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第3课时 利用导数研究函数的极值与最值(导学案)精华版


1.能应用函数的导数分析函数的单调性. 2.能运用导数求函数的极值和最值. 重点:掌握运用导数求函数的单调区间和极值、最值. 难点:含参数的函数单调区间和极值、最值的讨论.

1.函数的极值 (1)函数极值的定义:一般地,设函数 y=f(x)在点 x0 附近 f(x)<f(x0) ,就 有定义,如果对 x0 附近的所有的点,都有____________ 说 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极大值,记作 y 极大值=f(x0),x0 是 f(x)>f(x0) , 极大值点.如果对 x0 附近的所有的点,都有____________ 就说 f(x0)是函数 y=f(x)的一个极小值,记作 y 极小值=f(x0),x0 是极小值点.极大值与极小值统称为极值.

(2) 判别 f(x0) 是极大值、极小值的方法:若点 x0 满足 f′(x0)=0 且在点 x0 的两侧的导数异号,则 x0 是函数 f(x) ____________ 的极值点,f(x0)是极值,并且如果 f′(x)在点 x0 两侧满足“左 大 值点, 大 值; 正右负”, 则点 x0 是函数 f(x)的极____ f(x0)是极____ 如果 f′(x)在点 x0 两侧满足“左负右正”, 则点 x0 是函数 f(x) 小 值点,f(x0)是极____ 小 值. 的极____

(3)求可导函数 f(x)的极值的步骤:①确定函数的定义区 f′(x)=0 的根;③用函数的导数 间,求导数 f′(x);②求方程________ 为 0 的点,顺次将函数的定义域分成若干个开区间,并列成 表格,检查导数 f′(x)在方程的根的左右的值的符号,如果左 极大值 ;如果左负右 正右负,那么函数 f(x)在这个根处取得________ 正,那么函数 f(x)在这个根处取得________ 极小值 ;如果左右不改变 符号,那么函数 f(x)在这个根处________ 无极值 .

2.函数的最大值与最小值 (1)函数的最大值与最小值: 在闭区间[a,b]上图象连续不断的函数 f(x)在区间[a,b] 上必有最大值与最小值. (2)利用导数求函数的最值步骤: 设函数 f(x)在开区间(a,b)内可导,在闭区间[a,b]上图 象连续不断,求函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的 步骤如下:①求函数 f(x)在区间(a,b)内的极值;②将函数 f(x) 的各极值与 f(a),f(b)比较,得出函数 f(x)在区间[a,b]上的最 值,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.

1. 判断下面4个命题,其中是真命题序号为
①可导函数必有极值; ②函数的极值点必在定义域内; ③函数的极小值一定小于极大值。 (设极小值、极大值都存在);





如y ? 2 x

④函数的极小值(或极大值)不会多于一个。

注意:函数极值是在某一点附近的小区间内定义
的,是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间 上可能有多个极大值或极小值,并对同一个函数来 说,在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。

2.函数y=2-x2-x3的极值情况是 A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大值 C.既无极大值也无极小值 D.既有极大值又有极小值

(

)

2 解析:由 y′=-2x-3x =0 解得 x=0 或 x=- . 3
2

2 又 x∈(-∞,- )时,y′<0,y 为减函数; 3 2 x∈(- ,0)时,y′>0,y 为增函数; 3 x∈(0,+∞)时,y′<0,y 为减函数, 2 50 ∴当 x=- 时,y 极小值= ,当 x=0 时,y 极大值=2. 3 27

答案:D

3. 求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2;
2

(2) f ( x) ? x ? 27 x;
3

解: 1 (1) f ?( x) ? 12 x ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? . 列表: 12
x f ’(x)

1 (??, ) 12


1 12 0

1 ( ,??) 12 +

f (x)

单调递减

49 ? 24

单调递增

1 49 1 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 f ( ) ? ? . 12 24 12

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2;
2

(2) f ( x) ? x ? 27 x;
3

解: (2) 令f ?( x) ? 3x 2 ? 27 ? 0, 解得 x1 ? 3, x2 ? ?3.列表:
x f ?(x)
(–∞, –3) –3 (–3, 3) – 单调递减

3 0

( 3, +∞)

+

0

+
单调递增

f (x) 单调递增

54

? 54

所以, 当 x = –3 时, f (x)有极大值 54 ; 当 x = 3 时, f (x)有极小值 – 54 .

4. 函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的 最大值、最小值分别是(
A. 1,-1 C. 3,-17

)

B. 1,-17 D. 9,-19

选C.用导数法解,先求极值,再求最值. 令f′(x)=3x2-3=0,得x=±1.

f(1)=1-3+1=-1,f(-1)=-1+3+1=3,
f(-3)=-17,f(0)=1.

所以最大值为3,最小值为-17。

1 4 1 3 1 2 5.函数 y ? x ? x ? x ,在 4 3 2
[-1,1]上的最小值为(
A.0 B.-2 C.-1

A

)

D.13/12

题型一

求函数的极大值、极小值

1 3 y ? x ? 4x ? 4 求函数 的极值。 3

1 3 例1 求函数 y ? x ? 4x ? 4的极值。 3 解:定义域为R,y′=x2-4 由y′=0可得x=-2或 x=2
当x变化时,y′, y的变化情况如下表:

因此,当x=-2时,函数y有极大值,并且极大值为28/3 当x=2时,函数y有极小值,并且极小值为-4/3

+

x y′ y

(-∞,-2)

-2 0
极大值 28/3

(-2,2)



2 0
极小值 -4/3

(2,+∞) +

求可导函数f(x)极值的 步骤:
(1) 确定函数的定义域; (2)求导数f ’(x); (3)求方程f ’(x)=0的根; (4)把定义域划分为部分区间,并列成表格 检查f ’(x)在方程根左右的符号—— ?如果左正右负(+ ~ -), 那么f(x)在这个根处取得极大值 ?如果左负右正(- ~ +), 那么f(x)在这个根处取得极小值;

求下列函数的极值: (1)f(x)=x3-3x2-9x+5; ln x (2)f(x)= x .

解:(1)函数f(x)=x3-3x2-9x+5的定义域为R,且f′(x)= 3x2-6x-9.解方程3x2-6x-9=0,得x1=-1,x2=3. 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化状态如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞) f′(x) 0 0 + - + f(x) 10 -22 ↗ ↘ ↗ 因此,x=-1是函数的极大值点,极大值为f(-1)=10; x=3是函数的极小值点,极小值为f(3)=-22.

ln x (2)函数 f(x)= x 的定义域为(0,+∞), 1-ln x 且 f′(x)= , x2 令 f′(x)=0,得 x=e. 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化状态如下表: x f′(x) f(x) ↗ (0,e) + e (e,+∞) 0 1 e - ↘

1 因此,x=e 是函数的极大值点,极大值为 f(e)= , e 没有极小值.

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10.求常数a,
b的值. [思路点拨] 由函数f(x)在x=1处有极值10,可得f′(1)

=0且f(1)=10,由此列出方程求a,b的值,但还要注意检 验求出的a,b的值是否满足函数取得极值的条件.

[精解详析]
? ?f?1?=10, ? ? ?f′?1?=0,

f′(x) = 3x2 + 2ax + b , 依 题 意 得

2 ? ?1+a+b+a =10, 即? ? ?3+2a+b=0,

? ?a=4, 解得? ? ?b=-11

? ?a=-3, 或? ? ?b=3.

但由于当 a=-3,b=3 时,f′(x)=3x2-6x+3≥0, 故 f(x)在 R 上单调递增,不可能在 x=1 处取得极值,
? ?a=-3, 所以? ? ?b=3 ? ?a=4, 而当? ? ?b=-11

不符合题意,舍去;

时,经检验知符合题意,

故 a,b 的值分别为 4,-11.

[一点通]

已知函数极值,确定函数的解析式中的参

数时,注意以下两点: (1)根据极值点的导数为0和极值两个条件列方程组,

利用待定系数法求解.
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件, 所以利用待定系数法求解后必须验证充分性.

已知函数 f(x)=x3-3ax2+2bx 在 x=1 处有 极小值-1,试确定实数 a,b 的值,并求出函数 f(x)的单调 区间.
【解析】f′(x)=3x2-6ax+2b, ∵函数 f(x)在 x=1 处有极小值-1,

1 1 经验证知 a=3,b=-2为所求.∴f(x)=x3-x2-x. 1 2 由 f′(x)=3x -2x-1>0,得 x<-3或 x>1. 1 由 f′(x)<0,得-3<x<1, ? 1? 所以函数 f(x)在区间?-∞,-3?,(1,+∞)上为增函数,在 ? ? ? 1 ? 区间?-3,1?上为减函数. ? ?

题型二

求函数的最大值与最小值

求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1,5]内 的最大值和最小值
解:f ′(x)=2x- 4 令f′(x)=0,即2x–4=0,得x =2

x
f ?( x)

1 (1,2) 2
3

(2 ,5 )
+

5
11

0
2

f ( x)

故函数f (x) 在区间[1,5]内的最大值 为11,最小值为2

求函数 y = f (x) 在[a,b]上的最大值与 最小值的步骤如下:
(1) 求函数 y = f (x) 在 ( a, b ) 内的极值; (2) 将函数 y = f (x) 的各极值点与端点处的函 数值f (a), f (b) 比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.

1 3 (1).求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 在[0,3]上的最大值与最小值. 3 令 f ?( x) ? x 2 ? 4 ? 0, x ?[0,3] 解:
解得 x = 2 . 当0≤x<2时,f’(x)<0;当2<x≤3时,f’(x)>0

4 所以当 x = 2 时, 函数 f (x)有极小值 f (2) ? ? . 3 又由于 f (0) ? 4, f (3) ? 1, 1 3 所以, 函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 在[0,3]上的最大值是4, 3 4 最小值是 ? . 3

(2)、 函数y=x3-3x2,在[-2,4]上的

最大值为(
A.-4 B.0

C

)
C.16 D.20

1 (3 ).求f ( x ) ? x ? sin x在区间[0 , 2 π]上的最值. 2

解:

函数f(x)的最大值是π ,最小值是0.

课堂检测

3 5 1.函数 f(x)=x -3x+3,当 x∈[- , ]时,函数 f(x) 2 2 的最小值是 ( ) 33 A. B.-5 8 89 C. 1 D. 8
3

解析:令 f′(x)=3x2-3=0,得 x1=-1,x2=1. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化状态如下表: x f′(x) f(x) 33 8 3 3 5 5 - 1 ( - 1,1) 1 (1, ) - (- ,-1) 2 2 2 2 + ↗ 0 5 - ↘ 0 + 89 8

1 ↗

由上表可知当 x=1 时,f(x)取最小值 1.

答案:C

2. 函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如右图 所示,则函数f(x) ( ) ? A.无极大值点、有四个极小值点 ? B.有三个极大值点、两个极小值点 ? C.有两个极大值点、两个极小值点 ? D.有四个极大值点、无极小值点

? [分析] 通常给出函数的图象或与函数极 值有关的命题形式,进行辨别和判断函 数极值的存在情况. ? [ 解析] 设 f′(x)与x轴的 4个交点,从左至 右依次为x1、x2、x3、x4, ? 当x<x1时,f′(x)>0,f(x)为增函数, ? 当x1<x<x2时,f′(x)<0,f(x)为减函数,则x = x1 为极大值点,同理, x = x3 为极大值 点,x=x2,x=x4为极小值点,故选C. ? [答案] C

x2+ a 3.若函数 f(x)= 在 x=1 处取极值,则 a=________. x+ 1
x2+a 解析:∵f′(x)=( )′ x+ 1 ?x2+a?′· ?x+1?-?x2+a??x+1?′ = ?x+1?2 x2+2x-a = , ?x+1?2 又∵在 x=1 处取极值, 3- a ∴f′(1)= =0, 4 ∴a=3,经检验 a=3 时 x=1 是极值点. 答案: 3

4. 若 y=alnx+bx +x 在 x=1 和 x=2 处有极值, 则 a=________,b=________.
2 1 答案 -3 -6 a 解析 y′= +2bx+1. x 2 ? a+2b+1=0 a=-3 ? ? ? 由已知?a ,解得? 1 + 4 b + 1 = 0 ? b=- ?2 ? ? 6

2

5.函数 y=ax3+bx2 取得极大值和极小值 1 时的 x 的值分别为 0 和 ,则( ) 3 A.a-2b=0 B.2a-b=0 C.2a+b=0 D.a+2b=0

答案 D 2 解析 y′=3ax +2bx,据题意, 1 2 0、 是方程 3ax +2bx=0 的两根 3 2b 1 ∴-3a=3, ∴a+2b=0.

6.函数 f(x)的导函数 f′(x)的图象,如右图所示,则( A.x=1 是最小值点 B.x=0 是极小值点 C.x=2 是极小值点 D.函数 f(x)在(1,2)上单增

)

答案 C 解析 由导数图象可知, x=0, x=2 为两极值点, x=0 为极大值点,x=2 为极小值点,选 C.

7.已知定义在 R 上的函数 f(x)=x (ax-3),其中 a 为常数. (1)若 x=1 是函数 f(x)的一个极值点,求 a 的值; (2)若函数 f(x)在区间(-1,0)上是增函数,求 a 的取值范围.

2

解析 (1)f(x)=ax -3x ,f′(x)=3ax -6x=3x(ax-2). ∵x=1 是 f(x)的一个极值点,∴f′(1)=0,∴a=2.

3

2

2

(2)解法一 ①当 a=0 时,f(x)=-3x2 在区间(-1,0)上是增函数,∴a=0 符合题 意; 2 2 ②当 a≠0 时,f′(x)=3ax(x- ),令 f′(x)=0 得:x1=0,x2= . a a 当 a>0 时,对任意 x∈(-1,0),f′(x)>0,∴a>0 符合题意; 2 2 当 a<0 时,当 x∈( ,0)时,f′(x)>0,∴ ≤-1,∴-2≤a<0 a a 符合题意; 综上所述,a≥-2. 解法二 f′(x)=3ax2-6x≥0 在区间(-1,0)上恒成立,∴3ax- 2 2 2 6≤0,∴a≥ 在区间(-1,0)上恒成立,又 < =-2,∴a≥-2. x x -1


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