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高中数学第四章导数及其应用4.4生活中的优化问题举例课件湘教选修2_2_图文

4.4 生活中的优化问题举例
【课标要求】 通过用料最省,利润最大,效率最高等优化问题,使学生体 会导数在解决实际问题中的作用,会 利用导数解决 简单的实 . .. 际生活中优化问题.

自学导引
生活中经常遇到求利润最大,用料最省,效率最高等问 1. 题,这些问题通常称为 优化问题 .通过前面的学习,我们

知道 导数 是求函数最大(小)值的有力工具,运用导数 ,可
以解决一些生活中的 优化问题 .

解决实际应用问题时,要把问题中所涉及的几个变量转化 2. 成函数关系,这需通过分析、联想、抽象和转化完成.函 数的最值要由极值和端点的函数值确定,当定义域是开区 间,函数在开区间上有惟一的极值,则它就是函数的最 值.

3.解决优化问题的基本思路是:

上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 的过程.

自主探究
利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意什么?

提示

(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要注意考虑实

际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去. (2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′ (x) =0的情形,如果函数在这点有极大 ( 小 ) 值,那么不与端 点值比较,也可以知道这就是最大(小)值.

(3) 在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的变
量关系用函数关系式给予表示,还应确定函数关系式中自变 量的定义区间.

预习测评
有一长为16 m的篱笆,要围成一个矩形场地,则此矩形 1.
场地的最大面积为 A.32 m2 C.16 m2 解析 B.18 m2 D.14 m2 ( ).

设矩形长为x m,则宽为(8-x)m,矩形面积S=x(8-

x)(0<x<8).
令S′=8-2x=0,得x=4 m,此时Smax=42=16(m2). (当然也可用配方法或基本不等式法求最值). 答案 C

以长为 10 的线段 AB 为直径作半圆,则它的内接矩形的面积 2.

的最大值为
A.10 C.25 解析 B.15 D.50

(

)

法一: 如图,设 ∠ NOB = θ ,则矩形面积为 S = 5sin

θ·2·5cos θ=25sin 2θ,故Smax=25.

法二:以圆心O为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角 坐标系,则半圆的方程为x2+y2=25(y≥0),设N(x, y)(x>0,y>0), 5 2 则S矩形=2xy≤x +y =25.等号当且仅当x=y= 时取到, 2
2 2

∴Smax=25.

法三:∵y=

25-x2

,∴S=2xy=2x·

25-x2



2 25x2-x4,只需求出t=25x2-x4的最大值. ∵t′=50x-4x ,令t′=0则x=
3

5 2 2

(x=0舍去).且x∈

? ?5 2 ? 5 2 5 2? ? ? ? ? ?0, 2 ? 时,t′>0;x∈ ? 2 ,5? 时,x′<0,∴x= 2 是极 ? ? ? ?

大值点,且为最大值点. 此时y=
?5 2? 5 2 5 2 ? ?2 5 2 25-? ? = 2 ,∴Smax=2× 2 × 2 =25. 2 ? ?

答案 C

3.如右图所示,某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形

堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙
壁,当砌壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为____ ____.

解析 要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,如图 512 所示,设场地宽为x米,则长为 米,因此新墙壁总长度L x 512 512 =2x+ (x>0),则L′=2- 2 . x x 令L′=0,得x=± 16.∵x>0,x=16. 当x=16米时,L极小值=Lmin=64米, 512 ∴堆料场的长为 =32米. 16
答案 32米,16米

4.用总长为6 m的钢条制作一个长方体容器的框架,如果所制

作容器的底面的相邻两边长之比为3∶4,那么容器容积最大
时,高为______m.
解析 设容器底面相邻两边长分别为3x m,4x m,则高为

?3 ? 6-12x-16x 3 2 ? -7x ? (m),容积 V=3x· = 4 x · - 7 x = 18 x - 4 2 2 ? ?

84x

3

? 3? ?0<x< ? 14? ?

1 ,V′=36x-252x ,由V′=0,得x= 或x 7
2

? ?1 1? 3? =0(舍去).x∈?0,7?时,V′>0,x∈?7,14?时,V′<0, ? ? ? ?

1 所以在x=7处,V有最大值,此时高为0.5 m. 答案 0.5

要点阐释
利用导数解决实际问题的一般方法 (1)细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定所求最

值的变量y与自变量x,找出变量y与x的关系,即列出函数关
系y=f(x),再根据实际问题确定函数 y=f(x)的定义域,这样 就把实际问题转化成了数学问题. (2)求f′(x),解方程f′(x)=0,求出定义域内所有的实数根. (3)比较函数在各个根和端点处的函数值的大小,根据问题的 实际意义确定函数的最大值或最小值.

注意: ①求实际问题的最值时,一定要考虑问题的实际意

义,不符合实际意义的理论值要舍去.
②在实际问题中,若在函数的定义域内,使f′(x)=0成立的 值只有一个,且函数在这一点处取得极大(小)值,则不与端 点值比较,也可以知道这就是最大(或小)值.

典例剖析
题型一 容积(或面积)最大问题 在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去边长相等的正 【例1】

方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底箱子,
箱底的边长是多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?

60-x 解 如图所示,设箱底边长为x cm,则箱高h= 2 cm.
2 3 60 x - x 箱子容积V(x)=x2h= 2 (0<x<60).

3 2 V′(x)=60x- x ,令V′(x)=0, 2 解得x=0(舍去)或x=40. 当0<x<40时,V′(x)>0,当40<x<60时, V′(x)<0, 由此可知x=40是极大值点,且V(40)=16 000 cm3 . 由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子容积 很小, 因此16 000是最大值.

答:当箱底边长为40 cm时,箱子容积最大,最大容积是16

000 cm3.
点评 在实际问题中,有时会遇到函数在定义区间内只有一 个点使f′(x)=0.如果函数在该点取得极大(小)值,极值就是函 数的最大(小)值.

做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料 1.

最省,则圆柱的底面半径为________.
解析 设圆柱的底面半径为R,母线长为L,则V=πR2L= 27π, 27 ∴L= 2,要使用料最省,只需使圆柱表面积最小, R 27 ∴S表=πR +2πRL=πR +2π , R
2 2

54π ∴S′表=2πR- 2 =0,得R=3. R 即当R=3时,S表最小.
答案 3

题型二 时间、费用最省问题

【例2】 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m 米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算, 一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间 的桥面工程费用为(2+ x )x万元.假设桥墩等距离分布,所 有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为 y万元. (1)试写出y关于x的函数关系式; (2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?

解 (1)设需新建n个桥墩,则(n+1)x=m, m 即n= -1(0<x<m), x 所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x
?m ? m =256? -1?+ (2+ x ?x ?

x )x

256m = +m x+2m-256(0<x<m). x

256m 1 1 m 3 (2)由(1)知,f′(x)=- 2 + mx- = 2 (x -512). 2 2 2x 2 x 3 令f′(x)=0,得x2=512,所以x=64. 当0<x<64时,f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数; 当64<x<640时,f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数, 所以f(x)在x=64处取得最小值. m 640 此时n= -1= 64 -1=9. x 故需新建9个桥墩才能使y最小.

点评

利用导数的方法解决实际问题,要注意构造函数,但

与解决一般的函数问题有区别,即注意利用导数所求出的函
数最值点是否符合现实问题的要求.

一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比,已知 2.
在速度为10 km/h时,燃料费是每小时6元,而其他与速度无 关的费用是每小时 96元,问此轮船以 ________ km/h的速度 航行时,能使行驶每千米的费用总和最小.

解析 设船速为x(x>0)km/h,燃料费是Q元, 3 3 3 则Q=kx ,由已知得6=k· 10 ,k= ,∴Q= x , 500 500
3 3

? 3 3 ?1 3 2 96 ∴总费用y=? x +96?·= x + . x ?500 ? x 500

6 96 令y′=500x- 2 =0, x 得x=20. 当0<x<20时,y′<0;当x>20时,y′>0. 故x=20是(0,+∞)上唯一极小值点,∴当x=20时y有最小 值.即轮船以20 km/h的速度航行时,能使每千米的费用总 和最小. 答案 20

题型三 利润最大问题
【例3】 某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如 果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数

与 商 品 单 价 的 降 低 值 x( 单 位 : 元 , 0≤x≤30) 的 平 方 成 正
比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 解 (1)设商品降价x元,则多卖的商品数为kx2,若记商品在

一个星期的获利为f(x)元,则依题意有
f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2). 又由已知条件24=k·22,于是有k=6, 所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9 072,x∈[0,30].

(2)根据(1),我们有f′(x)=-18x2+252x-432 =-18(x-2)(x-12), x f′(x) f(x) [0,2) - 2 0 极小 (2,12) + 12 0 极大 072元,f(12)=11 (12,30] -

故x=12时,f(x)取极大值.因为f(0)=9

664元,所以定价为30-12=18(元)能使一个星期的商品销 售利润最大.

点评

利润( 收益) =销售额-成本,在有关利润 (收益 )的问

题中,注意应用此公式列函数式.

3.某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(吨)与每 1 2 吨产品的价格P(元/吨)之间的关系式为P=24 200- 5 x ,且 生产x吨的成本为R=50 000+200x(元),问该产品每月生产 多少吨产品才能使利润达到最大?最大利润是多少(利润= 收入-成本)?

解 根据题意,知表示每月生产x吨时的利润的函数为 1 2 f(x)=(24 200- x )x-(50 000+200x) 5 1 3 =-5x +24 000x-50 000(x≥0). 3 2 令f′(x)=- x +24 000=0, 5 解得x1=200,x2=-200(舍去). 因f(x)在[0,+∞)内只有一个点x=200使f′(x)=0,故它就 是最大值点,且最大值为 1 f(200)=- ×2003+24 000×200-50 000 5 =3 150 000(元).

所以每月生产200吨产品时利润达到最大,最大利润为315万

元.
点评 关于利润最大问题,利润等于收入减去成本,而收入

等于产量乘价格,由此可得出利润与产量的函数关系式,再 用导数求最大利润.

误区警示 忽略实际问题中函数的定义域致误
【例4】甲、乙两地相距 s 千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,

速度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为
单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/ 时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指 出这个函数的定义域;

(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

[错解]

(1)依题意,汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间

?a ? s s 2 s 为 ,全程运输成本为y=a· +bv · =s ? +bv? ,所求函数及 v v v ?v ? ?a ? 其定义域为y=s? +bv?,v∈(0,c]. ?v ? ? a? (2)由题意,s、a、b、v均为正数,由y′=s ?b-v2? =0得v= ? ?

a 或v=- b

a (舍去),但0<v≤c.所以当v= b

a 时,全 b

程运输成本y最小.
错因分析 第(2)问中 故错误. a 与c未比较大小而直接得出结论, b

[正解]

(1)同错解;

? a? (2)由题意,s,a,b,v均为正数,由y′=s ?b- 2? =0得v= v? ?

a 或v=- b ①若

a (舍去). b a 是使y的导数为0的点,即当v= b

a ≤c,则v= b

a 时,全程运输成本y最小; b ②若 a >c,因为v∈(0,c],此时y′<0,即y在v=c上y最 b a ≤c时,行驶速度v= b a ;当 b a >c b

小,所以当

时,行驶速度v=c.

纠错心得

在运用导数解决实际问题的过程中,忽略实际问

题中函数的定义域而造成结果求解错误.解决问题的主要措
施为:在准确理解题意的基础上,正确建立数学模型,在实 际问题中的定义域范围内找出问题的最优解.


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