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江苏省宿迁市泗阳县桃州中学2014-2015学年高一上学期第二次段考数学试卷 Word版含解析


江苏省宿迁市泗阳县桃州中学 2014-2015 学年高一上学期第二次 段考数学试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.已知集合 A={1,2,4},B={2,4,6},则 A∩B=. 2.sin(﹣ )=.

3.已知角 α 的终边经过点 P(﹣3,4) ,则 sinα﹣2cosα 的值是. 4.函数 的最小正周期是.

5.幂函数 f(x)的图象过点(2,

) ,则函数 f(x)的解析式为.

6.

=.

7.已知函数 f(x)=

是奇函数,则 f(﹣e)的值等于.

8.已知函数 f(x)=x ﹣2x+2 定义域为[0,b],值域为[1,5],则 b=. 9.已知 sin(kπ+α)=2cos(kπ+α) , (k∈Z) ,则 =.

2

10.若将函数 f(x)=sin(2x+ φ 的最小正值是.

)的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则

11.已知函数 f(x)= a 的取值范围是.

,则满足不等式 f(2a﹣1)﹣f(a)>0 的实数

12.如图,直角△ POB 中,∠PBO=90°,以 O 为圆心、OB 为半径作圆弧交 OP 于 A 点.若 圆弧 等分△ POB 的面积,且∠AOB=α 弧度,则 =.

13.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)对任意的实数 x 均存在 f(a)≤f(x)≤f(0) ,且|a|的最 小值为 ,则函数 f(x)的单调递减区间为.

14.如果对定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1)+x2f (x2)>x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“H 函数”.给出下列函数: ①f(x)=x ②f(x)=e ③f(x)=sinx④f(x)= 所有序号为.
2 x

.以上函数是“H 函数”的

二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 2 15.已知函数 f(x)=ln(x﹣1)的定义域为 A,函数 g(x)=x ﹣2x+a 的值域为 B. (1)求集合 A 和集合 B. (2)若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围.

16. (1)化简: (2)已知 sinα+cosα= ,求 sinαcosα 及 sin α+cos α 的值.
4 4

17.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在[﹣ , ]的最大值和最小值.

18. (16 分) 如图: A、 B 两城相距 100km, 某天燃气公司计划在两地之间建一天燃气站 D 给 A、B 两城供气.已知 D 地距 A 城 x km,为保证城市安全,天燃气站距两城市的距离均不 得少于 10km.已知建设费用 y (万元)与 A、B 两地的供气距离(km)的平方和成正比, 当天燃气站 D 距 A 城的距离为 40km 时,建设费用为 1300 万元. (供气距离指天燃气站距 到城市的距离) (1)把建设费用 y(万元)表示成供气距离 x (km)的函数,并求定义域; (2)天燃气供气站建在距 A 城多远,才能使建设供气费用最小.最小费用是多少?

19. (16 分)已知函数 f(x)=

,其中 a 为常数,且函数 f(x)是奇函数.

(1)求 a 的值; (2)判断函数 f(x)在区间(0,+∞)的单调性,并给予证明; (3)求函数 f(x)的值域. 20. (16 分)已知二次函数 f(x)=ax ﹣bx+1(a,b 为常数) . (1)若 a=1,且函数 f(x)在区间(﹣3,4)上不是单调函数,求实数 b 的取值范围; (2)若 b=a+2,a∈Z,当函数 f(x)在 x∈(﹣2,﹣1)上恰有一个零点,求 a 的值; (3)设函数 g(x)=2 实数 a,b 满足的条件. ,若对任意的实数 x0,都有 f(x0)∈{y|y=g(x)}成立,求
2

江苏省宿迁市泗阳县桃州中学 2014-2015 学年高一上学 期第二次段考数学试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相 应答题线上. ) 1.已知集合 A={1,2,4},B={2,4,6},则 A∩B={2,4}. 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 利用交集的定义找出 A,B 的所有的公共元素组成的集合即为 A∩B. 解答: 解:∵A={1,2,4},B={2,4,6}, ∴A∩B={2,4} 故答案为:{2,4}. 点评: 进行集合间的运算时,一般先化简各个集合,然后利用数轴作为工具进行运算.

2.sin(﹣

)=﹣ .

考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 原式中的角度变形后,利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果. 解答: 解:sin(﹣ 故答案为:﹣ 点评: 此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键. 3.已知角 α 的终边经过点 P(﹣3,4) ,则 sinα﹣2cosα 的值是 2. 考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由任意角的三角函数的定义可得 x=﹣3 y=4 r=5,求得 sinα= 和 cosα= 的值, )=sin(﹣4π﹣ )=﹣sin =﹣ ,

即可求得 sinα﹣2cosα 的值. 解答: 解:∵已知角 α 的终边经过点 P(﹣3,4) ,由任意角的三角函数的定义可得 x= ﹣3,y=4,r= =5, 故 sinα= = ,cosα= ﹣ ,则 sinα﹣2cosα= + =2, 故答案为 2. 点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义,两点间的距离公式的应用,

4.函数

的最小正周期是 π.

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 设函数的最小正周期为 T,可得 f(x+T)=f(x) ,代入函数的解析式并结合正弦的 诱导公式,可得﹣2T=2kπ(k∈Z) ,再取 k=﹣1,即可得到函数的最小正周期是 π. 解答: 解:∵f(x)= ∴f(x+T)= = ,

设函数的最小正周期为 T,则 f(x+T)=f(x) , 即 = ,

可得﹣2T=2kπ(k∈Z) ,解之得 T=kπ(k∈Z) , 取 k=﹣1,得 T=π,即函数的最小正周期是 π 故答案为:π

点评: 本题给出函数

, 求它的最小正周期. 着重考查了诱导公式和三

角函数周期的定义及其求法等知识,属于基础题.

5.幂函数 f(x)的图象过点(2,

) ,则函数 f(x)的解析式为 f(x)=



考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 设出幂函数 f(x)的解析式,由图象过点(2, α 解答: 解:设幂函数 f(x)的解析式为 y=x ,α∈R, ∵图象过点(2, ) , α ∴2 = , ∴α= ; 函数 f(x)的解析式为 故答案为:f(x)= . .

) ,求出解析式来.

点评: 本题考查了用待定系数法求幂函数的解析式的应用问题,是基础题目.

6.

=6.

考点: 对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用指数幂和对数的运算性质即可得出. 解答: 解:原式=lg(4×5 )+
2

=lg10 +2 =2+4=6.

2

2

故答案为 6. 点评: 熟练掌握指数幂和对数的运算性质是解题的关键.

7.已知函数 f(x)=

是奇函数,则 f(﹣e)的值等于﹣1.

考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 首先,根据 f(x)为奇函数,f(﹣e)=﹣f(e)=﹣lne=﹣1,从而得到结果. 解答: 解:∵f(x)为奇函数, ∴f(﹣e)=﹣f(e)=﹣lne=﹣1, ∴f(﹣e)=﹣1, 故答案为:﹣1 点评: 本题重点考查了奇函数的性质,属于中档题.

8.已知函数 f(x)=x ﹣2x+2 定义域为[0,b],值域为[1,5],则 b=3. 考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: 函数 f(x)=x ﹣2x+2 的图象是开口朝上,且以直线 x=1 为对称轴的抛物线,∴当 2 且仅当 x=1 时,函数 f(x)取最小值 1,结合已知可得 f(b)=b ﹣2b+2=5 且 b>1,解得答 案. 2 解答: 解: ∵函数 f (x) =x ﹣2x+2 的图象是开口朝上, 且以直线 x=1 为对称轴的抛物线, ∴当且仅当 x=1 时,函数 f(x)取最小值 1, 2 由函数 f(x)=x ﹣2x+2 定义域为[0,b],值域为[1,5],f(0)=2≠5, 2 故 f(b)=b ﹣2b+2=5 且 b>1, 解得:b=3, 故答案为:3 点评: 本题考查的知识点是函数的值域,熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键. 9.已知 sin(kπ+α)=2cos(kπ+α) , (k∈Z) ,则 = .

2

考点: 专题: 分析: 解答:

运用诱导公式化简求值. 三角函数的求值. 利用诱导公式化简已知条件, 利用平方关系式代换否则, 化弦为切, 然后求解即可. 解:sin(kπ+α)=2cos(kπ+α) ,可得 tanα=2. = = = = .

故答案为: . 点评: 本题考查诱导公式的应用,三角函数的化简求值,是基础题.

10.若将函数 f(x)=sin(2x+ φ 的最小正值是 .

)的图象向右平移 φ 个单位,所得图象关于 y 轴对称,则

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数 y=Asin (ωx+φ) 的图象变换规律, 可得所得图象对应的函数解析式为 y=sin (2x+ ﹣2φ) ,再根据所得图象关于 y 轴对称可得 ﹣2φ=kπ+ ,k∈z,由此求得 φ 的

最小正值. 解答: 解:将函数 f(x)=sin(2x+ )的图象向右平移 φ 个单位,

所得图象对应的函数解析式为 y=sin[2(x﹣φ)+ 则 ﹣2φ=kπ+ . ,k∈z,即 φ=﹣ ﹣

]=sin(2x+

﹣2φ)关于 y 轴对称, ,

,故 φ 的最小正值为

故答案为:

点评: 本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的图象的对称性, 属于中档题.

11.已知函数 f(x)= a 的取值范围是(1,+∞) .

,则满足不等式 f(2a﹣1)﹣f(a)>0 的实数

考点: 指、对数不等式的解法. 专题: 计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 对分段函数的单调性加以判断,注意各段的情况以及 x=0 的时候,得到 f(x)是 R 上的递增函数,不等式即为 2a﹣1>a,解得即可. 解答: 解:当 x>0 时,f(x)=lg(x+1)递增, 当 x≤0 时,f(x)= 递增,

又 f(0)=0, 由于 x>0 时,f(x)=lg(x+1) ,x→0 时,f(x)→0, 则 f(x)是 R 上的递增函数. 则不等式 f(2a﹣1)﹣f(a)>0 即为 f(2a﹣1)>f(a) , 即有 2a﹣1>a,解得 a>1. 则 a 的取值范围为(1,+∞) . 故答案为: (1,+∞) . 点评: 本题考查分段函数的运用:解不等式,考查幂函数和对数函数的单调性的运用,考 查运算能力,属于基础题和易错题. 12.如图,直角△ POB 中,∠PBO=90°,以 O 为圆心、OB 为半径作圆弧交 OP 于 A 点.若 圆弧 等分△ POB 的面积,且∠AOB=α 弧度,则 = .

考点: 扇形面积公式. 专题: 计算题;三角函数的求值.

分析: 设出扇形的半径,求出扇形的面积,再在直角三角形中求出高 PB,计算直角三角 形的面积,由条件建立等式,解此等式求出 tanα 与 α 的关系,即可得出结论. 解答: 解:设扇形的半径为 r, 则扇形的面积为 α r ,直角三角形 POB 中,PB=rtanα, △ POB 的面积为 r×rtanα,由题意得 r×rtanα=2× α r , ∴tanα=2α, ∴ = .
2 2

故答案为: . 点评: 本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用, 考查学生的计算能力, 属于 基础题. 13.已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)对任意的实数 x 均存在 f(a)≤f(x)≤f(0) ,且|a|的最 小值为 ,则函数 f(x)的单调递减区间为 .

考点: 正弦函数的图象. 分析: 根据条件 f(a)≤f(x)≤f(0) ,确定函数的最大值和最小值,进而确定 φ 的值, 由|a|的最小值为 ,得到函数的最小周期,解得 ω=2,然后根据三角函数的单调性即可求

出函数的单调减区间. 解答: 解:∵对任意的实数 x 均存在 f(a)≤f(x)≤f(0) , ∴f(0)为函数的最大值,f(a)为函数最小值. 即 f(0)=sinφ=1,即 φ= ∴f(x)=sin(ωx+ ∵f(a)为函数最小值. ∴f(a)=cos(aω)=﹣1, ∵|a|的最小值为 , ,k∈Z, )=cosωx,

∴|a|的最小值为 , 即 此时 ,∴最小周期 T=π, ,

∴ω=2, ∴f(x)=cos2x, 由 2kπ≤2x≤2kπ+π,



, , .

即函数的单调递减区间为 故答案为:

点评: 本题主要考查三角函数的图象和性质, 利用条件求出函数的解析式是解决本题的关 键,要求熟练掌握相应的三角公式和三角函数的性质. 14.如果对定义在 R 上的函数 f(x) ,对任意两个不相等的实数 x1,x2,都有 x1f(x1)+x2f (x2)>x1f(x2)+x2f(x1) ,则称函数 f(x)为“H 函数”.给出下列函数: ①f(x)=x ②f(x)=e ③f(x)=sinx④f(x)= 所有序号为②④. 考点: 函数与方程的综合运用. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由题意 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)可化为(x1﹣x2) (f(x1)﹣f(x2) ) >0,从而可知函数 f(x)为增函数即可,从而判断. 解答: 解:∵x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1) , ∴(x1﹣x2) (f(x1)﹣f(x2) )>0, 故函数 f(x)为增函数即可, 2 ①f(x)=x 在 R 上先减后增,故不正确; x ②f(x)=e 在 R 上是增函数,故正确; ③f(x)=sinx 在 R 上不单调,故不正确; ④f(x)= 在 R 上是增函数,故正确.
2 x

.以上函数是“H 函数”的

故答案为:②④. 点评: 本题考查了学生对新定义的接受与转化能力,属于基础题. 二、解答题(本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 2 15.已知函数 f(x)=ln(x﹣1)的定义域为 A,函数 g(x)=x ﹣2x+a 的值域为 B. (1)求集合 A 和集合 B. (2)若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围. 考点: 交集及其运算;函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用;集合. 分析: (1)由对数的真数大于零求出集合 A,利用配方法、二次函数的性质求出集合 B; (2)由 A∩B=A 得 A?B,列出关于 a 的不等式,求出实数 a 的取值范围. 解答: 解: (1)由题意知 x﹣1>0,解得 x>1,则 A=[1,+∞)… 2 2 ∵g(x)=x ﹣2x+a=(x﹣1) +a﹣1,∴g(x)≥a﹣1, 则 g(x)的值域为[a﹣1,+∞) ,即 B=[a﹣1,+∞)…

(2)∵A∩B=A,∴A?B… ∴a﹣1≤1,解得 a≤2, 故实数 a 的取值范围是(﹣∞,2]… 点评: 本题考查交集及其运算,集合之间的关系,以及对数函数的性质,属于基础题.

16. (1)化简: (2)已知 sinα+cosα= ,求 sinαcosα 及 sin α+cos α 的值.
4 4

考点: 运用诱导公式化简求值;三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)运用诱导公式即可化简求值. (2)由
2 2 2 2

,平方可解得
2

,从而可求 sin α+cos α=

4

4

(sin α+cos α) ﹣2sin αcos α 的值. 解答: 解: (1) …

=

=1



(2)∵ 2 ∴(sinα+cosα) =1+2sinαcosα=2… ∴
4 4


2 2 2 2 2

又 sin α+cos α=(sin α+cos α) ﹣2sin αcos α… = …

点评: 本题主要考查了运用诱导公式化简求值, 同角的三角函数关系式的应用, 属于基础 题. 17.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,|φ|<π)在一个周期内的图象如图所示. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 f(x)在[﹣ , ]的最大值和最小值.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的最值. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)求出函数的振幅,周期,得到角频率,利用函数经过的特殊点求出初相,即 可求出函数的解析式. (2)利用 x 的范围求出相位的范围,通过三角函数的值域求解函数的值域即可. 解答: 解: (1)由图可知 A=2,… ,∴T=π. ∴ …

∴f(x)=2sin(2x+φ) . 又因为函数图象过点 ∴ ∴ ∴ 又∵|π|<π∴ (2)令 ∴ ∵ ,… ∴ ∴ … .… ,… , , ,

∴f(x)的值域为[﹣2,1].… 点评: 本题考查函数的解析式的求法,三角函数的值域的求法,考查计算能力. 18. (16 分) 如图: A、 B 两城相距 100km, 某天燃气公司计划在两地之间建一天燃气站 D 给 A、B 两城供气.已知 D 地距 A 城 x km,为保证城市安全,天燃气站距两城市的距离均不 得少于 10km.已知建设费用 y (万元)与 A、B 两地的供气距离(km)的平方和成正比, 当天燃气站 D 距 A 城的距离为 40km 时,建设费用为 1300 万元. (供气距离指天燃气站距 到城市的距离) (1)把建设费用 y(万元)表示成供气距离 x (km)的函数,并求定义域; (2)天燃气供气站建在距 A 城多远,才能使建设供气费用最小.最小费用是多少?

考点: 函数模型的选择与应用;二次函数的性质. 专题: 应用题. 分析: (1)根据建设费用 y (万元)与 A、B 两地的供气距离(km)的平方和成正比, 2 2 假设函数 y=k[x +(100﹣x) ],利用当天燃气站 D 距 A 城的距离为 40km 时,建设费用为 1300 万元,确定比例系数,根据天燃气站距两城市的距离均不得少于 10km,确定函数的定 义域;

(2)利用配方法,结合函数的定义域,可求建设供气费用最小. 解答: 解: (1)设比例系数为 k,则 y=k[x +(100﹣x) ](10≤x≤90) .… (不写定义域扣 1 分) 又 x=40,y=1300,所以 1300=k(40 +60 ) ,即 所以 (2)由于
2 2 2 2

,… (10≤x≤90) .… ,…

所以当 x=50 时,y 有最小值为 1250 万元.… 所以当供气站建在距 A 城 50km,电费用最小值 1250 万元.… 点评: 本题考查的重点是建立函数的模型, 考查配方法求函数的最值, 应注意函数的定义 域,属于基础题.

19. (16 分)已知函数 f(x)=

,其中 a 为常数,且函数 f(x)是奇函数.

(1)求 a 的值; (2)判断函数 f(x)在区间(0,+∞)的单调性,并给予证明; (3)求函数 f(x)的值域. 考点: 奇偶性与单调性的综合;函数的值域;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)通过奇函数的定义,比较系数,即可求 a 的值; (2)直接判断函数 f(x)在区间(0,+∞)的单调性,利用函数的单调性的定义证明; (3)利用反函数的定义域,求解函数 f(x)的值域. 解答: 解: (1)函数 f(x)是奇函数,所以对任意实数 x(x≠0) , 都有 f(﹣x)=﹣f(x) ,即 整理得(a+1) (2 ﹣1)=0, x 因为 2 ﹣1 不恒为零,所以 a+1=0,a=﹣1.… (2)函数 (0,+∞)是增函数,证明如下:
x



在区间(0,+∞)上任取 x1>x2>0,则 所以 立.… (3)设 ,整理得 ,由 2 >0,
x



,结论成



解得﹣1<y<1,故函数的值域为(﹣1,1) . …(16 分) 点评: 本题考查函数的奇偶性与单调性的应用, 反函数的应用, 考查分析问题解决问题的 能力. 20. (16 分)已知二次函数 f(x)=ax ﹣bx+1(a,b 为常数) . (1)若 a=1,且函数 f(x)在区间(﹣3,4)上不是单调函数,求实数 b 的取值范围; (2)若 b=a+2,a∈Z,当函数 f(x)在 x∈(﹣2,﹣1)上恰有一个零点,求 a 的值; (3)设函数 g(x)=2 实数 a,b 满足的条件. 考点: 函数恒成立问题;二次函数的性质;函数的零点. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)把 a=1 代入函数解析式,求出对称轴方程,由 f(x)在区间(﹣3,4)上 不是单调函数,得到﹣3 ,由此解得 b 的范围;
2 2

,若对任意的实数 x0,都有 f(x0)∈{y|y=g(x)}成立,求

(Ⅱ)把 b=a+2 代入函数解析式,得到 f(x)=ax ﹣(a+2)x+1,分 f(x)有相异实根, 且只有一根在(﹣2,﹣1)上;f(x)有两相等实根,且根在(﹣2,﹣1)上两种情况求得 a 的值; (Ⅲ)配方求得 x ﹣2x 的范围,进一步得到 g(x)的值域为[ ,+∞) .设 f(x)的值域为 B,由题意知,B?[ ,+∞) ,转化为 f(x)在 R 上有最小值大于等于 列不等式组得答案. 解答: (Ⅰ)当 a=1 时,函数 f(x)=x ﹣bx+1 的对称轴为 若 f(x)在区间(﹣3,4)上不是单调函数, 则﹣3 ,解得﹣6<b<8.
2 2



∴实数 b 的取值范围是(﹣6,8) ; 2 (Ⅱ)∵b=a+2,∴f(x)=ax ﹣(a+2)x+1. ①f(x)有相异实根,且只有一根在(﹣2,﹣1)上, 故 f(﹣2)?f(﹣1)<0,即(6a+5) (2a+3)<0, ∴ ,

又∵a∈Z,∴a=﹣1. ②f(x)有两相等实根,且根在(﹣2,﹣1)上,



,此不等式组无解.

综上所述,a=﹣1; 2 2 (Ⅲ)∵x ﹣2x=(x﹣1) ﹣1≥﹣1, ∴ ,

∴g(x)的值域为[ ,+∞) . 设 f(x)的值域为 B,由题意知,B?[ ,+∞) . 即 f(x)在 R 上有最小值,且 ,



,即 b ≤2a(a>0) .
2

2

∴实数 a,b 满足的条件是 b ≤2a(a>0) . 点评: 本题考查了函数恒成立问题,考查了二次函数的性质,考查了数学转化思想方法, 是中档题.


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