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2017年高考数学山东文试题及解析


2017 年高考数学山东文 1.(2017 年山东文)设集合 M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则 M∩N=( A.(-1,1) B.(-1,2) C.(0,2) ) D.(1,2)

1.C 【解析】由|x-1|<1 得 0<x<2,故 M∩N={x|0<x<2}∩{x|x<2}={x|0<x<2}.故选 C. 2. (2017 年山东文)已知 i 是虚数单位,若复数 z 满足 zi=1+i,则 z2=( A.-2i B.2i C.-2 D.2 )

2. A 【解析】由 zi=1+i 得(zi)2=(1+i)2,即-z2=2i,所以 z2=-2i.故选 A.

? ?x-2y+5≤0, 3. (2017 年山东文)已知 x,y 满足约束条件?x+3≥0, 则 z=x+2y 的最大值是( ? ?y≤2,
A.-3 B.-1 C.1 D.3



? ?x-2y+5≤0, 3. D 【解析】画出约束条件?x+3≥0, 表示的可行域,如图阴影部分所示,平移直线 ?y≤2, ?
x+2y=0,可知当其经过直线 x-2y+5=0 与 y=2 的交点(-1,2)时,z=x+2y 取得最大值,为 zmax=-1+2×2=3.故选 D.

3 4. (2017 年山东文)已知 cos x= ,则 cos 2x=( 4 1 A. -4 1 B. 4 1 C. -8

) 1 D. 8

3 3 1 4. D 【解析】由 cos x= 得 cos 2x=2cos2x-1=2×( )2-1= .故选 D. 4 4 8

5. (2017 年山东文)已知命题 p:? x∈R,x2-x+1≥0;命题 q:若 a2<b2,则 a<b.下列命题为真命

题的是( A.p∧q

) B. p∧? q C. ? p∧q D. ? p∧? q

5. B 【解析】由 x=0 时 x2-x+1≥0 成立知 p 是真命题,由 12<(-2)2,1>-2 可知 q 是假 q 是真命题.故选 B. 命题,所以 p∧?

6. (2017 年山东文)执行下面的程序框图,当输入的 x 的值为 4 时,输出的 y 的值为 2,则空白判 断框中的条件可能为( )

A.x>3

B. x>4

C.x≤4

D. x≤5

6. B 【解析】输入 x 的值为 4 时,由 x+2=6,log24=2 可知 x=4 不满足判断框中的条件,只 能是 x>4.故选 B.

7. (2017 年山东文)函数 y= 3sin 2x+cos 2x 的最小正周期为( A. π 2 B. 2π 3 C.π D.2π



π 2π 7. C 【解析】因为 y= 3sin 2x+cos 2x=2sin(2x+3),所以其最小正周期 T= 2 =π.故选 C.

8. (2017 年山东文)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位: 件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则 x 和 y 的值分别为( )

A.3,5

B.5,5

C.3,7

D.5,7

8. A 【解析】由题意,甲组数据为 56,62,65,70+x,74,乙组数据为 59,61,67,60+y, 78. 要 使 两 组 数 据 的 中 位 数 相 等 , 则 65=60+y , 所 以 y=5 , 又 平 均 数 相 同 , 则 56+62+65+(70+x)+74 59+61+67+65+78 = ,解得 x=3.故选 A. 6 5

? x ,0<x<1, 1 9. (2017 年山东文)设 f(x)=? 若 f(a)=f(a+1),则 f( )=( a ?2(x-1),x≥1,



A.2

B.4

C.6

D.8

9. C 【解析】由 x≥1 时 f(x)=2(x-1)是增函数可知,若 a≥1,则 f(a)≠f(a+1),所以 1 1 0<a<1,由 f(a)=f(a+1)得 a=2(a+1-1),解得 a= ,则 f( )=f(4)=2(4-1)=6.故选 4 a C.

10. (2017 年山东文)若函数 ex f(x) (e=2.718 28 ? 是自然对数的底数)在 f(x)的定义域上 单调递增,则称函数 f(x)具有 M 性质.下列函数中具有 M 性质的是( A. f(x)=2-x B. f(x)=x2 C. f(x)=3-x )

D. f(x)=cos x

1 1 10. A 【解析】对于 A,令 g(x)=ex·2-x,g′(x)=ex(2-x+2-xln 2)= ex2-x(1+ ln 2)> 0,则 g(x)在 R 上单调递增,故 f(x)具有 M 性质.故选 A.

11. (2017 年山东文)已知向量 a=(2,6),b=(-1,λ),若 a∥b,则 λ=_________. 11. -3 【解析】由 a∥b 可得-1×6=2λ ?λ=-3.

x y 12. (2017 年山东文)若直线a +b=1(a>0,b>0)过点(1,2),则 2a+b 的最小值为_________. x y 1 2 1 12. 8 【解析】由直线a +b=1(a>0,b>0)过点(1,2)可得a +b=1,所以 2a+b=(2a+b) (a

2 b 4a +b)=4+a + b ≥4+2

b 4a b 4a a · b =8.当且仅当a= b ,即 b=4,a=2 时等号成立.

1 13. (2017 年山东文) 由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的 4 体积为 .

π 13. 2+ 【解析】由三视图可知,长方体的长、宽、高分别为 2,1,1,圆柱的高为 1,底面圆半径 2 π×12 π 为 1,所以 V=2× 1× 1+2× × 1=2+ . 4 2

14. (2017 年山东文)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 x∈[-3, 0]时,f(x)=6-x, 则 f(919)=_________. 14. 6 =f 【解析】 由 f(x+4)=f(x-2)可知 f (x) 是周期函数, 且 T=6, 所以 f (919) (6×153+1)

=f(1)=f(-1)=6.

x2 y2 15. (2017 年山东文)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线a2 -b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2=2py( p > 0 )交于 A,B 两点 . 若 |AF|+|BF|=4|OF|, 则该双曲线的渐近线方程 为 15. y=±
2

. 2 x 2
2

p p p 【解析】由抛物线定义可得:|AF|+|BF|=yA+ +yB+ =4× ? yA+yB=p, 2 2 2

?x2-y2=1, 2pb2 2 因为?a b ?a2y2-2pb2y+a2b2=0,所以 yA+yB= a2 =p ?a= 2b ?渐近线方程为 y=± 2 ?x2=2py
x.

16. (2017 年山东文)某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1,A2,A3 和 3 个欧洲国家 B1,B2,B3 中选 择 2 个国家去旅游.

(1)若从这 6 个国家中任选 2 个,求这 2 个国家都是亚洲国家的概率; (2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选 1 个,求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率. 16.解: (1)由题意知,从 6 个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有 {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2, B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3}共 15 个. 所选的两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3}共 3 1 3 个,则所求事件的概率为 P= = . 15 5 (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有{A1,B1}, {A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3}共 9 个,包含 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有{A1,B2},{A1,B3}共 2 个, 2 所以所求事件的概率为 P=9.

→ ·→ =-6,S 17. (2017 年山东文)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=3,AB △ABC =3, AC 求 A 和 a. → ·→ =-6, 17.解:因为AB AC 所以 bccos A=-6, 因此 tan A=-1,又 0<A<π, 3π 所以 A= , 4 又 b=3,所以 c=2 2. 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A, 得 a2=9+8-2× 3× 2 2× (所以 a= 29. 2 )=29, 2

18. (2017 年山东文)由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 截去三棱锥 C1- B1CD1 后得到的几何体如图所 示,四边形 ABCD 为正方形,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为 AD 的中点,A1E ? 平面 ABCD. (1)证明:A1O∥平面 B1CD1; (2)设 M 是 OD 的中点,证明:平面 A1EM ? 平面 B1CD1.

18.解: (1)取 B1D1 的中点 O1,连接 CO1,A1O1,由于 ABCD-A1B1C1D1 是四棱柱, 所以 A1O1∥OC,A1O1=OC, 因此四边形 A1OCO1 为平行四边形, 所以 A1O 平行 O1C, 又 O1C?平面 B1CD1,A1O ? 平面 B1CD1, 所以 A1O∥平面 B1CD1.

(2)因为 AC⊥BD,E,M 分别为 AD 和 OD 的中点, 所以 EM⊥BD, 又 A1E⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD, 所以 A1E⊥BD, 因为 B1D1∥BD, 所以 EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1, 又 A1E,EM?平面 A1EM,A1E∩EM=E. 所以 B1D1⊥平面 A1EM, 又 B1D1?平面 B1CD1, 所以平面 A1EM⊥平面 B1CD1.

19. (2017 年山东文)已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1+a2=6,a1a2=a3. (1)求数列{an}的通项公式;

b (2) {bn } 为各项非零的等差数列,其前 n 项和 Sn,已知 S2n+1=bnbn+1,求数列{an}的前 n 项和 Tn. n 19.解: (1)设{an}的公比为 q,由题意知 a1(1+q)=6,a12q=a1q2. 又 an>0, 解得 a1=2,q=2, 所以 an=2n. (2)由题意知 S2n+1= 又 S2n+1=bnbn+1≠0, 所以 bn=2n+1, bn 令 cn= , an 则 cn= 2n+1 , 2n (2n+1)(b1+b2n+1) =(2n+1)bn+1, 2

3 5 7 2n-1 2n+1 因此 Tn=c1+c2+…+cn= + 2+ 3+…+ n-1 + n , 2 2 2 2 2 1 3 5 7 2n-1 2n+1 又 Tn= 2+ 3+ 4+…+ n + n+1 , 2 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 2n+1 两式相减得 Tn= +( + 2+…+ n-1)- n+1 2 2 2 2 2 2 2n+5 所以 Tn=5- n . 2

1 1 20. (2017 年山东文)已知函数 f(x)= x3- ax2,a∈R. 3 2 (1)当 a=2 时,求曲线 y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程; (2) 设函数 g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x,讨论 g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 20.解: (1)由题意 f′(x)=x2-ax, 所以,当 a=2 时,f(3)=0,f′(x)=x2-2x, 所以 f′(3)=3, 因此,曲线 y=f(x)在点(3,f(3) )处的切线方程是 y=3(x-3) , 即 3x-y-9=0. (2)因为 g(x)= f(x)+(x-a)cos x-sin x, 所以 g′(x)=f′(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x, =x(x-a)-(x-a)sin x =(x-a)(x-sin x),

令 h(x)=x-sin x, 则 h′(x)=1-cos x≥0, 所以 h(x)在 R 上单调递增, 因为 h(0)=0, 所以,当 x>0 时,h(x)>0;当 x<0 时,h(x)<0. ①当 a<0 时,g′(x)=(x-a)(x-sin x), 当 x∈(-∞,a)时,x-a<0,g′(x)>0,g(x)单调递增; 当 x∈(a,0)时,x-a>0,g′(x)<0,g(x)单调递减; 当 x∈(0,+∞)时,x-a>0,g′(x)>0,g(x)单调递增. 1 所以当 x=a 时,g(x)取到极大值,极大值是 g(a)=- a3-sin a, 6 当 x=0 时,g(x)取到极小值,极小值是 g(0)=-a. ②当 a=0 时,g′(x)=x(x-sin x), 当 x∈(-∞,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增; 所以 g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,g(x)无极大值也无极小值. ③当 a>0 时,g′(x)=(x-a)(x-sin x), 当 x∈(-∞,0)时,x-a<0,g′(x)>0,g(x)单调递增; 当 x∈(0,a)时,x-a<0,g′(x)<0,g(x)单调递增减; 当 x∈(a,+∞)时,x-a>0,g′(x)>0,g(x)单调递增. 所以当 x=0 时,g(x)取到极大值,极大值是 g(0)=-a; 1 当 x=a 时,g(x)取到极小值,极小值是 g(a)=- a3-sin a. 6 综上所述,当 a<0 时,函数 g(x)在(-∞,a)和(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单 1 调递减,函数既有极大值,又有极小值,极大值是 g(a)=- a3-sin a,极小值是 g(0)=-a; 6 当 a=0 时,函数 g(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值; 当 a>0 时,函数 g(x)在(-∞,0)和(a,+∞)上单调递增,在(0,a)上单调递减,函 1 数既有极大值,又有极小值,极大值是 g(0)=-a,极小值是 g(a)=- a3-sin a. 6

x2 y2 2 21. (2017 年山东文)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 2 + 2=1 (a>b>0)的离心率为 , a b 2 椭圆 C 截直线 y=1 所得线段的长度为 2 2.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)动直线 l:y=kx+m(m≠0)交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于点 M.点 N 是 M 关于 O 的对称点, ⊙N 的半径为|NO|. 设 D 为 AB 的中点,DE,DF 与⊙N 分别相切于点 E,F,求 ? EDF 的最小值.

21.解: (1)由椭圆的离心率为

2 ,得 a2=2(a2-b2), 2

a2 a2 又当 y=1 时,x2= a2- 2,得 a2- 2=2, b b 所以 a2=4,b2=2, x2 y2 因此椭圆方程为 + =1. 4 2 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),
?y=kx+m, 联立方程? 2 2 ?x +2y =4,

得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0, 由 Δ>0 得 m2<4k2+2.(*) 且 x1+x2= 4km , 2k2+1 2m , 2k2+1

因此 y1+y2=

2km m 所以 D(- 2 , 2 ) 2k +1 2k +1 又 N(0,-m), 所以|ND|2=(整理得|ND|2= 2km 2 m ) +( 2 +m)2, 2k2+1 2k +1

4m2(1+3k2+k4) , (2k2+1)2

因为|NF|=|m|,

|ND|2 4(k4+3k2+1) 8k2+3 所以 = =1+ . |NF|2 (2k2+1)2 (2k2+1)2 令 t=8k2+3,t≥3, t+1 故 2k2+1= , 4 |ND|2 16t 16 所以 . 2 =1+ 2=1+ |NF| (1+t) 1 t+ +2 t 1 1 令 y=t+ ,所以 y′=1- 2. t t 当 t≥3 时,y′>0, 1 从而 y=t+ 在[3,+∞)上单调递增, t 1 10 因此 t+ ≥ , t 3 等号当且仅当 t=3 时成立,此时 k=0, |ND|2 所以 ≤1+3=4, |NF|2 由(*)得- 2<m< 2且 m≠0. 故 |NF| 1 ≥ , |ND| 2

设∠EDF=2θ, |NF| 1 则 sin θ= ≥ , |ND| 2 π 所以 θ 的最小值为 , 6 π 从而∠EDF 的最小值为 ,此时直线 l 的斜率是 0. 3 π 综上所述,当 k=0,m∈(- 2,0)∪(0, 2)时,∠EDF 取到最小值 . 3


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