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第1.1讲 12个函数的图像及性质


第 1 部分
名称 解析式
k ?0

高中阶段 12 个常见函数的图像和性质
定义域 值域 单调性 在 R 上为增函数 当b ? 0 最值或极值 奇偶性 对称性 其他

图象

1.一 次函 数
y ? kx ? b

R
k?0

R
在 R 上为减函数

无最值

为 奇函数。



a?0

? 4ac ? b 2 ? ? 4a , ?? ? ? ?

2.二 次函 数
a?0
4ac ? b 2 ? ? ?? , ? ? 4a ? ?

b ? ? ? ??, ? ? 减 2a ? ? ? b ? ? ? 2a , ?? ? 增 ? ?

ymin ? f (?

b ) 2a 4ac ? b 2 ? 4a

当b ? 0 为 偶函数。

对称轴:

y ? ax ? bx ? c
2

R
b ? ? ? ??, ? ? 增 2a ? ? ? b ? ? ? 2a , ?? ? 减 ? ?
ymax ? f (? b ) 2a 4ac ? b 2 ? 4a

b??

b 2a

k ?0

(??,0) 和 (0, ??)

3.反 比例 函数

为减函数
k y? x
k?0

?x x ? 0?

? y y ? 0?
(??,0) 和 (0, ??)

无最值 为增函数

奇函数

原点 (0,0) 中心对称

渐近 线:

x, y 轴

名称

解析式

图象

定义域

值域

单调性

最值或极值

奇偶性 偶函数

对称性

其他

4.常 函数

y ?c

R

?c?



无最值

当c ? 0 时是奇、 偶函数。

a?0 ??0
5.三 次函 数
y ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d

(??, x1 ) 和 ( x2 , ??)

极大值: f ( x1 ) 极小值: f ( x2 )
b?d ?0

为增; 在 ? x1 , x2 ? 为减函数

R

R
(??, x1 ) 和 ( x2 , ??)

为 奇函数 极小值: f ( x1 ) 极大值: f ( x2 )

一般无

a?0 ??0

为减; 在 ? x1 , x2 ? 为增函数

6.指 数函 数
y?a
x

a ?1

在 R 上为增

y ? ax 与

R
0 ? a ?1

(0, ??)

无 在 R 上为减

非奇非偶

1 y ? ( )x 关 a 于 y 轴对
称;
y ? log a x

过定点 (0,1)

7.对 数函 数
y ? log a x

a ?1
(0, ??)

在 (0, ??) 上为增

R
在 (0, ??) 上为减



非奇非偶

与 y ? log 1 x
a

过定点 (1,0)

0 ? a ?1

关于 x 轴 对称;

名称

解析式

图象

定义域

值域

单调性 1. ? ? 0 时为增; 2. ? ? 0 时为减;

最值或极值

奇偶性 1. ? 偶数

对称性

其他

8.幂 函数

y ? x?

只讨论 (0, ??)

(0, ??)

3. 0 ? ? ? 1 , 递 增,越来越平缓; 4. ? ? 1 , 递 增 , 但越来越陡峭; 1. 增 : ( ??, ? b )
a

不确定

为偶函数 2. ? 奇数 为偶函数

过定点 (1,1)

9.对 勾函 数

b y ? ax ? (a ? 0, b ? 0) x

?x x ? 0?

(??, ?2 ab ) ?(2 ab , ??)

和 ( b , ?? ) ; a 2. 减 : ( ? b , 0)
a

1. 当 x ? 0 时 ,

渐近 线: y 奇函数 轴和 y ? ax ; 对称中心 (k? ,0) 奇函数 对称轴:

ymin ? 2 ab ;
2. 当 x ? 0 时 ,

和 (0, b ) ;
a

ymax ? ?2 ab ;

1.增区间: 10.正 弦函 数
y ? sin x

R

? ?1,1?

? ? (? ? 2k? , ? 2k? ) 2 2
2.减区间:

? ? (? ? 2k? , ? 2k? ) 2 2
1.增区间: (?? ? 2k? ,2k? ) 2.减区间: (2k? , ? ? 2k? )

? 2k? 2 时, ymax ? 1 ; ? 2. 当 x ? ? ? 2k? 2 时, ymin ? ?1 ;
1. 当 x ? 1. 当 x ? 2k? 时 ,
ymax ? 1 ;

?

x?

?
2

? k?

T ? 2? 2? T? ?

11.余 弦函 数
y ? cos x

对称中心 偶函数

R

? ?1,1?

2. 当 x ? ? ? 2k? 时,
ymin ? ?1 ;

( ? k? ,0) 2 对称轴: x ? k?

?

T ? 2? 2? T? ?

12.正 切函 数
y ? tan x

x?

?
2

? k?

R

无最值

奇函数

T ?? ? T? ?


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