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2012届新课标数学考点预测(13):圆锥曲线与方程


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2012 届新课标数学考点预测(13) 圆锥曲线与方程
一、考点介绍 1.椭圆的定义: 第一定义:平面内到两个定点 F1、F2 的距离之和等于定值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭 圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 第二定义: 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e(0<e<1)的点的轨迹是椭圆,定点 叫做椭圆的焦点,定直线 l 叫做椭圆的准线,常数 e 叫做椭圆的离心率. 2.椭圆的标准方程及其几何性质: 标准方程
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) b2 a 2

图形

顶点 对称轴 焦点 焦距 离心率 准线方程 3.椭圆知识网络

(? a, 0) , (0, ?b)

(0, ? a) , (?b, 0)

x 轴, y 轴,长轴长为 2a ,短轴长为 2b
F1 (?c,0) 、 F2 (c,0)
焦距为
F1F2 ? 2c(c ? 0),
c 2 ? a 2 ? b2

F1 (0, ?c) 、 F2 (0, c)

e?

c a (0<e<1)
a2 c

x??

y??

a2 c

4.双曲线的定义: 第一定义:平面内到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于定值 2a(0<2a<|F1F2|)的点的 轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫做双曲线的焦距. 第二定义: 平面内到定点 F 与到定直线 l 的距离之比是常数 e(e>1)的点的轨迹是双曲线,定点
x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2 y 2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a 2 b2

标准方程

图形

顶点 对称轴 焦点

(? a, 0)

(0, ? a)

轴, y 轴,实轴长为 2a ,虚轴长为 2b
F1 (?c,0), F2 (c,0)
F1 (0, ?c), F2 (0, c)

叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线,常数 e 叫做双曲线的离心率. 5.双曲线的标准方程及其几何性质:

焦距

焦距为

F1F2 ? 2c(c ? 0),

c 2 ? a 2 ? b2

离心率

c e ? a (e>1)

准线方程

x??

a2 c

y??

a2 c

6.双曲线知识网络

7.抛物线的定义: 平面内到定点 F 和定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(点 F 不在 l 上).定点 F 叫做抛 物线的焦点, 定直线 l 叫做抛物线的准线. 8.抛物线的标准方程及其几何性质: 标准方程 图形

y2 ? 2 px( p ? 0)

y 2 ? ?2 px( p ? 0)

x2 ? 2 py( p ? 0)

x2 ? ?2 py( p ? 0)

对称轴 焦点 顶点 准线 离心率

x轴
p F ( , 0) 2
原点 (0, 0)

x轴
F (? p , 0) 2

y轴
p F (0, ) 2

y轴
p F (0, ? ) 2

x??

e ?1

p 2

x?

p 2

y??

p 2

y?

p 2

9.抛物线知识网络

10.方程的曲线和曲线的方程 在直角坐标系中,如果某曲线 C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一 个二元方程 f ( x,y ) ? 0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,那么,这个方程叫做曲线的方程,这条 曲线叫做方程的曲线. 11. 圆锥曲线综合问题 ⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定 直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况:相交、相切、相离. 直线方程是二元一次方程,圆锥曲线方程是二元二次方程,由它们组成的方程组,经过消元得 到一个一元二次方程,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 ? ? 0 、

? ? 0、? ? 0.
⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长 直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则它的弦长

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 ) ?( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? ? 1 ? ? ?

1 y1 ? y2 k2

上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已 (因为

y1 ? y2 ? k( x1 ? x2 ) ,运用韦达定理来进行计算.

当直线斜率不存在是,则

AB ? y1 ? y2

.

注: 1.圆锥曲线,一要重视定义,这是学好圆锥曲线最重要的思想方法,二要数形结合,既 熟练掌握方程组理论,又关注图形的几何性质,以简化运算; 2.当涉及到弦的中点时,通常有两种处理方法:一是韦达定理,二是点差法; 3.圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考:一是建立函数, 用求值域的方法求范围, 二是建立不等式,通过解不等式求范围. 二、高考真题 1. (2006 年北京卷,文科,19)

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 椭 圆 C: a 的 两 个 焦 点 为 F1,F2, 点 P 在 椭 圆 C 上 , 且
PF1 ? F 1 ,2 |PF ?| F 1 4 14 PF ?2 | ,| 3 3 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M,交椭圆 C 于 A, B 两点,且 A、B 关于点 M 对称,求直线 l 的方程. 〖解析〗 (Ⅰ)由椭圆的定义及勾股定理求出 a,b,c 的值即可, (Ⅱ)可以设出 A、B 点的坐 标及直线方程, 联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方 程,也可以利用“点差法”求出直线的斜率,然后利用点斜式求出直线方程. 〖答案〗解法一: (Ⅰ)因为点 P 在椭圆 C 上,所以 在 Rt△PF1F2 中, 从而 b2=a2-c2=4,

2a ? PF1 ? PF2 ? 6
2 2

,a=3.

F1 F2 ?

PF2 ? PF1

? 2 5,

故椭圆的半焦距 c= 5 ,

x2 y2 ? 4 =1. 所以椭圆 C 的方程为 9
(Ⅱ)设 A,B 的坐标分别为(x1,y1)(x2,y2). 、 已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 从而可设直线 l 的方程为 y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得 (4+9k2)x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0. 因为 A,B 关于点 M 对称.

x1 ? x 2 18k 2 ? 9k ?? ? ?2. 2 4 ? 9k 2 所以
k?
解得

8 9, y? 8 ( x ? 2) ? 1, 9

所以直线 l 的方程为

即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意) 解法二: (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=5,所以圆心 M 的坐标为(-2,1). 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).由题意 x1 ? x2 且

x1 y ? 1 ? 1, 9 4
x2 y ? 2 ? 1, 9 4
由①-②得
2 2

2

2





( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ? 0. 9 4
因为 A、B 关于点 M 对称, 所以 x1+ x2=-4, y1+ y2=2,



y1 ? y 2 8 x ? x2 = 9 , 代入③得 1
8 即直线 l 的斜率为 9 , 8 所以直线 l 的方程为 y-1= 9 (x+2) ,
即 8x-9y+25=0. (经检验,所求直线方程符合题意.) 2. (2007 年上海卷,文科,21)

x2 y2 y2 x2 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 ( x ≥ 0 ) 与半椭圆 b 2 ( x ≤ 0 ) 合成的曲线称作“果 b c 我们把由半椭圆 a
2 2 2 圆” ,其中 a ? b ? c , a ? 0 , b ? c ? 0 .

如图,设点

F0 , F1 , F2 是相应椭圆的焦点, A1 , A2 和 B1 , B2 是“果圆” 与, y 轴的交

点, M 是线段 A1 A2 的中点. (1)若 △F0 F1F2 是边长为 1 的等边三角形,求该 “果圆”的方程; y

B2
.

y2 x2 ? 2 ?1 2 c (2)设 P 是“果圆”的半椭圆 b
( x ≤ 0)

F.2 A1
O. M

.

F0

A2

x

上任意一点.求证:当

PM

取得最小值时,

F1

P 在点 B1,B2 或 A1 处;

B1

(3)若 P 是“果圆”上任意一点,求

PM

取得最小值时点 P 的横坐标.

〖解析〗 (1)求出两个半椭圆的方程即可得到“果圆”的方程, (2)由两点间的距离公式表 示出 PM 的长,根据二次函数的性质即可求出最小值, (3)思路同(2) ,只需分两种情况讨 论即可. 〖答案〗 (1)?
? F0 F2 ?
F0 ( c, , F1 0, b2 ? c 2 , F2 0, b2 ? c 2 0) ?

?

?

?

?,

?b

2

? c 2 ? ? c 2 ? b ? 1, F1 F2 ? 2 b 2 ? c 2 ? 1



3 7 c 2 ? , a 2 ? b2 ? c 2 ? 4 4, 于是 4 2 4 x ? y 2 ? 1 ( x ≥ 0) y 2 ? x2 ? 1 ( x ≤ 0) 3 所求“果圆”方程为 7 , .
y (2)设 P ( x, ) ,则

a?c? ? 2 | PM | ? ? x ? ? ?y 2 ? ?
2 2

? b2 ? ( a ? c )2 ? ? 1 ? 2 ? x2 ? ( a ? c ) x ? ? b2, ? c ≤ x ≤ 0 c ? 4 ? ,

? 1?

b2 ?0 2 c2 ,? | PM | 的最小值只能在 x ? 0 或 x ? ?c 处取到.
取得最小值时, P 在点 B1,B2 或 A1 处.

即当

PM

x2 y 2 ? 2 ? 1 ( x ≥ 0) 2 b (3)? | A1 M |?| MA2 | ,且 B1 和 B2 同时位于“果圆”的半椭圆 a y 2 x2 ? 2 ? 1 ( x ≤ 0) 2 c 和半椭圆 b 上,所以,由(2)知,只需研究 P 位于“果圆”的半椭圆 x2 y 2 ? ? 1( x ≥ 0) a 2 b2 上的情形即可.

a?c? ? 2 | PM | ? ? x ? ? ?y 2 ? ?
2 2

c2 ? a 2 (a ? c) ? (a ? c) 2 a 2 (a ? c) 2 ? 2 ?x? ? b2 ? ? ? 4 a ? 2c 2 ? 4c 2 .
x?

2



a (a ? c) a 2 ( a ? c) x? ≤a 2 2 2c 2 2c ,即 a ≤ 2c 时, | PM | 的最小值在 时取到,
2

a 2 (a ? c) 2c 2 此时 P 的横坐标是 .
x?


a 2 (a ? c) ?a 2 2 2c 2 ,即 a ? 2c 时,由于 | PM | 在 x ? a 时是递减的,| PM | 的最小

值在 x ? a 时取到,此时 P 的横坐标是 a .

a 2 (a ? c) 2c 2 综上所述,若 a ≤ 2c ,当 | PM | 取得最小值时,点 P 的横坐标是 ;若 a ? 2c ,
当 | PM | 取得最小值时,点 P 的横坐标是 a 或 ? c . 3. (2007 年山东卷,理科,21) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 〖解析〗 (Ⅰ)由已知易求出 a,c 的值,即得椭圆方程, (Ⅱ)由待定系数法设出直线方程, 联立椭圆方程后由 k AD k BD ? ?1 可以得到关于 k 和 m 的方程,求出满足 ? ? 0 的 k 和 m 的 关系式后即可得到过定点的直线方程.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 〖答案〗(I)由题意设椭圆的标准方程为 a
a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b2 ? 3

?

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

? y ? kx ? m ? 2 ?x y2 ? ?1 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? 4 3 ? (II)设 得

(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ? ? 64m2k 2 ?16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .

x1 ? x2 ? ?

8mk 4(m2 ? 3) , x1 ? x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m2 ?

? 以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0), k AD ? kBD ? ?1 ,
? y1 y ? 2 ? ?1 y y ? x1x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2 , 1 2

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ?4?0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ,
7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得

m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k 7 ,且满足 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2,0), 与已知矛盾;

m??


2k 2 2 l : y ? k(x ? ) ( , 0). 7 时, 7 ,直线过定点 7

2 ( , 0). 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 7
4. (2008 年湖南卷,文科,19) 已知椭圆的中心在原点,一个焦点是 F (2,0) ,且两条准线间的距离为 ? (? ? 4) . (I)求椭圆的方程; (II)若存在过点 A(1,0)的直线 l ,使点 F 关于直线 l 的对称点在椭圆上, 求 ? 的取值范围. 〖解析〗 (I)椭圆方程由 a,b,c 的关系易得, (II)设出直线 l 的方程,求出点 F 关于直线

l 的对称点,代入椭圆方程解关于 ? 的不等式组即得 ? 的取值范围.

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0). 2 b 〖答案〗 (I)设椭圆的方程为 a

2a 2 ? ?, 2 2 2 2 由条件知 c ? 2, 且 c 所以 a ? ? , b ? a ? c ? ? ? 4.

x2
故椭圆的方程是 ?

?

y2 ? 1(? ? 4). ? ?4

(II)依题意, 直线 l 的斜率存在且不为 0,记为 k ,则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 1).

0) 设点 F (2, 关于直线 l 的对称点为

F ?( x0,y0 ), 则

x0 ? 2 ? y0 ? 2 ? k ( 2 ? 1), ? ? y ? 0 ? k ? ?1 ? x0 ? 2 ?

2 ? x0 ? , ? ? 1? k 2 ? ? y ? 2k ? 0 1? k 2 解得 ?

2 2 2k 2 ( ) ( ) 2 2 1? k ? 1? k ? 1. F ?( x0,y0 ) 在椭圆上,所以 ? ? ?4 因为点 即

? (? ? 4)k 4 ? 2?(? ? 6)k 2 ? (? ? 4)2 ? 0.
设 k ? t , 则 ? (? ? 4)t ? 2? (? ? 6)t ? (? ? 4) ? 0.
2 2 2

(? ? 4)2 ? 0. 因为 ? ? 4, 所以 ? (? ? 4) 于是,
?? ? [2? (? ? 6)]2 -4? (? ? 4)3, ? (?) ? 2? (? ? 6) ? ? 0. ? ? (? ? 4) 当且仅当 ?
上述方程存在正实根,即直线 l 存在.

16 ? ?? ? , 3 ? 16 4?? ? . ?4 ? ? ? 6. (?) 得 ? 3 解 所以
即 ? 的取值范围是

4?? ?

16 . 3

5. (2008 年辽宁卷,文科,21)

? 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0, 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨
迹为 C . (Ⅰ)写出 C 的方程;

??? ? ??? ??? ? ? AB (Ⅱ)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.k 为何值时 OA ? OB ?此时 的值是多

少? 〖解析〗 (Ⅰ)由椭圆的定义易得, (Ⅱ)设出 A,B 两点的坐标后由一元二次方程根与系数

关系求出

x1 ? x2 ? ?

2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 k ?4 k ? 4 ,再由向量的坐标运算求出 k 值,最后由弦长
2

公式可以求出

??? ? AB

的值.

? (0 〖答案〗 (Ⅰ)设 P(x,y) ,由椭圆定义可知,点 P 的轨迹 C 是以 (0, 3),,3) 为焦点,
长半轴为 2 的椭圆.它的短半轴

b ? 22 ? ( 3) 2 ? 1



x2 ?
故曲线 C 的方程为 (Ⅱ)设

y2 ?1 4 .

4分

A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) ,其坐标满足

? 2 y2 ? 1, ?x ? 4 ? 2 2 ? y ? kx ? 1. ? 消去 y 并整理得 (k ? 4) x ? 2kx ? 3 ? 0 ,
x1 ? x2 ? ? 2k 3 ,x1 x2 ? ? 2 k ?4 k ?4. 6分
2



??? ??? ? ? 2 OA ? OB ,即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 .而 y1 y2 ? k x1x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ,
3 3k 2 2k 2 ?4k 2 ? 1 x1 x2 ? y1 y2 ? ? 2 ? ? ?1 ? 2 k ? 4 k2 ? 4 k2 ? 4 k ?4 . 于是
k ??
所以

1 ??? ??? ? ? 2 时, x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,故 OA ? OB .

8分

k ??


1 4 12 x1 ? x2 ? ? x1 x2 ? ? 2 时, 17 , 17 .


???? ? AB ? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2



( x2 ? x1 )2 ? ( x2 ? x1 )2 ? 4x1x2

?

42 4 ? 3 43 ?13 ? 4? ? 172 17 17 2 ,

???? 4 65 ? AB ? 17 . 所以
6. (2008 年山东卷,文科,22)

x y C1: ? ? 1(a ? b ? 0) a b 已知曲线 所围成的封闭图形的面积为 4 5 ,
2 5 C1 的内切圆半径为 3 .记 C2 为以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆. 曲线
(Ⅰ)求椭圆

C2 的标准方程; C2 中心的任意弦, l 是线段 AB 的垂直平分线.

(Ⅱ)设 AB 是过椭圆

M 是 l 上异于椭圆中心的点.
(1)若

MO ? ? OA

( O 为坐标原点) ,当点 A 在椭圆

C2 上运动时,

求点 M 的轨迹方程; (2)若 M 是 l 与椭圆

C2 的交点,求 △ AMB 的面积的最小值.

〖解析〗 (Ⅰ)由三角形面积公式和点到直线的距离公式可得关于 a,b 的方程组, 曲线 与坐标轴的交点为椭圆的顶点,显然

C1

C2 为焦点在 x 轴的椭圆;

A( xA,y A ) , M ( x,y) ,联立直线与椭圆得到 (Ⅱ) (1)设出 AB 的方程 y ? kx(k ? 0) ,
方程组后,由

MO ? ? OA (? ? 0)

可得 M 的轨迹方程,注意 k ? 0 或不存在时所得方程仍

然成立; (2)由直线 l 的方程: 由不等式放缩即可求出最小值.

y??

1 1 2 2 x S△ AMB ? AB ?OM k 和椭圆方程联立后表示出 4

2

?2ab ? 4 5, ? ? ab 2 5 ? . ? 2 2 2 3 a ? b2 〖答案〗 (Ⅰ)由题意得 ? 又 a ? b ? 0 ,解得 a ? 5 , b ? 4 .
x2 y 2 ? ?1 4 因此所求椭圆的标准方程为 5 .
(Ⅱ) (1)假设 AB 所在的直线斜率存在且不为零,设 AB 所在直线方程为

y ? kx(k ? 0) , A( xA,y A ) .

? x2 y 2 ? 1, ? ? 4 ?5 20k 2 20 2 2 xA ? yA ? ? y ? kx, 4 ? 5k 2 , 4 ? 5k 2 , 解方程组 ? 得
20 20k 2 20(1 ? k 2 ) OA ? x ? y ? ? ? 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2 . 所以
2 2 A 2 A

设 M ( x,y) ,由题意知

MO ? ? OA (? ? 0)
x2 ? y 2 ? ? 2



所以

MO ? ? OA
2 2

2

,即

20(1 ? k 2 ) 4 ? 5k 2 ,
y??

因为 l 是 AB 的垂直平分线,所以直线 l 的方程为

x 1 k ?? x y, k ,即

? x2 ? 20 ?1 ? 2 ? y ? 20( x 2 ? y 2 ) x2 ? y 2 ? ? 2 ? ? ?2 x2 4 y 2 ? 5x2 4 ? 5? 2 y 因此 ,
x2 y 2 ? ? ?2 x2 ? y 2 ? 0 ,所以 5x2 ? 4 y 2 ? 20? 2 ,故 4 5 又 .
又当 k ? 0 或不存在时,上式仍然成立.

x2 y 2 ? ? ? 2 (? ? 0) 5 综上所述, M 的轨迹方程为 4 .
2 xA ?

(2)当 k 存在且 k ? 0 时,由(1)得

20k 2 20 2 yA ? 4 ? 5k 2 , 4 ? 5k 2 ,

? x2 y 2 ? 5 ? 4 ? 1, ? ? 20k 2 20 2 2 ? y ? ? 1 x, yM ? xM ? 2 k ? 5 ? 4k 2 , 5 ? 4k , 由? 解得
2 2 OA ? xA ? y A ? 2

所以

20(1 ? k 2 ) 80(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) 2 2 2 AB ? 4 OA ? OM ? 4 ? 5k 2 , 4 ? 5k 2 , 5 ? 4k 2 . 1 80(1 ? k 2 ) 20(1 ? k 2 ) 1 2 2 AB ?OM ? ? ? 4 4 4 ? 5k 2 5 ? 4k 2

解法一:由于

2 S△ AMB ?

400(1 ? k 2 )2 ? (4 ? 5k 2 )(5 ? 4k 2 )



400(1 ? k 2 ) 2
2 ? 4 ? 5k 2 ? 5 ? 4 k 2 ? 1600(1 ? k 2 )2 ? 40 ? ?? ? ? ? ? 2 81(1 ? k 2 )2 ? ? ? 9 ? ,
2

2 2 当且仅当 4 ? 5k ? 5 ? 4k 时等号成立,即 k ? ?1 时等号成立,

此时 △ AMB 面积的最小值是

S△ AMB ?

40 9 .

1 40 S△ AMB ? ? 2 5 ? 2 ? 2 5 ? 2 9 . 当k ? 0, 1 40 S△ AMB ? ? 5 ? 4 ? 2 5 ? 2 9 . 当 k 不存在时, 40 综上所述, △ AMB 的面积的最小值为 9 .

1 OA
解法二:因为
2

?

1 OM
2

?

1 1 ? 2 2 2 20(1 ? k ) 20(1 ? k 2 ) ? 4 ? 5k ? 5 ? 4k ? 9 20(1 ? k 2 ) 20 , 4 ? 5k 2 5 ? 4k 2
OA ?OM ≥


1


OA

2

?

1 OM
2



2 OA ?OM

40 9 ,

2 2 当且仅当 4 ? 5k ? 5 ? 4k 时等号成立,即 k ? ?1 时等号成立,

此时 △ AMB 面积的最小值是

S△ AMB ?

40 9 .

1 40 S△ AMB ? ? 2 5 ? 2 ? 2 5 ? 2 9 . 当k ? 0, 1 40 S△ AMB ? ? 5 ? 4 ? 2 5 ? 2 9 . 当 k 不存在时, 40 综上所述, △ AMB 的面积的最小值为 9 .
7. (2008 年广东卷,文科,20)

x2 y2 ? 2 ?1 2 2 b 设 b ? 0 , 椭 圆 方 程 为 2b , 抛 物 线 方 程 为 x ? 8( y ? b) . 如 图 所 示 , 过 点
F (0,b ? 2) 作 x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G ,已知抛物线在点 G 的切

线经过椭圆的右焦点

F1 .

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程; (2) A,B 分别是椭圆长轴的左、 设 右端点, 试探究在抛物线上是否存在点 P , 使得 △ ABP 为直角三角形?若存在, 请指出共有几个这样的点?并说明理由 (不必具体求出这些点的坐 标) .

〖解析〗 (1)由已知可求出 G 点的坐标,从而求出抛物线在点 G 的 切线方程,进而求出

F1 点的坐标,由椭圆方程也可以求出 F1 点的坐

标,从而求出 b ? 1 ,得出椭圆方程和抛物线方程; (2)以 ?PAB 为直角和以 ?PBA 为直角 的直角三角形显然各一个, ?APB 为直角的直角三角形是否存在可以转化成 PA ? PB ? 0 以 对应的方程是否有解的问题,从而可以求出满足条件的 P 点的个数.
2 〖答案〗 (1)由 x ? 8( y ? b) 得

y?

1 2 x ?b 8 , y'? 1 x 4 , y ' |x ? 4 ? 1 ,

当 y ? b ? 2 得 x ? ?4 ,? G 点的坐标为 (4, b ? 2) ,

过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 即 y ? x ? b ? 2 ,

? F1 点的坐标为 (2 ? b, 0) ,由椭圆方程得 F1 点的坐标为 (b, 0) , 令 y ? 0得 x ? 2 ? b ,
x2 ? y2 ? 1 2 ? 2 ? b ? b 即 b ? 1 ,即椭圆和抛物线的方程分别为 2 和 x ? 8( y ? 1) ;

? (2) 过 A 作 x 轴的垂线与抛物线只有一个交点 P ,? 以 ?PAB 为直角的 Rt ?ABP 只有一
个, 同理? 以 ?PBA 为直角的 Rt ?ABP 只有一个。

1 ( x, x 2 ? 1) 8 若以 ?APB 为直角,设 P 点坐标为 , A 、 B 两点的坐标分别为 (? 2,0) 和

( 2, 0) ,

??? ??? ? ? 1 1 4 5 2 PA?PB ? x 2 ? 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? x ? x ?1 ? 0 8 64 4 。
关于 x 的二次方程有一大于零的解,? x 有两解,即以 ?APB 为直角的 Rt ?ABP 有两个,
2

因此抛物线上存在四个点使得 ?ABP 为直角三角形。 三、名校试题 1. (山东省潍坊市 2008 届高三 5 月教学质量检测,理科,21) 已知实数 m>1,定点 A(-m,0) ,B(m,0) 为一动点,点 S 与 A,B 两点连线斜率之 ,S 积

?


1 . m2

(1)求动点 S 的轨迹 C 的方程,并指出它是哪一种曲线; (2)当 m ?

2 时,问 t 取何值时,直线 l : 2 x ? y ? t ? 0(t ? 0) 与曲线 C 有且只有一个交

点? (3)在(2)的条件下,证明:直线 l 上横坐标小于 2 的点 P 到点(1,0)的距离与到直线 x=2 的距离之比的最小值等于曲线 C 的离心率. 〖解析〗 (1)由题易得动点 S 的轨迹 C 为椭圆,注意要除去 x 轴上的两项点; (2)联立直 线与椭圆方程,由 ? ? 0 即可求得 t 值,注意 t ? 0 ; (3)由两点间的距离公式和点到直线的 距离公式表示出两距离之比,转化成求关于 a 的函数 f (a ) 的最小值问题,利用导函数即可 解之.

〖答案〗 (1)设

S ( x, y ), 则k SA ?

y?0 y?0 , k SB ? x?m x?m.

y2 1 x2 ? ? 2 ,即 2 ? y 2 ? 1.( x ? ? m) 2 2 m m 由题意得 x ? m
∵m>1,∴轨迹 C 是中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆(除去 x 轴上的两项点) , 其中长轴长为 2 m ,短轴长为 2.

x2 ? y 2 ? 1.( x ? ? 2 ). (2)当 m= 2 时,曲线 C 的方程为 2

?2 x ? y ? t ? 0, ? 2 消去y得9 x 2 ? 8tx ? 2t 2 ? 2 ? 0. ?x 2 ? ? y ? 1, 由? 2
令 ? ? 64t ? 36? 2(t ? 1) ? 0, 得t ? ?3,? t ? 0,? t ? 3.
2 2

此时直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点. (3)直线 l 方程为 2x-y+3=0. 设点 P(a,2a ? 3)(a ? 2), d1 表示 P 到点(1,0)的距离,d2 表示 P 到直线 x=2 的距离, 则

d1 ? (a ? 1) 2 ? (2a ? 3) 2 ? 5a 2 ? 10 a ? 10 , d 2 ? 2 ? a,

d ? 1 ? d2

5a 2 ? 10 a ? 10 a 2 ? 2a ? 2 ? 5? , 2?a ( a ? 2) 2

f (a) ?


a 2 ? 2a ? 2 , (a ? 2) 2 (2a ? 2)(a ? 2) 2 ? 2(a 2 ? 2a ? 2)(a ? 2) ? (6a ? 8) ? . (a ? 2) 4 (a ? 2) 3

f ?(a) ?


4 f ?(a) ? 0得a ? ? . 3 令

4 4 ? 当a ? ? 时, f ?(a) ? 0;当 ? ? a ? 2时, f ?(a) ? 0. 3 3 d 4 ? f (a)在a ? ? 时取得最小值 即 1 取得最小值, , 3 d2 ?( d1 4 2 2 ) min ? 5 ? f (? ) ? , 又椭圆C的离心率为 , d2 3 2 2

d1 d ∴ 2 的最小值等于椭圆的离心率.
2. (山东省烟台市 2008 届高三 5 月适应性练习,理科,21) 如图,在平面直角坐标系中,N 为圆 A : ( x ? 1) ? y ? 16 上的一动点,点 B(1,0) ,点
2 2

M 是 BN 中点,点 P 在线段 AN 上,且 MP ? BN ? 0. (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)试判断以 PB 为直径的圆与圆 x ? y ? 4 的位置关系,并说明理由。
2 2

〖解析〗 (1)由垂直平分线的性质和椭圆定义易求; (2)设出

P( x0 , y0 ) ,由中点坐标公式

Q(
可得以 PB 为直径的圆的圆心

x0 ? 1 y 0 1 , ) r1 ? 1 ? x0 , 2 2 4 2 2 , 进而求出半径 又圆 x ? y ? 4

的圆心为 O (0,0) ,半径 r2 ? 2, 比较圆心距 | OQ | 与 r1 ,r2 的大小关系即可. 〖答案〗 (1)由点 M 是 BN 中点,又 MP ? BN ? 0, 可知 PM 垂直平分 BN,所以 | PN |?| PB |, 又 | PA | ? | PN |?| AN |, 所以|PA|+|PB|=4 由椭圆定义知,点 P 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆.

x2 y2 ? 2 ? 1, 2 b 设椭圆方程为 a
由 2a ? 4,2c ? 2, 可得a ? 4, b ? 3.
2 2

x2 y2 ? ? 1. 3 可知动点 P 的轨迹方程为 4
P( x0 , y 0 ), PB的中点为Q, 则Q( x0 ? 1 y 0 , ), 2 2

(2)解:设点

2 2 | PB |? ( x 0 ?1) 2 ? y0 ? x0 ? 2 x0 ? 1 ? 3 ?

3 2 x0 4

?

1 2 1 x0 ? 2 x0 ? 4 ? 2 ? x0 , 4 2
Q( x0 ? 1 y 0 , ) 2 2 ,

即以 PB 为直径的圆的圆心为

半径为

r1 ? 1 ?
2

1 x0 , 4

又圆 x ? y ? 4 的圆心为 O (0,0) ,半径 r2 ? 2,
2

| OQ |? (


x0 ? 1 2 y ) ? ( 0 )2 2 2

?

1 2 1 1 1 3 2 x0 ? x0 ? ? (3 ? x0 ) 4 2 4 4 4 1 2 1 x0 ? x0 ? 1 16 2
1 x0 , 4

?

? 1?

故 | OQ |? r2 ? r1 , 即两圆相切. 3. (宁夏银川一中 2008 届高三年级第五次月考测试,理科,21)

x2 y2 y ? ? x ? 1与椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) a b 已知直线 相交于 A、B 两点.

3 (1)若椭圆的离心率为 3 ,焦距为 2,求线段 AB 的长;
1 2 e ?[ , ] 与向量OB 互相垂直(其中 O 为坐标原点) 2 2 (2)若向量 OA ,当椭圆的离心率
时,求椭圆的长轴长的最大值. 〖解析〗 (1)由已知条件易求椭圆的标准方程,再由弦长公式即可求得线段 AB 的长; (2)

与向量OB 互相垂直可以设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 从而转化成坐标运算,求出 由向量 OA
1 2 e ?[ , ] a, b 的关系,进而用离心率 e 表示 a ,再由 2 2 ,求出 2a 的范围即求出长轴长的
最大值.

e?
〖答案〗 (1)

3 ,2c ? 2,? a ? 3, c ? 1, 则b ? a 2 ? c 2 ? 2 3 ,

x2 y2 ? 椭圆的方程为 ? ?1 3 2 ,

? x2 y2 ? 1, ? ? 消去y得 : 5 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0, 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), 2 ?3 ? y ? ? x ? 1, 联立 ?
x1 ? x 2 ? 6 3 , x1 x 2 ? ? 5 5



6 12 8 3 ? AB |? [1 ? (?1) 2 ] ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 2 ( ) 2 ? | ? 5 5 5 ,
(2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,

? OA ? OB,? OA ? OB ? 0, 即x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0, ? x2 y2 ? 1, ? ? 由? a 2 b 2 消去y得(a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 2 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0, ? y ? ?x ? 1 ?
由 ? ? (?2a ) ? 4a (a ? b )(1 ? b ) ? 0, 整理得a ? b ? 1 ,
2 2 2 2 2 2 2 2

2a 2 a 2 (1 ? b 2 ) , x1 x2 ? 2 , a2 ? b2 a ? b2 ? y1 y 2 ? (? x1 ? 1)(? x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1, 又x1 ? x2 ? 由x1 x2 ? y1 y 2 ? 0, 得 : 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0,
2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? ? 2 ?1 ? 0 a2 ? b2 a ? b2 ,

整理得 : a 2 ? b 2 ? 2a 2 b 2 ? 0,? b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 e 2 , 代入上式得 1 1 1 1 2 1 1 ,? a 2 ? (1 ? ),? ? e ? ,? ? e 2 ? , 2 2 2 2 2 4 2 1? e 1? e 1 3 4 1 7 1 ? ? 1 ? e 2 ? ,? ? ? 2,? ? 1 ? ? 3, 2 2 4 3 1? e 3 1 ? e2 2a 2 ? 1 ?
? 7 3 ? a 2 ? , 适合条件 a 2 ? b 2 ? 1 6 2 ,

42 6 42 ?a? ,? ? 2a ? 6 , 2 3 由此得 6
故长轴长的最大值为 6. 4. (广东省实验中学 2008 届高三第三次模拟考试,理科,20) 已知抛物线 x2=-y,直线 L:(m+1)y+(3-m)x+m+1=0 (m∈R 且 m≠-1)与抛物线交于 A,B 两 点. (1) 当 m=0 时,试用 x,y 的不等式组表示由直线 L 和抛物线围成的封闭图形所在平面区 域(包边界) ,并求该区域的面积. (2)求证:对任意不为零的实数 m,抛物线的顶点都在以线段 AB 为直径的圆 C 上;并求 圆 C 的圆心的轨迹方程. (3)将抛物线 x2=-y 的图像按向量 a =(4,16)移动后得到函数 y=f(x)的图像,若

?

g ( x) ? 6 ln x ? m, 问是否存在实数 m,使得 y=f(x)的图象与 y=g(x)的图象有且只有两
个不同的交点?若存在,求出 m 的值;若不存在,说明理由. 〖解析〗 (1)所要表示的平面区域包括边界,要注意不等式取等号,由定积分即可求出相应 的面积,计算时可以整体代入; (2)证明抛物线的顶点在以线段 AB 为直径的圆 C 上,即证明 OA ? OB ? 0 ,圆 C 的圆心 的 轨迹可由中点坐标公式利用“代入法”求得; (3)构造函数 ? ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? x ? 8x ? 6ln x ? m ,因为 x ? 0 ,所以 y=f(x)的图
2

??? ??? ? ?

象与 y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点问题就可以转化为函数 ? ( x) 有两个正零点的 问题,要对 ? ( x) 的单调性进行讨论,从而求出使得 ? ( x) 由两个正零点的 m 的取值范围. 〖 答 案 〗

?1?

当m ? 0时,直线L的方程为: y ? 3x ? 1 ? 0, 故所求区域 ?y ? x 2 ? 0 对应的不等式组为 ; ? y ? 3x ? 1 ? 0 ? ?y ? ?x 2 设A(x 1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), 不妨x 2 ? x 1 , 则由? 得x 2 ? 3x ? 1 ? 0?*? ? y ? 3x ? 1 ? 0

则x 1、x 2 为方程?*?的两解,即x 1 ? x 2 ? 3, x 1 x 2 ? ?1, x 2 ? x 1 ? 9 ? 4 ? 13 ? 所求区域面积 S ? ?x ?? x 2 ? 3x ? 1?dx
x2
1

3 ? x 3 3x 2 ? 2 ? 1 ? ? ?? ? ? x ? |x ? ?x 2 ? x 1 ?? ? ?x 1 ? x 2 ? ? x 1 x 2 ? ?x 1 ? x 2 ? ? 1? x 2 2 ? 3 ? ? 3 ?
2 1

?

?

? 10 9 ? 13 13 ? 13 ? ? ? ? 1? ? 6 ? 3 2 ?
, y2 ) 1 1 2 m ?1 ?y ? ?x 2 由? 得:x 2 ? kx ? 1 ? 0, 方程有解,且x 1 , x 2 为其两解, ? y ? kx ? 1 则x 1 ? x 2 ? ? k , x 1 x 2 ? ?1, ? OA ? OB ? x 1 x 2 ? y1 y 2 ? x 1 x 2 ? ?x 1 x 2 ? ? ?1 ? 1 ? 0. ? 以AB为直径的圆
2

?2? 令k ? m ? 3 , 则直线L的方程为y ? kx ? 1, 设A( x , y ), B( x

恒过抛物线顶点(, 00 ) 设以AB 为直径的圆的圆心坐标 为(x, y), 则x ?

?x ? x 2 ? ? 2x 1 x 2 ? ? k 2 ? 1 x1 ? x 2 k y ? y2 x ? x2 ? ? ,y ? 1 ?? 1 ?? 1 2 2 2 2 2 2 2 2 得y ? -2x ? 1, 即所求的圆心轨迹方程 y ? ?2x ? 1 为
2 2 2

(3)依题意,f(x)=-x2+8x,令 ? ( x) ? g ( x) ? f ( x) ? x ? 8x ? 6 ln x ? m.
2

因为 x>0,要使函数 f(x)与函数 g(x)有且仅有 2 个不同的交点,则函数

? ( x) ? x 2 ? 8x ? 6 ln x ? m 的图象与 x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点
? ? ' ( x) ? 2 x ? 8 ? 6 2 x 2 ? 8 x ? 6 2( x ? 1)(x ? 3) ? ? ( x ? 0) x x x

当 x∈(0,1)时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是增函数;
'

当 x∈(1,3)时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是减函数
'

当 x∈(3,+∞)时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 是增函数
'

当 x=1 或 x=3 时, ? ( x) ? 0
'

∴ ? ( x)极大值为? (1) ? m ? 7;

? ( x)极小值为? (3) ? m ? 6 ln 3 ? 15
又因为当 x→0 时, ? (x) ? ?? 当 x ? ??时,? (x) ? ?? 所以要使 ? ( x) ? 0 有且仅有两个不同的正根,必须且只须

?? (1) ? 0 ?? (3) ? 0 或? ? ' ? (3) ? 0 ?? (1) ? 0 ?
?m ? 7 ? 0 ?m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 或? ? m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 ?m ? 7 ? 0 即?
∴m=7 或 m ? 15 ? 6 ln 3. ∴当 m=7 或 m ? 15 ? 6 ln 3. 时,函数 f(x)与 g(x)的图象有且只有两个不同交点. 5. (福建省莆田四中 2008 届 5 月份第二次模拟考试,理科,21) 已知 O 为坐标原点,点 E 、 F 的坐标分别为 (? 2,0),( 2,0) ,点 A 、 N 满足

???? 1 ??? ??? ? ? ??? ? ON ? 2 ( OA ? OF ) AE | ? 2 3 , | ,过点 N 且垂直于 AF 的直线交线段 AE 于点 M ,
设点 M 的轨迹为 C . (1)求轨迹 C 的方程; (2)设直线的 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与轨迹 C 交于不同的两点 R 、 S ,对点 B(1, 0) 和向 量 a ? (? 3,3k ) ,求 BR ? BS ? | a | 取最大值时直线 l 的方程.
2

?

??? ??? ? ?

?

〖解析〗 (1)由椭圆的定义易得点 M 的轨迹 C 的方程; (2)设出 R 、 S 两点的坐标后转化

成向量的坐标运算,进而由不等式放缩得到 BR ? BS ? | a | 取最大值时 k 的值,即得到直线
2

??? ??? ? ?

?

l 的方程.
1 〖答案〗(1)∵= (+),∴N 为 AF 的中点 2 ∴||=||∴||+||=||+||>|| ∴点 M 的轨迹 C 是以 E、F 为焦点的椭圆 ∵长半轴 a= 3,半焦距 c= 2 ∴b2=a2-c2=1 x2 ∴点 M 的轨迹 C 的方程为 +y2=1 3 x2 (2)将 y=k(x+1)(k≠0)代入椭圆 C: +y2=1 中,整理得 3 (1+3k2)x2+6k2x+3k2-3=0 设 R(x3,y3)、S(x4,y4) 3k2-3 6k2 则 x3+x4=- ,x3x4= 1+3k2 1+3k2 2k2 所以 y3y4=k2(x3+1)(x4+1)=k2(x3+x4+x3x4+1)=- 1+3k2 ∴ BR ? BS ? | a | =(x3-1)(x4-1)+y3y4-3-9k2
2

?

?

?

3k2-3 6k2 2k2 =x3x4-(x3+x4)+1+y3y4-3-9k2= + +1- -3-9k2 1+3k2 1+3k2 1+3k2 16 3 10k2-2 10 10 14 = -3-9k2= -[ +3(1+3k2)]≤ -2×4=- 3 3 3 1+3k2 1+3k2 16 3 1 当且仅当 =3(1+3k2),即 k2= ∈(0,1)时等号成立 9 1+3k2 1 此时,直线 l 的方程为 y=± (x+1) 3 6. (山东省文登市 2009 届高三第三次月考试题,理科,21)

过点

A ? ?2, ?4?

? 2 4 的直线,交抛物线 E : y ? 2 px ? p ? 0? 于 M ,N 两点,且 作倾斜角为

?1 ? P? ,0? | AM | ,MN | ,AN | 成等比数列。⑴求 E 的方程;⑵过点 ? 2 ? 的直线 l 与曲线 E 交于 | |
y

? 1 ? ? ? Q ? ? ,1? ??? ??? A, B 两点。设 ? 2 ? , QA 与 QB 的夹角为 ? ,

N

O M A

x

0 ?? ?
求证: 〖解析〗⑴设

?
2。
,联立直线与抛物线的方程

M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ?

后根据一元二次方程根与系数关系可得到关于 p 的方程,解之即得

E 的方程;⑵法一:要证

0 ?? ?

?

2 ,只需证明 QA ? QB ? 0 即可.

法二:根据“以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切”这一性质分两种情况讨论即可得证.

〖答案〗⑴设

M ? x1, y1 ? , N ? x2 , y2 ?

?y ? x ? 2 ? 2 MN : y ? x ? 2 , 由 ? y ? 2 px 得 ,则由题

y 2 ? 2 py ? 4 p ? 0 ,故 y1 ? y2 ? ?2 p,y1 y2 ? ?4 p 。
又 根 据

|A
?1 y?

M| ?
y??1 2

|?A

N 2|
2

| 可M 得N |

? y1 ? 4 ?? y

?24 ? ? ? y ? y

1

?

2

,2 即

5 y1

?2 y

?4
2

6 ??

y ? y 2 ,1 代入可得2 p ? 3 p ? 4 ? 0 , 解得 p ? 1(舍负) 故 E 。

的方程为 y ? 2 x ;

l : x ? my ?
⑵法一: 设 从而

1 2 2 2 ,代入 y ? 2x 得 y ? 2my ? 1 ? 0 ,故 y1 ? y ? 2m,y 2 ? ?1 , 2 1 y

??? ??? ? ? ? 1 ?? 1? 2 QA ? QB ? ? x1 ? ?? x2 ? ? ? ? y1 ? 1?? y2 ? 1? ? ? m2 ? 1? y1 y2 ? ? m ? 1?? y1 ? y2 ? ? 2 ? ? m ? 1? ? 0 2 ?? 2? ?
0 ?? ?
,因此

?
2

法二: 显然点 P 是抛物线 E 的焦点, Q 是其准线 L 上一点。 C 为 AB 的中点, A, B, C 点 设 过

A , B ,C 分别作 L 的垂线,垂足分别为 1 1 1 ,则

CC1 ?

1 1 AB ? AA1 ? BB1 ? ? ? AP ? BP ? ? 2 2 2 。

因此以 AB 为直径的圆与准线 L 相切(于点

C1 ) Q 与 C1 重合,则 。若

??

?
2 。否则点 Q 在

? C1 外,因此

0 ?? ?

?
2 。综上知

0 ?? ?

?
2。

7. (江苏省盐城一中、大丰中学、建湖中学 2009 届高三第二次调研考试, 21)

2 抛物线 y ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2 , 该抛物线上的每个点到准线 x ? ?2 的距离都与到

定点 N 的距离相等,圆 N 是以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆, (Ⅰ)求定点 N 的坐标; (Ⅱ)是否存在一条直线 l 同时满足下列条件: ① l 分别与直线 l1和l2 交于 A、B 两点,且 AB 中点为 E (4,1) ; ② l 被圆 N 截得的弦长为 2 . 〖解析〗 (1)由抛物线的定义易得; (2)假设存在直线 l ,设出直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 4) , ?k ? ?1? . 方法 1:由弦心距的长为 1 求出 k 的值,然后检验是否符合 AB 中点为 E (4,1) 这个条件; 方法 2:将直线 l1和l 2 的方程分别与直线 l 的方程联立,求出 A、B 两点的坐标,再由中点 坐标公式求出 k 的值,最后检验弦心距的长是否为 1; 方法 3:设出 A 点的坐标为 ( a, a ) ,由中点坐标公式和 B 点在 l 2 上,求出 a 的值,进而求出 直线 l 的斜率,最后检验弦心距的长是否为 1. 〖答案〗 (1)因为抛物线 y ? 2 px 的准线的方程为 x ? ?2
2

所以 p ? 4 ,根据抛物线的定义可知点 N 是抛物线的焦点, 所以定点 N 的坐标为 ( 2,0) (2)假设存在直线 l 满足两个条件,显然 l 斜率存在, 设 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 4) , ?k ? ?1? 以 N 为圆心,同时与直线 l1 : y ? x和l2 : y ? ? x 相切的圆 N 的半径为 2 , 方法 1:因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,

d?


2k ? 1 1? k
2

?1
,解得

k ? 0或

4 3,

当 k ? 0 时,显然不合 AB 中点为 E (4,1) 的条件,矛盾!

k?


4 3 时, l 的方程为 4 x ? 3 y ? 13 ? 0

?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ? y?x 由? ,解得点 A 坐标为 ?13,13? , ?4 x ? 3 y ? 13 ? 0 ? 13 13 ? ? ,? ? ? 7 ?, ? y ? ?x 由 ,解得点 B 坐标为 ? 7
显然 AB 中点不是 E (4,1) ,矛盾! 所以不存在满足条件的直线 l .

? y ? 1 ? k ( x ? 4) ? 4k ? 1 4k ? 1 ? , ? ? ? y?x 方法 2:由 ? ,解得点 A 坐标为 ? k ? 1 k ? 1 ? , ? y ? 1 ? k ( x ? 4) ? 4k ? 1 4k ? 1 ? ,? ? ? ? 1? k ? , ? 1? k ? y ? ?x 由 ,解得点 B 坐标为
4k ? 1 4k ? 1 ? ?8 k ?1 因为 AB 中点为 E (4,1) ,所以 k ? 1 ,解得 k ? 4 ,
所以 l 的方程为 4 x ? y ? 15 ? 0 ,

7 17 圆心 N 到直线 l 的距离 17 ,
因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,矛盾! 所以不存在满足条件的直线 l . 方法 3:假设 A 点的坐标为 ( a, a ) , 因为 AB 中点为 E (4,1) ,所以 B 点的坐标为 (8 ? a,2 ? a) , 又点 B 在直线 y ? ? x 上,所以 a ? 5 , 所以 A 点的坐标为 (5,5) ,直线 l 的斜率为 4, 所以 l 的方程为 4 x ? y ? 15 ? 0 ,

7 17 圆心 N 到直线 l 的距离 17 ,

因为 l 被圆 N 截得的弦长为 2,所以圆心到直线的距离等于 1,矛盾! 所以不存在满足条件的直线 l . 8. (辽宁省抚顺一中 2009 届高三第一次模拟考试,理科,21) 椭圆 ax2+by2 =1 与直线 x+y-1=0 相交于 A、B 两点,若|AB|=2 2 ,线段 AB 的中点为 C,

2 且 OC 的斜率为 2 ,求椭圆方程.
〖解析〗联立直线与椭圆方程,根据一元二次方程根与系数关系、中点坐标公式、斜率公式 求出 a,b 的关系,再由弦长公式求出 a,b 的值,即得所求椭圆的方程.

?ax2 ? by2 ? 1 ? x ? y ? 1 ? 0 ∴(a+b)x2 -2bx+b-1=0 〖答案〗 ?
2b ? ? x1 ? x 2 ? a ? b ? ? ?x x ? b ? 1 ? 1 2 a?b ∴?
b a , C( a ? b a ? b )

2 KOC = 2 ∴b= 2 a,
代入|AB|=2 2 ,即: (1+k2)[(x1+x2)2-4 x1x2]=8

1 2 a= 3 ,b= 3 1 2 ∴椭圆方程为: 3 x2+ 3 y2 =1
四、考点预测 (一)文字介绍 圆锥曲线是解析几何的核心内容,也是高考命题的热点之一.高考对圆锥曲线的考查,总体 上是以知识应用和问题探究为主, 一般是给出曲线方程, 讨论曲线的基本元素和简单的几何 性质;或给出曲线满足的条件,判断(求)其轨迹;或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置 关系,讨论与其有关的其他问题(如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参变量的取值 范围等) ;或考查圆锥曲线与其他知识综合(如不等式、函数、向量、导数等)的问题等. (二)考点预测题 1. (2007 年山东高考真题模拟试卷八,理科,22)

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b 椭圆 G: a 的两个焦点 F1(-c,0) 、F2(c,0) ,M 是椭圆上的
一点,且满足 F1 M ? F 2M ? 0. (Ⅰ)求离心率 e 的取值范围; (Ⅱ)当离心率 e 取得最小值时,点 N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为 5 2.(i) 求此时 椭圆 G 的方程; (ⅱ)设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与椭圆 G 相交于不同的两点 A、B,Q

P(0,
为 AB 的中点,问 A、B 两点能否关于过点 值 范围;若不能,请说明理由. 〖答案〗 (I)设 M(x0,y0)
2 2 x0 y 0 ?M ?G? 2 ? 2 ?1 a b

3 )、Q 3 的直线对称?若能,求出 k 的取





F1 M ? F2 M ? 0 ? ( x0 ? c, y0 ) ? ( x0 ? c, y0 ) ? 0 ②
y ?c ?x
2 0 2 2 0 代入①式整理得
2 x0 ? a 2 ( 2 ?

由②得

a2 ) c2



2 0 ? x0 ? a 2 ? 0 ? a 2 (2 ?

a2 ) ? a2 2 c

c 1 1 ( ) 2 ? 即e 2 ? , 又0 ? e ? 1 2 2 解得 a

?e ? [

2 ,1) 2 e? 2 x2 y2 时,设椭圆G方程为: 2 ? 2 ? 1 2 2b b

(Ⅱ) (i)当

设 H(x,y)为椭圆上一点,则

| HN |2 ? x 2 ? ( y ? 3) 2 ? ?( y ? 3) 2 ? 2b 2 ? 18, 其中? b ? y ? b | b 若 0 ? b ? 3, 则当y ? ?b时,HN | 有最大值 ? 6b ? 9
2 2

由 b ? 6b ? 9 ? 50得b ? ?3 ? 5 2 (舍去)
2

若 b≥3,当 y=-3 时,|HN|2 有最大值 2b2+18 由 2b2+18=50 得 b2=16

x2 y2 ? ?1 ∴所求椭圆方程为 32 16
(ii)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,Q(x0,y0) ,则由

? x12 y12 ?1 ? ? ? 32 16 两式相减得x0 ? 2ky0 ? 0 ? 2 2 x2 y 2 ? ? ?1 ? 32 16 ?
y??
又直线 PQ⊥直线 l ∴直线 PQ 方程为



1 3 x? k 3

将点 Q(x0,y0)代入上式得,

y0 ? ?

1 3 x0 ? k 3



2 3 3 k ,? ) 3 由③④得 Q 3 (

?
(解 1)而 Q 点必在椭圆内部

2 2 x0 y 0 ? ?1 32 16

k2 ?
由此得

47 , 又k ? 0 2

??

94 94 ? k ? 0或0 ? k ? 2 2
k ? (? 94 94 ,0) ? (0, ) 2 2 时 A、B 两点关于点 P、Q 的直线对称.

故当

y?
(解 2)∴AB 所在直线方程为

3 2 3 ? k(x ? k) 3 3

? 3 2 3 ? k(x ? k) ?y ? ? 3 3 ? 2 2 ?x ? y ?1 ? 由 ? 32 16 得
(1 ? 2k 2 ) x 2 ?
显然 1+2k2≠0

4 3 2 k (1 ? 2k 2 ) x ? (1 ? 2k 2 ) 2 ? 32 ? 0 3 3

? ? [?


4 3 2 k (1 ? 2k 2 )]2 ? 4(1 ? 2k 2 )[ (1 ? 2k 2 ) 2 ? 32] 3 3

2 ? ?4(1 ? 2k 2 )[ (1 ? 2k 2 ) ? 32] 3
直线 l 与椭圆有两不同的交点 A、B ∴△>0

k2 ?
解得

47 , 又k ? 0 2

??

94 94 ? k ? 0或0 ? k ? 2 2

k ? (?
故当

94 94 ,0) ? (0, ) 2 2 时,A、B 两点关于点 P、Q 的直线对称。

(ii)另解;设直线 l 的方程为 y=kx+b

? y ? kx ? b ? 2 ?x y2 ? ?1 ? 由 ? 32 16 得

(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kbx ? 2b 2 ? 32 ? 0(*)
设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,Q(x0,y0) ,则

x0 ?

x1 ? x 2 2bk b ?? , y 0 ? kx0 ? b ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
y?? 1 3 x? k 3



又直线 PQ⊥直线 l

∴直线 PQ 方程为

将点 Q(x0,y0)代入上式得,

y0 ? ?

1 3 x0 ? k 3



b??
将③代入④

3 (1 ? 2k 2 ) 3 ⑤

∵x1,x2 是(*)的两根

? ? ? (4kb) 2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2b 2 ? 32) ? 8 ?16(1 ? 2k 2 ) ? 8b 2 ? 0 ⑥
k2 ?
⑤代入⑥得

47 , 又k ? 0 2

k ? (?
∴当

94 94 ,0) ? (0, ) 2 2 时,A、B 两点关于点 P、Q 的直线对称

2. (2007 年山东高考真题模拟试卷十一,理科,22)

x2 y 2 ? ?1 2 双曲线 M 的中心在原点,并以椭圆 25 13 的焦点为焦点,以抛物线 y ? ?2 3x 的

准线为右准线. (Ⅰ)求双曲线 M 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 3 与双曲线 M 相交于 A、B 两点,O 是原点. ① 当 k 为何值时,使得 OA ? OB ? 0 ? ② 是否存在这样的实数 k ,使 A、B 两点关于直线 y ? m x ? 12 对称?若存在,求出 k 的值; 若不存在,说明理由.

x2 y 2 ? ?1 〖答案〗 (Ⅰ)易知,椭圆 25 13 的半焦距为: c ? 2 3 ,
又抛物线 y ? ?2 3x 的准线为:
2

x?

3 2 .

x2 y2 a2 3 ? 2 ?1 ? 2 2 , b 设双曲线 M 的方程为 a ,依题意有 c
a2 ?


3 3 c? ?2 3 ? 3 2 2 2 2 2 ,又 b ? c ? a ? 12 ? 3 ? 9 .

x2 y2 ? ?1 9 ∴双曲线 M 的方程为 3 .
(Ⅱ)设直线 l 与双曲线 M 的交点为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 两点

? x2 y2 ?1 ? ? 9 ?3 ? y ? kx ? 3 联立方程组 ? 消去 y 得

(k 2 ? 3) x 2 ? 6k ? 18 ? 0 ,

2 ∵ A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 两点的横坐标是上述方程的两个不同实根, ∴ k ? 3 ? 0

∴ ? ? (6k ) ? 4(k ? 3) ?18 ? 0 ? ? 6 ? k ? 6 ,从而有
2 2

x1 ? x 2 ? ?

6k 18 x1 x 2 ? 2 k ?3 , k ?3.
2

又 y1 ? kx1 ? 3 , y 2 ? kx2 ? 3



y1 y 2 ? (kx1 ? 3)(kx2 ? 3) ? k 2 x1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ?

18k 2 18k 2 ? 2 ?9 ?9 k2 ?3 k ?3 .

① 若 OA ?

18 ?9 ? 0 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,即 k 2 ? 3 ? k 2 ? 1 ? k ? ?1 . OB ? 0 ,则有

∴当 k ? ?1 时,使得 OA ? OB ? 0 . ② 若存在实数 k ,使 A、B 两点关于直线 y ? m x ? 12 对称,则必有 因此,当 m=0 时,不存在满足条件的 k;
2 ? 2 ?3x1 ? y1 ? 9 ? 2 2 2 2 2 2 m ? 0 时,由 ?3x 2 ? y 2 ? 9 得 3( x1 ? x2 ) ? ( y1 ? y2 ) ? 0 ? 当

k??

1 m,

?

y1 ? y 2 y1 ? y 2 y ? y2 ? ?3 ?k? 1 ? 3 ? k ? y1 ? y 2 ? 3 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 2 2
P( x1 ? x 2 y1 ? y 2 , ) 2 2 在直线 y ? m x ? 12 上,

∵A、B 中点

y1 ? y 2 x ? x2 ?m 1 ?6 2 2 ∴ 代入上式得 km ? x1 ? x 2 x ? x2 ? 6k ? 3 1 2 2 ? 12 ;又 km ? ?1 , ∴ x1 ? x2 ? 6k
6k 2 k ? 3 代入并注意到 k ? 0 ,得 k ? 2 ? k ? ? 2 .
2



x1 ? x 2 ? ?

∴当 m ? 0 时,存在实数 k ? ? 2 ,使 A、B 两点关于直线 y ? m x ? 12 对称. 3. (2008 年山东卷,理科,22) 如图,设抛物线方程为 x ? 2 py( p ? 0), M 为直线 y ? ?2 p 上
2

任意一点,过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A, B. (I)求证: A, M , B 三点的横坐标成等差数列; (II)已知当 M 点的坐标为 抛物线的方程; (III)是否存在点 M ,使得点 C 关于直线 AB 的对称点 D 在抛 物线 x ? 2 py( p ? 0) 上, 其中点 C 满足 OC ? OA ? OB( O 为
2

? 2, ?2 p ? 时, AB ? 4

10,

求此时

??? ?

??? ??? ? ?

坐标原点) 。若存在,求出所有适合题意的点的坐标;若不存在,请说明理由。

A( x1 ,
〖答案〗 (I)证明:由题意设

x12 x2 ) B( x2 , 2 ) 2p , 2 p , x1 ? x2 , M ( x0 , ?2 p).

? x2 ? 2 py ,
? kMA ?

y?

x2 / x ,y ? , 2p p

x1 x , kMB ? 2 , p p

x1 ( x ? x0 ); p x MB : y ? 2 p ? 2 ( x ? x0 ); p MA : y ? 2 p ?

x12 x x2 x ? 2 p ? 1 ( x1 ? x0 ), 2 ? 2 p ? 2 ( x2 ? x0 ), 2p p 2p p
x1 ? x2 ? x1 ? x2 ? x0 , x1 ? x2 ? 2 x0 , 2
所以 A, M , B 三点的横坐标成等差数列。

x12 x x2 x ? 2 p ? 1 ( x1 ? 2), 2 ? 2 p ? 2 ( x2 ? 2), p 2p p (II)解:由(I)知, 2 p
2 x12 ? 4x1 ? 4 p2 ? 0, x2 ? 4x2 ? 4 p2 ? 0,

所以

x1 , x2 是方程 x2 ? 4x ? 4 p2 ? 0 的两根,

x1 ? x2 ? 4, x1x2 ? ?4 p2 ,
2 x2 x12 ? 2 p 2 p x1 ? x2 x0 2 ? ? ? ? , x2 ? x1 2p p p

k AB

2 AB ? 1 ? k AB ? ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 1 ?

4 16 ? 16 p 2 ? 4 10, 2 p p ? 1 或 p ? 2.

因此所求抛物线方程为 x ? 2 y 或 x ? 4 y.
2 2

(III)解:设

D( x3 , y3 ), 由题意得 C( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,则 CD 中点坐标为

Q(

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 2 2

设直线 AB 的方程为

y ? y1 ?

x0 ( x ? x1 ), p

Q(

x x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y 3 x ? x2 y1 ? y 2 y 3 ? 0 x3 , ) R( 1 , ) p . 2 2 2 2 与 都在 AB 上,代入得



D( x3,y3 ) 在 抛 物 线 上 , 则 x3 ? 2 py3 ? 2x0 x3,x3 ? 0或x3 ? 2x0, 即
2
2

2x D(0,0)或D(2 x0 , 0 ) p .
1)当 2)当

x0 ? 0时,x1 ? x 2 ? 2 x0 ? 0,点M (0,?2 p)适合题意.
x0 ? 0时,

x ? x2 D(0,0),C (2 x0 , 1 ),kCD 2p (1)对于
2 2
2 2 2 2

x1 ? x2 2 2 x1 ? x2 2p ? ? . 2 x0 4 px0
2 2

k AB kCD ?

x0 x1 ? x2 x ?x 2 2 ? ? 1 2 2 ? ?1, x1 ? x2 ? ?4 p 2 p 4 px0 4p 矛盾.

D(2 x0 ,
(2)对于 不垂直矛盾。

2 2 2 x0 x 2 ? x2 ) C (2 x0 , 1 ) p , 2 p ,则 CD 与 y 轴平行,而 k AB ? 0, 直线 CD, AB

综上可知,仅存在一点 M (0, ?2 p) 适合题意.


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