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泄露天机2014届高三高考押题精粹数学(理)试题 Word版含解析


泄露天机——2014 年高考押题精粹 (数学理课标版)
(30 道选择题+20 道非选择题) 一. 选择题(30 道)
1. 已知全集 U ? R , 集合 A ? x | x ? 1, x ? Z , B ? x | x ? 2 x ? 0 ,则图中的阴影部分
2

?

?

?

?

表示的集合为( A. ?? 1?

) B. ?2?

1,2? C. ?

D. ?0,2?

2. 已知全集 U ? R ,集合 A ? x 1 ? x ? 3 , B ? x x ? 2 ,则 A A.

?

?

?

?

CU B ? (
D.



?x 1 ? x ? 2?

B.

?x 2 ? x ? 3?

C.

?x 1 ? x ? 2?

?x x ? 2?


3. 已知 i 为虚数单位,a ? R , 若 A. 2 B. 3

2?i 为纯虚数, 则复数 z ? (2a ? 1) ? 2i 的模等于 ( a?i
C. 6 D. 11 )

4.复数 z 满足 (1 ? i) z ? 2i ,则复数 z 在复平面内对应的点在( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

D.第四象限

π π 5. 设命题 p: 函数 y=sin2x 的最小正周期为2; 命题 q: 函数 y=cosx 的图象关于直线 x=2对 称.则下列判断正确的是 A.p 为真 ( ) C.p∧q 为假 D.p∨q 为真

B.﹁q 为假 )

6. “ x ? 1 ”是“ x ? 2 ”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.一个算法的程序框图如右,则其输出结果是( )

A.0

B.

2 2

C.

2 ?1 2

D. 2 ? 1

8.阅读如图所示的程序框图,如果输出 i=4,那么空白的判断框中应填入的条件是(



A.S<8, B.S<9, C.S<10, D.S<11 9.若函数 f ( x ) ? sin(? x ? 则 ? 的最小正值是 ( A.

?
3

) 的图像向右平移


? 个单位后与原函数的图像关于 x 轴对称, 3

1 2

B.1

C.2

D.3

10.若函数 f ( x) ? sin(? ? ? x) ? 3 sin( 小值是

? ,则 f ( x) 的单调递增区间是 2

5? ? ? x) ,且 f (?) ? ? 2, f( ? ) ? 0 , ? ? ? 的最 2
( )

n is A n i b s ? B n is c ?C 3s n i a ? B 11.在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c. 若a

. 则

角 C 等于( A.

) B.

? 6

? 4

C.

? 3

D.

5? 6

12. 在 ?ABC 中 , AD ? BC ? 0 , AB ? 5, BC ? 10, BD ?

2 DC , 点 P 满 足 3

AP ? m AB ? ?1 ? m?AC ,则 AP ? AD 的值为______

13. 已知 a, b 是非零向量,它们之间有如下一种运算: a ? b ? a b sin ? a, b ? ,其中

? a, b ? 表示 a, b 的夹角.给出下列命题:
① a ? b ? b ? a ;② ? (a ? b) ? (? a) ? b ;③ (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b ? a ? b ? a b ;⑤若 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则 a ?b ? x1y 2 ? x 2y1 ,其中真 命题的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 14.右图是某四棱锥的三视图,则该几何体的表面积 等于( ... A. 34 ? 6 5 B. 6 ? 6 5 ? 4 3

) D. 17 ? 6 5

C. 6 ? 6 3 ? 4 13

15.在三棱锥 S-ABC 中,AB⊥BC, AB=BC= 2 ,SA=SC=2,二面角 S-AC-B 的余弦值是S、A、B、C 都在同一球面上,则该球的表面积是( A.8 6 B. 6? ) C.24?

3 , 若 3

D.6?

?x ? 1 ? 16.已知 a ? 0 ,x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 , 若 z ? 2 x ? y 的最小值为 1 , 则a ? ( ? y ? a ( x ? 3) ?



1 C. 1 D. 2 2 0) 上的可导函数,其导函数为 f ?( x ) ,且有 17.设函数 f ( x ) 是定义在 (?? , 2 2 f ( x) ? xf ?( x) ? x ,则不等式 ( x ? 2014)2 f ( x ? 2014) ? 4 f (?2) ? 0 的解集为
A. B. A. ? ??, ?2012? B. ? ?2012, 0? C. ? ??, ?2016? D. ? ?2016, 0?

1 4

18.抛一枚均匀硬币,正反每面出现的概率都是

1 ,反复这样投掷,数列 {a n } 定义如下: 2

?1,第n次投掷出现正面 ? * ,若 S n ? a1 ? a 2 ??? a n (n ? N ) ,则事件 an ? ? ??1,第n次投掷出现反面 ?
“ S2 ? 0, S8 ? 2 ”的概率是( )

A.

1 256

B.

19、已知不等式 A.-15

x?2 1 ? 0 的解集为 (?1, 2) ,则二项式 ( ax ? 2 ) 6 展开式的常数项是( ) ax ? 1 x
D.5

13 128

C.

1 2

D.

7 32

B.15 C.-5

20、袋中共有 6 个除了颜色外完全相同的球,其中有 1 个红球, 2 个白球和 3 个黑球,从袋 中任取两球,两球颜色为一白一黑的概率等于( ) A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

21、某学校随机抽取 20 个班,调查各班中有网上购物经历的人数,所得数据的茎叶图如图 所示.以组距为 5 将数据分组成[0,5),[5,10),?,[30,35),[35,40]时,所作的 频率分布直方图是 ( )

22、等差数列 {a n } 中,已知 a1 ? ?12 , S 13 ? 0 ,使得 a n ? 0 的最小正整数 n 为 A.7 B.8 C.9 D.10 )





23、在等比数列 ?an ? 中, a5 ? a11 ? 3, a3 ? a13 ? 4, 则

a12 ?( a2

A .3

B .?

1 3

C .3 或

1 3

D . ?3 或 ?

1 3

2 2 24.已知直线 l : x ? y ? 9 ? 0 和圆 M : 2 x ? 2 y ? 8x ? 8 y ?1 ? 0 , 点 A 在直线 l 上,B, C 为

圆 M 上两点,在 ?ABC 中, ?BAC ? 45? , AB 过圆心 M ,则点 A 的横坐标的取值范围

为( ) A. [2, 6]
2

B. [0, 6]
2

C. [1, 6]

D. [3, 6]

25.若圆 x ? y ? 4 x ? 9 ? 0 与 y 轴的两个交点 A, B 都在双曲线上,且 A, B 两点恰好将此 双曲线的焦距三等分,则此双曲线的标准方程为( ) A.

x2 y2 ? ?1 9 72
2

B.

y2 x2 ? ?1 9 72

C.

x2 y2 ? ?1 16 81

D.

y2 x2 ? ?1 81 16

x2 y2 26.已知抛物线 y =2px(p>0)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有相同的焦点 F,点 A 是 a b 两曲线的一个交点,且 AF⊥x 轴,则双曲线的离心率为 A . 2 + 2 错误!未找到引用源。 C. 3+1 错误!未找到引用源。 ( )

B . 5 + 1 错误!未找到引用源。 D. 2+1 错误!未找到引用源。

1 1 ? ? x ? 2 , x ? [0, 2 ) 27.已知 f ( x) ? ? ,定义 f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ,其中 f1 ( x) ? f ( x) ,则 1 ?2(1 ? x), x ? [ ,1] 2 ? 1 f 2014 ( ) 等于( ) 5 1 3 2 4 A. B. C. D. 5 5 5 5
28.设函数 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) ,若
2

?

2 0

f ( x)dx ? 2 f ( x0 ) , x0 ? 0 ,则 x0 等于
D.3 )

A.

3 3

B.

2 3 3

C.

3 2

29.设函数 f ( x) ? e x (sin x ? cos x) (0 ? x ? 2014? ) , 则函数 f ( x) 的各极小值之和为 ( A. ?

e 2? (1 ? e 2014? ) 1 ? e 2?

B. ?

e 2? (1 ? e1007? ) e 2? (1 ? e1007? ) C. ? 1 ? e? 1 ? e 2?

D. ?

e 2? (1 ? e 2012? ) 1 ? e 2?

30. 设函数 f ( x) ? ?

? x ? [ x], x ? 0 , 其中 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [ ?1.2] =-2 , ? f ( x ? 1), x ? 0

[1.2] =1,[1] =1, 若直线 y ? kx ? k (k ? 0) 与函数 y= f ( x) 的图象恰有三个不同的交点, 则k
的取值范围是 ( )

1 1 A. ( , ] 4 3

B. (0, ]

1 4

C. [ , ]

1 1 4 3

D. [ , )

1 1 4 3

二.填空题(8 道)

31.已知 cos ? ? sin ? ?
4 4

2? 2 ? )? , ? ? (0, ) ,则 cos(2? ? 3 3 2

.

32. 设 a ? 是 .

?

?

0

x 1 6 (sin x ? 1 ? 2 cos 2 )dx ,则 (a x ? ) ? ( x 2 ? 2) 的展开式中常数项 2 x

? y?x ? 33.已知实数 x, y 满足 ? x ? ay ? 4 ,若 z ? 3x ? y 的最大值为 16, 则 a ? ________ . ? y ?1 ?
34. 点 A, B, C , D 在同一个球的球面上,AB ? BC ? 2, AC ? 2 积的最大值为 若四面体 ABCD 体 2,

4 ,则该球的表面积为 3

.

35. 下图茎叶图是甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩,其中一个数字被污损,则甲的平均成 绩超过乙的平均成绩的概率为 .

36. 已知数列 {a n } 是正项等差数列,若 b n ?

a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? na n ,则数列 {b n } 也为 1? 2 ? 3??? n


等差数列. 类比上述结论,已知数列 {c n } 是正项等比数列,若 d n = 则数列{ d n }也为等比数列. π 37. 如图,在△ABC 中,已知 B= ,AC=4 3,D 为 BC 边上一点.若 3 AB=AD,则△ADC 的周长的最大值为________. 38. 已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点, 点 P 在双 a 2 b2

曲线上且不与顶点重合,过 F2 作 ?F1PF2 的角平分线的垂线,垂足为 A .若 OA ? b ,则该 双曲线的离心率为__________________.

三.解答题(12 道)
b, c ,且 a ? b ? c , 3a ? 2b sin A . B, C 的对边分别为 a , 39.在△ ABC 中,角 A ,
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 , b ? 7 ,求 c 边的长和△ ABC 的面积.

40. 已知等差数列 ?an ? 满足 a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26,?an ? 的前 n 项和为 S n . (1)求 a n 及 S n ; (2)令 bn ?

1 (n ? N * ) ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . a ?1
2 n

41. 人们常说的 “幸福感指数” 就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度 的指标,常用区间[0,10]内的一个数来表示,该数越接近 10 表示满意度越高.为了解某地 区居民的幸福感情况, 随机对该地区的男、 女居民各 500 人进行了调查, 调查数据如表所示: 幸福感指数 男居民人数 女居民人数 [0,2) 10 10 [2,4) 20 10 [4,6) 220 180 [6,8) 125 175 [8,10] 125 125

根据表格,解答下面的问题: (Ⅰ)在右图中绘出频率分布直方图,并估算该地区居民幸福感指数的平均值; (Ⅱ)如果居民幸福感指数不小于 6,则认为其幸福.为了进一步了解居民的幸福满意度, 调查组又在该地区随机抽取 4 对夫妻进行调查, 用 X 表示他们之中幸福夫妻 (夫妻二人都感 到幸福)的对数,求 X 的分布列及期望(以样本的频率作为总体的概率) .
频率 组距

0.25 0.20 0.15 0.10 0.05

2 4

6 8 10 幸福感指数

42. 在一次数学测验后,班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计,如下表: (单位: 人) 几何证明选讲 坐标系与参数方程 不等式选讲 合计 4 6 22 男同学 12 8 12 20 女同学 0 12 12 18 42 合计 (Ⅰ)在统计结果中,如果把《几何证明选讲》和《坐标系与参数方程》称为几何类,把《不 等式选讲》称为代数类,我们可以得到如下 2×2 列联表: (单位:人) 几何类 代数类 总计 16 6 22 男同学 8 12 20 女同学 24 18 42 总计 据此判断能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为选做“几何类”或“代数类”与性 别有关? (Ⅱ)在原统计结果中,如果不考虑性别因素,按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学 中随机选出 7 名同学进行座谈. 已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做 《不等式选讲》 的同学中.

①求在这名班级学委被选中的条件下,两名数学科代表也被选中的概率; ②记抽到数学科代表的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望 E(X). 下面临界值表仅供参考: 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 P( K 2≥k0 ) k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 2 n ( ad ? bc ) 参考公式: K 2 ? . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 43. 如图,在直角梯形 ABCP 中, AP // BC , AP ? AB , AB ? BC ?

0.001 10.828

1 AP ? 2 ,D 是 AP 的中 2

点,E,G 分别为 PC,CB 的中点,将三角形 PCD 沿 CD 折起,使得 PD 垂直平面 ABCD.(Ⅰ)若 F 是 PD 的中点,求证:AP // 平面 EFG;(Ⅱ)当二面角 G-EF-D 的大小为 PBC 所成角的余弦值.

? 时,求 FG 与平面 4

44、已知动圆 C 过定点 M(0,2),且在 x 轴上截得弦长为 4.设该动圆圆心的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求曲线 C 方程; (Ⅱ)点 A 为直线 l : x ? y ? 2 ? 0 上任意一点,过 A 作曲线 C 的切线,切点分别为 P、Q, ?APQ 面积的最小值及此时点 A 的坐标. 45. 已知 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) 是椭圆 C : x 2 ? 2 y 2 ? 4 上两点,点 M 的坐标为 (1,0) . (Ⅰ)当 A, B 关于点 M (1,0) 对称时,求证: x1 ? x2 ? 1 ; (Ⅱ)当直线 AB 经过点 (0,3) 时,求证: ?MAB 不可能为等边三角形. 46. 已知

f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? 2 .

(Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 a ? 0, 求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅲ)若不等式 2 x ln x ?
2

f ?( x) ? a 2 ? 1 恒成立,求实数 a 的取值范围.
x

47. 已知函数 f ( x) ? ( x ? 3x ? 3)e , x ???2, t ?,(t ? -2). (1)当 t ? 1 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; (2)当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时,这样的区间称为函数的保

值区间。设 g ( x) ? f ( x) ? ( x ? 2)e ,试问函数 g ( x) 在 (1, ??) 上是否存在保值区间?若存
x

在,请求出一个保值区间;若不存在,请说明理由。 48.选修 4 - 1 : 几 何 证 明 选 讲 .

PA ? 20 , 如图所示, PA 为圆 O 的切线, A 为切点, PO交圆O于B, C两点,

PB ? 10, ?BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E .
(I) 求证 AB ? PC ? PA ? AC (II) 求 AD ? AE 的值. 49. 坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程

? x ? 1 ? cos ? .以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (? 为参数) ? ? y ? sin ?
(Ⅰ)求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 的极坐标方程是 2 ? sin(? ?

?
3

) ? 3 3 ,射线 OM : ? ?

?
3

与圆 C 的交点为 O、

P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长.

50. 已知关于 x 的不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? m 的解集不是空集. ( I )求参数 m 的取值范围的集合 M; ( II)设 a,b 错误!未找到引用源。 M,求证:a+b<ab+1.

泄露天机——2014 年高考押题精粹 (数学理课标版)
(30 道选择题+20 道非选择题) 【参考答案及点评】 二.选择题(30 道)
1. 【答案】B 2. 【答案】A 【点评】:集合问题是高考必考内容之一,题目相对简单.集合的表示法有列举法、描述

法、图示法三种,高考中与集合的子,交,并,补相结合,侧重考查简单的不等式的有关知 识。

3. 【答案】C 4. 【答案】A 【点评】:3、4 题考查的是复数有关知识。复数主要内容有:复数的四则运算、复数的 模、共轭复数、复平面、复数概念等,理科一般都只考简单的复数乘除法运算,且比较常规 化。 5. 【答案】C 6. 【答案】B 【点评】:上面 5、6 题是简易逻辑的内容,简易逻辑内容有:命题的或、且、非;四种 命题;充分、必要条件;全称命题和特称命题。作为高考内容的重要组成部分,也是各省高 考常见题型,特别是对充分、必要条件与全称命题和特称命题的考查。单独考查简易逻辑相 关的概念不多见,按照近几年高考真题的特点来讲,结合其他知识点一同考查是总趋势, 如 5 题。一般和不等式相结合的也时有出现,如 6 题。 7. 【答案】B 8. 【答案】B 【点评】:7,8 题考查的内容是程序框图。程序框图题型一般有两种,一种是根据完整的 程序框图计算,如题 7;一种是根据题意补全程序框图,如题 8.程序框图一般与函数知 识和数列知识相结合,一般结合数列比较多见,特别经过多年的高考,越来越新颖、成 熟。 9. 【答案】D

? ? 【解析】 根据 sin(π + ? ) = - sin? 可知 “若函数 f ( x) ? sin(?x ? )的图像 向右平移
3
个单位后与原函数的图像关于 x 轴对称”则至少变为 g ( x) ? sin(?x ?

?
3

3

? ?) ,于是

?? ? ? ? ?? x ? ? ? ? ?x ? ? ?则?的最小正值是 3.
? 3? 3 3
10. 【答案】A 11. 【答案】A

a sin A ? b sin B ? c sin C ? 3a sin B即a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3ab,
【解析】

所以cosC ?

a 2 ? b2 ? c2 3 ? ? ,又0 ? C ? ? , 故C ? ,选A. 2ab 2 6

【点评】:三角函数内容在新课标全国高考试卷中,一般考察三角函数图象的平移,函 数单调性,依据函数图象确定相关系数等问题,另外三角函数在解三角形中的应用也不 容忽视。 12. 【答案】 9 【解析】法一:由 BD ?

2 DC 知:点 D 在线段 BC 上,且 3

BD ? 4 ,又

AB ? 5 ,所以

? Rt ADB 中, AD ? 3 , AP ? AD ? ? ? m( AB ? AC ) ? AC ? ? AD ? mCB ? AD ? AC ? AD ,
∴ AP ? AD ? AC ? AD ? ( AD ? DC) ? AD ? AD ? 9 . 法二:由 AP ? mAB ? (1 ? m) AC 知:点 P 在线段 BC 上,
2

? ? AD ? ∴ AP ? AD ? AD ? ? AP ? ,而 AP ? AD 即为 AP 在 AD 方向上的投影即为 AD , ? ? AD AD ? ?
∴ AP ? AD ? AD ? 9 . 13. 【答案】B 【点评】 :平面向量内容在新课标全国高考试卷中,一般考察向量的数量积,向量的运 算与三角形的结合,有时也结合不等式与解三角形,理科难度为中,另外向量的新定义 运算更是综合考查对向量的运算。 14. 【答案】A 15. 【答案】D 【点评】 :立体几何内容在新课标全国高考试卷中,一般考察两个小题,一个大题,两 个小题一个是有关三视图,一个是有关球的问题,三视图涉及表面积、体积和相关视图的判 断,难度为易;有关球的问题结合特定的简单几何体,综合考察空间想像和运算能力,难度 较高。 16. 【答案】B 17. 【答案】C 【点评】 :不等式的考察中,有不等式的性质、线性规划、基本不等式、简易逻辑,常 以函数、数列、向量相结合考察。16 题中线性规划求参数问题也许在未来的高考题中会同
2

样出现;17 题中以函数相结合利用函数性质求参数的取值班范围,也是高考在不等式知识 点出题的热点。 18. 【答案】B 19. 【答案】B 20. 【答案】B 21. 【答案】A 【点评】 :18、19、20、21 题为排列组合及概率统计模块,此模块主要考查:频率分布 直方图、茎叶图、样本的数字特征、独立性检验、几何概型和古典概型、抽样(特别是分层 抽样) 、排列组合、二项式定理、几个重要的分布等,每年会考其中之一,故应特别注意。 22. 【答案】B 23. 【答案】C 【点评】:22、23 题为数列模块,如果不考大题,则会考两个小题,小题以考查数列概 念、性质、通项公式、前 n 项和公式等内容为主,属中低档题。 24. 【答案】D 【解析】设 A ? a , 9 ? a ? ,则圆心 M 到直线 AC 的距离 d ? AM sin 45? ,由直线 AC 与 圆 M 相交,得 d ≤ 25. 【答案】B 【解析】∵ 圆 x ? y ? 4 x ? 9 ? 0 与 y 轴的两个交点 A, B 都在双曲线上,且 A, B 两
2 2

34 .解得 3 ≤ a ≤ 6 . 2

点恰好将此双曲线的焦距三等分,∴ A, B 是 双 曲 线 的 顶 点 . 令 x ? 0 , 则 y ? ?3 或
y ? 3,

? 3),B(0,) 3 , 在 双 曲 线 中 a ? 3, 2 c? 3? 2 a? 1, 8 ∴ A(0,
∴ a ? 3,c ? 9,b2 ? 81 ? 9 ? 72 , 因 此 , 双 曲 线 的 标 准 方 程 是

y2 x2 ? ? 1.故 选 9 72

B.
26. 【答案】D 【解析】根据题意可知抛物线的焦点 F ?0, c ? ,准线方程 x ? ?c ,于是由 AF⊥x 轴并结 合抛物线定义可得 AF ? 2c ,对于双曲线,设 F ? 是其左焦点,根据勾股定理可得

AF ? ?

?2c ?2 ? ?2c ?2

? 2 2c ,由定义 AF ? ? AF ? 2a ,所以 2a ? 2 2c ? 2c ,即

e?

c 1 ? ? 2 ?1. a 2 ?1
【点评】: 解析几何模块主要考查:直线、圆及圆锥曲线的性质为主,一般结合定义,

借助于图形可容易求解,其中双曲线几乎是客观题的必考内容,小题特别关注直线、圆、抛 物线、双曲线以及它们之间综合. 27. 【答案】B 28. 【答案】B
2 2 1 8a 2 【解析】? f ( x)dx ? ? (ax 2 ? b)dx ? ( ax 3 ? bx ? c)|0 = ? 2b ? 2(ax0 2 ? b) ,解得 0 0 3 3

x0 ?

2 3 . 3

29. 【答案】 D 30. 【答案】 D 【解析】 作出函数 f ( x) ? ?

? x ? [ x], x ? 0 的图像,又易知 y ? kx ? k (k ? 0) 过定点 ? f ( x ? 1), x ? 0

(-1,0).由图可知,当直线 y ? kx ? k (k ? 0) 介于直线 AB 与直线 AC 之间时,其与函数 y= f ( x ) 的图象恰有三个不同的交点.易知 k AB ?

1 1 , k AC ? ,由于 B、C 两点都不在函 4 3

数 y= f ( x ) 的图象上, 所以直线 y ? kx ? k (k ? 0) 可与直线 AB 重合, 但不得与直线 AC 重 合,即

1 1 ? k ? .故选 D. 4 3

【点评】:函数与导数模块近几年一般考查 2-3 个小题,主要考查分段函数、初等函数 的性质、函数的图象、函数的零点、以及导数应用等,多个知识点综合考查是热点.

三.填空题(8 道)
31. 【答案】

? 15 ? 2 6

2 ? 2 2 cos4? - sin 4? ? ,? ? (0, ) ? (cos2? - sin 2?) ? ? cos2? ? ,所 3 2 3 3 【解析】 5 2? 2? ? 15 ? 2 以sin 2? ? ,cos(2?cos ? sin 2? sin ? . 3 3 3 6
【点评】:三角运算的填空题是高考常考的一种题型,一般不是太难,重视基本运算。 32. 【答案】-332

【点评】:定积分与二项式结合考查是常见的题型,有一定难度。 33. 【答案】0 【点评】:线性规划多考常规题,不过现在常规题型高考都考过了,也会有参数加点难 度。 34. 【答案】 【解析】

9?

? AB 2 ? BC 2 ? AC 2, ? ?ABC是直角三角形,要使四 面体ABCD的体积最大, 需使高最大 .根据直角三角形的特征 ,直角三角形斜边 AC的中点到三角形的 三个顶点的距离相等, 故根据三角形全都知识 四面体外接球的球心是 在经过 斜边AC的中点且垂直于面 ABC的线上,则以?ABC为四面体的地面,高设 为 1 1 4 h, 有V D ? ABC ? ? ? 2 ? 2 ? h ? , 解得h ? 2.设外接球的半径为 R, 3 2 3 3 3 则有R 2 ? (2 ? R ) 2 ? ( 2 ) 2 ,解得R ? ,所以外接球的表面积 4?R 2 ? 4? ? ( ) 2 ? 9? 2 2
【点评】:球的组合体是高考每年必考的知识点,题型不是选择就是填空。 35. 【答案】 【解析】 试题分析:由图可知,甲的 5 次成绩分别是 88、89、90、91、92,易知甲的平均分为 90. 乙的成绩分别是 83、83、87、99,其中被污损的那次成绩为 90 到 99 中的某一个.设被污损

4 5

83+83+87 ? x +99 ? 90 5 的那次成绩为 x ,由甲的平均成绩超过乙的平均成绩,得 .所以

x ? 98 .又 x 是 90 到 99 的十个整数中的其中一个, 其中有 8 个整数小于 98, 所以 x ? 98 的
8 4 ? 概率 10 5 .
【点评】:几何概型是高考常考的题型,常与定积分、茎叶图、线性规划等组合考查。
1 2 3 n 1? 2?3??? n 36. 【答案】 (c1 ? c2 ? c3 ? ?? ? cn )

【解析】由等差数列 {a n } 的 a1 ? 2a 2 ? ? ? ? ? nan 的和,则等比数列 {c n } 可类比为

c 1 ﹒ (c2 )2 ? ? ? (c n ) n 的积;对 a1 ? 2a 2 ? ? ? ? ? nan 求算术平均值,所以对
3 n 1?2?3??? n c 1 ﹒ (c2 )2 ? ? ? (c n ) n 求几何平均值,所以类比结果为 (c1 ? c2 . 2 ? c3 ? ??? c n ) 1

【点评】:推理与证明作为新课标的新增知识点,高考出现是必要的,此题考查了 类比推理的应用。当然归纳推理也要掌握。 37. 【答案】:8+4 3 π 【解析】∵AB=AD,B= ,∴△ABD 为正三角形,在△ADC 中,根据正弦定理, 3 可得

π AD 4 3 DC -C?, = = ,∴AD=8sin C,DC=8 sin? 3 ? ? sin C 2π π ? ? sin -C 3 sin?3 ? ∴△ADC 的周长为 π 3 1 ? ? ? AD+DC+AC=8 sin C+8sin? ?3-C?+4 3=8?sin C+ 2 cos C-2sin C?+4 3 π 1 3 C+ ?+4 3, =8? sin C+ cos C?+4 3=8sin? ? 3? 2 ?2 ? 2π π π π 2π ∵∠ADC= ,∴0<C< ,∴ <C+ < , 3 3 3 3 3 π π π ∴当 C+ = ,即 C= 时,△ADC 的周长的最大值为 8+4 3. 3 2 6 【点评】:解三角形是高考的重要组成部分,不在客观题考查,就在解答题中出现,尤 其 2010 年和 2011 年高考都作为填空题考查。 解三角形所涉及的知识点要掌握, 如正弦定理、 余弦定理、三角形的面积公式等。 38. 【答案】
2

【点评】:解析几何填空题常考查双曲线或抛物线的定义性质。

三.解答题(12 道)
39. 【解析】 (Ⅰ)因为 所以

3a ? 2b sin A ,
?????2 分

3sin A ? 2sin B sin A ,

因为 0 ? A ? ? ,所以 sin A ? 0 , 所以 sin B ?

3 , ???? 4 分 2

因为 0 ? B ? ? ,且 a ? b ? c ,所以 B ? 60 .????6 分 (Ⅱ)因为 a ? 2 , b ?

7,
1 ,即 c 2 ? 2c ? 3 ? 0 , 2

2 2 2 所以由余弦定理得 ( 7) ? 2 ? c ? 2 ? 2 ? c ?

解得 c ? 3 或 c ? ?1 (舍) , 所以 c 边的长为 3 . ????10 分

1 1 3 3 3 .?????12 分 S?ABC = ac sin B ? ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2
【点评】: 高考三角类解答题无非就是两种, (1)三角函数题——考查三角函数的性质

或图像,这种题型考查省份较少; (2)是解三角形类型,有时与向量结合出题,也有的省份 会考解三角形的应用题。 40. 【解析】 (1)设等差数列 {an } 的首项为 a 1 ,公差为 d , 由 a3 ? 7, a5 ? a 7 ? 26 ,解得 a1 ? 3, d ? 2 . 由于 an ? a1 ? (n ? 1)d , S n ? (2)因为 a n 因此 bn ?

n(a1 ? an ) ,所以 an 2

? 2n ? 1, S n ? n 2 ? 2n .

? 2n ? 1,所以 an 2 ?1 ? 4n(n ?1) ,

1 1 1 1 ? ( ? ). 4n(n ? 1) 4 n n ? 1
1 1 1 1 1 1 1 1 n , (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? )? 4 2 2 3 n n ?1 4 n ?1 4(n ? 1)
n . 4( n ? 1)

故 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ?

所以数列 {bn } 的前 n 项和 Tn ?

【点评】: 新课标下对数列的考查要求降低,只对等差、等比数列通项和求和要求掌握。 其中的一次些常规方法(错位相减,倒序相加等)特别注意。 41. 【解析】 (1)频率分布直方图如右........... 3 分 所求的平均值为 0.01×2×1+0.015×2×3+ 0.2× 2×5+0.15×2× 7+0.125×2×9=6.46 ...................5 分
0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 O
0.01 0.015

频率 组距

125? 125 ? 0.5 (2)男居民幸福的概率为 500 175? 125 ? 0.6 女居民幸福的概率为 500
故一对夫妻都幸福的概率为 0.5× 0.6=0.3...........7 分

0.20
0.15
0.125

2

4

6

8

10 幸福感指数

因此 X 的可能取值为 0,1,2,3,4,且 X~B(4,0.3) 于是

P( X ? k ) ? C4k ? 0.3k (1 ? 0.3)4?k (k ? 0,1,2,3,4)

....................9 分

X 的分布列为 X 0 p 0.2401 0.411 0.008 1 2 3 4

6

0.2646

0.0756 ???12 分

1

? E ( X ) ? np ? 4 ? 0.3 ? 1.2
42. 【解析】

(Ⅰ)由表中数据得 K2 的观测值 k ?

42×(16×12-8×6)2 252 ≈4.582>3.841.?2 分 ? 55 24×18×20×22

所以,据此统计可在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为选做“几何类”或“代数类” 与性别有关. ??4 分

(Ⅱ)由题可知在“不等式选讲”的 18 位同学中,要选取 3 位同学. ①方法一:令事件 A 为“这名班级学委被抽到”;事件 B 为“两名数学科代表被抽到”, 则 P(A∩B) ?
2 C3 C17 3 , P (A) ? 3 3 . C18 C18

3 P(A∩B) C 3 2 1 所以 P(B|A) ? . ? 2 ? ? P(A) 136 17 × 16 C17

??7 分

方法二:令事件 C 为“在这名学委被抽到的条件下,两名数学科代表也被抽到”,

C2 2 1 2 则 P(C) ? 2 ? . ? 136 17 × 16 C17
②由题知 X 的可能值为 0,1,2. 依题意 P(X ? 0) ?
3 2 1 2 C16 C16 C2 5 C1 35 1 16 C 2 ; P ( X 1) ; P ( X 2) ? ? ? ? ? ? ? . 3 3 3 51 17 51 C18 C18 C18

从而 X 的分布列为 X P 0 35 51 1 5 17 2 1 51 ??10 分 35 5 1 17 1 于是 E(X) ? 0×51+1×17+2×51 ? 51 ? 3. ??12 分

【点评】:概率题主要考察茎叶图、抽样方法、直方图、统计案例、线性回归方程、概率、 随机变量的分布列以及数学期望等基础知识, 试题多考查运用概率统计知识解决简单实际问 题的能力,数据处理能力和应用意识. 43.【解析】(Ⅰ)证明: F 是 PD 的中点时, EF // CD // AB , EG // PB ,? 面 EFG ,

AB //平

PB //平面 EFG , AB
?

PB ? B ,? 平面 PAB //平面 EFG , AP ? 平面 PAB ,

AP //平面 EFG .????????????????????..???(6 分)

(Ⅱ)建立如图所示的坐标系,则有 G (1, 2,0) , C (0, 2, 0) , P(0, 0, 2) , E (0,1,1) ,设

F (0,0, a) ,

GF ? (?1, ?2, a) , GE ? (?1, ?1,1) ,平面 EFG 的法向量 n1 ? ( x, y,1) ,则有
?? x ? 2 y ? a ? 0 ?x ? 2 ? a ,解得 ? . ?n1 ? (2 ? a, a ? 1,1) . ? ?? x ? y ? 1 ? 0 ? y ? a ?1
平面 EFD 的法向量 n2 z P

? (1,0,0) ,依题意,
2?a
F E x A B D

2 cos n1 , n2 ? ? , (2 ? a )2 ? (a ? 1)2 ? 1 2
? a ? 1 .于是 GF ? (?1, ?2,1) .
平面 PBC 的法向量 n3

? (m, n,1) , PC ? (0,2, ?2) ,

G

C y

BC ? (?2,0,0) ,则有
?m ? 0 ?2n ? 2 ? 0 ,解得 ? . ?n3 ? (0,1,1) . ? ?n ? 1 ??2m ? 0
FG 与平面 PBC 所成角为 ? ,则有 sin ? ? cos GF , n3 ?

1 3 , ? 6 6? 2

故有 cos ?

?

33 .????????????????????????(12 分) 6

【点评】:空间几何体的解答题一般以柱体或锥体为背景,考查线面、面面关系,空间 角和距离等,主要用向量方法来处理。 44. 【解析】 (Ⅰ)设动圆圆心坐标为 C ( x, y ) ,根据题意得

x 2 + ( y - 2) 2 =
2

y 2 + 4 ,????????2 分

化简得 x = 4 y . ????4 分 (Ⅱ)解法一:设直线 PQ 的方程为 y = kx + b , 由? í

ì ? x2 = 4 y 2 消去 y 得 x - 4kx - 4b = 0 ? ? ? y = kx + b ì ? x1 + x2 = 4k 2 ,且 D = 16k + 16b ?????6 分 ? x x = 4 b ? ? 1 2

设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 ? í

以点 P 为切点的切线的斜率为 y1?= 即y=

1 1 x1 ,其切线方程为 y - y1 = x1 ( x - x1 ) 2 2

1 1 x1 x - x12 2 4 1 1 x2 x - x2 2 2 4

同理过点 Q 的切线的方程为 y =

设两条切线的交点为 A( xA , yA ) 在直线 x - y - 2 = 0 上,

ì x + x2 ? ? xA = 1 = 2k ? ? 2 ? ,即 A(2k , - b) Q x1 ? x2 ,解得 í ? x1 x2 ? yA = =-b ? ? 4 ? ?
则: 2k + b - 2 = 0 ,即 b = 2 - 2k ??????????????8 分 代入 D = 16k 2 + 16b = 16k 2 + 32 - 32k = 16(k - 1)2 + 16 > 0

\ | PQ |=

1 + k 2 | x1 - x2 |= 4 1 + k 2 k 2 + b

A(2k , - b) 到直线 PQ 的距离为 d =

| 2k 2 + 2b | k2 + 1

??????????10 分

\ SD APQ =

1 | PQ | ? d 2
3

3

4 | k2 + b |? k2
3

b = 4(k 2 + b) 2

= 4(k 2 - 2k + 2) 2 = 4[(k - 1)2 + 1]2

\ 当 k = 1 时, SD APQ 最小,其最小值为 4 ,此时点 A 的坐标为 (2, 0) . ????12 分
解法二: 设 A( x0 , y0 ) 在直线 x - y - 2 = 0 上, 点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 在抛物线 x = 4 y 上, 则以点 P 为切点的切线的斜率为 y1?= 即y=
2

1 1 x1 ,其切线方程为 y - y1 = x1 ( x - x1 ) 2 2

1 x1 x - y1 2 1 x2 x - y2 ??????????6 分 2

同理以点 Q 为切点的方程为 y =

ì 1 ? ? y0 = x1 x0 - y1 ? ? 2 设两条切线的均过点 A( x0 , y0 ) ,则 í , ? 1 ? y0 = x1 x0 - y1 ? ? 2 ? ?

\ 点 P, Q 的坐标均满足方程

y0 =

1 1 xx0 - y ,即直线 PQ 的方程为: y = x0 x - y0 ?????8 分 2 2

代入抛物线方程 x 2 = 4 y 消去 y 可得:

x2 - 2x0 x + 4 y0 = 0

\ | PQ |= 1 +

1 2 1 x0 | x1 - x2 |= 1 + x0 2 4 x0 2 - 16 y0 4 4
|

1 2 x0 - 2 y0 | 2 ??????10 分 A( x0 , y0 ) 到直线 PQ 的距离为 d = 1 2 x0 + 1 4
\ SD APQ = 1 | PQ | ? d 2
3

1 | x0 2 - 4 y0 | ? x0 2 2
3

4 y0 =

1 2 ( x0 - 4 y0 ) 2 2

3

1 1 = ( x0 2 - 4 x0 + 8) 2 = [( x0 - 2)2 + 4]2 2 2
所以当 x0 = 2 时, SD APQ 最小,其最小值为 4 ,此时点 A 的坐标为 (2, 0) .????12 分 【点评】:本小题不仅涉及到轨迹的求法、而且涉及到直线与抛物线的相关知识以及圆 锥曲线中面积求取知识的综合知识. 本小题对考生的化归与转化思想、 运算求解能力都有很 高要求,符合作为压轴题的特点. 45. 【解析】 (Ⅰ)证明:

? 因为 A, B 在椭圆上,所以 í

ì ? x12 + 2 y12 = 4, ① 2 2 ? ? ? x2 + 2 y2 = 4. ②

因为 A, B 关于点 M (1,0) 对称, 所以 x1 ? x2 将 x2

? 2, y1 ? y2 ? 0 ,
2 1

? 2 ? x1, y2 ? ? y1 代入②得 (2 ? x )

? 2 y12 ? 4 ③,

由①和③消 y1 解得 x1 ? 1 , 所以

x1 = x2 = 1.
2), B(0, - 2) ,

(Ⅱ)当直线 AB 不存在斜率时, A(0, 可得

AB = 2 2, MA = 3 , ?ABM 不是等边三角形.

当直线 AB 存在斜率时,显然斜率不为 0. 设直线 AB : y ? kx ? 3 , AB 中点为 N ( x0 , y0 ) , 联立 ?
2 2 ? x 2 ? 2 y 2 ? 4, 消去 y 得 (1 ? 2k ) x ? 12kx ? 14 ? 0 , ? y ? kx ? 3,

? ? 144k 2 ? 4(1 ? 2k 2 ) ?14 ? 32k 2 ? 56
由 ? ? 0 ,得到 k ?
2

7 4



又 x1 ? x2 ?

14 ?12k x1 ? x2 ? 2 , 1 ? 2k 1 ? 2k 2

所以 x0 =

- 6k 3 , y0 = kx0 + 3 = , 2 1 + 2k 1 + 2k 2
?6 k 3 , ) 2 1 ? 2k 1 ? 2k 2

所以 N (

假设 ?ABM 为等边三角形,则有 MN ? AB ,又因为 M (1, 0) ,

3 2 ? k ? ?1 , 所以 kMN ? k ? ?1, 即 1 ? 2k ?6k ?1 1 ? 2k 2
2 化简 2k ? 3k ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1 或 k ? ?

1 2

这与①式矛盾,所以假设不成立. 因此对于任意 k 不能使得 MN ? AB ,故 ?ABM 不能为等边三角形. 【点评】 :高考对圆锥曲线这部分主要以椭圆和抛物线为背景, 可求圆锥曲线的标准方程、 离心率、 轨迹等, 并于向量、 直线等其它知识点相结合出探究性问题, 考查学生的综合推理、 运算能力。 46. 【解析】
3 2 2 (Ⅰ) ∵ a ? 1 ∴ f ( x) ? x ? x ? x ? 2 ∴ f ?( x) ? 3x ? 2 x ? 1 ,

∴ k ? f ?(1) ? 4 , 又 f (1) ? 3 ,所以切点坐标为 (1,3) ∴ 所求切线方程为 y ? 3 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 1 ? 0 .

(Ⅱ) f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? a2 ? ( x ? a)(3x ? a) 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ?a 或 x ?

a , 3
a . 3

(1)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 , 得 ? a ? x ? 由 f ?( x) ? 0 , 得 x ? ?a 或 x ?

a 3 a a 此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? a, ) ,单调递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ??) . 3 3 a (2)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,得 ? x ? ? a . 3 a 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 或 x ? ?a , 3 a a 此时 f ( x ) 的单调递减区间为 ( , ? a ) ,单调递增区间为 (??, ) 和 (?a, ??) . 3 3 a a 综上:当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( ? a, ) ,单调递增区间为 (??, ?a) 和 ( , ??) 3 3 a a 当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调递减区间为 ( , ? a ) 单调递增区间为 (??, ) 和 (?a, ??) . 3 3
(Ⅲ)依题意 x ? (0,??) ,不等式 2x ln x ? f ?( x) ? a ? 1 恒成立, 等价于
2

2 x ln x ? 3x 2 ? 2ax ? 1 在 (0, ??) 上恒成立,

3 1 x? 在 (0, ??) 上恒成立, 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? , 3x 1 1 3 1 ' ? ?? 设 h? x ? ? ln x ? , 则 h ?x ? ? ? ? 2 2 2x x 2 2x 2x 2 1 令 h?( x) ? 0 ,得 x ? 1, x ? - (舍)当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 3
可得 a ? ln x ? 当 x 变化时, h?( x), h( x) 变化情况如下表:

x
h?( x)

(0,1)
+ 单调递增

1

(1,??)
单调递减

0
-2

h( x )

∴ 当 x ? 1 时, h?x ? 取得最大值, h?x ? max =-2,? a ? ?2 ∴ a 的取值范围是 ?? 2,??? . 47. 【解析】

(1)当 ?2 ? t ? 0 时, f ?( x) ? e x ( x 2 ? x) ? 0 ,此时 f ( x) 的单调增区间为 ? ?2, t ? ; 当 0 ? t ? 1 时, x ? (?2,0), f ?( x) ? 0; x ? (0, t ), f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 的单调增区间为

??2,0? ,减区间为 ?0, t ? ;
(2)函数 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上不存在保值区间. 证明如下: 假设函数 g ( x) 存在保值区间[a,b]. g ( x) ? ( x ? 1)2 e x , g ' ( x) ? ( x2 ?1)e x 因 x ? 1 时,所以 g ( x) ? 0, g ( x) 为增函数,
'
2 a ? ? g (a) ? (a ? 1) e ? a ? 所以 ? g (b) ?? (b ? 1) 2 eb ? b ?

即方程 ( x ?1) e ? x 有两个大于 1 的相异实根.
2 x

设 ? ( x) ? ( x ?1)2 e x ? x( x ? 1), ? ' ( x) ? ( x2 ?1)e x ?1 , ? ( x) ? ( x ? 2x ?1)e ,
'' 2 x

? 因 x ?1,

''

( x) ? 0 , 所以 ? ' ( x) 在 (1, ??) 上单增, 又 ? ' (1) ? ?1 ? 0, ? ' (2) ? 3e2 ?1 ? 0 ,
'

即存在唯一的 x0 ? 1 使得 ? ( x0 ) ? 0 , 当 x ? (1, x0 ) 时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 为减函数,当 x ? ( x0 , ??) 时, ? ( x) ? 0, ? ( x) 为增函数,
' '

所以函数 ? ( x) 在 x0 处取得极小值。又因 ? (1) ? ?1 ? 0, ? (2) ? e ? 2 ? 0 ,
2

所以 ? ( x) 在区间 ?1, ?? ? 上只有一个零点, 这与方程 ( x ?1) e ? x 有两个大于 1 的相异实根矛盾。
2 x

所以假设不成立,即函数 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上不存在保值区间. 【点评】导数题似乎已经被默认高考解答题的最后一题(当然个别省份不是) ,一般以三 次多项式函数、指数函数或对数函数为背景,考查导数在研究函数性质、研究不等式和方程 问题中的综合运用,考查点极为全面,像 46、47 题把三种函数背景都涵盖在内,问题也作 了相应创新,是很好的高考压轴题。 48. 【解析】 (1)∵ PA 为圆 O 的切线, ??PAB ? ?ACP, 又 ?P 为公共角,

?PAB ∽ ?PCA ?

AB PA ? . AC PC

????????4 分

(2)∵ PA 为圆 O 的切线, BC 是过点 O 的割线, ? PA2 ? PB ? PC,

? PC ? 40, BC ? 30 又∵ ?CAB ? 900 , ? AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 900
又由(1)知

AB PA 1 ? ? ? AC ? 12 5 AC PC 2

AB ? 6 5 ,

连接 EC ,则 ?CAE ? ?EAB,

?ACE ∽ ?ADB ,则

AB AD ? , AE AC
------10 分

∴ AD ? AE ? AB ? AC ? 6 5 ?12 5 ? 360 .

【点评】:本小题主要考查平面几何的证明,图形背景新颖,具体涉及到切割线定理以及 三角形相似等内容,重点考查考生对平面几何推理能力. 49.【解析】
2 解:(I)圆C的普通方程是( x ?1 ) ? y 2 ? 1, 又x ? ? cos? , y ? ? sin ? :

所以圆C的极坐标方程是 ? ? 2 cos? ? ?1 ? 2 cos?1 ? ?1 ? 1 ? ? ( II )设( ?1 , ?1 )为点P的极坐标,则有 解得? ? ? ? ?1 ? ?1 ? ? ? 3 3 ? ? ? ? 2 (sin ? 2 ? 3 cos? 2 ) ? 3 3 ?? 2 ? 3 ? ? .解得? . 设( ?1 , ?1 )为点Q的极坐标,则有 ? ? ? ?2 ? ?? 2 ? ? 3 ? 3 ? 由于? 1? ? 2,所以 PQ ? ?1 ? ? 2 ? 2,所以线段PQ的长为2.

【点评】:本小题主要考查极坐标与参数方程的相关知识,考查了极坐标方程与平面直 角坐标方程的互化、直线与曲线的位置关系以及点到直线的距离等知识内容同时,. 50. 【解析】

?7 ? 2 x ? x ? 3 ? ? (Ⅰ)设函数 y ? x ? 3 ? x ? 4 ,则 y ? ?1 ? 3 ? x ? 4 ? ,画出其图象, ? ?2 x ? 7 ? x ? 4 ?
可知 ymin ? 1,要使不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? m 的解集不是空集,需且只需 m ? 1 ∴ m 的取值范围的集合 M ? ?1, ??? ; (Ⅱ)∵ a, b ? M ,∴ a ? 1, b ? 1 ?5 分

∵ a ? b ? ? ab ?1? ? ? a ? ab ? ? ?b ?1? ? ? a ?1??1 ? b ? ∵ a ? 1 ? 0,1 ? b ? 0 ,∴ ? a ?1??1 ? b? ? 0 , ∴ a ? b ? ab ? 1 . ?10 分

【点评】 : 纵观多年新课标高考题, 绝大部分年份和省份的高考都以考查绝对值不等式 的解法和性质为主, 本小题不仅同时考查了绝对值不等式的解法和性质, 并且题问作了相应 的创新.


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