? -sin ? =(cos ? +sin ? )(cos ? -sin ? )=cos2 ?
(4)

1 1 (1 ? tan? ) ? (1 ? tan? ) 2 tan? ? ? ? ? tan2? 1 ? tan? 1 ? tan? (1 ? tan? )(1 ? tan? ) 1 ? tan2 ? 1 ? cos 2? 1 ? (1 ? 2 sin 2 ? ) ? ? sin 2 ? 2 2

5.证明:(1)右边=

1 ? cos2? 1 ? (2 cos2 ? ? 1) 2 ? (2)右边= =cos θ 2 2
(3)左边=2sin(π +α )cos(π -α )=2·(-sinα )(-cosα )=sin2α =右 边
4

x
4 2

x
2

x
2

x
2

x
2

x

(4)左边=cos 2 -sin 2 =(cos 2 +sin 2 )(cos 2 -sin 2 )=cosx (5)左边=1+2cos θ -cos2θ =1+1+cos2θ -cos2θ =2 (6)左边=

1 ? cos2? 1 ? (1 ? 2 sin 2 ? ) ? =2sinα sin ? sin ?

(打出投影片§4.7.2 A,让学生板演练习).

1 ? cos(? ? ? ) 1 ? cos? ? ? 1.解: 2 2
3? 2 ? 3? ∴-π < <- 4 2
∵-2π <α <- ∴cos

1 ? 2 cos2 2

?
2

?1

? cos2

?
2

? <0 2

∴原式=-cos

? 2

1 ? sin ? ? cos? sin ? ? (1 ? cos? ) 2.解: ? ? 1 ? sin ? ? cos? sin ? ? (1 ? cos? )


1 ? sin ? ? cos ? 的值为 5 . 1 ? sin ? ? cos ? 3 sin 2? ? 4 cos 2? ? sin 2? ? 4 cos 2 ? 3.证明: 2 tan ? ? 1

cos ? 2 sin 2 2 2 2 ? tan? ? 5 ? ? ? 2 2 sin cos ? 2 cos2 2 2 2 2 sin

?

?

?

6 sin ? cos? ? 4 cos2 ? ? 4 sin 2 ? ? 2 sin ? cos? 证法 1:左边= 2 tan? ? 1

cos? (6 sin ? cos? ? 4 cos2 ? ? 4 sin 2 ? ) ? 2 sin ? cos? 2 sin ? ? cos? cos? (6 sin ? cos? ? 4 cos2 ? ? 4 sin 2 ? ? 4 sin 2 ? ? 2 sin ? cos? ? 2 sin ? ? cos? cos? (8 sin ? cos? ? 4 cos2 ? ) ? 2 sin ? ? cos? 2 4 cos ? (2 sin ? ? cos? ) ? ? 4 cos2 ? ? 右边 2 sin ? ? cos? ?
证法 2:∵(4cos θ +sin2θ )(2tanθ -1 2 2 =8sinθ cosθ -4cos θ +4sin θ -2sinθ cosθ 2 2 =6sinθ cosθ -4cos θ +4sin θ 2 2 又∵3sin2θ -4cos2θ =6sinθ cosθ -4cos θ +4sin θ 2 ∴(4cos θ +sin2θ )(2tanθ -1)=3sin2θ -4cos2θ
2

3 sin 2? ? 4 cos 2? 2 =4cos θ +sin2θ 2 tan ? ? 1 3 sin 2? ? 4 cos 2? ? sin 2? ? 4 cos 2 ? 即: 2 tan ? ? 1


Ⅳ. 师:进一步熟练掌握和角、差角、倍角公式的灵活应用,注意要正确使用公式进行三角 式的化简、求值、证明. Ⅴ. (一)课本 P47 4.7 3 (二)1.预习课本 P45~P46 2. 试用二倍角公式推导用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数. 课题 复习回顾
2 2

例1

例2

1.求值:cos 80°+sin 50°-sin190°·cos320

1?

1 (? cos 20? ? cos 80?) ? sin 10? cos 40? 2

解:原式= =1+

1 ? cos 160 ? 1 ? cos 100 ? ? +sin10°cos40 2 2

1 ×2×(-sin30°sin50°)+sin10°cos40 2 1 1 =1- sin50°+ (sin50°-sin30 2 2 1 3 =1- = 4 4
2.求

1 3 的值. ? sin 10? cos10?
1 3 4( cos10? ? sin 10?) 2 2 2 sin 10? cos10?

cos10? ? 3 sin 10? ? 解:原式= sin 10? cos10?
?

4(sin 30? cos 10? ? cos 30? sin 10?) 4 sin(30? ? 10?) 4 sin 20? ? ? ?4 2 sin 10? cos 10? sin 20? sin 20?


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