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2015高考数学(文)一轮方法测评练:必考解答题——模板成形练2 立体几何


必考解答题——模板成形练(二)
立体几何
(建议用时:60 分钟) 1.如图,在四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中,已知平面 AA1C1C ⊥平面 ABCD,且 AB=BC=CA= 3,AD=CD=1. (1)求证:BD⊥AA1; (2)若 E 为棱 BC 的中点,求证:AE∥平面 DCC1D1. 证明 (1)在四边形 ABCD 中, 因为 BA=BC, DA=DC,

所以 BD⊥AC,又平面 AA1C1C⊥平面 ABCD,且平面 AA1C1C∩平面 ABCD=AC, BD?平面 ABCD,所以 BD⊥平面 AA1C1C, 又因为 AA1?平面 AA1C1C,所以 BD⊥AA1. (2)在三角形 ABC 中,因为 AB=AC,且 E 为 BC 中点,所以 AE⊥BC,又因 为在四边形 ABCD 中,AB=BC=CA= 3,DA=DC=1, 所以∠ACB=60° ,∠ACD=30° ,所以 DC⊥BC,所以 AE∥DC,因为 DC? 平面 DCC1D1,AE?平面 DCC1D1,所以 AE∥平面 DCC1D1 2.如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,BC ⊥平面 PAB, ∠APB=90° , PB=BC, N 为 PC 的中点. (1)若 M 为 AB 的中点,求证:MN∥平面 ADP; (2)求证:平面 BDN⊥平面 ACP. 证明 (1)设 AC∩BD=G,连接 NG,MG,易知 G 是

AC,BD 的中点, 又 N 是 PC 的中点,M 为 AB 的中点, ∴NG∥PA,MG∥AD, ∴平面 GMN∥平面 APD.又 MN?平面 GMN,∴MN ∥平面 APD. (2)∵BC⊥平面 PAB,AP?平面 PAB,∴BC⊥PA, ∵∠APB=90° ,∴BP⊥PA. ∵BC∩BP=B,∴PA⊥平面 PBC,∴BN⊥PA.
1

∵PB=BC,点 N 为 PC 的中点,∴BN⊥PC. ∵PC∩PA=P,∴BN⊥平面 ACP. 又 BN?平面 BDN,∴平面 BDN⊥平面 ACP. 3.如图,已知 PA⊥矩形 ABCD 所在平面,E,F 分别是 AB, PC 的中点. (1)求证:EF∥平面 PAD; (2)求证:EF⊥CD; 证明 (1)取 PD 的中点 G, 连接 AG, FG.因为 FG 为△PCD

的中位线, 1 所以 FG∥CD,且 FG=2CD, 1 又 AE∥CD,且 AE=2CD, 所以 AE∥FG,且 AE=FG, 故四边形 AEFG 为平行四边形,所以 EF∥AG. 又 AG?平面 PAD,EF?平面 PAD, 所以 EF∥平面 PAD. (2)因为 PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD, 所以 PA⊥CD.在矩形 ABCD 中,AD⊥CD, 又 PA∩AD=A,所以 CD⊥平面 PAD. 因为 AG?平面 PAD,所以 CD⊥AG. 又 EF∥AG,所以 EF⊥CD. 4.如图,在平行四边形 ABCD 中,AB=2BC=4,∠ABC =120° ,E,M 分别为 AB,DE 的中点,将△ADE 沿直 线 DE 翻折成△A′DE,连接 A′C,A′B,F 为 A′C 的中点,A′C=4. (1)求证:平面 A′DE⊥平面 BCD; (2)求证:FB∥平面 A′DE.

证明

(1)由题意得△A′DE 是△ADE 沿 DE 翻折
2

而成,∴△A′DE≌△ADE. ∵∠ABC=120° ,四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠A=60° .又∵AD=AE=2, ∴△A′DE 和△ADE 都是等边三角形.连接 A′M,MC. ∵M 是 DE 的中点,∴A′M⊥DE,A′M= 3. 在△DMC 中,MC2=DC2+DM2-2DC· DM· cos 60° =42+12-2×4×1· cos 60° ,∴MC= 13. 在△A′MC 中,A′M2+MC2=( 3)2+( 13)2=42=A′C2. ∴△A′MC 是直角三角形,∴A′M⊥MC. 又∵A′M⊥DE,MC∩DE=M,∴A′M⊥平面 BCD. 又∵A′M?平面 A′DE, ∴平面 A′DE⊥平面 BCD. (2)取 DC 的中点 N,连接 FN,NB. ∵A′C=DC=4,F,N 分别是 A′C,DC 的中点, ∴FN∥A′D. 又∵N,E 分别是平行四边形 ABCD 的边 DC,AB 的中点, ∴BN∥DE. 又∵A′D∩DE=D,FN∩NB=N, ∴平面 A′DE∥平面 FNB. ∵FB?平面 FNB,∴FB∥平面 A′DE.

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