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高一数学 必修2第二章 考试题


数学必修②第二章单元测试
考试时间:120 分钟 满分:150 分
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是满足题目要求的。 )
1.已知两个定点 A ( ? 2, 0), B (1, 0) ,如果动点 P 满足 | P A |? 2 | P B | ,则点 P 的轨迹包围的图形 面积等于( A. ?
2

A. ( x ? 3) + y =4
2 2

B. ( x ? 3) + y =1
2 2

C. ( 2 x ? 3) + 4 y =1
2 2

D. ( x ?

3 2

) +y =

2

2

1 2

8.(全国 2 理)已知 A C 、 B D 为圆 O : x ? y ? 4 的两条相互垂直的弦,垂足为 M 1, 2 ,
2 2

?

?

则四边形 A B C D 的面积的最大值为
2


2 2

) B. 4 ?
2 2

解:设圆心 O 到 A C 、 B D 的距离分别为 d 1、 d 2 ,则 d 1 + d 2 ? O M C. 8? D. 9 ?
2

?3.
2 2

四边形 A B C D 的面积 S ? 9.
2 2

1 2

| A B | ? | C D |? 2 ( 4 ? d 1 ) ( 4 - d 2 ) ? 8 ? ( d 1 ? d 2 ) ? 5
2 2

2.点 M ( x 0 , y 0 ) 是圆 x ? y ? a ( a ? 0 ) 内不为圆心的一点,则直线 x 0 x ? y 0 y ? a 与该圆的 位置关系是( A.相切 ) B.相交
2 2

(天津文)若圆 x ? y ? 4 与圆 x ? y ? 2 ay ? 6 ? 0 ( a ? 0 ) 的公共弦长为 2 3 ,则
2 2

C. 相离

D. 相切或相交

3.(海南文)已知圆 C 1 : ( x ? 1) + ( y ? 1) =1,圆 C 2 与圆 C 1 关于直线 x ? y ? 1 ? 0 对称,则圆
C 2 的方程为

a=________. 【答案】1 【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为 y ?
1 a 1
1 a

,利用圆心(0,0)

A. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

B. ( x ? 2) + ( y ? 2 ) =1
2 2

|

|

到直线的距离 d ?

为 2 ?
2

2

3

? 1 ,解得 a=1

C. ( x ? 2) + ( y ? 2 ) =1
2 2

D. ( x ? 2) + ( y ? 2) =1
2 2

【答案】B 4. 过点 P (2,1) 且被圆 c : x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长最长的直线 l 的方程为 (
2 2

10. (辽宁文、理)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都相切,圆心在直线 x+y=0 上, ) 则圆 C 的方程为 (A) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

A. 3 x ? y ? 5 ? 0
2 2

B. 3 x ? y ? 7 ? 0

C. x ? 3 y ? 5 ? 0

D. x ? 3 y ? 5 ? 0 )
4 3 x

(B) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

5. 圆 x ? y ? 2 5 ,截直线 4 x ? 3 y ? 20 所得弦的垂直平分线方程是( A. y ?
4

(C)

( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

(D) ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

3 4

x
4 2

B. y ? ?
2

3 4

x

C. y ? ?

4 3

x

D. y ?

【解析】圆心在 x+y=0 上,排除 C、D,再结合图象,或者验证 A、B 中圆心到两直线的距离等 于半径 2即可. 【答案】B 11. (全国 1 文)若直线 m 被两平行线 l1 : x ? y ? 1 ? 0 与 l 2 : x ? y ? 3 ? 0 所截得的线段的长为
2 2 ,则 m 的倾斜角可以是

6.方程 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 0 所表示的曲线是( A.一个圆 C.两条平行直线和一个圆
2 2



B.两条平行直线 D.两条相交直线和一个圆

7.一个动点在圆 x ? y ? 1 上移动,它与定点 (3, 0 ) 连接的中点的轨迹方程是 ①1 5
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?

② 30

?

③ 45

?

④ 60

?

⑤ 75

?
w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

其中正确答案的序号是

.(写出所有正确答案的序号)

已知圆 C: ( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 2 5 ,直线 l : (2 m ? 1) x ? ( m ? 1) y ? 7 m ? 4 ? 0( m ? R )
2 2

【解析】 本小题考查直线的斜率、 直线的倾斜角、 两条平行线间的距离, 考查数形结合的思想。 解:两平行线间的距离为 d ?
|3?1| 1?1 ? 2 ,由图知直线 m 与 l 1 的夹角为 30 , l 1 的倾斜角
o

(1)证明:不论 m 取什么实数,直线 l 与圆恒交于两点; (2)求直线被圆 C 截得的弦长最小时 l 的方程。 22. (本小题满分 12 分)

为 45 ,所以直线 m 的倾斜角等于 30 ? 45
o o

0

? 75 或 45
0

o

? 30

0

? 15 。故填写①或⑤
0

已知曲线 C: x ? y -2 x -2 y ? 1 ? 0 相切的直线 l 交 x,y 轴于 A、B 两点,O 为原点,
2 2

12.

| O A |? a , | O B |? b ( a ? 2, b ? 2)

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填在题中横线上)
13. 直线 l 过点 P ( ? 6 , 3) ,且它在 x 轴上截距是它在 y 轴上截距的 3 倍,则直线 l 的方程为 _________.
| ? 14. 设集合 A = ?( x , y ) | | x |? 1, | y ? 1 B = ?( x , y ) | ( x ? a ) ? ( y ? a ) ? 1? 若 A ? B ? ? ,求
2 2

(1) 求证:曲线 C 与直线 l 相切的条件是 ( a ? 2)( b ? 2) ? 2 ; (2) 求线段 AB 中点的轨迹方程。

a 的取值范围________________ 15.对任意实数 x , y , z , 求
x ? y ? z ?
2 2 2

( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? ( z ? 1) 的最小值_________。
2 2 2

16.若直线 x ? y ? k 与曲线 y ?

1 ? x 恰有一个公共点,则 K 的取值范围___________
2

三.解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤)
17(10 分)已知圆 c : ( x ? 2 ) ? ( y ? 6 ) ? 1 和直线 l : 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 ,求圆关于直线对称的
2 2

圆的方程。 18(12 分)点 P 在直线 3 x ? 4 y ? 8 ? 0 上移动,PA,PB 与圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 分别相
2 2

切于 A、B 两点,C 是圆心,求四边形 PACB 面积的最小值。 19. (12 分)一动圆与圆 c1 : x ? y ? 6 x ? 8 ? 0 外切,求 3a ? b 的取值范围
2 2

20. (12 分)已知圆心为 C 经过点 A(-1,1) B(-2,-2),且圆心在直线 l : x ? y ? 1 ? 0 上 (1)求圆心为 C 的圆的标准方程; (2)设点 P 在圆 C 上,点 Q 在直线 x ? y ? 5 ? 0 上,求 | P Q | 的最小值 (3)若直线 kx ? y ? 5 ? 0 被圆 C 所截得的弦长为 8,求 K 的值。 21. (本小题满分 12 分)
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