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【数学】1.3.2《函数的极大值与极小值》课件(苏教版选修2-2) (2)


一、知识回顾:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可 导,则函数在该区间 如果f′(x)>0, 则f(x)为增函数; 如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.

一、知识回顾:
根据导数确定函数的单调性的步骤: 1.确定函数f(x)的定义域. 2.求出函数的导数. 3.解不等式f ′(x)>0,得函数单增区间; 解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.

一、知识回顾:
注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,

则f(x)为常数函数.

当x=x0时, f′(x0)=0,且当x<x0与x>x0时 f′(x0)异号,则函数在该点单调性发生改变.

函数的极大值与极小值

二、构建数学

三、新课讲授
(一)、函数极值的定义
一般地,设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义,
如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大,我 们就说f(x0)是函数的一个极大值,记作y极大值=f(x0), x0是极大值点。 如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小,

我们就说f(x0)是函数的一个极小值。记作y极小值
=f(x0),x0是极小值点。

极大值与极小值统称为极值.





1 、在定义中,取得极值的点称为极值

点,极值点是自变量 (x) 的值,极值指
的是函数值(y)。
2、极值是一个局部概念,极值只是某个点 的函数值与它附近点的函数值比较是最大

或最小,并不意味着它在函数的整个的定义
域内最大或最小。

3、函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 4、极大值与极小值之间无确定的大小关系即一 个函数的极大值未必大于极小值,如下图所示, x1 是极大值点,x4是极小值点,而 f ( x4 ) ? f ( x1 )

(二)、极值与导数的关系 极大值与导数之间的关系
X X1左侧 X1 X1右侧

f ?( x)

f ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0
增 极大植f(x1) 减

f ( x)
X

极小值与导数之间的关系
X2左侧 X2 X2右侧

f ?( x)

f ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0 f ?( x) ? 0
减 极小植f(x2) 增

f ( x)

(三)、导数的应用
2 例1:求f(x)=x -x-2的极值.
解:

1 f ?( x) ? 2 x ? 1, 令f ?( x) ? 0, 解得x ? .列表 2

x
f ?( x) f ( x)

1 ( ??, ) 2

?

1 2

1 极小值f ( ) 2

0

1 ( ,??) 2

?

1 1 9 因此,当x ? 时, f(x)有极小值f( ) ? ? . 2 2 4

小结:求函数f(x)的极值的步骤:
(1)求导数f′(x);

(x为极值点.) (2)求方程f′(x)=0的根;
(3)用函数的导数为0的点,顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间,并 列成表格 . 检查 f′(x) 在方程根左右的 值的符号,求出极大值和极小值.

1 3 例2:求 y ? x ? 4 x ? 4 的极值 1 3 3 2
3 令y′=0,解得x1=-2,x2=2

解: y ' ? ( x ? 4 x ? 4) ' ? x ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2)
当x变化时,y′,y的变化情况如下表

x

(-∞,-2)

-2 0
28 极大值 3

(-2,2)

2 0 极小值
? 4 3

(2,+∞)

f ?( x)
f ( x)

↗ 28 ∴当x=-2时,y有极大值且y极大值= 3 4
当x=2时,y有极小值且y极小值= ?

+ ↗



+



3

例3:下列函数中,x=0是极值点的函数 是(

B

)
2 B.y=x

3 A.y=-x

C.y=x2-x

D.y=1/x

分析:做这题需要按求极值的三个步骤, 一个一个求出来吗?不需要,因为它只要判断 x=0是否是极值点,只要看x=0点两侧的导数是否 异号就可以了。

四、课堂练习
1、下列说法正确的是( 极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是 极大值 C.对于f(x)=x3+px2+2x+1,若|p|< 6 , 则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a,b)上一定存在最值

C

)

A.函数在闭区间上的极大值一定比

1 2、函数 f ( x) ? a sin x ? sin 3x 在 3 ? 处具有极值,求 a的值 x?

3

分析:f(x)在 x ? 必要条件可知, f

?
3
'(

处有极值,根据一点是极值点的
?
3 ) ? 0可求出a的值.

1 解: f '( x) ? (a sin x ? sin 3x) ' ? a cos x ? cos 3 x 3

1 ∴ a cos ? cos(3 ? ) ? 0 ? a ? 1 ? 0 3 3 2

f '( ) ? 0 3 ?

?


?

∴a=2.

3、y=alnx+bx2+x在x=1和x=2处有极值,

求a、b的值.

a 解: y ' ? (a ln x ? bx ? x) ' ? ? 2bx ? 1 x
2

因为在x=1和x=2处,导数为0

2 ? a?? ? a ? 2b ? 1 ? 0 ? ? ? 3 ∴ ?a ?? 1 ? 4b ? 1 ? 0 ? ? b?? ?2 ? 6 ?

4、求y ? e cos x的极值.
x

解 : y? ? e ? cos x ? sin x ? , 令y? ? 0,
x

即cos x ? sin x ? 0得,x ? k? ?

?

? 5? ? ? 当x ? ? 2k? ? ,2k? ? ? ? k ? Z ?时,y? ? 0, f ? x ? 为减函数, 4 4 ? ? 3? ?? ? 当x ? ? 2k? ? ,2k? ? ? ? k ? Z ?时,y? ? 0, f ? x ? 为增函数, 4 4? ? ? 2 k ? ? ? 2 4, 因此当x=2k? ? ? k ? Z ?时, y极大值 ? e 4 2

4

?k ? Z ?,

3? 2 当x=2k? ? ? k ? Z ?时, y极小值 ? ? e 4 2

2 k? ?

3? 4 .

五、课堂小结
求函数f(x)的极值的步骤: (1)求导数f′(x); (x为极值点.) (2)求方程f′(x)=0的根; (3)用函数的导数为0的点,顺次将函 数的定义区间分成若干小开区间,并 列成表格 . 检查 f′(x) 在方程根左右的 值的符号,求出极大值和极小值.

课后作业:
课本 P34 习题1.3 No.3.


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