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河南省长葛市第三实验高中2014届高三上学期第一次考试数学(理)试题 word版含答案


注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 2. 答卷前考生务必将自己的班级、 姓名、 考号和考试科目用钢笔分别填在答题卷密封线内。 3.第Ⅰ卷和第Ⅱ卷的答案务必答在答题卷中,否则不得分;答题卷用 0.5 毫米的黑色墨水 签字笔答在上面每题对应的答题区域内,在试题卷上作答无效 。 ......... 4.考试结束后,只把答题卷交回(试题 卷自己保留好,以 备评讲 ) 。 .. ........ ... 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. 设集合 P ? { y | y ? k , k ? R}, Q ? { y | y ? a x ? 1, a ? 0且a ? 1, x ? R} ,若集合 P ? Q 只有 一个子集,则 k 的取值范围是( A. (??,1) B. (??,1] ) C. (1,??) ) D. [1,??)

2.设 a , b 为实数,若复数 A. a ?

1 ? 2i ? 1 ? i ,则( a ? bi

3 1 ,b ? 2 2

B. a ? 3, b ? 1 C. a ?

1 3 ,b ? 2 2

D. a ? 1, b ? 3

3. 设 m, n 是空间两条不同直线, ? , ? 是空间两个不同平面 ,则下列选项中不正确 的是 ... ( ) “ n ? ? ”是“ ? ∥ ? ”成立的充要条件 ? 时, B.当 m ? ? 时, “ m ? ? ”是“ ? ? ? ”的充分不必要条件 C.当 m ? ? 时, “ n / / ? ”是“ m // n ”的必要不充分条件 D.当 m ? ? 时, “ n ? ? ”是“ m ? n ”的充分不必要条件 A.当 n ?
4. 阅读下面程序框图,则输出结果 s 的值为( )

A.

1 2

B. 开始

3 2

C. ? 3

D. 3

s= 0,n= 1 n≤2013? 是 n? s = s + sin 3 否
输出s 结束 第 5 题图

n = n+1 第 4 题图

5 . 函 数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

) 的部分图象如上图所示,则将
( )

y ? f ( x) 的图象向右平移
A. y ? sin 2 x

? 个单位后,得到的图象解析式为 6 ? 2? ) B. y ? sin( 2 x ? ) C. y ? sin( 2 x ? 6 3

D. y ? cos 2 x

?x ? 1 ? 6. 已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 4 , 且目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 6, 最小值为 1, ? ax ? by ? c ? 0 ?
[ 其中 b ? 0, 则
A.4
24

c 的值为 ( b
B.3


C.2 D.1

? 1 ? 7. 在 ? ? x?3 ? ? 的展开式中, x 的幂指数是整数的项共有( x? ?



uu u r uuu r uur 8.在△ ABC 中, ( AB ? 3AC) ? CB, 则角 A 的最大值为(
A.

A.3 项

B.4 项

C.5 项

D. 6 项



? 2

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6
)

9. 某班进行班干部选举,从甲、乙、丙、丁四人中选出 3 人分别担任班长、副班长、团支 书,则上届任职的甲、乙、丙三人没有连任原职的概率是( A. 5 12 11 B. 24
2

C.

1 2

D.

13 24 )

10. 如图所示,过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于 点 C,若|BC|=2|BF|,|AF|=3,则此抛物线的方程为(
A.y2=3x 3 B.y2= x 2 9 C.y2= x 2 D.y2=9x

11.若数列 {an } 对于任意的正整数 n 满足: an ? 0 ,且 an an?1 ? n ? 1 ,则称数列 {an } 为
2 2 “积增数列”.已知“积增数列” {an } 中, a1 ? 1 ,数列 {an ? an ?1} 的前 n 项和为 Sn ,

则对于任意正整数 n 有(
A. Sn


C. Sn

? n2 ? 4n

B.

Sn ? n2 ? 4n

? n2 ? 3n

D. Sn

? 2n2 ? 3

? x, 0 ? x ? 1, ? 12.已知函数 f ( x) 的定义域为 R , f ( x) ? ? 1 x 且对于任意的 x ? R 都有 ( ) ? 1, ? 1 ? x ? 0, ? ? 2 f ( x ? 1) ? f ( x ? 1) ,若在区间 [?1,3] 上函数 g ( x) ? f ( x) ? mx ? m 恰有四个不同零
点,则实数 m 的取值范围为(
A. [0, ]



1 2

B. [0, ) C. (0, ]

1 4

1 2

D. (0, ]
3

1 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 某几何体的三视图如图所示,根据图中标出的
1 正视图 2 2 侧视图

俯视图

数据,则这个几何体的体积为 _



2 14.已知数列{ an }满足 a1 ? 1, a 2 ? 2, a n ? 2 ? (1 ? cos

n? n? )a n ? sin 2 , 则该数列的前 20 2 2
?

项的和为



15.函数 f ( x) ? sin 2x ? 2 3 cos2 x ? 3 ,函数 g ( x) ? m cos(2x ? ) ? 2m ? 3 (m ? 0) ,若存在 6
x1 , x2 ?[0, ] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 m 的取值范围是 _ 4

?

.

1 1 ? x ? m ? (其中 m 为整数) ,则 m 叫做离实数 x 最近的整数, 2 2 记作 { x} ,即 {x} ? m . 在此基础上给出下列关于函数 f ( x) ?| x ? {x} | 的四个命题:
16. 给出定义:若 m ? ①函数 y ? f ( x) 的定义域是 R ,值域是 [0,
1 k ];②函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 2 2

(k∈Z)对称; ③函数 y ? f ( x) 是周期函数, 最小正周期是 1; ④ 函数 y ? f ( x) 在 ?? 是增函数. 则其中真命题是
17. (本小题满分 12 分)

? 1 1? , 上 ? 2 2? ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出说明文字,证明过程或演算步骤. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 对应的边分别是 a, b, c. 已知 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积 S ? 5 3 , b ? 5 ,求 sin B sin C 的值.
18. (本小题满分 12 分)
o 如图,已知四棱锥 E ? ABCD 的底面为菱形,且 ?ABC ? 60 , AB ? EC ? 2,

AE ? BE ? 2 . (I)求证:平面 EAB ? 平面 ABCD ; (II)求二面角 A ? EC ? D 的余弦值.

19. (本小题满分 12 分)

四枚不同的金属纪念币 A, B, C , D ,投掷时, A, B 两

1 ,另两枚 C , D (质地不均匀) 2 正面向上的概率均为 a ( 0 ? a ? 1 ).将这四枚纪念币同时投掷一次,设ξ 表示出现正面向
枚正面向上的概率均为 上的枚数. (Ⅰ)求ξ 的分布列(用 a 表示) ; (Ⅱ)若恰有一枚纪念币正面向上对应的概率最大,求 a 的取值范围.
20. (本小题满分 12 分)

已知椭圆 C :

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆的短半轴长 2 a b 2

为半径的圆与直线 x ? y ?

2 ? 0 相切.

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)若过点 M (2,0)的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ,设 P 为椭圆上一点,且满足

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 5 OA ? OB ? tOP ( O 为坐标原点),当 | PA ? PB |? 时,求实数 t 取值范围. 3
21. (本小题满分 12 分)

已知函数 g ( x) ? x2 ? (2a ? 1) x ? a ln x . (Ⅰ) 当 a ? 1 时, 求函数 g ( x) 的单调增区间; (Ⅱ) 求函数 g ( x) 在区间 ?1, e? 上的最小值; (Ⅲ) 在(Ⅰ)的条件下,设 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ? x 2 ? 2 ln x , 证明:

1 3n 2 ? n ? 2 ? (n ? 2) .参考数据: ln 2 ? 0.6931 . ? n(n ? 1) k ? 2 k ? f (k )
n

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.

22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 ⌒ 的中点,BD 交 AC 于 E. 如图, ⊙ O 是△ ABC 的外接圆,D 是AC
2 (Ⅰ)求证: DC ? DE ? DB ;

B

(Ⅱ)若 CD ? 2 3 ,O 到 AC 的距离为 1,求⊙O 的半径 r . 23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 平面直角坐标系中, 直线 l 的参数方程是 ? O. C E A

D 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为

? ?x ? t ( t 为参数) , ? ? y ? 3t

? 2 cos2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2? sin ? ? 3 ? 0 .
(Ⅰ)求直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点,求 | AB | . 24.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 对于任意实数 a(a ? 0) 和 b ,不等式 | a ? b | ? | a ? 2b |?| a | (| x ? 1 | ? | x ? 2 |) 恒成 立,试求实数 x 的取值范围.

长葛市第三实验高中 2013—2014 学年上学期第一次考试试卷

高三数学(理科)
一、选择题 题号 1 答案 二、填空题 13._ _____________ 15.________________ 三、解答题 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

14.______________ 16.______________

请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效 17.(12 分)

18.(12 分)

19.(12 分)

20.(12 分)

21.(12 分)

选做题.(10 分)

B

O. C E A D

长葛市第三实验高中 2013—2014 学年上学期第一次考试试卷

高三数学(理科)参考答案及评分建议

三、解答题 17. 解: (Ⅰ)由 cos 2 A ? 3cos( B ? C ) ? 1. 得 2cos2 A ? 3cos A ? 2 ? 0 ,解得 cos A ? 所以 A ?

?
3

1 , 2

.

(Ⅱ)由 S ?

1 3 bc sin A ? bc ? 5 3 ,得 bc ? 20 ,所以 c ? 4 . 2 4

由余弦定理得 a ?

21 .又由正弦定理, sin B sin C ?

bc 2 20 3 5 sin A ? ? ? . 2 a 21 4 7

(II)以 AB 中点 O 为坐标原点,以 OB 所在直线为 y 轴, OE 所在直线为 z 轴,建立空间直 角坐标系如图所示,则 A(0, ?1,0), C( 3,0,0), D( 3, ?2,0), E(0,0,1)

uuu r uuu r uuu r ? AC ? ( 3,1,0), EC ? ( 3,0, ?1), DC ? (0,2,0) ????????8 分
设平面 DCE 的法向量 n ? ( x, y,1)

r

uuu r r ? 3 ? r ? 3x ? 1 ? 0 3 ? ? EC ? n ? 0 ?x ? ,即 ? ,解得 ? , ? n ? ( , 0,1) .设平面 EAC 的 ? ? uuu r r 3 3 ? ?2 y ? 0 ? ?y ? 0 ? DC ? n ? 0 ?
法向量 m ? (a, b,1)

u r

uuu r u r ? 3 ? u r ? AC ? m ?0 3 ? 3a ? b ? 0 ? ?a ? ,解得 r u r ,即 ? ? uuu ? 3 ,? m ? ( , ?1,1) ?????? 10 3 ? ? ?b ? ?1 ? 3a ? 1 ? 0 ? EC ? m ? 0 ?


u r r u r r m?n 2 7 Q cos m, n ? u r r ? , 所 以 二 面 角 A ? EC ? D 的 余 弦 值 为 7 | m || n |

2 7 7

?????12 分

∴ξ 的分布列为
ξ P 0 1 2 3 4

1 (1 ? a ) 2 4

1 (1 ? a ) 2

1 (1 ? 2a ? 2a 2 ) 4

1 a 2

1 2 a 4

(Ⅱ)∵ 0 ? a ? 1 ∴ P(? ? 0) ? P(? ? 1) , P(? ? 4) ? P(? ? 3)

?1 (1 ? a ) ? ? ?2 ∴? ? 1 (1 ? a ) ? ? ?2
(0, 2? 2 ) 2 .

? 1 2? 2 2? 2 (1 ? 2a ? 2a 2 ) a? 或a ? ? ? 4 2 2 ∴ a 的取值范围为 ,解得 ? 1 ?a ? 1 a ? 2 2 ?

20. 解:(Ⅰ)由题意知 e ?

c2 a 2 ? b2 1 c 2 2 ? . , 所以 e ? 2 ? ? a a2 2 a 2 x2 ? y2 ? 1. 2

2 2 即 a 2 ? 2b2 .所以 a ? 2 , b ? 1 .故椭圆 C 的方程为

(Ⅱ)由题意知直线

AB 的斜率存在 . 设 AB : y ? k ( x ? 2) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

P ( x, y ) ,

? y ? k ( x ? 2), ? 2 2 2 2 由 ? x2 得 (1 ? 2k ) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?2

? ? 64k 4 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 , k 2 ?

8k 2 8k 2 ? 2 1 x ? x ? . x1 ? x2 ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2

x1 ? x2 8k 2 ? ∵ OA ? OB ? t OP ,∴ ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ? t ( x, y) , x ? , t t (1 ? 2k 2 )
y? y1 ? y2 1 ?4k ? [k ( x1 ? x2 ) ? 4k ] ? . t t t (1 ? 2k 2 )

∵点 P 在椭圆上,∴

(8k 2 )2 (?4k )2 ? 2 ? 2 ,∴ 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) . t 2 (1 ? 2k 2 )2 t 2 (1 ? 2k 2 )2

∵ PA ? PB <

20 2 5 2 5 2 2 2 ,∴ 1 ? k x1 ? x2 ? ,∴ (1 ? k )[( x1 ? x2 ) ? 4 x1 ?x2 ] ? 9 3 3

∴ (1 ? k )[
2

64k 4 8k 2 ? 2 20 1 ? 4 ? ] ? ,∴ (4k 2 ?1)(14k 2 ? 13) ? 0 ,∴ k 2 ? . 2 2 2 (1 ? 2k ) 1 ? 2k 9 4



16k 2 8 1 1 ? k 2 ? ,∵ 16k 2 ? t 2 (1 ? 2k 2 ) ,∴ t 2 ? ? 8? , 2 4 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2
2 6 2 6 2 6 2 6 ? t ? 2 ,∴实数 t 取值范围为 (?2,? )?( ,2) . 或 3 3 3 3

∴ ?2 ? t ? ?

当a ? e, x ? 1, e , g ?( x) ? 0, g ( x) 单调减, g ( x)

? ?

min

? g (e) ? e 2 ? (2a ? 1)e ? a

? 2a, a ? 1 ? ? 2 g ( x) ? ?? a ? a ? a ln a,1 ? a ? e ? e 2 ? (2a ? 1)e ? a, a ? e ?
(Ⅲ)令 h( x) ? ln x ?

1 2 ( x ? 1) , 4

? x ? ?2,??? ,
ln x ?
n

h?( x) ?

2 ? x2 ?0 2x

? h( x) ? h(2) ? ln 2 ?

3 ?0 4



1 4 1 1 1 2 ( x ? 1) ,? ? ? 2( ? ) , k ? f (k ) ? ln k , 4 ln x ( x ? 1)(x ? 1) x ?1 x ?1

n 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ln 2 ln 3 ln n k ? 2 k ? f (k ) k ? 2 ln k

2(1 ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ?? ? ? ? ) 3 2 4 n ? 2 n n ?1 n ?1

? 2(1 ?

3n 2 ? n ? 2 1 1 1 ? ? )? (n ? 2) 2 n n ?1 n(n ? 1)

(22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 解: (I)证明:∵ ?ABD ? ?CBD , ?ABD ? ?ECD ∴ ?CBD ? ?ECD ,又 ?CDB ? ?EDC , ∴△ BCD ~△ CED ,∴ ∴CD =DE·DB;
2

DE DC , ? DC DB

………………(5 分)

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)消去参数得直线 l 的直角坐标方程: y ? 3 x ---------2 分

? x ? ? cos ? ? 由? 代入得 ? sin? ? 3? cos? ? ? ? ( ? ? R) . 3 ? y ? ? sin?
( 也可以是: ? ?

4? ( ? ? 0) )---------------------5 分 3 3 ? ? 2 cos 2 ? ? ? 2 sin2 ? ? 2? sin? ? 3 ? 0 ? (Ⅱ) ? 得 ? 2 ? 3? ? 3 ? 0 ? ? ? ? 3 ?

?

或? ?

设 A( ? 1 ,

?

) , B( ? 2 , ) ,则 | AB |?| ? 1 ? ? 2 |? ( ? 1 ? ? 2 ) 2 ? 4? 1 ? 2 ? 15 . 3 3

?

(若学生化成直角坐标方程求解,按步骤对应给分)


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