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山东省枣庄市滕州市2015-2016学年高二下学期期末数学试卷(理科)含解析


2015-2016 学年山东省枣庄市滕州市高二 (下) 期末数学试卷 (理 科)
一.选择题:每小题 5 分,共 60 分 1.已知 i 为虚数单位,则( A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i 2.10×9×8×…×4 可表示为( A.A 3. A.1 B.A dx 的值为( C.C ) D.1﹣ ) )2=( )

) D.C

B.﹣1 C. ﹣1

4.已知 X~N(3,σ2) (σ>0) ,则 P(X≤3)的值为( A.0.5 B.0.4 C.0.3 D.0.2 5.曲线 y=cos2x 在点( ,0)处的切线的斜率为( )

A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 6.已知两个变量有比较好的线性相关关系,可以用回归直线来近似刻画它们之间的关系, 关于回归直线的方程,有下述结论: ①回归方程只适用于我们所研究的样本的总体; ②建立的回归方程一般都有时间性; ③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围. 其中正确结论的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 7.从 1~9 这 9 个正整数中任取 2 个不同的数,事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数”,事 件 B 为“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( ) A. B. C. D.

8.如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4) , (2,0) , (4,4) ,则 =( )

A.﹣

B.

C.﹣2 D.2 ≥ (n∈N*) ,从“n=k(k∈N*)”到“n=k+1”时,左边

9.用数学归纳法证明 + + +…+ 需增加的代数式为( A. C. + B. +…+ D. )

+

+… +

10.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数 f′(x) ,且函数 f(x)在 x=﹣2 处取得极小值, 则函数 y=xf′(x)的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

11.在 6 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 3 张无奖,将 6 张奖券分配给 3 个人,每 人 2 张,则不同的获奖情况有( ) A.30 种B.24 种 C.15 种 D.12 种 12.已知函数 f(x)满足:对任意的 x>0,都有 f(x)+ xf′(x)>0.则( A. <f(2) B. >f(2) C. <f(4) D. ) >f(4)

二.填空题:每小题 5 分,共 25 分 13. 某汽车厂为某种型号汽车的外壳设计了 4 种不同的式样和 2 种不同的颜色, 那么该型号 汽车共有 种不同的外壳. (用数字作答) 14.已知 i 为虚数单位,实数 a 与纯虚数 z 满足(2﹣i)z=4﹣ai,则 a 的值为 . 15.已知 X~B(n,0.5) ,且 E(X)=16,则 D(X)= . 16.对(1+x)n=1+C
1 6

x+C x2+…+nC

x2+C

x3+…+C

xn 两边求导,可得 n(1+x)n﹣

=C

+2C

x+3C

xn﹣1.通过类比推理,有(3x﹣2)

=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,可得 a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6= . 17.已知 f′(x)是定义在 R 上的函数 f(x)的导函数,f(0)=1,且 f′(x)﹣2f(x)=0, 则 f(ln(x2﹣x) )<4 的解集为 . 三.解答题:共 5 小题,共 65 分

18.为了解“网络游戏对当代青少年的影响”做了一次调查,共调查了 26 名男同学、24 名女 孩同学.调查的男生中有 8 人不喜欢玩电脑游戏,其余男生喜欢玩电脑游戏;而调查的女生 中有 9 人喜欢玩电脑游戏,其余女生不喜欢电脑游戏. (1)根据以上数据填写如下 2×2 的列联表: 性别 男生 女生 合计 对游戏态度 喜欢玩电脑游戏 不喜欢玩电脑游戏 合计 (2)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“喜欢玩电脑游戏与性 别关系”? 参考公式: K2= P(K2≥k0) k0 19.已知(2 + 0.05 0.025 0.010

3.841

5.024

6.635

)n(n∈N*)的展开式中,所有偶数项的二项式系数的和是 128.

(1)求 n 的值; (2)求展开式中的有理项. 20.已知 α,β≠kπ+ (k∈Z) ,且 sinθ+cosθ=2sinα,sinθ?cosθ=sin2β.

试用分析法证明:

=



21.甲、乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如表信息: 甲单位不同职位月工资 X1/ 1200 1400 1600 1800 元 0.4 0.3 0.2 0.1 获得相应职位的概率 P1 乙单位不同职位月工资 X2/ 1000 1400 1800 2200 元 0.4 0.3 0.2 0.1 获得相应职位的概率 P2 (1)计算随机变量 X1、X2 的期望与方差; (2)结合(1)的计算结果,你愿意选择哪家单位,并说明理由? 22.已知函数 f(x)= +alnx﹣1,a∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若对任意的 x>0,f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围;

(3)若 a=1,定义函数 g(x)=[f(x)﹣ ]?ex+x(其中 e 为自然对数的底数) ,问曲线 y=g (x)上是否在不同的两点 M,N,使得直线 MN 的斜率等于 1?若存在,求出符合条件的 一条直线 MN 的方程;若不存在,请说明理由.

2015-2016 学年山东省枣庄市滕州市高二(下)期末数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:每小题 5 分,共 60 分 1.已知 i 为虚数单位,则( A.1 B.﹣1 C.i D.﹣i )2=( )

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 【解答】解:∵ = = =i,

∴(

)2=i2=﹣1.

故选:B. 2.10×9×8×…×4 可表示为( A.A B.A C.C ) D.C

【考点】排列及排列数公式. 【分析】把给出的式子变形,然后结合排列数公式得答案. 【解答】解:10×9×8×…×4= 故选:B. = = ,

3. A.1

dx 的值为(

) D.1﹣

B.﹣1 C. ﹣1

【考点】定积分. 【分析】找出被积函数的原函数,代入积分上限和下限计算. 【解答】解: 故选 A. 4.已知 X~N(3,σ2) (σ>0) ,则 P(X≤3)的值为( A.0.5 B.0.4 C.0.3 D.0.2 ) dx=lnx| =lne﹣ln1=1;

【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 【分析】X~N(3,σ2) (σ>0) ,得到曲线关于 x=3 对称,根据曲线的对称性得到结果. 2 【解答】解:∵X~N(3,σ ) (σ>0) ,∴曲线关于 x=3 对称,

∴P(X≤3)=0.5, 故选:A.

5.曲线 y=cos2x 在点( A.1 B.﹣1 C.2

,0)处的切线的斜率为( D.﹣2



【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求得函数的导数,由导数的几何意义:函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切 线的斜率,代入由特殊角的三角函数值,即可得到. 【解答】解:y=cos2x 的导数为 y′=﹣2sin2x, 由导数的几何意义,可得 曲线 y=cos2x 在点( k=﹣2sin(2× 故选:D. 6.已知两个变量有比较好的线性相关关系,可以用回归直线来近似刻画它们之间的关系, 关于回归直线的方程,有下述结论: ①回归方程只适用于我们所研究的样本的总体; ②建立的回归方程一般都有时间性; ③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围. 其中正确结论的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【考点】回归分析. 【分析】根据回归方程的意义,对题目中的命题进行分析、判断即可. 【解答】解:对于①,回归方程只适用于我们所研究的样本的总体,不适用于一切样本和 总体,命题正确; 对于②,回归方程一般都有时间性,例如不能用 20 世纪 80 年代的身高、体重数据所建立 的回归方程, 描述现在的身高和体重的关系,命题正确; 对于③,样本取值的范围会影响回归方程的适用范围;例如回归方程是由大人身高、体重 数据所建立的, 不能用它来描述幼儿时期的身高与体重的关系,命题正确; 综上,正确命题的个数为 3. 故选:D. 7.从 1~9 这 9 个正整数中任取 2 个不同的数,事件 A 为“取到的 2 个数之和为偶数”,事 件 B 为“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)=( ) A. B. C. D. ,0)处的切线的斜率为 =﹣2.

)=﹣2sin

【考点】条件概率与独立事件. 【分析】利用互斥事件的概率及古典概型概率计算公式求出事件 A 的概率,同样利用古典 概型概率计算公式求出事件 AB 的概率,然后直接利用条件概率公式求解.

【解答】解:P(A)=

=

,P(AB)=

=



由条件概率公式得 P(B|A)= 故选:C.

= .

8.如图,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4) , (2,0) , (4,4) ,则 =( )

A.﹣

B.

C.﹣2 D.2

【考点】极限及其运算. f x) 【分析】 根据函数图象及点的坐标求得函数 ( 的解析式, 根据 (1) ,即可求得答案. 【解答】解:由函数图象可知: 当 0≤x<2 时,设直线方程为:y=kx+b, 直线斜率 k= =﹣2, =f′

当 x=0,y=4, ∴b=4, 直线方程为:y=﹣2x+4, 当 2<x≤4 时,设直线方程为:y=kx+b, 直线斜率 k= 当 x=2,y=0, ∴b=﹣4, ∴函数 f(x)的解析式:f(x)= , =﹣2,

=f′(1)=﹣2, 故答案选:C.

9.用数学归纳法证明 + + +…+ 需增加的代数式为( A. C. + B. +…+ D. )

≥ (n∈N*) ,从“n=k(k∈N*)”到“n=k+1”时,左边

+

+… +

【考点】数学归纳法. 【分析】求出当 n=k 时,左边的代数式,当 n=k+1 时,左边的代数式,相减可得结果. 【解答】解:当 n=k 时,左边的代数式为 + + +…+ 当 n=k+1 时,左边的代数式为 + + +…+ + + +… + + , +…+ ,

故用 n=k+1 时左边的代数式减去 n=k 时左边的代数式的结果为 故选:C.

10.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数 f′(x) ,且函数 f(x)在 x=﹣2 处取得极小值, 则函数 y=xf′(x)的图象可能是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】利用导数研究函数的极值;函数的图象. 【分析】由题设条件知:当 x>﹣2 时,xf′(x)<0;当 x=﹣2 时,xf′(x)=0;当 x<﹣2 时,xf′(x)>0.由此观察四个选项能够得到正确结果. 【解答】解:∵函数 f(x)在 R 上可导,其导函数 f′(x) , 且函数 f(x)在 x=﹣2 处取得极小值, ∴当 x>﹣2 时,f′(x)>0; 当 x=﹣2 时,f′(x)=0; 当 x<﹣2 时,f′(x)<0. ∴当 x>﹣2 时,xf′(x)<0; 当 x=﹣2 时,xf′(x)=0; 当 x<﹣2 时,xf′(x)>0. 故选 A. 11.在 6 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 3 张无奖,将 6 张奖券分配给 3 个人,每 人 2 张,则不同的获奖情况有( )

A.30 种B.24 种 C.15 种 D.12 种 【考点】计数原理的应用. 【分析】分类讨论,一、二、三等奖,三个人获得;一、二、三等奖,有 1 人获得 2 张,1 人获得 1 张. 【解答】解:分类讨论,一、二、三等奖,三个人获得,共有 A33=6 种, 一,二、三等奖,有 1 人获得 2 张,1 人获得 1 张,共有 C32A32=18 种, 共有 6+18=24 种. 故选:B

12.已知函数 f(x)满足:对任意的 x>0,都有 f(x)+ xf′(x)>0.则( A. <f(2) B. >f(2) C. <f(4) D.

) >f(4)

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】构造函数 g(x)=x2f(x) , (x>0) ,得到 g(x)的单调性,求出 g(1)<g(2) , 从而求出答案. 【解答】解:∵f(x)+ xf′(x)>0, ∴2f(x)+xf′(x)>0, 令 g(x)=x2f(x) , (x>0) , ∴g′(x)=x[2f(x)+xf′(x)]>0, ∴g(x)在(0,+∞)递增, ∴g(1)<g(2) , 故选:A. 二.填空题:每小题 5 分,共 25 分 13. 某汽车厂为某种型号汽车的外壳设计了 4 种不同的式样和 2 种不同的颜色, 那么该型号 汽车共有 8 种不同的外壳. (用数字作答) 【考点】排列、组合及简单计数问题. 【分析】分两步,第一步选样式有 4 种,第二步选颜色有 2 种,根据分步计数原理可得. 【解答】解:分两步,第一步选样式有 4 种,第二步选颜色有 2 种,根据分步计数原理可得 共有 4×2=8 种, 故答案为:8. 14.已知 i 为虚数单位,实数 a 与纯虚数 z 满足(2﹣i)z=4﹣ai,则 a 的值为 ﹣8 . 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】设纯虚数 z=bi(b∈R) ,利用复数的运算法则与复数相等即可得出. 【解答】解:设纯虚数 z=bi(b∈R) . a z 2 i z=4 ∵实数 与纯虚数 满足( ﹣ ) ﹣ai, 则 2bi+b=4﹣ai, ∴ ,解得 a=﹣8. < ,即 <f(2) ,

故答案为:﹣8.

15.已知 X~B(n,0.5) ,且 E(X)=16,则 D(X)= 8 . 【考点】二项分布与 n 次独立重复试验的模型. 【分析】根据题意,利用 E(X)求出 n 的值,再计算方差 D(X)的值. 【解答】解:X~B(n,0.5) , ∴E(X)=0.5n=16, 解得 n=32, ∴D(X)=np(1﹣p)=32×0.5×0.5=8. 故答案为:8. 16.对(1+x)n=1+C
1 6

x+C x2+…+nC

x2+C

x3+…+C

xn 两边求导,可得 n(1+x)n﹣

=C

+2C

x+3C

xn﹣1.通过类比推理,有(3x﹣2)

=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,可得 a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6= 18 . 【考点】类比推理. 【分析】根据题意进行类比推理,即可得出答案. 【解答】解:由题意可得, (3x﹣2)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6, 对等式两边进行求导,可得, 18(3x﹣2)5=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+6a6x5, 取 x=1,则 18=a1+2a2+3a3+4a4+5a5+6a6, 故答案为:18. 17.已知 f′(x)是定义在 R 上的函数 f(x)的导函数,f(0)=1,且 f′(x)﹣2f(x)=0, 则 f(ln(x2﹣x) )<4 的解集为 (﹣1,0)∪(1,2) . 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】根据题意,不妨设 f(x)=e2x,x∈R,则 f(x)在 R 上是单调增函数,把不等式 f (ln(x2﹣x) )<4 化为 ln(x2﹣x)<ln2,从而求出不等式的解集. 【解答】解:根据题意,不妨设 f(x)=e2x,x∈R, 则 f′(x)=2e2x,满足 f(0)=e0=1,且 f′(x)﹣2f(x)=0; 所以 f(x)在 R 上是单调增函数; 又 4=eln4=e2ln2=f(ln2) , 2 所以不等式 f(ln(x ﹣x) )<4 等价于 ln(x2﹣x)<ln2, 即 ,

解得



即﹣1<x<0 或 1<x<2; 所以该不等式的解集为(﹣1,0)∪(1,2) . 故答案为: (﹣1,0)∪(1,2) . 三.解答题:共 5 小题,共 65 分

18.为了解“网络游戏对当代青少年的影响”做了一次调查,共调查了 26 名男同学、24 名女 孩同学.调查的男生中有 8 人不喜欢玩电脑游戏,其余男生喜欢玩电脑游戏;而调查的女生 中有 9 人喜欢玩电脑游戏,其余女生不喜欢电脑游戏. (1)根据以上数据填写如下 2×2 的列联表: 性别 男生 女生 合计 对游戏态度 18 9 27 喜欢玩电脑游戏 8 15 23 不喜欢玩电脑游戏 26 24 50 合计 (2)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为“喜欢玩电脑游戏与性 别关系”? 参考公式: K2= 0.05 0.025 0.010

P(K2≥k0) k0 3.841 5.024 6.635 【考点】独立性检验的应用. 【分析】 (1)根据所给的数据,画出列联表; (2)根据列联表中的数据,代入求观测值的公式,求出观测值,把观测值同临界值进行比 较, 看到在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下, 可以认为“喜欢玩电脑游戏与性别有关系”. 1 2 2 【解答】解: ( ) × 列联表 性别 男生 女生 总计 游戏态度 18 9 27 喜欢玩电脑游戏 8 15 23 不喜欢玩电脑游戏 26 24 50 总计 (2)K2= ≈5.06,

又 P(K2≥0.025)=5.024<5.06, 故在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下,可以认为“喜欢玩电脑游戏与性别有关系”.

19.已知(2

+

)n(n∈N*)的展开式中,所有偶数项的二项式系数的和是 128.

(1)求 n 的值; (2)求展开式中的有理项. 【考点】二项式系数的性质. 【分析】 (1)由题意可得:2n﹣1=128,解出即可得出. (2)由 为有理项. ,可得通项公式 Tr+1= 28﹣r? ,可得:r=0,4,8 时,Tr+1

【解答】解: (1)∵(2 是 128. ∴2n﹣1=128, 解得 n=8. (2)由

+

)n(n∈N*)的展开式中,所有偶数项的二项式系数的和

,可得通项公式 Tr+1=

=

28﹣r?



可得:r=0,4,8 时,Tr+1 为有理项. 分别为:28x4, , .

20.已知 α,β≠kπ+

(k∈Z) ,且 sinθ+cosθ=2sinα,sinθ?cosθ=sin2β.

试用分析法证明:

=



【考点】三角函数恒等式的证明. 【分析】先左减右并把正切用正弦以及余弦表示出来,整理得到 1﹣2sin2α﹣ ;再结合 sinθ+cosθ=2sinα 以及 sinθ?cosθ=sin2β 消去 θ 即可得到结论.

【解答】证明:左减右得:

=



=cos2α﹣sin2α﹣

=1﹣2sin2α﹣

.①

∵sinθ+cosθ=2sinα ② sinθ?cosθ=sin2β ③ ∴②2=1+2×③得:4sin2α=1+2sin2β,代入①得:①式等 0. 即左边等于右边. 故结论得证. 21.甲、乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如表信息:

甲单位不同职位月工资 X1/ 元 获得相应职位的概率 P1

1200 0.4

1400 0.3

1600 0.2

1800 0.1

乙单位不同职位月工资 X2/ 1000 1400 1800 2200 元 0.4 0.3 0.2 0.1 获得相应职位的概率 P2 (1)计算随机变量 X1、X2 的期望与方差; (2)结合(1)的计算结果,你愿意选择哪家单位,并说明理由? 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1)利用随机变量分布列,能求出随机变量 X1、X2 的期望与方差. 2 ( )由 E(X1)=E(X2) ,D(X1)<D(X2) ,得两家单位不同职位月工资平均数相等, 但乙单位不同职位间工资差异较大,由此能出结果. 【解答】解: (1)随机变量 X1 的期望 E(X1)=1200×0.4+1400×0.3+1600×0.2+1800× 0.1=1400, 随机变量 X1 的方差 D(X1)=2×0.4+2×0.3+2×0.2+2×0.1=25600. 随机变量 X2 的期望 E(X2)=1000×0.4+1400×0.3+1800×0.2+2200×0.1=1400, 随机变量 X2 的方差 D(X2)=2×0.4+2×0.3+2×0.2+2×0.1=160000. (2)∵E(X1)=E(X2) ,D(X1)<D(X2) , ∴两家单位不同职位月工资平均数相等,但乙单位不同职位间工资差异较大, ∴如果为了追求稳定,选甲单位;为了追求高工资,选乙单位.

22.已知函数 f(x)= +alnx﹣1,a∈R. (1)讨论函数 f(x)的单调性; (2)若对任意的 x>0,f(x)≥0 恒成立,求 a 的取值范围; (3)若 a=1,定义函数 g(x)=[f(x)﹣ ]?ex+x(其中 e 为自然对数的底数) ,问曲线 y=g (x)上是否在不同的两点 M,N,使得直线 MN 的斜率等于 1?若存在,求出符合条件的 一条直线 MN 的方程;若不存在,请说明理由. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (1)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间即可; (2)求出 f(x)min=f( )=a﹣alna﹣1,问题转化为 a﹣alna﹣1≥0 恒成立即可,令 g(a) =a﹣alna﹣1, (a>0) ,根据函数的单调性求出 a 的范围即可; (3)求出 g(x)的导数,得到 g′(x)≥1,从而判断结论即可. 【解答】解: (1)f(x)= +alnx﹣1 的定义域是(0,+∞) ,

f′(x)=



a≤0 时,f′(x)<0,f(x)递减, a>0 时,令 f′(x)>0,解得:x> ,

令 f′(x)<0,解得:0<x< , ∴f(x)在(0, )递减,在( ,+∞)递增; (2)由(1)得,a≤0 时,f(x)递减,不合题意, a>0 时,f(x)在(0, )递减,在( ,+∞)递增, ∴f(x)min=f( )=a﹣alna﹣1, 若对任意的 x>0,f(x)≥0 恒成立 只需 a﹣alna﹣1≥0 恒成立即可, 令 g(a)=a﹣alna﹣1, (a>0) , g′(a)=﹣lna, 令 g′(a)>0,解得:0<a<1, 令 g′(a)<0,解得:a>1, ∴g(a)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减, ∴g(a)max=g(1)=0, 故 a=1 时,f(x)≥0 恒成立, 故 a∈{1}; (3)∵a=1 时,g(x)=[f(x)﹣ ]?ex+x, ∴g(x)=(lnx﹣1)ex+x,x∈(0,+∞) , ∴g′(x)=(lnx﹣1)′ex+(lnx﹣1) (ex)′+1=( +lnx﹣1)ex+1, 由(2)易知,f(x)min=f(1)=0, ∴g′(x)≥1, 故曲线 y=g(x)上不存在不同的两点 M,N,使得直线 MN 的斜率等于 1.

2016 年 8 月 29 日


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