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2009届全国名校真题模拟专题训练8-圆锥曲线解答题2(数学)


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2009 届全国名校真题模拟专题训练 08
三、解答题(第二部分 解答题 第二部分) 第二部分
26、(福建省泉州一中高 2008 届第一次模拟检测)已知椭圆 C:

圆锥曲线

x2 y2 + 2 =1(a>b>0)的 a2 b

离心率为

6 ,过右焦点 F 且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A, 两点, 为弦 AB 的中点。 B N 3

(1)求直线 ON(O 为坐标原点)的斜率 KON ; 使等式: (2) 对于椭圆 C 上任意一点 M , 试证: 总存在角 θ( θ ∈R) OM =cos θ OA +sin θ OB成立。 解:(1)设椭圆的焦距为 2c,因为

a2 ? b2 2 c 6 ,所以有 = ,故有 a 2 = 3b 2 。从而椭 = a 3 3 a2


圆 C 的方程可化为: x 2 + 3 y 2 = 3b 2 易知右焦点 F 的坐标为( 2b,0 ) ,

………2 分

据题意有 AB 所在的直线方程为: y = x ? 2b 由①,②有: 4 x ? 6 2bx + 3b = 0
2 2

② ③

………3 分

设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,弦 AB 的中点 N ( x 0 , y 0 ) ,由③及韦达定理有:

x0 =

x1 + x 2 3 2b 2 = , y 0 = x0 ? 2b = ? b. 2 4 4

所以 K ON =

y0 1 = ? ,即为所求。 3 x0

………5 分

(2)显然 OA 与 OB 可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一 平面内的向量 OM ,有且只有一对实数 λ , ? ,使得等式 OM = λ OA + ? OB 成立。设

M ( x, y ) ,由 1)中各点的坐标有:

( x, y) = λ ( x1 , y1 ) + ? ( x2 , y 2 ) ,所以
x = λx1 + ?x 2 , y = λy1 + ?y 2 。
………7 分

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又 点 在 椭 圆 C 上 , 所 以 有 (λx1 + ?x 2 ) + 3(λy1 + ?y 2 ) = 3b 整 理 为
2 2 2

λ2 ( x1 2 + 3 y1 2 ) + ? 2 ( x 2 2 + 3 y 2 2 ) + 2λ? ( x1 x 2 + 3 y1 y 2 ) = 3b 2 。
由③有: x1 + x 2 =



3 2b 3b 2 。所以 , x1 ? x 2 = 2 4


x1 x 2 + 3 y1 y 2 = x1 x 2 + 3( x1 ? 2b)( x 2 ? 2b) = 4 x1 x 2 ? 3 2b( x1 + x 2 ) + 6b 2 = 3b ? 9b + 6b = 0
2 2 2

又 A﹑B 在椭圆上,故有 ( x1 + 3 y1 ) = 3b 2 , ( x 2 + 3 y 2 ) = 3b 2
2 2 2 2



将⑤,⑥代入④可得: λ2 + ? 2 = 1 。

………11 分

对于椭圆上的每一个点 M ,总存在一对实数,使等式 OM = λ OA + ? OB 成立,而

λ2 + ? 2 = 1
在直角坐标系 x ? o ? y 中,取点 P( λ , ? ) ,设以 x 轴正半轴为始边,以射线 OP 为终 边的角为 θ ,显然 λ = cos θ , ? = sin θ 。 也就是:对于椭圆 C 上任意一点 M ,总存在角 θ ( θ ∈R)使等式:OM =cos θ OA + sin θ OB 成立。 27、(福建省厦门市 2008 学年高三质量检查)已知曲线 C 上任意一点 M 到点 F(0,1)的距 离比它到直线 l : y = ?2 的距离小 1。 (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 P(2,2)的直线m与曲线C交于A, B两点, 设 AP = λ PB. ①当 λ = 1时, 求直线m 的方程; ②当△AOB 的面积为 4 2 时(O 为坐标原点) ,求 λ 的值。 (1)解法一:设 M ( x, y ), 则由题设得 | MF |=| y + 2 | ?1 , 即 x 2 + ( y ? 1) 2 =| y + 2 | ?1 当 y ≥ ?2时, x 2 + ( y ? 1) 2 = y + 1, 化简得 x 2 = 4 y ; 当 y < ?2时, x + ( y ? 1) = ? y ? 3,
2 2

…………1 分

…………3 分 …………4 分

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化简得 x = 8 y + 8与y < ?3 不合
2 2 故点 M 的轨迹 C 的方程是 x = 4 y

…………5 分

(1)解法二:∵ 点M到点F (1,0)的距离比它到直线l : y = ?2 的距离小于 1, ∴点 M 在直线 l 的上方, 点 M 到 F(1,0)的距离与它到直线 l ′ : y = ?1 的距离相等 …………3 分

∴点M的轨迹C是以F为焦点, l ′为准线的抛物线
所以曲线 C 的方程为 x 2 = 4 y …………5 分

(2)当直线 m 的斜率不存在时,它与曲线 C 只有一个交点,不合题意, 设直线 m 的方程为 y ? 2 = k ( x ? 2),即y = kx + (2 ? 2k ) ,
2 2 代入 x = 4 y得x ? 4kx + 8( k ? 1) = 0 (☆)

…………6 分

? = 16(k 2 ? 2k + 2) > 0对k ∈ R恒成立, 所以, 直线m 与曲线 C 恒有两个不同的交点
设交点 A,B 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) , 则 x1 + x 2 = 4k , x1 x 2 = 8(k ? 1) ①由 AP = λ PB, 且λ = 1得点P是弦AB的中点 , …………7 分

∴ x1 + x2 = 4, 则4k = 4, 得k = 1∴ 直线m的方程是x ? y = 0

…………9 分

②∵| AB |= ( x 2 ? x1 ) 2 + ( y 2 ? y1 ) 2 = (1 + k 2 )[( x 2 + x1 ) 2 ? 4 x 2 x1 ] = 4 (1 + k 2 )( k 2 ? 2 k + 2) 点 O 到直线 m 的距离 d =

| 2 ? 2k | 1+ k 2



∴ S ?ABO =


1 | AB | ?d = 4 | k ? 1 | k 2 ? 2k + 2 = 4 ( k ? 1) 4 + ( k ? 1) 2 … … … … 10 2

∵ S ?ABO = 4 2 ,∴ 4 ( k ? 1) 4 + ( k ? 1) 2 = 4 2 ,

∴ ( k ? 1) 4 + (k ? 1) 2 ? 2 = 0, ( k ? 1) 2 = 1或( k ? 1) 2 = ?2 (舍去) ∴ k = 0或k = 2
当 k = 0时, 方程(☆)的解为 ± 2 2 …………12 分

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若 x1 = 2 2 , x 2 = ?2 2 , 则λ =

2?2 2 ? 2 2 ?1 2+2 2 2 2 ?2

= 3? 2 2

若 x1 = ?2 2 , x 2 = 2 2 , 则λ =

= 3+ 2 2

…………13 分

当 k = 2时, 方程(☆)的解为 4 ± 2 2 若 x1 = 4 + 2 2 , x 2 = 4 ? 2 2 , 则λ =

?2?2 2 2?2 2 ?2+2 2 2+2 2

= 3+ 2 2

若 x1 = 4 ? 2 2 , x 2 = 4 + 2 2 , 则λ = 所以, λ = 3 + 2 2或λ = 3 ? 2 2

= 3?2 2

…………14 分

28、(福建省仙游一中 2008 届高三第二次高考模拟测试)已知方向向量为 v = 1, 3 的直线 l x2 y2 过椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的焦点以及点(0, ? 2 3 ),椭圆 C 的中心关于直线 l 的对称点 在椭圆 C 的右准线上。 ⑴求椭圆 C 的方程。 ⑵过点 E(-2,0)的直线 m 交椭圆 C 于点 M、N,且满足 OM ? ON = (O 为坐标原点),求直线 m 的方程。 解:⑴直线 l : y = 解①②得 x = ∴
4 6 cot ∠MON ≠ 0 , 3

(

)

3 x ? 2 3 ①,过原点垂直于 l 的直线方程为 y = ?

3 x② 3

3 ,∵椭圆中心 O(0,0)关于直线 l 的对称点在椭圆 C 的右准线上, 2

a2 3 = 2 × = 3 , …………………(2 分) c 2 ∵直线 l 过椭圆焦点,∴该焦点坐标为(2,0),∴ c = 2, a 2 = 6, b 2 = 2 , x2 y 2 故椭圆 C 的方程为 + = 1 ③…………………(4 分) 6 2 ⑵当直线 m 的斜率存在时,设 m : y = k ( x + 2) ,代入③并整理得 (3k 2 + 1) x 2 + 12k 2 x + 12k 2 ? 6 = 0 ,设 M ( x1 , y1 ),N ( x2 , y2 ) ,
则 x1 + x2 =

12k 2 ? 6 ……………(5 分) 3k 2 + 1 2 6(1 + k 2 ) ∴ MN = 1 + k 2 x1 ? x2 = 1 + k 2 ? ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 x2 = ,……(7 分) 3k 2 + 1 2k 点 O 到直线 m 的距离 d = . 1+ k 2 4 4 cos ∠MON ∵ OM ? ON = , 6 cot ∠MON ,即 OM ? ON cos ∠MON = 6? 3 3 sin ∠MON 又由 OM ?ON ≠ 0 得 cos ∠MON ≠ 0 , 12k 2 , 3k 2 + 1 x1 ? x2 =
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∴ OM ? ON sin ∠MON = 而 S△OMN

4 2 6 ? S△OMN = 6 ,…………………………(9 分) 3 3 2k 1 4 2 6(1 + k 2 ) 4 ? = = MN ? d ,∴ MN ? d = 6 ,即 6, 2 2 2 3 3k + 1 3 1+ k

解得 k = ±

3 3 ,此时 m : y = ± ( x + 2) 3 3

…………………………………(11 分)

当直线 m 的斜率不存在时, m : x = ?2 ,也有 S△OMN = 经检验,上述直线 m 均满足 OM ? ON ≠ 0 , 故直线 m 的方程为

2 6, 3

x ± 3 y + 2 = 0 或 x = ?2

29 、 ( 福 建 省 漳 州 一 中 2008 年 上 期 期 末 考 试 ) 已 知 F1 ( ?2, 0), F2 (2, 0) , 点 P 满 足

| PF1 | ? | PF2 |= 2 ,记点 P 的轨迹为 E .
(Ⅰ)求轨迹 E 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过点 F2 且与轨迹 E 交于 P 、 Q 两点. (i)设点 M ( m, 0) ,问:是否存在实数 m ,使得直线 l 绕点 F2 无论怎样转动,都有

MP ? MQ = 0 成立?若存在,求出实数 m 的值;若不存在,请说明理由.
(ii) P 、Q 作直线 x = 过 求 λ 的取值范围. 解: (Ⅰ)由 | PF1 | ? | PF2 |= 2 < | F1 F2 | 知,点 P 的轨迹 E 是以 F1 、 F2 为焦点的双曲线右 支,由 c = 2, 2a = 2 ,∴ b 2 = 3 ,故轨迹 E 的方程为 x ?
2

| PA | + | QB | 1 的垂线 PA 、QB , 垂足分别为 A 、B , λ = 记 , 2 | AB |

y2 = 1( x ≥ 1). …(3 分) 3

(Ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 方程为 y = k ( x ? 2) ,与双曲线方程联立消 y 得

(k 2 ? 3) x 2 ? 4k 2 x + 4k 2 + 3 = 0 ,设 P ( x1 , y1 ) 、 Q ( x2 , y2 ) ,
?k 2 ? 3 ≠ 0 ? ?? > 0 2 ? ∴ ? x + x = 4k > 0 , 1 2 k2 ? 3 ? ? 4k 2 + 3 ? x1 ? x2 = 2 >0 k ?3 ?

解得 k 2 > 3 ………………………………………(5 分)

(i)∵ MP ? MQ = ( x1 ? m)( x2 ? m) + y1 y2

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= ( x1 ? m)( x2 ? m) + k 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2) = (k 2 + 1) x1 x2 ? (2k 2 + m)( x1 + x2 ) + m 2 + 4k 2 = = (k 2 + 1)(4k 2 + 3) 4k 2 (2k 2 + m) ? + m 2 + 4k 2 2 2 k ?3 k ?3 3 ? (4m + 5)k 2 + m 2 ……………………(7 分) k2 ? 3

假设存在实数 m ,使得 MP ? MQ = 0 , 故得 3(1 ? m ) + k ( m ? 4m ? 5) = 0 对任意的 k > 3 恒成立,
2 2 2
2

?1 ? m 2 = 0 ? ∴? ,解得 m = ?1. 2 ? m ? 4m ? 5 = 0 ?
∴当 m = ?1 时, MP ? MQ = 0 . 当直线 l 的斜率不存在时,由 P (2, 3), Q (2, ?3) 及 M ( ?1, 0) 知结论也成立, 综上,存在 m = ?1 ,使得 MP ? MQ = 0 . …………………………………………(8 分) (ii)∵ a = 1, c = 2 ,∴直线 x =

1 是双曲线的右准线,…………………………(9 分) 2 1 1 1 由双曲线定义得: | PA |= | PF2 |= | PF2 | , | QB |= | QF2 | , e 2 2
方法一:∴ λ =

1 + k 2 | x2 ? x1 | 1 + k 2 | x2 ? x1 | | PQ | = = 2 | AB | 2 | y2 ? y1 | 2 | k ( x2 ? x1 ) |

1+ k 2 1 1 = = 1 + 2 . …………………………………………(10 分) 2|k | 2 k
∵ k 2 > 3 ,∴ 0 <

1 1 1 3 ………………………………………(11 分) < ,∴ < λ < 2 k 3 2 3
1 , 2

注意到直线的斜率不存在时, | PQ |=| AB |, 此时λ = 综上, λ ∈ ? ,

?1

?2

3? ?. ………………………………………………………………(12 分) 3 ? ?

方法二:设直线 PQ 的倾斜角为 θ ,由于直线 PQ 与双曲线右支有二个交点,∴

π
3

<θ <

2π ,过 Q 3

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作 QC ⊥ PA ,垂足为 C ,则 ∠PQC =| ∴λ =

π
2

?θ | ,

| PQ | | PQ | 1 1 = = = 2 | AB | 2 | CQ | 2 cos( π ? θ ) 2 sin θ 2
2π 3 ,得 < sin θ ≤ 1, 3 2

……………………………………………………(10 分) 由

π
3

<θ <
?1

故: λ ∈ ? ,

3? ? ? ?2 3 ?

30、 (甘肃省河西五市 2008 年高三第一次联考)已知双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的离心 a2 b2

率 e=2,且 B1 、 B2 分别是双曲线虚轴的上、下端点

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

(Ⅰ)若双曲线过点 Q ( 2 , 3 ) ,求双曲线的方程; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 M 、 N 是双曲线上不同的两点,且

B2 M = λ B2 N , B2 M ⊥ B1 N ,求直线 MN 的方程

新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

x2 y2 解: (Ⅰ)∵双曲线方程为 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0), e = 2 a b 2 2 2 2 ∴ c = 2a, b = c ? a = 3a ,
∴双曲线方程为 ∴

x2 y2 ? 2 = 1 ,又曲线 C 过点 Q(2, 3 ) , a 2 3a

4 3 ? 2 = 1, a 2 = 3, b 2 = 9 2 a 3a x2 y2 ∴双曲线方程为 ? = 1. ………………5 分 3 9 (Ⅱ)∵ B2 M = λ B2 N ,∴M、B2、N 三点共线
∵ B2 M ⊥ B1 N , ∴ MN ⊥ B1 N
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(1)当直线 MN 垂直 x 轴时,不合题意 (2)当直线 MN 不垂直 x 轴时,由 B1(0,3) 2(0,-3) ,B , 可设直线 MN 的方程为 y = kx ? 3 ,① ∴直线 B1 N 的方程为 y = ?

1 x + 3. ② k 6k 3k 2 ? 3 由①,②知 N ( 2 , ), 代入双曲线方程得 k +1 k 2 +1 36k 2 9(k 2 ? 1) 2 3× 2 ? 2 = 9 ,得 k 4 ? 6k 2 + 1 = 0 , 2 2 (k + 1) (k + 1)
2

解得 k = 3 ± 2 2 , ∴ k = ± ( 2 ± 1) ,
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故直线 MN 的方程为

y = ± ( 2 ± 1) x ? 3

31、 (甘肃省兰州一中 2008 届高三上期期末考试)已知椭圆 C:

x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的左、 a2 b2

右焦点为 F1、F2,离心率为 e. 直线 l : y = ex + a 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B,M 是 直线 l 与椭圆 C 的一个公共点,P 是点 F1 关于直线 l 的对称点,设 AM = λ AB. (Ⅰ)证明: λ = 1 ? e 2 ; (Ⅱ)若 λ =

3 , ?PF1 F2 的周长为 6;写出椭圆 C 的方程. 4

解: (Ⅰ)证法一:因为 A、B 分别是直线 l : y = ex + a与x 轴、y 轴的交点, 所以 A、B 的坐标分别是 (?

a ,0), (0, a ). e

…………2 分

? y = ex + a ? x = ?c ? 2 ? 2 2 由?x 得? y2 b 2 这里c = a + b ? 2 + 2 = 1 ?y = b a ?a ?
所以点 M 的坐标是 ( ?c,

…………4 分

b2 a b2 a )。由AM = λ AB得, ( ? c, ) = λ ( , a ). a e a e



a ?a ?c = λ ?e ? e ,解得λ = 1 ? e 2 ? 2 ? b = λa ?a ?

………………6 分

证法二:因为 A、B 分别是直线 l : y = ex + a与x 轴、y 轴的交点,所以 A、B 的坐标分 别是 (?

a ,0), (0, a ). e

………………2 分

设 M 的坐标是 ( x 0 , y 0 ),由 AM = λ AB得, 0 + (x

a a , y 0 ) = λ ( , a ). e e

a ? ? x0 = (λ ? 1) e ? ? y 0 = λa. ?

………………4 分

因为点 M 在椭圆上,所以

2 2 x0 y 0 + 2 =1 a2 b



a [ (λ ? 1)]2 ( λa ) 2 (1 ? λ ) 2 λ2 e + 2 = 1,所以 + = 1. a2 b e2 1 ? e2
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e 4 ? 2(1 ? λ )e 2 + (1 ? λ ) 2 = 0,解得e 2 = 1 ? λ,即λ = 1 ? e 2 . …………6 分
(Ⅱ)当 λ =

3 1 时,c = ,所以 a = 2c. 由?MF1 F2 的周长为 6,得 2a + 2c = 6 4 2
2 2 2

所以 a = 2, c = 1, b = a ? c = 3. 椭圆方程

x2 y2 + = 1. 4 3

32、 (广东省佛山市 2008 年高三教学质量检测一)抛物线 y 2 = 2 px 的准线的方程为

x = ?2 ,该抛物线上的每个点到准线 x = ?2 的距离都与到定点 N 的距离相等,圆 N 是以 N
为圆心,同时与直线 l1 : y = x和l2 : y = ? x 相切的圆, (Ⅰ)求定点 N 的坐标; (Ⅱ)是否存在一条直线 l 同时满足下列条件: ① l 分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E ( 4,1) ; ② l 被圆 N 截得的弦长为 2 . 解: (1)因为抛物线 y 2 = 2 px 的准线的方程为 x = ?2 所以 p = 4 ,根据抛物线的定义可知点 N 是抛物线的焦点, 所以定点 N 的坐标为 ( 2,0) (2)假设存在直线 l 满足两个条件,显然 l 斜率存在, 设 l 的方程为 y ? 1 = k ( x ? 4) , (k ≠ ±1) -----------2 分 ----------------------------3 分 -----------4 分 ------------------------5 分

以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y = x和l2 : y = ? x 相切的圆 N 的半径为 2 , ----6 分 方法 1:因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1, 即d = -------7 分

2k ? 1

4 = 1 ,解得 k = 0或 , 3 1+ k2

-------------------------------8 分

当 k = 0 时,显然不合 AB 中点为 E ( 4,1) 的条件,矛盾! 当k = 由?

--------------9 分 ----------------------------10 分

4 时, l 的方程为 4 x ? 3 y ? 13 = 0 3

?4 x ? 3 y ? 13 = 0 ,解得点 A 坐标为 (13,13) , y=x ? ?4 x ? 3 y ? 13 = 0 ? 13 13 ? ,解得点 B 坐标为 ? ,? ? , 7? ?7 ? y = ?x

------------------11 分

由?

------------------12 分

显然 AB 中点不是 E ( 4,1) ,矛盾!

----------------------------------13 分

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所以不存在满足条件的直线 l . 方法 2:由 ? ------------------------------------14 分 ------7 分

? y ? 1 = k ( x ? 4) ? 4k ? 1 4k ? 1 ? ,解得点 A 坐标为 ? , ?, ? k ?1 k ?1 ? ?y=x

由?

? y ? 1 = k ( x ? 4) ? 4k ? 1 4 k ? 1 ? ,解得点 B 坐标为 ? ,? ?, 1+ k ? ? 1+ k ?y = ?x
4k ? 1 4k ? 1 = 8 ,解得 k = 4 , + k ?1 k +1

------------8 分

因为 AB 中点为 E ( 4,1) ,所以

---------10 分

所以 l 的方程为 4 x ? y ? 15 = 0 ,

圆心 N 到直线 l 的距离

7 17 , 17

-------------------------------11 分

因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,矛盾! ----13 分 所以不存在满足条件的直线 l . -------------------------------------14 分 方法 3:假设 A 点的坐标为 ( a , a ) , 因为 AB 中点为 E ( 4,1) ,所以 B 点的坐标为 (8 ? a,2 ? a ) , 又点 B 在直线 y = ? x 上,所以 a = 5 , 所以 A 点的坐标为 (5,5) ,直线 l 的斜率为 4, 所以 l 的方程为 4 x ? y ? 15 = 0 , -----------------------------10 分 -------------8 分

----------------------------9 分

圆心 N 到直线 l 的距离

7 17 , 17

-----------------------------11 分

因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,矛盾! ---------13 分 所以不存在满足条件的直线 l . 33、(广东省惠州市 2008 届高三第三次调研考试)已知圆 C : x 2 + y 2 = 4 . (1)直线 l 过点 P (1, 2 ) ,且与圆 C 交于 A 、 B 两点,若 | AB |= 2 3 ,求直线 l 的方程; (2)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m ,设 m 与 y 轴的交点为 N ,若向量

OQ = OM + ON ,求动点 Q 的轨迹方程,并说明此轨迹是什么曲线.
解(Ⅰ)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x = 1 ,

l 与圆的两个交点坐标为 1, 3 和 1,? 3 ,其距离为 2 3 ,满足题意……… 2 分
②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y ? 2 = k ( x ? 1) , 即 kx ? y ? k + 2 = 0 …………………………………………………… 3 分
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(

) (

)

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设圆心到此直线的距离为 d ,则 2 3 = 2 4 ? d ,得 d = 1
2

∴1 =

| ?k + 2 | k +1
2

,k =

3 , 4
……………………………………5 分 …………………… 6 分 …… 7

故所求直线方程为 3 x ? 4 y + 5 = 0

综上所述,所求直线为 3 x ? 4 y + 5 = 0 或 x = 1

(Ⅱ)设点 M 的坐标为 ( x0 , y 0 ) ,Q 点坐标为 ( x, y ) ,则 N 点坐标是 (0, y 0 ) 分 ∵ OQ = OM + ON ,∴ ( x, y ) = ( x0 , 2 y0 ) 分
2 2 又∵ x 0 + y 0 = 4 ,∴ x +

即 x0 = x ,

y0 =

y 2

…………9

2

y2 = 4 …………………………… 4

10 分

由已知,直线 m ∥ox 轴,所以, y ≠ 0 ,…………………………… 11 分

∴ Q 点的轨迹方程是

y 2 x2 + = 1( y ≠ 0) ,…………………… 12 分 16 4

轨迹是焦点坐标为 F1 (0, ?2 3), F2 (0, 2 3) ,长轴为 8 的椭圆, 并去掉 ( ±2, 0) 两点。 34、(广东省揭阳市 2008 年高中毕业班高考调研测试)设动点 P ( x , y ) ( y ≥ 0) 到定点

F (0, 1) 的距离比它到 x 轴的距离大 1,记点 P 的轨迹为曲线 C .
(1)求点 P 的轨迹方程; (2)设圆 M 过 A (0, 2) ,且圆心 M 在曲线 C 上, EG 是圆 M 在 x 轴上截得的弦,试探 究当 M 运动时,弦长 EG 是否为定值?为什么? 解: (1)依题意知,动点 P 到定点 F (0, 1) 的距离等于 P 到直线 y = ?1 的距离,曲线 C 是 以原点为顶点, F (0, 1) 为焦点的抛物线………………………………2 分 ∵ ∴

p =1 2

∴p=2

曲线 C 方程是 x 2 = 4 y ………4 分

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(2)设圆的圆心为 M ( a, b ) ,∵圆 M 过 A (0, 2) , ∴圆的方程为

( x ? a )2 + ( y ? b)2 = a 2 + (b ? 2)2

……………………………7 分

令 y = 0 得: x 2 ? 2 ax + 4b ? 4 = 0 设圆与 x 轴的两交点分别为 ( x1 , 0) , ( x2 , 0) 方法 1:不妨设 x1 > x2 ,由求根公式得

2a + 4a 2 ? 16b + 16 2a ? 4a 2 ? 16b + 16 x1 = , x2 = …………………………10 分 2 2
∴ x1 ? x2 =

4a 2 ? 16b + 16
2
2

又∵点 M ( a, b ) 在抛物线 x = 4 y 上,∴ a = 4b , ∴

x1 ? x2 = 16 = 4 ,即 EG =4--------------------------------------------------------13 分

∴当 M 运动时,弦长 EG 为定值 4…………………………………………………14 分 〔方法 2:∵ x1 + x2 = 2a , x1 ? x2 = 4b ? 4 ∴

( x1 ? x2 ) 2 = ( x1 + x2 ) 2 ? 4 x1 ? x2 = (2a ) 2 ? 4(4b ? 4) = 4a 2 ? 16b + 16 ( x1 ? x2 ) 2 = 16

又∵点 M ( a, b ) 在抛物线 x 2 = 4 y 上,∴ a 2 = 4b , ∴ ∴当 M 运动时,弦长 EG 为定值 4〕

x1 ? x2 = 4

35 、 ( 广 东 省 揭 阳 市 2008 年 第 一 次 模 拟 考 试 ) 设 直 线 l : y = k ( x + 1)( k ≠ 0) 与 椭 圆

3 x 2 + y 2 = a 2 (a > 0) 相交于 A、B 两个不同的点,与 x 轴相交于点 C,记 O 为坐标原点.
(1)证明: a >
2

3k 2 .; 3+ k2

(2)若 AC = 2CB, 求?OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程. (1)证明:由 y = k ( x + 1) 得 x = 将x=

1 y ? 1. k

1 y ? 1 代入 3x 2 + y 2 = a 2 消去 x 得 k 3 6 ( 2 + 1) y 2 ? y + 3 ? a 2 = 0. ① ………………………… 3 分 k k
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由直线 l 与椭圆相交于两个不同的点得

?=

36 3 ? 4( 2 + 1)(3 ? a 2 ) > 0, 2 k k

整理得 (

3k 2 3 . ………5 分 + 1) a 2 > 3 ,即 a 2 > k2 3+ k2 6k 3+ k2

(2)解:设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ). 由①,得 y1 + y2 =

∵ AC = 2CB, 而点 C ( ?1, 0) , ∴ ( ?1 ? x1 , ? y1 ) = 2( x2 + 1, y2 ) 得 y1 = ?2 y2 代入上式,得 y2 = 于 是 ,

?6 k . 3+ k2


……………8 分 OAB 的 面 积

S=

1 3 9|k | 9|k | 3 3 | OC | ? | y1 ? y 2 |= | y 2 | = ≤ = . --------11 分 2 2 2 3+ k 2 2 3|k|
其中,上式取等号的条件是 k 2 = 3, 即 k = ± 3. ……………………12 分 由 y2 =

?6 k . 可得 y2 = ± 3 3+ k2

将 k = 3, y2 = ? 3 及 k = ? 3, y2 = 3 这两组值分别代入①,均可解出 a 2 = 15. ∴△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是 3 x 2 + y 2 = 15. 36、(广东省汕头市潮阳一中 2008 年高三模拟考试)如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M(2,1) ,平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0) 交椭圆于 A、B 两个不同点。 ,l 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)求证直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.

x2 y2 解: (1)设椭圆方程为 2 + 2 = 1( a > b > 0) a b

?a = 2b ? 2 ? ?a = 8 则? 4 解得? 2 1 ?b = 2 ?a2 + b2 = 1 ? ?
∴椭圆方程为

x2 y2 + =1 8 2

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m 又 KOM=

1 2 1 x + m ……………………………………………………5 分 2

∴ l的方程为: y =

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1 ? ?y = 2 x + m ? 由? 2 ∴ x 2 + 2mx + 2m 2 ? 4 = 0 ……………………………………6 分 x y2 ? + =1 ?8 2 ?
∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

∴ ? = (2m) 2 ? 4(2m 2 ? 4) > 0, 解得 ? 2 < m < 2, 且m ≠ 0...........................................................8分
(3)设直线 MA、MB 的斜率分别为 k1,k2,只需证明 k1+k2=0 即可…………9 分 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), 且x1 + x 2 = ?2m, x1 x 2 = 2m ? 4 ……………………10 分
2

则 k1 =

y1 ? 1 y2 ?1 , k2 = x1 ? 2 x2 ? 2
2

由 x 2 + 2mx + 2m ? 4 = 0可得

x1 + x 2 + ?2m, x1 x 2 = 2m 2 ? 4 ……………………………………………………10 分
而 k1 + k 2 =

y 1 ? 1 y 2 ? 1 ( y 1 ? 1) ? ( x 2 ? 2) + ( y 2 ? 1)( x1 ? 2) + = x1 ? 2 x 2 ? 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

1 1 ( x1 + m ? 1)( x 2 ? 2) + ( x 2 + m ? 1)( x1 ? 2) 2 = 2 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) = = = x1 x 2 + (m + 2)( x1 + x 2 ) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 + (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) 2m 2 ? 4 ? 2m 2 + 4m ? 4 m + 4 = 0......................................................13分 ( x1 ? 2)( x 2 ? 2)

∴ k1 + k 2 = 0
故直线 MA、MB 与 x 轴始终围成一个等腰三角形.……………………14 分 37、(广东省汕头市澄海区 2008 年第一学期期末考试)已知椭圆 C :

x2 y2 + = 1(a > b > 0) a2 b2

的离心率为

6 ,F 为椭圆在 x 轴正半轴上的焦点,M、N 两点在椭圆 C 上,且 3

MF = λ FN (λ > 0) ,定点 A(-4,0).
(1)求证:当 λ = 1 时., MN ⊥ AF ;
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(2)若当 λ = 1 时有 AM ? AN =

106 ,求椭圆 C 的方程; 3

(3)在(2)的条件下,当 M、N 两点在椭圆 C 运动时,当 AM ? AN × tan ∠MAN 的 值为 6 3 时, 求出直线 MN 的方程. 解: (1)设 M ( x1 , y1 ), N ( x 2 , y 2 ), F (c,0) , 则 MF = (c ? x1 ,? y1 ), NF = ( x 2 ? c, y 2 ) , 当 λ = 1 时, MF = FN ,∴ ? y1 = y 2 , x1 + x 2 = 2c , 由 M,N 两点在椭圆上,∴ x1 = a (1 ?
2 2

y12 y2 2 2 ), x 2 = a 2 (1 ? 2 ),∴ x12 = x 2 2 2 b b
(4 分)

若 x1 = ? x 2 ,则 x1 + x 2 = 0 ≠ 2c (舍去) ∴ x1 = x 2 ,

∴ MN = (0,2 y 2 ), AF = (c + 4,0),∴ MN ⊥ AF . 。 分) (5
(2)当 λ = 1 时,不妨设 M (c, 又 a2=

b2 b2 b4 ), N (c,? ),∴ AM ? AN = (c + 4) 2 ? 2 (6 分) a a a

3 2 2 c2 5 106 ,∴ c = 2 , (8 分) c , b = ,∴ c 2 + 8c + 16 = 2 2 6 3

椭圆 C 的方程为

x2 y2 + = 1. 。 (9 分) 6 2

(3)因为 AM ? AN × tan ∠MAN = 2 S ?AMN =| AF || y M ? y N | =6 3 , (10 分) 由(2)知点 F(2,0), 所以|AF|=6, 即得|yM-yN|= 3 当 MN⊥x 轴时, |yM-yN|=|MN|= (11 分)

2b 2 2 × 2 = ≠ 3 , 故直线 MN 的斜率存在, (12 分) a 6

不妨设直线 MN 的方程为 y = k ( x ? 2), ( k ≠ 0)
? y = k ( x ? 2) 联立 ? 2 ,得 (1 + 3k 2 ) y 2 + 4ky ? 2k 2 = 0 , ?x y2 =1 ? + 2 ?6

∴| y M ? y N |=

24k 4 + 24k 2 = 3 , 解得 k=±1。 1 + 3k 2

y P R -1 o F 1 x Q

此时,直线的 MN 方程为 x ? y ? 2 = 0 ,或 x + y ? 2 = 0 。 (14 分) 38、 (广东省韶关市 2008 届高三第一次调研考试)在平面直角坐标系 xoy 中,

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设 点 F (1 ,0) ,直线 l : x = ?1 , 点 P 在 直线 l 上移 动, R 是 线段 PF 与 y 轴 的交点 ,

RQ ⊥ FP , PQ ⊥ l .
(Ⅰ)求动点 Q 的轨迹的方程; (Ⅱ) 记 Q 的轨迹的方程为 E , 过点 F 作两条互相垂直的曲线 E 的弦 AB 、 , AB 、 CD 设 CD 的中点分别为 M,N .求证:直线 MN 必过定点 R (3,0) . (Ⅰ)依题意知, 直线 l 的方程为:x = ?1 . R 是线段 FP 的中点, RQ ⊥ FP , RQ 点 且 ∴ 解: 是线段 FP 的垂直平分线.…………………….2 分 ∴ PQ 是点 Q 到直线 l 的距离. ∵点 Q 在线段 FP 的垂直平分线,∴ PQ = QF .…………4 分 故动点 Q 的轨迹 E 是以 F 为焦点, l 为准线的抛物线,其方程为:

y 2 = 4 x( x > 0) .

……….7 分

( Ⅱ ) 设 A( x A , y A ), B(x B , y B ) , M ( x M , y M ),N ( x N , y N ) , 直 线 AB 的 方 程 为

y = k ( x ? 1) …………….8 分

? y B 2 = 4xB ( 2) ? 4 2 (1)—(2)得 y A + y B = ,即 y M = ,……………………………………9 分 k k 2 代入方程 y = k ( x ? 1) ,解得 x M = 2 + 1 . k 2 2 所以点M的坐标为 ( 2 + 1 , ) .……………………………………10 分 k k 同理可得: N 的坐标为 (2k 2 + 1 , ? 2k ) . y ? yN k = 直线 MN 的斜率为 k MN = M ,方程为 xM ? xN 1 ? k 2 k y + 2k = ( x ? 2k 2 ? 1) ,整理得 y (1 ? k 2 ) = k ( x ? 3) ,………………12 分 1? k 2 显然,不论 k 为何值, (3 , 0) 均满足方程,
所以直线 MN 恒过定点 R (3 , 0) .………………14 39、(广东省深圳市 2008 年高三年级第一次调研考试)在平面直角坐标系中,已知点

则?

? y A 2 = 4x A ?

(1)

3 A(2 , 0) 、 B(?2 , 0) , P 是平面内一动点,直线 PA 、 PB 的斜率之积为 ? . 4
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

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(Ⅱ)过点 ?

?1 ? , 0 ? 作直线 l 与轨迹 C 交于 E 、 F 两点,线段 EF 的中点为 M ,求 ?2 ?

直线 MA 的斜率 k 的取值范围.

y y 3 ? = ? ( x ≠ ±2 ) ,化简得 x?2 x+2 4 x2 y 2 + = 1 ( x ≠ ±2 ) , 4 3 这就是动点 P 的轨迹 C 的方程;
解: (Ⅰ)依题意,有 k PA ? k PB = (Ⅱ)依题意,可设 M ( x , y ) 、 E ( x + m , y + n) 、 F ( x ? m , y ? n) ,则有

? ( x + m) 2 ( y + n) 2 + =1 ? ? 4 3 , ? 2 2 ? ( x ? m) + ( y ? n ) = 1 ? 4 3 ?
两式相减,得

4mx 4n n 3x y ? 0 ,由此得点 M 的轨迹方程为 + = 0 ? k EF = = ? = 4 3 m 4y x ? 1 2

6 x 2 + 8 y 2 ? 3x = 0 ( x ≠ 0 ) .
设直线 MA : x = my + 2 (其中 m =

1 ) ,则 k

? x = my + 2 ? (6m 2 + 8) y 2 + 21my + 18 = 0 , ? 2 6 x + 8 y 2 ? 3x = 0 ?
故由 ? = (21m)2 ? 72(6m2 + 8) ≥ 0 ?| m |≥ 8 ,即

1 ? 1 1? ≥ 8 ,解之得 k 的取值范围是 ? ? , ? . k ? 8 8?

40、(广东省四校联合体第一次联考)已知双曲线的中心在原点, 焦点 F1、F2 在坐标轴上, 离心率为 2且过点(4,- 10 ) (1)求双曲线方程; (2)若点 M(3,m)在双曲线上,求证:点 M 在以 F1F2 为直径的圆上; (3)求△F1MF2 的面积. 解: (1) ∵离心率 e= 2 ∴设所求双曲线方程为 x2-y2= λ ( λ ≠0) 则由点(4,- 10 )在双曲线上 知 λ =42-(- 10 )2=6 ∴双曲线方程为 x2-y2=6 (2)若点 M(3,m)在双曲线上

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则 32-m2=6 ∴m2=3 由双曲线 x2-y2=6 知 F1(2 3 ,0),F2(-2 3 ,0) ∴ MF1 ? MF2 = (?m,2 3 ? 3)(?m,2 3 + 3) = m + (2 3 ) ? 9 = 0
2 2

∴ MF1 ⊥ MF2 ,故点 M 在以 F1F2 为直径的双曲线上. (3) S ?F2 MF2 =

1 ×2C×|M|=C|M|=2 3 × 3 =6 2

41、(广东省五校 2008 年高三上期末联考)椭圆 C 的中心为坐标原点 O,焦点在 y 轴上,离 心率 e = 2 ,椭圆上的点到焦点的最短距离为 1-e, 直线 l 与 y 轴交于点 P(0,m) ,与椭圆 2

C 交于相异两点 A、B,且 AP (1)求椭圆方程;

=λ PB .

(2)若 OA+λ OB = 4OP ,求 m 的取值范围. 2 c 2 y2 x2 解: (1)设 C: 2+ 2=1(a>b>0) ,设 c>0,c2=a2-b2,由条件知 a-c= , = , a b 2 a 2 ∴a=1,b=c= 2 , 2 ………………………………………4 分

x2 故 C 的方程为:y2+ =1 1 2

, (2)由 AP =λ PB 得 OP - OA =λ( OB - OP )(1+λ) OP = OA +λ OB , ∴λ+1=4,λ=3 ………………………………………………6 分

设 l 与椭圆 C 交点为 A(x1,y1) ,B(x2,y2)
? ?y=kx+m ? 2 2 ?2x +y =1 ?

得(k2+2)x2+2kmx+(m2-1)=0

?=(2km)2-4(k2+2) 2-1)=4(k2-2m2+2)>0 (*) (m -2km m2-1 x1+x2= 2 , x1x2= 2 k +2 k +2 ………………………………………………9 分

? ?x1+x2=-2x2 ∵ AP =3 PB ∴-x1=3x2 ∴? 2 ?x1x2=-3x2 ?

-2km 2 m2-1 消去 x2,得 3(x1+x2)2+4x1x2=0,∴3( 2 ) +4 2 =0 k +2 k +2 整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0 ………………………………………………11 分

2-2m2 1 1 m2= 时,上式不成立;m2≠ 时,k2= 2 , 4 4 4m -1 2-2m2 1 1 因 λ=3 ∴k≠0 ∴k = 2 >0,∴-1<m<- 或 <m<1 2 2 4m -1
2

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容易验证 k2>2m2-2 成立,所以(*)成立 1 1 即所求 m 的取值范围为(-1,- )∪( ,1) 2 2 ………………………14 分

42、(贵州省贵阳六中、遵义四中 2008 年高三联考)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,A 是 抛物线上横坐标为 4、且位于 x 轴上方的点,A 到抛物线准线的距离等于 5,过 A 作 AB 垂直于 y 轴,垂足为 B,OB 的中点为 M.

(1)求抛物线方程; (2)过 M 作 MN⊥FA,垂足为 N,求点 N 的坐标。 解:(1)抛物线 y2=2px 的准线为 x= -

p p ,于是 4+ =5,∴p=2. 2 2

∴抛物线方程为 y2=4x……6 分 (2)∵点 A 是坐标是(4,4), 由题意得 B(0,4),M(0,2), 又∵F(1,0),∴kFA=

4 3 ;MN⊥FA,∴kMN=- , 3 4 4 3 则 FA 的方程为 y= (x-1),MN 的方程为 y-2= - x, 3 4 4 8 y= (x-1) x= 3 5
,得 y-2= -

解方程组

3 4 x y= 4 5 8 4 ∴N 的坐标( , )…….12 分 5 5
43、(安徽省合肥市 2008 年高三年级第一次质检)设向量 a = (0, 2), b = (1, 0) ,过定点

A(0, ?2) ,以 a + λ b 方向向量的直线与经过点 B (0, 2) ,以向量 b ? 2λ a 为方向向量的直线
相交于点 P,其中 λ ∈ R (1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设过 E (1, 0) 的直线 l 与 C 交于两个不同点 M、N,求 EM ? EN 的取值范围 解: (1)设 P ( x, y ) ∵ a = (0, 2), b = (1, 0) ,
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∴ a + λ b = (0, 2) + λ (1, 0) = (λ , 2) , b ? 2λ a = (1, 0) ? 2λ (0, 2) = (1, ?4λ ) 2 分 过定点 A(0, ?2) ,以 a + λ b 方向向量的直线方程为: 2 x ? λ ( y + 2) = 0 过定点 P (0, 2) ,以 b ? 2λ a 方向向量的直线方程为: 4λ x + y ? 2 = 0 联立消去 λ 得: 8 x + y = 4 ∴求点 P 的轨迹 C 的方程为 8 x + y = 4
2 2 2 2

6分

(2)当过 E (1, 0) 的直线 l 与 x 轴垂直时, l 与曲线 C 无交点,不合题意, ∴设直线 l 的方程为: y = k ( x ? 1) , l 与曲线 C 交于 M ( x1 , y1 )、N ( x2 , y2 ) 由?

? y = k ( x ? 1)
2 2 ?8 x + y = 4

?(8 + k 2 ) x 2 ? 2k 2 x + k 2 ? 4 = 0

? ?△= 4k 4 ? 4(8 + k 2 )(k 2 ? 4) > 0 ? ?2 2 < k < 2 2 ? 2k 2 ? EM = ( x1 ? 1, y1 ), EN = ( x2 ? 1, y2 ) x1 + x2 = 2 ? k +8 ? ? k2 ? 4 x1 x2 = 2 ? k +8 ?
∴ EM ? EN = ( x1 ? 1, y1 ) ? ( x2 ? 1, y2 ) = x1 x2 ? x1 ? x2 + 1 + y1 y2

= x1 x2 ? x1 ? x2 + 1 + k 2 ( x1 x2 ? x1 ? x2 + 1) = (1 + k 2 )( 4(1 + k 2 ) 28 = 4? 2 2 k +8 k +8

k 2 ? 4 2k 2 ? + 1) k2 +8 k2 + 8
1 9 2 4

=

∵ 0 ≤ k < 8 ,∴ EM ? EN 的取值范围是 [ , )
2

44 、 ( 河 北 衡 水 中 学 2008 年 第 四 次 调 考 ) 已 知 曲 线 C 的 方 程 为 :

kx 2 + (4 ? k ) y 2 = k + 1( k ∈ R )
(1)若曲线 C 是椭圆,求 K 的取值范围; (2)若曲线 C 是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角为 解: (1)当 k ≠ 0且k ≠ ?1且k ≠ 4时,方程为:

π
3

,求此双曲线的方程.

x2 y2 + =1 k +1 k +1 k 4?k

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? k +1 ? k >0 ? ? k +1 >0 ? 0 < k < 2或2 < k < 4 它表示椭圆的充要条件是 ? ?4 ? k ? k +1 k +1 ? k ≠ 4?k ?
(2)方程表示双曲线的充要条件是:

k +1 k +1 < 0 ? k < ?1或 ? 1 < k < 0或k > 4 ? k 4?k k +1 2 k +1 当 k < ?1或k > 4时两焦点在x轴上: a 2 = ,b = k k ?4 b 其一条渐近线斜率为: = 3, 解得:k=6 ∈(4,+∞) a

此时双曲线的方程为:

x2 y 2 ? =1 7 7 6 2 k +1 2 k +1 ,b = ? 4?k k

当 ?1 < k < 0时 ,双曲线焦点在 y 轴上: a 2 = 其一条渐近线斜率为:

b = 3, 解得:k=6 ?(-1,0) a

综上可得双曲线方程为:

x2 y 2 ? =1 7 7 6 2
2

45、 (河北衡水中学 2008 年第四次调考)如图所示, 已知圆 ( x + 3 ) + y 2 = 100 , 定点 A (3,0) , M 为圆 C 上一动点, P 在 AM 上,点 N 在 CM 上, 点 且满足 AM = 2 AP , NP i AM = 0 , 点 N 的轨迹为曲线 E。 (1)求曲线 E 的方程; (2)求过点 Q(2,1)的弦的中点的轨迹方程。 解: (1)∵ AM = 2 AP , NP i AM = 0 ∴ NP 为 AM 的中垂线, NA = NM 又因为 CN + NM = 10 ,所以 CN + NA = 10 > 6 所以动点 N 的轨迹是以点 C ( ?3, 0) 和 A(3, 0) 为焦点的椭圆, 且 2a = 10 所以曲线 E 的方程为: …………4 分 …………2 分

x2 y2 + = 1; 25 16

…………6 分

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(2)设直线与椭圆交与 G ( x1 , y1 ), H ( x2 , y2 ) 两点,中点为 S ( x0 , y0 ) 由点差法可得:弦的斜率 k =

16 x 0 y1 ? y2 16( x1 + x 2 ) =? =? …………8 分 x1 ? x2 25( y1 + y2 ) 25 y0 y0 ? 1 ,…………10 分 x0 ? 2

由 S ( x0 , y0 ) ,Q(2,1)两点可得弦的斜率为 k =

所以 k =

y0 ? 1 16 x 0 =? , x0 ? 2 25 y0

化简可得中点的轨迹方程为: 16 x 2 + 25 y 2 ? 32 x ? 25 y = 0 …………12 分 46、(河北衡水中学 2008 年第四次调考)已知平面上一定点 C(4,0)和一定直线 l : x = 1, P 为该平面上一动点,作 PQ ⊥ l ,垂足为 Q,且 ( PC + 2 PQ )( PC ? 2 PQ ) = 0 . (1)问点 P 在什么曲线上?并求出该曲线的方程; (2)设直线 l : y = kx + 1 与(1)中的曲线交于不同的两点 A、B,是否存在实数 k,使 得以线段 AB 为直径的圆经过点 D(0,-2)?若存在,求出 k 的值,若不存在, 说明理由. 解: (1)设 P 的坐标为 ( x, y ) ,由 ( PC + 2 PQ) ? ( PC ? 2 PQ) = 0 得
?? → ?? → ?? → ?? →

| PC | 2 ?4 | PQ | 2 = 0 (2 分) ∴( x ? 4) 2 + y 2 ? 4( x ? 1) 2 = 0, (4 分)
化简得

x2 y2 ? = 1. 4 12

∴P 点在双曲线上,其方程为

x2 y2 ? = 1. (6 分) 4 12

(2)设 A、B 点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) ,

? y = kx + 1 ? 得 (3 ? k 2 ) x 2 ? 2kx ? 13 = 0, (7 分) 由 ? x2 y2 =1 ? ? ? 4 12
∴ x1 + x 2 = 2k 13 , 分) (8 , x1 x 2 = ? 2 3?k 3? k2

∵AB 与双曲线交于两点,∴△>0,即 4k 2 ? 4(3 ? k 2 )(?13) > 0, 解得 ? 13 < k < 13 . (9 分) 2 2 ∵若以 AB 为直径的圆过 D(0,-2) ,则 AD⊥BD,∴ k AD ? k BD = ?1 ,

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y1 + 2 y 2 + 2 ? = ?1 , (10 分) x1 x2

∴ ( y1 + 2)( y2 + 2) + x1 x2 = 0 ? ( kx1 + 3)( kx2 + 3) + x1 x2 = 0, ∴ (k 2 + 1) x1 x 2 + 3k ( x1 + x 2 ) + 9 = 0 ? (k 2 + 1)(?

13 2k ) + 3k ? + 9 = 0.(12分) 2 3?k 3? k2 14 解得 k 2 = 7 ,∴ k = ± 14 ∈ ( ? 13 , 13 ) ,故满足题意的 k 值存在,且 k 值为 ± . 4 8 4 2 2

x2 y 2 3 , 47、 (河北省正定中学高 2008 届一模)已知椭圆 C1 : 2 + 2 = 1( a > b > 0) 的离心率为 a b 3
直线 l : y = x + 2 与以原点为圆心,以椭圆 C1 的短半轴长为半径的圆相切. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)设椭圆 C1 的左焦点为 F1,右焦点 F2,直线 l1 过点 F1 且垂直于椭圆的长轴,动直线 l2 垂 直 l1 于点 P,线段 PF2 垂直平分线交 l2 于点 M,求点 M 的轨迹 C2 的方程; (3)设 C2 与 x 轴交于点 Q,不同的两点 R,S 在 C2 上,且满足 QR ? RS = 0 ,求 | QS | 的取 值范围. (本小题满分 12 分) 解: 解: (1) e =

∵直线 l:x-y+2=0 与圆 x +y =b 相切,∴ ∴椭圆 C1 的方程是 (2)∵MP=MF,

c2 a 2 ? b2 1 3 2 ,∴ e = 2 = = , ∴ 2a 2 = 3b 2 . 3 3 a a2 2 2 2 2 2 x y + = 1. 3 2
2 2

=b,∴b= 2 ,b2=2,∴a3=3.

……………………………….(3 分)

∴动点 M 到定直线 l1:x=-1 的距离等于它的定点 F2(1,0)的距离, ∴动点 M 的轨迹是以 l1 为准线,F2 为焦点的抛物线, ∴点 M 的轨迹 C2 的方程为 y 2 = 4 x 。
2 y12 y2 (3)Q(0,0) ,设 R ( , y1 ), S ( , y2 ) , 4 4

………………………………………….(7 分)

2 y12 y 2 ? y12 ∴ QR = ( , y1 ), RS = ( , y 2 ? y1 ) , 4 4 2 y12 ( y2 ? y12 ) 由 QR ? RS = 0 得 + y1 ( y2 ? y1 ) = 0 , 16 16 ∵ y1 ≠ y2 ,∴ 化简得 y2 = ? y1 ? , y1

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2 ∴ y2 = y12 +

256 256 + 32 ≥ 2 y12 ? 2 + 32 = 64 2 y1 y1 256 当且仅当 y12 = 2 , y12 = 16, y1 = ±14 时等号成立, y1
∵| QS |= (
2 y2 2 1 2 2 ) + y2 = ( y2 + 8) 2 ? 64 ,又∵y22≥64, 4 4

2 ∴当 y 2 = 64 , y 2 = ± 8时 , | QS | min = 8 5 .

故 | QS | 的取值范围是 [8 5 ,+∞ ) .…………………………………………….(12 分)

48、已知椭圆

x2 y2 3 1 + 2 = 1(a > b > 0)过点(1, ), 且离心率为 , A, B 是椭圆上纵坐标不为 2 2 2 a b

零的两点,若 AF = λ FB(λ ∈ R), 且 | AF |≠| FB |, 其中 F 为椭圆的左焦点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求线段 AB 的垂直平分线在 y 轴上的截距的取值范围. 解: (Ⅰ)由已知,得

9 ?1 ? a 2 + 4b 2 = 1, ? x2 y2 ?c 1 = , 解得a 2 = 4, b 2 = 3, 故椭圆方程为 + = 1. ………4 分 ? a 2 4 3 ? ?a 2 = b 2 + c 2 , ? ?
(Ⅱ)∵A、B 是椭圆上纵坐标不为零的点, AF = λ FB, 且 | AF |≠| FB |, ∴A、F、B 三点共线,且直线 AB 的斜率存在且不为 0. 又 F(-1,0) ,则可记 AB 方程为 y = k ( x + 1), 代入

x2 y2 + = 1, 并整理得 4 3

(3 + 4k 2 ) x 2 + 8k 2 x + 4k 2 ? 12 = 0. ……………………………………6 分
显然△>0,设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ), AB中点为M ( x 0 , y 0 ).

x0 =

x1 + x 2 - 4k 2 3k = , y 0 = k ( x0 + 1) = . ……………………8 分 2 2 3 + 4k 3 + 4k 2
1 ( x ? x 0 ). k

直线 AB 的垂直平分线方程为 y ? y 0 = ? 令 x=0,得 y = ?

k 1 =? , ……………………………………10 分 2 3 3 + 4k 4k + k

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∵ | 4k + ∴ 4k +

3 3 |≥ 4 3 , 当且仅当 | k |= 时取 “=”号, k 2

3 3 ≤ ?4 3 , 或 4 k + ≥ 4 3 , k k 3 3 ,0] ∪ (0, ]. ……………………………………12 分 12 12

所以所求的取值范围是 [ ?
2 2

49、过双曲线 y ? 3 x = 3 的上支上一点 P 作双曲线的切线交两条渐近线分别于点 A, B . (1)求证: OA ? OB 为定值; (2)若 OB = AM ,求动点 M 的轨迹方程. 解: (1)设直线 AB: y = kx + b, b > 0

由?

? y = kx + b ? y ? 3x = 3
2 2

得 k ? 3 x + 2kbx + b ? 3 = 0
2 2 2
2

(

)

k 2 ? 3 ≠ 0, ? = (2kb ) ? 4 k 2 ? 3 b 2 ? 3 = 0 ∴ k 2 + b2 = 3 设A ( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 则 y1 > 0, y 2 > 0 双曲线的渐近线方程为y 2 ? 3 x 2 = 0
…………………………………….3 分

(

)(

)

? y = kx + b 由? 2 得 k 2 ? 3 x 2 + 2kbx + b 2 = 0   ) (? 2 y ? 3x = 0 ? 2 k ? 3 ≠ 0, ? = 4k 2 b 2 ? 4b 2 k 2 ? 3 = 12b 2 > 0

(

)

(

)

b2 2 2 = ?1, y12 = 3x12 , y 2 = 3x 2   且y1 > 0, y 2 > 0 k2 ?3 ∴ y1 ? y 2 = 3 x1 ? x 2 = 3 x1 ? x 2 = ∴ OA ? OB = x1 ? x 2 + y1 ? y 2 = 2
…………………………………………………………………………………………….7 分 (2)∵ OB = AM ,所以四边形 BOAM 是平行四边形

∴ OM = OA + OB

设M( x, y ), 则由(?)得
x = x1 + x2 = ?

……………………………………………………………….9 分

2kb 2k , = 2 k ?3 b



y = y1 + y 2 = k (x1 + x 2 ) + 2b =

2k 2 2 k 2 + b2 6 + 2b = = b b b

(

)



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由①②及 k + b = 3得
2 2

y2 x2 ? = 1 ……………………………………………..13 分 12 4

∵ b > 0    y = ∴

6 y2 x2 > 0, 所以点M的轨迹方程为 ? = 1( y > 0 ) …………14 分 b 12 4

50、(山东省郓城一中 2007-2008 学年第一学期期末考试)在直角坐标系中,已知一个圆心在 坐标原点,半径为 2 的圆,从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段 PP′,P′为垂足. (1)求线段 PP′中点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 Q(-2,0)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,设 N 是过点 (? 4 ,0) ,且以 a = (0,1)
17

为方向向量的直线上一动点,满足 ON = OA + OB (O 为坐标原点) ,问是否存在这样的 直线 l,使得四边形 OANB 为矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 解: (1)设 M(x,y)是所求曲线上的任意一点,P(x1,y1)是方程 x2 +y2 =4 的圆上的任意一 点,则 P ′(0, y1 ).

x ? x= 1 ? ? x1 = 2 x ? 2 , 即? , 代入4 x 2 + y 2 = 4 得, 则有: ? ? y1 = y ? y = y1 + y1 ? 2 ?
轨迹 C 的方程为 x +
2

y2 = 1. 4

(1)当直线 l 的斜率不存在时,与椭圆无交点. 所以设直线 l 的方程为 y = k(x+2),与椭圆交于 A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,N 点所在直线 方程为 x +

4 = 0. 17

? 2 y2 =1 ?x + 由? 得 ( 4 + k 2 ) x 2 + 4 k 2 x + 4 k 2 ? 4 = 0. 4 ? y = k ( x + 2) ?
由△= 16k 4 ? 4( 4 + k 2 )(4k 2 ? 4) ≥ 0, ∴ k 2 ≤ 即?

4 . 3

2 3 2 3 . … ≤k≤ 3 3

x1 + x 2 =

? 4k 2 4( k 2 ? 1) , x1 x 2 = . 4+ k2 4+k2

∵ ON = OA + OB, 即 AN = OB ,∴四边形 OANB 为平行四边形
假设存在矩形 OANB,则 OA ? OB = 0 ,即 x1 x 2 + y1 y 2 = 0 , 即 (k 2 + 1) x1 x 2 + 2k 2 ( x1 + x 2 ) + 4k 2 = 0 ,

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于 是 有

16k 2 ? 4 =0 4+ k2



1 k=± . 2





N ( x 0 , y 0 ),由 ON = OA + OB 得 x 0 = x1 + x 2 = ?
即点 N 在直线 x = ?

4k 2 4 =? , 2 17 4+k

4 上. 17 1 ( x + 2). 2

∴存在直线 l 使四边形 OANB 为矩形,直线 l 的方程为 y = ±

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