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高三数学总复习---正弦定理和余弦定理教案


第七讲 正弦定理和余弦定理
教学目标: 1、掌握正弦定理和余弦定理的推导,并能用它们解三角形. 2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点. 3、常与三角恒等变换相结合,综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等. 教学重点:①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式. ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形. 教学难点:①根据已知条件判定解的情形,并正确求解. ②将实际问题转化为解斜三角形. 课型及课时:复习课,2 课时(第一课时) 教学过程 一、教材回顾,追根溯源 1、正余弦定理 a b c 正弦定理: = = =2R(其中 R 为△ABC 外接圆的半径). sinA sinB sinC 余弦定理 a =b +c -2bccosA,b =a +c -2accosB,c =a +b -2abcosC 变形式 ①a=2RsinA ,b=2RsinB ,c=2RsinC;(其中 R 是△ABC 外接圆半径) ②a∶b∶c=sinA:sinB:sinB b +c -a a +c -b a +b -c ③cosA= ,cosB= ,cosC= . 2bc 2ac 2ab 2、正、余弦定理的作用 正弦定理主要解决以下两类问题: (1)已知两角及任一边求解三角形; (2)已知两边及其一边的对角求解三角形。 余弦定理主要解决以下三类问题: (1)已知两边及其夹角求解三角形; (2)已知三边求解三角形。 (3)已知两边及其一边的对角求解三角形。 3、 △ABC 的面积公式 1 ① S= a·h(h 表示 a 边上的高); 2 1 1 1 abc ② S= absinC= acsinB= bcsinA= ; 2 2 2 4R 1 ③ S= r(a+b+c)(r 为内切圆半径); 2 1 ④ S= P(P-a)(P-b)(P-c),其中 P= (a+b+c). 2 二、走进考纲,解读高考 考纲导学 三年高考真题统计 卷别 乙卷 Ⅱ卷 年份 2017 年 2016 年 2015 年 具体考查内容及命题位置 正、余弦定理,三角形的面积公式-T17 正、余弦定理,两角和的正弦公式-T17 正、余弦定理,三角形的面积公式-T17
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掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题。

三、双基自测,夯实基础 1、 (教材习题改编)在△ABC 中,A=45°,C=30°,c=6,则 a 等于( A.3 2 B.6 2 C. 2 6 D.3 6 2、 (教材习题改编)在△ABC 中,已知 a=5,b=7,c=8, 则 A+C=( ) A.90° B.120° C.135° D.150°

)

4 3、已知 a、b、c 分别为△ABC 三个内角 A、B、C 的对边,若 cos B= ,a=10,△ABC 5 的面积为 42,则 c=_______ 四、直击高考,突破考点 高频考点: 利用正、余弦定理解三角形,三角形的面积公式 利用正、 余弦定理解三角形和三角形的面积公式都是高考的热点, 三种题型在高考中时有出 现,其试题为中档题. 高考对该考点的考查有以下两个命题角度: (1)由已知求边、角、面积; (2)已知面积求边、角、周长等. 例 1 (2017 高考全国乙卷)17. (12 分)

△ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 sin ? A ? C ? ? 8sin 2
(1)求 cos B ; (2)若 a ? c ? 6 , △ABC 的面积为 2 ,求 b . 跟踪训练

B . 2

1、(2016· 高考全国卷乙,T17)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求 C; 3 3 (2)若 c= 7,△ABC 的面积为 2 ,求△ABC 的周长. 【解】 (1)由已知及正弦定理得, 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C, 2cos Csin(A+B)=sin C, 1 π 故 2sin Ccos C=sin C.可得 cos C= ,所以 C= . 2 3 1 3 3 (2)由已知,2absin C= 2 . π 又 C=3,所以 ab=6. 由已知及余弦定理得, a2+b2-2abcos C=7, 故 a2+b2=13,从而(a+b)2=25. 所以△ABC 的周长为 5+ 7.
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2、 (2017· 重庆第一次适应性测试)在锐角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别 3 为 a,b,c,且 cos(B+C)=- 3 sin 2A. (1)求 A; (2)设 a=7,b=5,求△ABC 的面积. 3 [解] (1)由 cos(B+C)=- 3 sin 2A 可得, 3 -cos A=- 3 sin 2A, 3 所以 cos A= 3 ×2sin Acos A,因为△ABC 为锐角三角形,所以 cos A≠0,故 sin 3 π A= ,从而 A= . 2 3 π 1 (2)因为 A=3,故 cos A=2,由余弦定理可知, a2=b2+c2-2bccos A,即 49=25+c2-5c, 所以 c2-5c-24=0, 解得 c=-3(舍去),c=8, 1 1 3 所以△ABC 的面积为2bcsin A=2×5×8× 2 =10 3.
五、归纳小结,掌握技巧 解题策略 (1)解三角形时,如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;如果式子 中含有角的余弦或二次式时,要考虑用余弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理 都有可能用到。 (2) 求三角形的面积.对于面积公式 S=1/2absin C=1/2acsin B=1/2bcsin A,一般是已 知哪一个角就使用含哪个角的公式. (3)已知三角形的面积解三角形.与面积有关的问题,一般要利用正弦定理或余弦定理进行 边和角的互化. 六、以练促学,强技提能 课后作业 课后达标检测第七讲 A 组同学全做(除 4,9 题) ; B 组同学基础达标全做(除 4,9 题) ,能力提升选做。 七、板书设计 1、正、余弦定理 典例分析

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