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2019年高中数学必修四《三角函数》单元测试卷及答案

2019 年高中数学必修四《三角函数》单元测试卷
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1、已知 cosθ=cos2019°,则 θ 等于( ) A. 2019° B. k·360°+2019°(k∈Z) C. k·360°±219°(k∈Z) D. k·360°+219°(k∈Z) 2、下列说法中正确的是( A.第一象限角都是锐角 B.三角形的内角必是第一、二象限的角 C.不相等的角终边一定不相同 D. {? | ? ? k ? 360? ? 90?, k ? Z} ? {? | ? ? k ? 180? ? 90?, k ? Z}
3 、函数 f ( x ) ? cos(2 x ? ( )

)

?
3

) 的图象可由函数 g ( x) ? sin( 2 x ?

?
3

) 的图象如何变换得到

? 个单位长度得到 2 ? C.向左平移 个单位长度得到 4
A.向左平移

? 个单位长度得到 2 ? D.向右平移 个单位长度得到 4
B.向右平移

4、若 cos? ? 0, 且 sin 2? ? 0, 则角? 的终边所在象限是( A.第一象限

)

B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 sin ? cos ? 1 5、已知 tan ? ? ? ,则 2 的值是( ) 2 sin ? ? cos 2 ? 4 4 A. ? B.3 C. D. ? 3 3 3 ? 6、若函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位得到 y ? f ( x) 的图象,则( 4 A. f ( x) ? cos 2 x C. f ( x) ? ? cos2 x B. f ( x) ? sin 2 x D. f ( x) ? ? sin 2 x

)

7 、若 sin(180? ? ? ) ? cos(90? ? ? ) ? ?a ,则 cos(270? ? ? ) ? 2 sin(360? ? ? ) 的值是 ( )

2019 年高中数学必修四《三角函数》单元测试卷

第 1 页 共 12 页

2a 3a 2a 3a B. ? C. D. 3 2 3 2 8、圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角弧度数为

A. ?





A.

? 3

B.

2? 3

C.

3
)

D. 2

9、若 f (sin x) ? 3 ? cos2 x ,则 f (cosx) 等于( A. 3 ? cos 2 x B. 3 ? sin 2 x

C. 3 ? cos 2 x

D. 3 ? sin 2 x
? ? ,则 ? ? ? 的值 ?

? ? 3? 10、已知 tan? , tan? 是方程 x2 ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,且 ? , ? ? ? , ?2 2
为( A. )

4? 3

B.

7? 3

C.

4? 7? 或 3 3

D.

5? 7? 或 3 3


11、已知 sin ? cos ? ?
A.

1 ? ,且 ? ? (0, ) ,则 sin ? +cos ? 的值为( 2 8
B. -

5 2

5 2


C.

?

5 2

D.

3 2

12.函数 f(x)=

1 ? cos 2 x cos x



?? ?? ? ? 3? ? ? 3? ? A.在 ? ? 、 ? , ? ? 上递增,在 ?? , ? 、 ? , 2? ? 上递减 ?0, 2 2 ?2 ? ? ? ? 2? ? ?

? ? ? 3? ? ?? ? ? 3? ? B.在 ? 2? ? 上递减 ?0, ? 、 ? ?, ? 上递增,在 ? , ? ? 、 ? ,
? 2? ? 2 ? ?2 ? ? 2 ? ? ? C.在 ? ?? 、? ? , ?2 ? ?

?

3? ? ? 3? ? ? ?? , 2? ? 上递增,在 ?0, ? 、 ? ?, ? 上递减 2 ? ? 2 ? ? ? 2?

D.在 ? ?? ,

3? ? ? 3? ? ?? ? ? ?? ? 、 ? , 2? ? 上递增,在 ?0, ? 、 ? , ? ? 上递减 2 ? ? 2 ? ?2 ? ? 2?

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 已知 ? , ? 为锐角,且 cos ? =

? ? 2 , ? ? ( , ? ) ,则 sin(? ? ) ? _______. 2 3 2 1 ? ? 15.将函数 f ( x) ? 2 sin( x ? ) 的图象向左平移 个单位得到函数 g ( x) 的图象, 2 2 4
14.已知 sin ? ? 则 g ( x) 的解析式为_________.
2 4 16. 已知 θ 是第二象限角,则 sin ? ? sin ? 可化简为

1 7

cos (? ? ? ) = ?

11 , 则 cos ? =_________ 14


第 2 页 共 12 页

2019 年高中数学必修四《三角函数》单元测试卷

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17、 (本小题满分 10 分) (1) 已知 tan ? ? ?3 , 且 ? 是第二象限的角,求 sin ? 和 cos ? ;

(2)已知 sin ? ? cos ? ? ?

5 , ? 5

?

2? , 求 tan ? 的值。

18、 (本小题满分 12 分)已知角 ? 的终边过点 P( x, ?1)( x ? 0) ,且 cos ? ?

5 x. 5

? 3? ? sin ?? ? ? ? ? 2 sin ? ?? ? ? 2 ? 的值; (1)求 ?? ? 3 sin ? ? ? ? ? 2 sin ?? ? ? ? ?2 ?
(2)求

1 ? cos 2? 2 cos(? ? ) ? sin( ? ? ?) 4

?

的值.

2019 年高中数学必修四《三角函数》单元测试卷

第 3 页 共 12 页

19、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin( x ? (1)求函数 f ( x) 的单调增区间;

?

)sin( x ? ) ? sin . 2 3 3

?

?

(2)若锐角 ?ABC 的三个角 A, B, C 满足 f ( ) ? 1 ,求 f ( A) 的取值范围.

B 2

20. 已知 tan ? ? 3 ,计算

4 sin ? ? 2 cos ? 的值。 5 cos ? ? 3 sin ?

2019 年高中数学必修四《三角函数》单元测试卷

第 4 页 共 12 页

21. 已知函数 f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? 1 . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期、最小值和最大值; (2)画出函数 y ? f ( x) 区间 [0, ? ] 内的图象.

2019 年高中数学必修四《三角函数》单元测试卷

第 5 页 共 12 页

22. 已知函数 f ( x) ? Asin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? , x ? R) 在一个周期内的图 象如图,求直线 y ? 3 与函数 f ( x) 图象的所有交点的坐标.

2019 年高中数学必修四《三角函数》单元测试卷

第 6 页 共 12 页

2019 年高中数学必修四《三角函数》单元测试卷参考答案
考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分 第Ⅰ卷(共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

1、已知 cosθ=cos2019°,则 θ 等于( C ) A. 2019° B. k·360°+2019°(k∈Z) C. k·360°±219°(k∈Z) D. k·360°+219°(k∈Z) 2、下列说法中正确的是( D A.第一象限角都是锐角 B.三角形的内角必是第一、二象限的角 C.不相等的角终边一定不相同 D. {? | ? ? k ? 360? ? 90?, k ? Z} ? {? | ? ? k ? 180? ? 90?, k ? Z}
3、 函数 f ( x ) ? cos( 2 x ? A.向左平移

)

?
3

) 的图象可由函数 g ( x) ? sin( 2 x ?

? 个单位长度得到 2 ? C.向左平移 个单位长度得到 4

) 的图象如何变换得到 ( C ) 3 ? B.向右平移 个单位长度得到 2 ? D.向右平移 个单位长度得到 4

?

4、若 cos? ? 0, 且 sin 2? ? 0, 则角? 的终边所在象限是( D A.第一象限

)

B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 sin ? cos ? 1 5、已知 tan ? ? ? ,则 2 的值是( A ) 2 sin ? ? cos 2 ? 4 4 A. ? B.3 C. D. ? 3 3 3 ? 6、若函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 个单位得到 y ? f ( x) 的图象,则( C ) 4 A. f ( x) ? cos 2 x C. f ( x) ? ? cos2 x B. f ( x) ? sin 2 x D. f ( x) ? ? sin 2 x

7 、若 sin(180? ? ? ) ? cos(90? ? ? ) ? ?a ,则 cos(270? ? ? ) ? 2 sin(360? ? ? ) 的值是 ( C) A. ?
2a 3 3a 2 2a 3 3a 2
第 7 页 共 12 页

B. ?

C.

D.

2019 年高中数学必修四《三角函数》单元测试卷

8、圆弧长度等于圆内接正三角形的边长,则其圆心角弧度数为 A.

( B )

? 3

B.

2? 3

C.

3
)

D. 2

9、若 f (sin x) ? 3 ? cos2 x ,则 f (cosx) 等于( D A. 3 ? cos 2 x B. 3 ? sin 2 x C. 3 ? cos 2 x

D. 3 ? sin 2 x
? ? ,则 ? ? ? 的值 ?

? ? 3? 10、已知 tan? , tan? 是方程 x2 ? 3 3x ? 4 ? 0 的两根,且 ? , ? ? ? , ?2 2
为( C ) A.

4? 3

B.

7? 3

C.

4? 7? 或 3 3

D.

5? 7? 或 3 3

11、已知 sin ? cos ? ?
A.

1 ? ,且 ? ? (0, ) ,则 sin ? +cos ? 的值为( A ) 2 8
B. -

5 2

5 2

C.

?

5 2

D.

3 2

12.函数 f(x)=
? 2?

1 ? cos 2 x cos x ?2 ?

( A )

?? ?? ? ? 3? ? ? 3? ? A.在 ? ? 、 ? , 2? ? 上递减 ?0, ? 、 ? , ? ? 上递增,在 ?? ,
? 2 ?
? ? 2 ?

? ? ? 3? ? ?? ? ? 3? ? B.在 ? 2? ? 上递减 ?0, ? 、 ? ?, ? 上递增,在 ? , ? ? 、 ? ,
? 2? ? 2 ? ?2 ? 2 ? ? ? C.在 ? ?? 、? ? , ?2 ? ?

?

3? ? ? 3? ? ? ?? , 2? ? 上递增,在 ?0, ? 、 ? ?, ? 上递减 2 ? ? 2 ? ? ? 2?

D.在 ? ?? ,

3? ? ? 3? ? ?? ? ? ?? ? 、 ? , 2? ? 上递增,在 ?0, ? 、 ? , ? ? 上递减 2 ? ? 2 ? ?2 ? ? 2?

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 已知 ? , ? 为锐角,且 cos ? =

? ? 2 , ? ? ( , ? ) ,则 sin(? ? ) ? _______. 2 3 2 1 ? ? 15.将函数 f ( x) ? 2 sin( x ? ) 的图象向左平移 个单位得到函数 g ( x) 的图象, 2 2 4
14.已知 sin ? ? 则 g ( x) 的解析式为_________.
2 4 16. 已知 θ 是第二象限角,则 sin ? ? sin ? 可化简为

1 7

cos (? ? ? ) = ?

11 , 则 cos ? =_________ 14



答案
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13. 16.

1 2

14.

3 2?2 3 6

15. ?

1 2

sin 2 ? ? sin 4 ? = sin 2 ? (1 ? sin 2 ? ) ? sin 2 ? cos 2 ? ? ? s in ? cos ?

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17、 (本小题满分 10 分) (1) 已知 tan ? ? ?3 , 且 ? 是第二象限的角,求 sin ? 和 cos ? ;

(2)已知 sin ? ? cos ? ? ?
sin ? ?

5 , ? 5

?

2? , 求 tan ? 的值。

解: (1)

3 10 10 , cos ? ? ? 10 10

(2) tan ? ? 2
5 x. 5

18、 (本小题满分 12 分)已知角 ? 的终边过点 P( x, ?1)( x ? 0) ,且 cos ? ?

? 3? ? sin ?? ? ? ? ? 2 sin ? ?? ? ? 2 ? 的值; (1)求 ? ? ? 3 sin ? ? ? ? ? 2 sin ?? ? ? ? ?2 ?
(2)求

1 ? cos 2? 2 cos(? ? ) ? sin( ? ? ?) 4

?

的值.

解:由条件知 cos ? ?

5 x ,解得 x ? ?2 ,故 P (?2, ?1) . x? 5 1 ? x2

故 sin ? ? ?

?1 1 5 tan ? ? ? 5 , ?2 2 -------------------------------------------------2 分

1 ?2 tan? ? 2 3 sin ? ? 2cos? 2 (1)原式= = ? ?? 3cos? ? 2sin ? 3 ? 2 tan? 3 ?1 8 ----------------------------------6 分
(2)原式 ?

2sin 2 ? 2( 2 2 cos ? ? sin ? ) ? sin ? 2 2

?

2sin 2 ? 5 ? 2sin ? tan ? ? ? .---------12 分 cos ? 5

19、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2sin( x ?
2019 年高中数学必修四《三角函数》单元测试卷

?

)sin( x ? ) ? sin . 2 3 3
第 9 页 共 12 页

?

?

(1)求函数 f ( x) 的单调增区间; (2)若锐角 ?ABC 的三个角 A, B, C 满足 f ( ) ? 1 ,求 f ( A) 的取值范围.

B 2

解: (1) f ( x) ? 2sin( x ?

?

)sin( x ? ) ? sin 2 3 3

?

?

1 3 3 ? 2cos x( sin x ? cos x) ? 2 2 2 3 ? sin x cos x ? 3 cos 2 x ? 2 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

? sin(2 x ? ) 3
令?

?

?
2

? 2k? ? 2x ?

?
3

?

?
2

? 2k? ? ?

5? ? ? k? ? x ? ? k? 12 12

所以函数 f ( x) 的单调增区间 x ?[?

5? ? ? k? , ? k? ] , k ? Z ----------------------6 分 12 12

(2)由(Ⅰ)可知 1 ? f ( ) ? sin( B ?

3 3 2 6 ? ? 0? A? ? ? ? ? 4? ? 2 于是:由锐角三角形 ?ABC 知 ? , ? ? A ? ? ? ? 2A ? ? 3 2 3 3 ?0 ? C ? ? ? A ? B ? ? ? 2 ? 3 ?
故?

B 2

?

) ,锐角 ?ABC 中: B ?

?

?

?

?B?

?

.

2

? sin(2 A ?

3

)?0?

所以 f ( A) 的取值范围是 ( ?

3 , 0) .-----------------------------------12 分 2

23. 已知 tan ? ? 3 ,计算

4 sin ? ? 2 cos ? 的值。 5 cos ? ? 3 sin ?

∴ cos ? ? 0 1 (4 sin ? ? 2 cos? ) ? cos? ∴原式= 1 (5 cos? ? 3 sin ? ) ? cos? 4 tan ? ? 2 = 5 ? 3 tan ? 4?3? 2 = 5 ? 3? 3 解、∵ tan ? ? 3

2019 年高中数学必修四《三角函数》单元测试卷

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5 7 24. 已知函数 f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? 1 . (1)求函数 f ( x) 的最小正周期、最小值和最大值; (2)画出函数 y ? f ( x) 区间 [0, ? ] 内的图象.

=

? 解: f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ? ) 4
(1)函数 f ( x) 的最小正周期、最小值和最大值分别是 ? , ? 2 , 2 ; (2)列表,图像如下图示

x
2x ?
f ( x)

0

? 8

3? 8

5? 8

? 4

?

?
4

0 0

? 2
2

?
0

-1

7? 8 3? 2 -

?
7? 4

2

-1

25. 已







f ( x) ?

2019 年高中数学必修四《三角函数》单元测试卷

第 11 页 共 12 页

Asin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? , x ? R) 在一个周期内的图象如图,求直线 y ?

3 与函数 f ( x) 图象的所有交点的坐标.

解:由图 象可知函数 f ( x) 的振幅 A=2,周期 T ? 因为 T ?
2? 1 , ? ? 0 ,所以 ? ? , 2 |? |

7? ? ? ( ? ) ? 4? . 2 2

1 所以 f ( x) ? 2 sin( x ? ? ) . 2 ? 1 ? 又 (? ) ? ? ? 2k? , k ? Z , 0 ? ? ? ? ,所以 ? ? . 4 2 2 1 ? 所以 f ( x) ? 2 sin( x ? ) . 2 4 1 ? 1 ? 3 由 2 sin( x ? ) ? 3 ,即 sin( x ? ) ? , 2 4 2 4 2 1 ? 2? 1 ? ? 得 x ? ? 2k? ? 或 x ? ? 2k? ? ,k ?Z . 2 4 3 2 4 3 5? ? 所以 x ? 4k? ? 或 x ? 4k? ? ,k ?Z . 6 6 5? ? , 3 ) ,其中 k ? Z 所以所求交点的坐标为 ( 4k? ? , 3 ) 或 (4k? ? 6 6

2019 年高中数学必修四《三角函数》单元测试卷

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