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100测评网高二数学练习卷常见函数的导数


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利用公式 2 求函数的导数
例 求下列函数的导数:

1. y ? x12 ;2. y ?

1 ;3. y ? 5 x 3 . x4

分析:根据所给问题的特征,恰当地选择求导公式,将题中函数的结构施行调整.函 数y?

1 和 y ? 5 x 3 的形式,这样,在形式上它们都满足幂函数的结构特征,可直接应用 4 x

幂函数的导数公式求导. 解:1. y? ? ( x12 )? ? 12x12?1 ? 12x11. 2. y? ? ( x )? ? (?4) x
?4 ? 4 ?1

? ?4 x ?5 ? ?
3 2

4 . x5

3 ?1 3 ? 3 3. y? ? ( x )? ? ( x )? ? x 5 ? x 5 ? . 5 5 5 5 x2
5 3

3 5

说明: 对于简单函数的求导, 关键是合理转化函数关系式为可以直接应用公式的基本函 数的模式, 以免求导过程中出现指数或系数的运算失误. 运算的准确是数学能力高低的重要 标志,要从思想上提高认识,养成思维严谨,步骤完整的解题习惯,要形成不仅会求,而且 求对、求好的解题标准.

根据斜率求对应曲线的切线方程
例 求曲线 y ? 2 x ? 1 的斜率等于 4 的切线方程.
2

分析:导数反映了函数在某点处的变化率,它的几何意义就是相应曲线在该点处切线 的斜率,由于切线的斜率已知,只要确定切点的坐标,先利用导数求出切点的横坐标,再根 据切点在曲线上确定切点的纵坐标,从而可求出切线方程. 解:设切点为 P( x0 , y0 ) ,则

y? ? (2x 2 ?1)? ? 4x ,∴ y? x ? x0 ? 4 ,即 4x0 ? 4 ,∴ x0 ? 1
当 x0 ? 1 时, y0 ? 1 ,故切点 P 的坐标为(1,1) . ∴所求切线方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) 即 4 x ? y ? 3 ? 0. 说明:数学问题的解决,要充分考虑题设条件,捕捉隐含的各种因素,确定条件与结 论的相应关系,解答这类问题常见的错误是忽略切点既在曲线上也在切线上这一关键条件, 或受思维定势的消极影响,先设出切线方程,再利用直线和抛物线相切的条件,使得解题的 运算量变大.

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求直线方程
?? 1 ? , ? 且与过这点的切线垂直的直线方程. ? 3 2?



求过曲线 y ? cos x 上点 P?

分析:要求与切线垂直的直线方程,关键是确定切线的斜率,从已知条件分析,求切 线的斜率是可行的途径,可先通过求导确定曲线在点 P 处切线的斜率,再根据点斜式求出 与切线垂直的直线方程. 解:? y ? cos x ,∴ y? ? ? sin x. 曲线在点 P?

? 3 ?? 1 ? , ? 处的切线斜率是 y? ? ? ? sin ? ? . x? 3 2 ? 3 2? 3
2 , 3

∴过点 P 且与切线垂直的直线的斜率为

∴所求的直线方程为 y ?

1 2 ? ?? ? ? x ? ?, 2 3? 3?

即 2x ? 3 y ?

2? 3 ? ? 0. 3 2

说明: 已知曲线上某点的切线这一条件具有双重含义. 在确定与切线垂直的直线方程时, 应注意考察函数在切点处的导数 y? 是否为零,当 y? ? 0 时,切线平行于 x 轴,过切点 P 垂 直于切线的直线斜率不存在.

求曲线方程的交点处切线的夹角
例 设曲线 y ?

1 1 和曲线 y ? 在它们的交点处的两切线的夹角为 ? ,求 tan ? 的值. 2 x x

分析:要求两切线的夹角,关键是确定在两曲线交点处的切线的斜率.根据导数的几 何意义,只需先求出两曲线在交点处的导数,再应用两直线夹角公式求出夹角即可.
?2 ? ?y ? x 解:联立两曲线方程 ? 解得两曲线交点为(1,1) . ?1 ? ?y ? x

设两曲线在交点处的切线斜率分别为 k1、k2 ,则

? 2 ? 1? k1 ? ? 2 ? x ?1 ? ? 3 x ?1 ? ?2, x ?x ? ? 1 ?1? k 2 ? ? ? x ?1 ? ? 2 x ?1 ? ?1. x ? x?

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tan? ?

k1 ? k2 ? 2 ? (?1) 1 ? ? . 1 ? k1 ? k2 1 ? (?2) ? (?1) 3

说明:探求正确结论的过程需要灵巧的构思和严谨的推理运算.两曲线交点是一个关 键条件, 函数在交点处是否要导也是一个不能忽视的问题, 而准确理解题设要求则是正确作 出结论的前提.

求常函数的导数
例 设 y ? ? 2 ,则 y? 等于( ) A. 2? B. ?
2

C.0 D.以上都不是

分析:本题是对函数的求导问题,直接利用公式即可 解:因为 ? 是常数,常数的导数为零,所以选 C.

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