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一元二次方程根与系数关系培优强化

初三数学培优专题----一元二次方程知识点详细归纳

一元二次方程根与系数关系培优强化
一)一元二次方程的定义

ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 是一元二次方程的一般式,只含有一个末知数、且末知数的最高次数是 2 的方程,
叫 做 一 元 二 次 方 程 。 ax ? bx ? 0;ax ? c ? 0;ax ? 0 这 三 个 方 程 都 是 一 元 二 次 方 程 。 求 根 公 式 为
2 2 2

x?

? b ? b 2 ? 4ac 2 b ? 4ac ? 0 2a

?

?

二) ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 。a 是二次项系数;b 是一次项系数;c 是常数项,注意的是系数连同符号的概念。这 些系数与一元次方程的根之间有什么样的关系呢? 1、 ?=b ? 4ac 当Δ >0 时方程有 2 个不相等的实数根;
2

2、当Δ =0 时方程有两个相等的实数根; 3、当Δ < 0 时方程无实数根. 4、当Δ ≥0 时方程有两个实数根(方程有实数根); 5、ac<0 时方程必有解,且有两个不相等的实数根; 6、c=0,即缺常数项时,方程有 2 个不相等的实数根,且有一个根是 0.另一个根为 ?

b a

7、当 a、b、c 是有理数,且方程中的Δ 是一个完全平方式时,这时的一元二次方程有有理数实数根。 8 若 x 1 , x 2 是一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根,
2

即① x 1 ? x 2 ? ?

b a
2

x1 ? x 2 ?

c a
2

(注意在使用根系关系式求待定的系数时必须满足Δ ≥0 这个条件,否则解题就会出错。 ) 例:已知关于 X 的方程 x ? 2?m ? 2?x ? m ? 0 ,问:是否存在实数 m,使方程的两个实数根的平方和等于 56,若 存在,求出 m 的值,若不存在,请说明理由。

②一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 可变形为 a ?x ? x 1 ??x ? x 2 ? ? 0 的形式。可以用求根公式法分解二次
2

三项式。 【例题】分解因式: 4 x ? 12x ? 3
2

9、以两个数 x1 x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是:x2-(x1+ x2)x+ x1 x2=0
1

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【例题】★★3、⑴写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为 1,且两根互为倒数: ⑵写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为 1,且两根互为相反数:

10 几种常见的关于 x1 , x 2 的对称式的恒等变形 ① x1 ? x 2 ? ?x1 ? x 2 ? ? 2x1 x 2
2 2 2

② x1 ? x 2 ? ?x1 ? x 2 ? x1 ? x1 x 2 ? x 2
3 3 2

?

2

? ? ?x
2

1

? x 2 ??x1 ? x 2 ? ? 3x1x 2
2

?

?

③ x1 ? x 2 ? x1 ?x 2 ? x1 ? x 2 ?x1 ? x 2 ?
2 2

④ ?x1 ? a ??x 2 ? a ? ? x1 ? x 2 ? a?x1 ? x 2 ? ? a ⑤

x ? x2 1 1 ? ? 1 x1 x 2 x1 ? x 2
1 x1
2



?

1 x2
2

?

2 x1 ? x2 2

x1 ? x 2

2

2

?

?x 1 ? x 2 ? 2 ? 2 x 1 x 2 ?x 1 ? x 2 ? 2

⑦ x1 ? x 2 ?

?x1 ? x 2 ?2

?

?x1 ? x 2 ?2 ? 4x1 x 2

三)例题 1 如果方程 x2-3x+c=0 有一个根为 1,求另一个根及常数项的值。 解法一)用方程根的定义解: 解法二)用根系数关系解:

解法三)用“一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 可变形为 a ?x ? x1 ??x ? x 2 ? ? 0 的形式” 比较对应系数求
2

解:

2 用十字相乘法解一元二次方程(一元二次方程的左边是一个二次三项式右边是 0,这样的题型若能用十字相 乘法解题的、要尽量使用十字相乘法、因为他比用公式法解题方便得多) 。 十字相乘法的口诀是:右竖乘等于常数项,左竖乘等于二次项系数,对角积之和等于一次项系数。三个条件都 符合,结论添字母横写(看成是关于谁的二次三项式就添谁) 。 解下面一道一元二次方程 x2-110x+2925=0 1 -65 1 -45 -65 -45= -110

2

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四)Δ 与根的关系的综合运用(ax +bx+c=0, a≠0) c>0 两根同号 b>0 b<0 b>0 c< 0 两根异号 b<0 b =0 c=0 一根为零 b>0 b<0 有两个负根不相等 有两个正根不相等 负根绝对值较大(正根绝对值较小) 正根绝对值较大(负根绝对值较小) 两根绝对值相等 一根为 0 另一个根为负根 一根为 0 另一个根为正根

2

Δ >0 有两个 不相等的实 数根 ax2+bx+c=0, (a>0)

Δ =0 有两个 相等的实数 根

b>0 b<0 b =0

有两个相等的负根 有两个相等的正根 有两个相等的根都为 0

五) “Δ ”,“x1.x2 ” , “ x1+x2”与“0”的关系综合判断一元二次方程根的情况 Δ >0 1 有两个不相等的负实数根 x1.x2>0 x1+x2< 0 Δ >0 2 有两个不相等的正实数根 x1.x2>0 x1+x2>0 Δ >0 3 负根的绝对值大于正根的绝对值 x1.x2< 0 x1+x2< 0 Δ >0 4 两个异号根正的绝对值较大 x1.x2< 0 x1+x2>0 Δ >0 5 两根异号,但绝对值相等 x1.x2< 0 x1+x2=0 Δ >0 6 一个负根,一个零根 x1.x2= 0 x1+x2< 0 7 一个正根,一个零根 x1.x2>0 x1+x2>0 Δ =0 x1.x2>0 x1+x2< 0
3

8 有两个相等的负根

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9 有两个相等的正根

Δ =0 x1.x2>0 x1+x2>0 Δ =0 x1.x2=0 x1+x2=0

10 有两个相的等的根都为零 Δ >0 x1.x2=1 Δ >0 x1+x2=0

11 两根互为倒数 12 两根互为相反数 13 两根异号

Δ >0 x1.x2< 0

14 两根同号

Δ ≥0 x1.x2>0

15 有一根为零 Δ >0 x1.x2=0 Δ >0 a-b+c=0 17 无实数根 Δ < 0 18 两根一个根大于 m,另一个小于 m, (m∈R) 16 有一根为-1

Δ >0

?x1 ? m??x 2 ? m??0
19 ax2+bx+c (a≠0)这个二次三项式是完全平方式 Δ =0 20 方程 ax2+bx+c =0 (a≠0)(a、b、c 都是有理数)的根为有理根,则Δ 是一个完全

平方式。

21 方程 ax2+bx+c =0 (a≠0)的两根之差的绝对值为: x 1 ? x 2 ? 22 Δ =0,方程 ax2+bx+c =0 (a≠0)有相等的两个实数根。 23 Δ < 0, 方程 ax2+bx+c =0 (a≠0)无实数根. 24 方程 ax2+bx+c =0 (a≠0)一定有一根为“1” Δ ≥0 a+b+c=0 25 方程 ax2+bx+c =0 (a≠0)的解为 x ?

? a

? b ? b 2 ? 4ac 2 b ? 4ac ? 0 2a

?

?

26 方程 ax2+bx+c =0 (a≠0)若Δ ≥0 则 x 1 ? x 2 ? ?

b a

x1 ? x 2 ?
注:凡是题中出现了 x1.x2< 0;或 即 a、c 异号方程必有解。

c a

c ? 0 ;或 a、c 异号就能确保 ?=b 2 ? 4ac >0 a

4

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1[例题] m 为何值时,方程 3x ? 10x ? m ? 0 ①有两个相等的实数根;②无实数根;③有两个不相等的实数根;
2

④有一根为 0;⑤两根同号;⑥有一个正根一个负根;⑦两根互为倒数。

2[例题]k 为何值时关于 x 的方程 x ? 4mx ? 4x ? 3m ? 2m ? 4k ? 0 (m 为有理数)的根为有理数。
2 2

3[例题]不论 m 为何值时 ?x ? 2??x ? 3? ? m ? 1 都可以分解成二个一次因式的积
2

4[例题] 已知方程 x ? 4x ? 2m ? 8 ? 0 的两根一个大于 1,另一个根小于 1,求 m 的值的范围。
2

5[例题]已知方程 ax2+bx+c =0 (a≠0)的实数根为 m、n 求下列对称式子的值 ①

1 1 n m ? ;② m 2 ? n 2 ;③ ? ;④ m 3 ? n 3 ;⑤ ?m ? n ?2 ;⑥ m ? n 。 m n m n

5

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2 2 6 例题]已知实数 a、b 满足 a ? 2 ? 2a , b ? 2 ? 2b 且 a ? b 求

b a ? 的值。 a b

7 用配方法求下面关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c =0 (a≠0)

8 已知关于 x 的方程 x ? 2k ? 4x ? k ? 0 有两个不相等的实数根, (1)求 k 的取值范围。
2

(2)化简 ? k ? 2 ? k ? 4k ? 4
2

11、求非对称性式子的值(解题思想是逐次降次)

的值。 ★★例 1 已知 X ? X ? 1 ? 0求-X ? 2 X ? 2015
2 3 2

★★★例 2 设 a、b 是方程 X ? X ? 2014? 0 的两个实数根,求 a ? 2a ? b 的值。
2 2

6

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六) “归旧”思想在解一元二次方程中的应用 “归旧”就是把待解决的问题,通过某种转化,归结为能用已掌握的旧知识去解决的问题。一元二次方程有 直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法,这几种解法,都是用“归旧”的数学思想方法求解。下面就各种方 法分别加以说明。 直接开平方法:适用于等号左边是一个完全平方式,右边是一个非负实数的形式,形如(mx+n)2=p (m≠0,p ≥0)的方程。我们可以利用平方根的定义“归旧”为两个一元一次方程去解,即有一元一次方程为 mx+n=± 分别解这两个一元一次方程就得到原方程的两个根。 用简明图表可表示为: 直接开平方法:形如(mx+n)2=p (m≠0,p≥0) 根据平方根的定义 两个一元一次方程。 归旧 配方法:最适用于二次项系数为 1,一次项系数为偶数的形式的一元二次方程,形如 x2+2kx+m=0(当然一 般的形如 ax2+bx+c=0 a≠0 也可用,但不一定是最合适的方法) 。这类方程我们可以通过已掌握的配方的手段,把 原方程“归旧”为上述形如(mx+n)2=p (m≠0,p≥0) 的方程,然后再用直接开平方法的方法求解。 用简明图表可表示为: 配方法:一元二次方程 通过配方 形如(mx+n)2=p (m≠0,p≥0)的方程 归旧 因式分解法:这种方法平时用的最多,最适用于等式左边能分解成几个一次因式的积、而右边必须为零的形 式的一元二次方程方程。 这类方程我们可以通过已掌握的因式分解的手段, 把原方程转化为形如(a1x+c1)(a2x+c2)=0 方程,从而“归旧”为 a1x+c1=0 、a2x+c2=0 ,再分别求出这两个一元一次方程的根,就得到原一元二次方程的两 个解。 用简明图表可表示为: 因式分解法:一元二次方程 通过分解因式 归旧 两个一元一次方程

p,

公式法:公式法的实质就是配方法,只不过在解题时省去了配方的过程,所以解法简单。但计算量较大,只 有在不便运用上述三种方法,且各项系数的绝对值为较小的数值情况下才考虑使用该方法。 由此可见以上四种解法都是运用了归旧的数学思想,把新东西转换成熟悉的旧的东西 去解决。归旧思想在初 中数学中还有许多运用:如解二元一次方程归旧为一元一次方程,分式方程归旧为整式方程,二元二次方程组归 旧为二元一次方程组或代入消元归旧为一元二次方程,平行四边形、矩形、梯形通过添加辅助线归旧为三角形问 题等,由此可见熟练掌握归旧数学思想,对增强解题能力,改善知识结构,提高数学素养大有裨益。 12 用适当的方法解下列方程(说明选用的理由) ①

9?x ? 1? ? 4
2
2

② x ? 2x ? 1
2

③ 3y ? 6y ? 2 ? 0

④ x ? 3x ? 14 ? 0
2

7


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