当前位置:首页 >> 高三数学 >>

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编8:三角函数的图象与性质(教师版)


北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 8:三角函数的图象与性质

一、选择题 错误!未指定书签。 .(北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学)把函数 y =sin x 的

图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把图像向左平移 ? 个

4

单位,这时对应于这个图像的解析式是 A. y ? cos 2 x B. y ? ? sin 2 x C. y ? sin(2 x ? ? ) D. y ? sin(2 x ? ? )





4

4

【答案】A【解析】把函数 y = sin x 的图像上所有点的横坐标都缩小到原来的一半,纵坐

标 保 持 不 变 , 得 到 y = s i n x2 的 图 象 , 再 把 图 像 向 左 平 移

? 个单位,得到 4

y= s i n x ? 2(

?
4

?)

sx ? ( 2 ? in 2

?

) x ,所以选 A. cos 2

错误! 未指定书签。 . (北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学 (理) 函数 y ? cos(4 x ? )

?
3

)
( )

图象的两条相邻对称轴间的距离为 A.

π 8

B. B.

π 4

C.

π 2

D. π

【答案】

错误!未指定书签。 .(2013 届北京大兴区一模理科)函数

f ( x) ?

1 ? cos 2 x cos x





π π , ) 上递增 2 2 π π C.在 (? , ) 上递减 2 2
A.在 (?
【答案】D

π π ,0] 上递增,在 (0, ) 上递减 2 2 π π D.在 (? ,0] 上递减,在 (0, ) 上递增 2 2
B.在 (?

错误!未指定书签。 .(2013 北京丰台二模数学理科试题及答案)下列四个函数中,最小正周

期为 ? ,且图象关于直线 x ?

?
12

对称的是





x ? A. y ? sin( ? ) 2 3
C. y ? sin(2 x ? ) 3
【答案】

x ? B. y ? sin( ? ) 2 3
D. y ? sin(2 x ? ) 3 C.

?

?

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 北 京 北 师 特 学 校 203 届 高 三 第 二 次 月 考 理 科 数 学 ) 函 数

y ? 1 sin 2 ? x 2
A. ?

2 3 c o s ? 3 的最小正周期等于 x 2

( D. ?



B.2 ?

C. ?

4

4









A









1 1 ? cos 2 x 3 1 3 ? y = sin 2 x ? 3 ? ? = sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) , 所 以 函 数 2 2 2 2 2 3
的周期 T ?

2?

?

?

2? ? ? ,选 A. 2
( B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

错误!未指定书签。 .(2013 北京高考数学(理))“φ =π ”是“曲线 y=sin(2x+φ )过坐

标原点的” A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
【答案】A

? ? ? 时, y ? sin(2 x ? ? ) ? ? sin 2 x ,过原点,便是函数过原点的时候 ? 可
) 函数

以取其他值,故选 A 答案.
错误!未指定书签。 .(北京市丰台区 2013 届高三上学期期末考试 数学理试题

y ? 2sin(? x ? ? ) 在 一 个 周 期 内 的 图 象 如 图 所 示 , 则 此 函 数 的 解 析 式 可 能 是

( A. y ? 2sin(2 x ? C. y ? 2sin( x ?
【答案】B



?
4

)

B. y ? 2sin(2 x ?

3? ) 8

) 4 x 7? ) D. y ? 2sin( ? 2 16

?

解:由图象可知

T 5? ? ? 2? ? ? ? ,所以函数的周期 T ? ? ,又 T ? ? ? ,所以 2 8 8 2 ? ? ? ? ? 2 。 所 以 y ? 2 s i n ( ? , 又 y ? f ( )? 2 s i?n (?2 ? , 所 2 ? ) 以 x ?2 ) 8 8 ? ? ? ? ? ? ? ? 2 k? , k ? Z , 所 以 ? ? ? 2 k ? , 所 以 s i n (? ? ? ) ,1 即 4 2 4 4 ? y ? 2sin(2 x ? ) ,选 B. 4
( )

错误!未指定书签。 .(北京市海淀区 2013 届高三上学期期中练习数学(理)试题)

sin15? ? cos15? 的值为
A.

1 2

B.

6 4

C.

6 2

D.

3 2 2

【答案】C 错误!未指定书签。 .(北京市东城区普通校 2013 届高三 3 月联考数学(理)试题 )已知函

数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象如图所示,则该函数的解析式可能是 .. y
1

O -1 第 6 题图

?

2?

x





4 1 sin(2 x ? ) 5 5 4 4 1 C. y ? sin( x ? ) 5 5 5
A. y ?
【答案】D 二、填空题

3 1 sin(2 x ? ) 2 5 4 4 1 D. y ? sin( x ? ) 5 5 5
B. y ?

错误!未指定书签。.(2013 届北京大兴区一模理科) 函数

f() s xo 的最大值 x?i ncs x





1 【答案】 2
错误!未指定书签。 (北京市西城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题) 已知函数 .

? π π f ( x) ? sin(2 x ? ) ,其中 x ? [? , a] .当 a ? 时, f ( x) 的值域是______;若 f ( x) 3 6 6 1 的值域是 [ ? ,1] ,则 a 的取值范围是______. 2
【答案】 [ ?

1 ? ? ,1] , [ , ] 2 6 2

解 : 若 ?

?
6

?x?

?
3

, 则 ?

?
3

? 2x ?

2? ? ? 5? , ? ? 2x ? ? , 此 时 3 6 6 6

?

1 1 π ? s i nx ? 2 ? ,即 f ( x) 的值域是 [ ? ,1] 。 ( ) 1 2 2 6

若?

?
6

? x ? a ,则 ?
?

?
3

? 2 x ? 2 a ,?

?
6

? 2x ?

?
6

? 2a ?

?
6

。因为当 2 x ?

?
6

??

?
6



2x ?

?
6

1 7? ? 1 2 ? ? , 所 以 要 使 f ( x) 的 值 域 是 [ ? ,1] , 则 有 ) 时, s i n(x ? 2 6 6 2

?
2

? 2a ?

?
6

?

? ? 7? ? ? ? ,即 ? 2a ? ? ,所以 ? a ? ,即 a 的取值范围是 [ , ] 。 6 2 6 3 6 2

错误!未指定书签。.(北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)试题)定义一种运算

,令

,且

,

则函数

的最大值是______









5 4











,



∴由运算定义可知,

sin x ?
∴当

1 ? 5 x? 6 时,该函数取得最大值 4 . 由图象变换可知, 2 ,即

所求函数

的最大值与函数

在区间

上的最大值相同.

错误!未指定书签。. (北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学)把函数 y ? sin 2 x 的

图象沿 x 轴向左平移

y ? f (x) 图象,对于函数 y ? f (x) 有以下四个判断:
①该函数的解析式为 y ? 2sin(2x ? 在 [0,

? 个单位,纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)后得到函数 6

?

?

) ; ②该函数图象关于点 ( ,0) 对称; ③该函数 6 3

?

] 上是增函数;④函数 y ? f ( x) ? a 在 [0, ] 上的最小值为 3 ,则 a ? 2 3 . 2 6

?

其中,正确判断的序号是________________________

? ? ? 得到 y = sin 2(x ? ) ? sin(2x ? ),然后纵 6 6 3 ? ? 坐标伸长到原来的 2 倍得到 y ? 2sin(2 x ? ) ,即 y ? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) .所以①不 3 3 ? ? ? ? 正确. y ? f ( ) ? 2sin(2 ? ? ) ? 2sin ? ? 0 ,所以函数图象关于点 ( , 0) 对称,所 3 3 3 3 ? ? ? ? ? 2 k? ? 2 x ? ? ? 2 k ? , k ? Z 以 ② 正 确 . 由 , 得 2 3 2 5 ? 5 ? ? ? k? ? x ? ? k? , k ? Z ,即函数的单调增区间为 [? ? k? , ? k? ], k ? Z , 12 12 12 12
【答案】②④【解析】将函数向左平移

当 k ? 0 时,增区间为 [ ?

? 5 ? , ] ,所以③不正确. y ? f ( x) ? a ? 2sin(2 x ? ) ? a ,当 3 12 12 ? ? ? 4? ? 4? 0? x? ? 2x ? ? 时, , 所 以 当 2x ? ? 时,函数值最小为 2 3 3 3 6 3 4? y ? 2sin ? a ? ? 3 ? a ? 3 ,所以 a ? 2 3 .所以④正确.所以正确的命题为 3

②④.
三、解答题 错误!未指定书签。.(北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习理科数学) 已知函数

f ( x) ?

3 ?x 1 sin ? x ? sin 2 ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . 2 2 2

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x ) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x ) 的取值范围.
【答案】本小题满分 13 分)

? 2

解:(Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos ? x 1 sin ? x ? ? 2 2 2

?

3 1 sin ? x ? cos ? x 2 2

? ? sin(? x ? ) 6
因为 f ( x ) 最小正周期为 ? ,所以 ? ? 2 所以 f ( x) ? sin(2 x ? 由 2k ? ?

? ? ? ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? , k ? Z ,得 k ? ? ? x ? k ? ? . 2 6 2 3 6 ? ? 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为[ k ? ? , k ? ? ], k ? Z 3 6 ? ? ? 7? ], (Ⅱ)因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? ? [ , 2 6 6 6 1 ? 所以 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6 ? 1 所以函数 f ( x ) 在 [0, ] 上的取值范围是[ ? ,1 ] 2 2
错误!未指定书签。.(北京北师特学校 203 届高三第二次月考理科数学)已知函数

? ). 6

f ( x) ? sin x cos x ? 3 sin 2 x .
(I)求 f ( x ) 的最小正周期;
( I I ) 求 f ( x ) 在区间 [0,

?
4

] 上的取值范围.

【答案】解: f ( x) ? 1 sin 2 x ? 3 1 ? cos 2 x ? 1 sin 2 x ?

2

2

2

3 cos 2 x ? 3 2 2

? sin(2 x ? ? ) ? 3 3 2 (1) T ? ?
(2)? x ? [0, ? ]

4

? 2 x ? ? ? [ ? , 5? ] 3 3 6

? f ( x) max ? f ( ? ) ? 1 ? 3 , f ( x) min ? f ( ? ) ? 1 ? 3 12 2 4 2 2
错误!未指定书签。.(北京四中 2013 届高三上学期期中测验数学(理)试题) 已知函数

. (1)求 (2)求 函数图象的对称轴方程; 的单调增区间.

(3)当
【答案】解:

时,求函数

的最大值,最小值.

(I)



.



函数图象的对称轴方程是

(II)



的单调增区间为

(III)

,



时,函数

的最大值为 1,最小值为

错误!未指定书签。.(北京市海淀区 2013 届高三 5 月查缺补漏数学(理)) 已知函数

π π f ( x) ? cos2 x ? a sin( x ? ) ? 1 ,且 f ( ) ? 1 ? 2 4 2
(Ⅰ)求 a 的值. (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0, π] 上的最大和最小值.
【答案】解:(I) a ? ?2

(II)因为 f ( x) ? cos2 x ? a cos x ?1 ? 2cos 2 x ? 2cos x 设 t ? cos x , 因为 x ? [0, π], 所以 t ? [ ?1,1] 所以有 y ? 2t 2 ? 2t, t ? [ ?1,1] 由二次函数的性质知道, y ? 2t 2 ? 2t 的对称轴为 t ? ? 所以当 t ? ? ,即 t ? cos x ? ?

1 2

2π 1 1 ,x? 时,函数取得最小值 ? 3 2 2 当 t ? 1 ,即 t ? cos x ? 1 , x ? 0 时,函数取得最大小值 4

1 2

错误!未指定书签。.(北京市东城区 2013 届高三上学期期末考试数学理科试题)已知函数

f ( x) ? 3sin x cos x ? cos2 x ? a .
(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间; (Ⅱ)若 f ( x ) 在区间 [ ?

? ? 3 , ] 上的最大值与最小值的和为 ,求 a 的值. 6 3 2

【答案】解:(Ⅰ)

f ( x) ?

3 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?a 2 2

? 1 ? sin(2 x ? ) ? a ? .?????????????????3 分 6 2 所以 T ? ? .???????????????????????4 分 ? ? 3? ? 2k ? , 由 ? 2k ? ? 2 x ? ? 2 6 2 ? 2? ? k? . 得 ? k? ? x ? 6 3 ? 2? ? k ?] ( k ? Z ).???????7 分 故函数 f ( x ) 的单调递减区间是 [ ? k ?, 6 3 ? ? (Ⅱ)因为 ? ? x ? , 6 3 ? ? 5? 所以 ? ? 2 x ? ? . 6 6 6

1 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 .??????????????????????10 分 2 6 ? ? 1 1 1 3 因为函数 f ( x ) 在 [ ? , ] 上的最大值与最小值的和 (1 ? a ? ) ? (? ? a ? ) ? , 6 3 2 2 2 2 所以 a ? 0 .????????????????????????????13 分
所以 ?
错误!未指定书签。.(北京市顺义区 2013 届高三第一次统练数学理科试卷(解析))已知函

数 f ? x ? ? cos? 2?x ? 期为 ? . (I)求 ? 的值;

? ?

??

?? ? 2 ? ? cos? 2?x ? ? ? 1 ? 2 sin ?x, ? x ? R, ? ? 0 ? 的最小正周 6? 6? ?

(II)求函数 f ? x ? 在区间 ??
【答案】解:(I)

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 4 3? ?

f ? x ? ? cos 2?x ? cos

?
6

? sin 2?x ? sin

?
6

? cos 2?x ? cos

?
6

? sin 2?x ? sin

?
6

? cos 2?x

? sin 2?x ? cos 2?x

?? ? ? 2 sin ? 2?x ? ? 4? ?
因为 f ? x ? 是最小正周期为 ? ,

2? ?? , 2? 因此 ? ? 1
所以 (II)由(I)可知, f ? x ? ? 因为 ? 所以 ?

?? ? 2 sin ? 2 x ? ? , 4? ?

?

?

4 4

?x?

?
3

,

? 2x ?

?
?
2 4

?

于是当 2 x ? 当 2x ?

?
4

11? 12

?

,即 x ?

?
8

时, f ? x ? 取得最大值 2 ; 时, f ? x ? 取得最小值 ? 1

?
4

??

?
4

,即 x ? ?

?

4

错误!未指定书签。.(北京市昌平区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )(本小题满

分 13 分)已知函数

f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1. sin x

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [ , ] 上的最值.
【答案】解:(Ⅰ)由 sin x ? 0 得 x ? k π ( k ?Z),

? ? 4 2

故 f ( x ) 的定义域为 {x ? R | x ? k π, k ?Z}.???????2 分 因为 f ( x) ?

(2 3 sin 2 x ? sin 2 x) ? cos x ?1 sin x

? (2 3sin x ? 2cos x ) ? cos x ? 1

? 3 sin 2 x ? cos 2 x

π ? 2sin(2 x ? ) ,????????????6 分 6
所以 f ( x ) 的最小正周期 T ?

2π ? π .???????7 分 2

[ (II)由 x 挝 , ], 2 x
当 2x ? 当 2x ?

? ? 4 2

? ? [ , ?], 2 x 2 6

? 5? [ , ], ????..9 分 3 6

? 5? ? ? ,即x ? 时, f ( x)取得最小值1 ,?????.11 分 6 6 2 ? ? ? ? , 即x ? 时, f ( x)取得最大值2 .??????.13 分 6 2 3

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 北 京 海 淀 二 模 数 学 理 科 试 题 及 答 案 ) 已 知 函 数

f ( x) ? 1 ?

cos2 x π 2 sin( x ? ) 4

.

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的单调递增区间.

【 答 案 】 解 :(I) 因 为

si n( ? x

π π ) 0 ? x ? ? kπ, k ?Z 4 4 所以

所以函数的定义域为

π {x | x ? kπ+ , k ? Z} 4
f ( x) ? 1 ?
(II)因为

cos 2 x ? sin 2 x sin x ? cos x

= 1+(cos x ? sin x )

π = 1 ? 2 sin( x ? ) 4

又 y ? sin x 的单调递增区间为

π π (2kπ ? ,2kπ ? ) 2 2 ,k ?Z



2kπ ?

π π π ? x ? ? 2kπ ? 2 4 2 解得 (2kπ ?

2kπ ?

3π π ? x ? 2kπ ? 4 4

π x ? kπ+ , 4 又注意到

所以 f ( x ) 的单调递增区间为

3π π ,2kπ ? ) 4 4 ,

k ?Z

错误!未指定书签。.(北京市石景山区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )已知函数

f ( x) ?

sin 2 x ( sin x ? cos x ) . cos x

(Ⅰ)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (Ⅱ)求 f (x) 在区间 ? ?

? ? ?? , ? 上的最大值和最小值.21 世纪教育网 ? 6 4?

【答案】(Ⅰ)因为 cos x ? 0 ,所以 x ? k? +

?
2

,k ? Z .
?????2 分

| 所以函数 f (x) 的定义域为 {x x ? k? +
f ( x) ? sin 2(sin x ? cos x) x cos x

?
2

, k ? Z}

?2 x ?sin x+cos x ? =2sin2 x+sin2 x sin ? ? 2 sin(2 x - ) ? 1 ?????5 分 4 T ?? ?????7 分 ? ? 7? ? ? ? 2 x- ? (Ⅱ)因为 ? ? x ? ,所以 ?????9 分 6 4 12 4 4 ? ? ? 当 2 x - ? 时,即 x ? 时, f (x) 的最大值为 2 ; ?????11 分 4 4 4 ? ? ? 当 2 x - ? - 时,即 x ? ? 时, f (x) 的最小值为 - 2+1 . ???13 分 8 4 2
错误!未指定书签。.(北京市海淀区 2013 届高三上学期期中练习数学(理)试题)已知函数

? f ( x) ? 2sin 2 x ? cos(2 x ? ) . 2 ? (Ⅰ)求 f ( ) 的值; 8
(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间.21 世纪教育网

π f ( x ) ? 2 cos2 x ? cos(2 x ? ) 2 【答案】解:(Ⅰ)因为

? 2cos2 x ? sin 2 x
? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x

π ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4
π π π f ( ) ? 2 sin( ? ) ? 1 ? 2 ? 1 4 4 所以 8 π f ( x ) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 (Ⅱ)因为 T?
所以

2π ?π 2

π 3π (2kπ ? , 2kπ ? ) y ? sin x 的单调递减区间为 2 2 , ( k ? Z) 又 2 kπ ?
所以令

π π 3π ? 2 x ? ? 2kπ ? 2 4 2

kπ ?
解得

π 5π ? x ? kπ ? 8 8

π 5π ( kπ+ , kπ ? ) 8 8 , ( k ? Z) 所以函数 f ( x ) 的单调减区间为
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 北 京 昌 平 二 模 数 学 理 科 试 题 及 答 案 ) 已 知 函 数

f ( x) ? sin(? ? 2x) ? 2 3 cos2 x, x ? R .
(Ⅰ)求 f ( ) ;

?

6

(Ⅱ)求 f (x) 的最小正周期及单调递增区间.
【 答 案 】



:(Ⅰ)

f ( x) ? sin(? ? 2 x) ? 2 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 3 ? 2sin(2 x ? ) ? 3 3

?

?

? ? ? 3 ? 3?2 3 ? f ( ) ? 2sin( ? ) ? 3 ? 2 ? 6 3 3 2
(Ⅱ) f ( x) ? 2sin(2 x ? 又由 2k? ?

?
3

) ? 3 的最小正周期 T ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

?
2

? k? ?

5? ? ? x ? k? ? (k ? Z) 可得 12 12

2? ?? 2

函数 f (x) 的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

5? ?? , k? ? ? (k ? Z) 12 12 ?

错误!未指定书签。.(2013 届北京市延庆县一模数学理)已知 f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2 sin 2 x .

(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)若 x ? [0,

?
6

] ,求 f (x) 的最小值及取得最小值时对应的 x 的取值.
3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1
????4 分 ????5 分 ????6 分 ????7 分 ????8 分

【答案】解:(Ⅰ) f ( x) ?

? 2 sin( 2 x ?
?T ?
由?

?
6

) ?1

?
2

2? ? ? ,? f (x) 最小正周期为 ? . 2 ? 2k? ? 2 x ?

?

? ?

?

2? ? ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? 3 3 3 ? k? ? x ?

6

?

?

2

? 2k? (k ? Z ) ,得

?

6

? k?

? f (x) 单调递增区间为 [?
(Ⅱ)当 x ? [0,

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z ) .

????9 分 ????10 分 ????11 分 ????13 分

?
6

] 时, 2 x ?

?

? f (x) 在区间 [0, ] 单调递增, 6

?

?[ , ] , 6 6 2

? ?

?[ f ( x)]min ? f (0) ? 0 ,对应的 x 的取值为 0 .

错误!未指定书签。.(北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 3 月联考综合练习(二)数 学 ( 理 ) 试 题 ) ( 本 小 题 满 分

13

分 )

已 知 函 数

?? ?? ?x ? ? f ( x) ? sin? ?x ? ? ? sin? ?x ? ? ? 2 cos2 , 其中 6? 6? 2 ? ?
(1)求函数 f (x) 的值域;

x ? R ,? ? 0 .

(2) 若函数 f (x) 的图象与直线 y ? ?1 的两个相邻交点间的距离为 单调增区间. 【答案】解:(1)

? , 求函数 f (x) 的 2

f ( x ) ? sin ?x ?

3 1 3 1 ? cos?x ? ? sin ?x ? ? cos?x ? ? (1 ? cos?x ) 2 2 2 2

= 3 sin ?x ? cos ?x ? 1 ? 2 sin(?x ? 所以函数 f ( x ) 的值域为 ?? 3,1?

?
6

) ?1

?????????????5 分

???????????????????7 分

(2)由

1 2? ? ? ? 得? ? 2 2 ? 2

???????????????????9 分

所以 f ( x ) ? 2 sin( 2 x ? 由? 得?

?

?

?

2

? 2 k? ? 2 x ?

?
6

6
?

) ?1

?
2

? 2k?

???????????????11 分

6

? k? ? x ?

?
3

? k?

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 ??

? ? ? ? ? k? , ? k? ? (k ? Z ) . 3 ? 6 ?

???13 分

错误!未指定书签。.(北京市海淀区北师特学校 2013 届高三第四次月考理科数学) 已知

π π π 7 2 , A?( , ) . sin( A ? ) ? 4 2 4 10
(Ⅰ)求 cos A 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) ? cos 2 x ?

5 sin A sin x 的值域. 2

【答案】解:(Ⅰ)因为

π π π 7 2 ? A ? ,且 sin( A ? ) ? , 4 2 4 10

所以

π π 3π π 2 ? A? ? , cos( A ? ) ? ? . 2 4 4 4 10

因为 cos A ? cos[( A ?

π π π π π π ) ? ] ? cos( A ? ) cos ? sin( A ? ) sin 4 4 4 4 4 4

??

2 2 7 2 2 3 ? ? ? ? . 10 2 10 2 5
3 . 5 4 . 5
????????6 分

所以 cos A ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 sin A ? 所以 f ( x) ? cos 2 x ?

5 sin A sin x 2

? 1 ? 2sin 2 x ? 2sin x

1 3 ? ?2(sin x ? ) 2 ? , x ? R . 2 2
因为 sin x ?[?1,1] ,所以,当 sin x ?

3 1 时, f ( x ) 取最大值 ; 2 2

当 sin x ? ?1 时, f ( x ) 取最小值 ?3 .

所以函数 f ( x ) 的值域为 [ ?3, ] .

3 2

????????13 分

错误!未指定书签。.(北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学理试题 )(本小题满

分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin

x x x cos ? cos 2 ? 1 . 2 2 2

(Ⅰ )求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间;

? ?? ] 上的最小值. ? ? x x 1 ? cos x ?1 【答案】解:(Ⅰ) f ( x) ? sin cos ? 2 2 2 1 1 1 ? sin x ? cos x ? ????????????????2 分 2 2 2
(Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [ ,

?

2 ? 1 sin( x ? ) ? . 2 4 2

?????????????????4 分

所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 2? . 21 世纪教育网 由 2k ? ?

????????????????6 分

? ? 3? ? 5? ? x ? ? 2k ? ? , k ? Z ,则 2k ? ? ? x ? 2k ? ? . 2 4 2 4 4
? 5? [2k ? ? , 2k ? ? ] 4 4 , k ? Z . ?????????9 分
???????????????11

函数 f ( x ) 单调递减区间是 (Ⅱ)由 分 则当 x ?

? ?? ? ? 7? ?x? ,得 ? x ? ? . ? ? 2 4 4

5? ? 3? 2 ?1 ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . 4 4 2 2

???????13 分

错误! 未指定书签。 2013 届北京丰台区一模理科) ( . 已知函数

f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? 2cos2 x.

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间;

? 3? (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [ , ] 上的值域. 4 4
【答案】解:(Ⅰ) f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? 2 cos x ?
2

2 sin(2 x ? ) ,???????3 4

?



? 最小正周期 T= ? , ???????????????????4 分

3? ](k ? Z ) , ?????????????7 分 8 8 ? 3? ? 3? ,? ? 2 x ? (Ⅱ)? ? x ? , 4 4 2 2 ? ? 5? ? ? 2x ? ? , ?????????????????10 分 4 4 4 ? 3? ?????????????13 分 ? f ( x) 在 [ , ] 上的值域是 [?1, 2] . 4 4
单调增区间 [k? ?

?

, k? ?

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 北 京 顺 义 二 模 数 学 理 科 试 题 及 答 案 ) 已 知 函 数

3 cos x ? sin x sin 2 x 1 ? . 2 cos x 2 ?? ? (I)求 f ? ? 的值; ?3? (II)求函数 f ?x ? 的最小正周期及单调递减区间. f ?x ? ?
【 答 案 】

?

?

? ?? 2? ? ? 3 cos ? sin ? sin 1 3 3? 3 ?? ? ? ? ? 解:(I) f ? ? ? ? 2 ?3? 2 cos 3
? 0? 1 1 ? 2 2

? 1 3? 3 ? 3? ? ?? ? ? 2 2 2 ? 1 ? ? 1 2 2? 2

(II) cos x ? 0 ,得 x ? k? ?

?
2

?k ? Z ?
?
? , k ? Z? . 2 ?

故 f ?x ? 的定义域为 ? x ? R x ? k? ?

? ?

因为 f ?x ? ?

?

1 3 cos x ? sin x sin 2 x 1 ? ? sin x 3 cos x ? sin x ? 2 2 cos x 2

?

?

?

?

3 1 3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? sin 2 x ? ? sin 2 x ? ? 2 2 2 2 2 3 1 ?? ? sin 2 x ? cos2 x ? sin? 2 x ? ? , 2 2 6? ?
2? ??. 2

?

所以 f ?x ? 的最小正周期为 T ?

因为函数 y ? sin x 的单调递减区间为 ?2k? ? 由 2k? ?

? ?

?
2

,2k? ?

3? ? ?k ? Z? , 2 ? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

3? ? , x ? k? ? ?k ? Z ? , 2 2

得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? ? , x ? k? ? ?k ? Z ? , 3 2

所以 f ?x ? 的单调递减区间为 ?k? ?

? ?

?
6

, k? ?

???

? 2? ? ?k ? Z? ?, ? k? ? , k? ? 2?? 2 3 ? ?

错误!未指定书签。.(2013 届北京海滨一模理科)已知函数 f ( x) ? 2 ? ( 3sin x ? cos x)2 .

(Ⅰ)求 f ( ) 的值和 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [? , ] 上的最大值和最小值.

π 4

? ?

6 3

【答案】解:(I)因为

f ( x) ? 2 ? ( 3sin x ? cos x)2

= 2 ? (3sin2 x ? cos2 x ? 2 3sin x cos x) ? 2 ? (1 ? 2sin2 x ? 3sin2 x) ?????
?2 分

= 1 ? 2sin2 x ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 3sin 2 x ??????4 分
π = 2sin(2 x ? ) ??????6 分所以 6 π π π 2π f ( ) ? 2sin(2 ? ? ) ? 2sin ? 3 ??????7 分 4 4 6 3
所以 f ( x ) 的周期为 T ?

2π 2π ? = π ??????9 分 |? | 2

(II)当 x ? [ ?

π π π 2π π π 5π , ] 时, 2 x ? [ ? , ] , (2 x ? ) ? [ ? , ] 3 3 6 3 6 6 6

所以当 x ? ?

π π 时,函数取得最小值 f ( ? ) ? ?1 ??????11 分 6 6

当x?

π π 时,函数取得最大值 f ( ) ? 2 ??????13 分 6 6

错误!未指定书签。.(北京市通州区 2013 届高三上学期期末考试理科数学试题 )已知函数

(Ⅰ)求 f ? x ? 的最小正周期;

1 f ? x ? ? sin x cos x ? cos 2 x ? . 2

(Ⅱ)求函数 f ? x ? 在 ? ?

? π π? , 的最大值和最小值. ? 8 2? ?

【答案】解:(Ⅰ)由已知,得

f ? x? ?

1 1 sin 2 x ? cos 2 x 2 2

????????2 分

?

2 ?? ? sin ? 2 x ? ? , 2 4? ?
T? 2? ?? , 2

????????4 分

所以 即

f ? x ? 的最小正周期为 ? ;
?

????????6 分

(Ⅱ)因为

?
8

?x?

?
2

,所以

0 ? 2x ?

?
4

?

5? . 4

?????? 7 分

于是,当 2 x ? 当 2x ?

?
4

?

?
2

时,即 x ?

?
8

时, f ? x ? 取得最大值

2 ;?? 10 分 2

?
4

?

5? ? 1 时,即 x ? 时, f ? x ? 取得最小值 ? .?????13 分 4 2 2

错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 届 北 京 市 高 考 压 轴 卷 理 科 数 学 ) 已 知 向 量

? a?

?

? ? 2 ? 3 cos x, 0 , b ? ? 0,sin x ? ,记函数 f ? x ? ? a ? b ? 3 sin 2 x .求:

?

?

?

(I)函数 f ? x ? 的最小值及取得小值时 x 的集合; (II)函数 f ? x ? 的单调递增区间.
【答案】解:(Ⅰ) f ( x) ? (a ? b) ? 3 sin 2 x
2

? 1 ? 2 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2
= 2 sin( 2 x ?

π )?2, 6 3

2π (k ? Z) 当且仅当 2 x ? π ? 2kπ ? 3π ,即 x ? kπ ? 时, f ( x) min ? 0 , 6 2

此时 x 的集合是 ? x | x ? kπ ? (Ⅱ)由 2kπ-

? ?

2 ? π, k ? Z ? 3 ?

π π π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? (k ? Z) ,所以 kπ- ? x ? kπ ? (k ? Z) , 2 6 2 3 6 π π 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 [kπ - , kπ ? ](k ? Z) 3 6
错误!未指定书签。.(北京市东城区普通高中示范校 2013 届高三 12 月综合练习(一)数学理

试题)已知函数 f ( x) ? sin 2 (

?
4

? x) ?

3 cos 2 x 2

(1)求函数 f (x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)函数 f (x) 的图象经过怎样的变换可以得到 y ? sin 2 x 的图象?
【答案】解:(1) f ( x) ? sin 2 (

?
4

? x) ?

3 cos 2 x 2

1 ? cos(
=

?

2 2

? 2 x)

?

3 cos 2 x 2

=

1 1 3 ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2 2

1 ? ? sin( 2 x ? ) 2 3 最小正周期 T ? ?
= 单调递增区间 [k? ?

5 ?] ,k ?Z 12 12 ? 1 (2) 向左平移 个单位;向下平移 个单位 6 2 , k? ?
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 北 京 东 城 高 三 二 模 数 学 理 科 ) 已 知 函 数

?

f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x) .
(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? (0, ) 时,求 f ( x ) 的取值范围.
【答案】 13 分)解:(Ⅰ)因为 (共

2? 3

f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x) ? 3 sin x cos x ? sin 2 x
1 1 ? 1 = ( 3 sin 2 x ? cos 2 x) ? ? sin(2 x ? ) ? . 2 2 6 2

=

1 (2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x) 2

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (Ⅱ) 因为 0 ? x ?

2? ? ?. ?

2? ? ? 3? ,所以 ? 2 x ? ? . 3 6 6 2
3 1 , ] 2 2

所以 f ( x ) 的取值范围是 ( ?

错误!未指定书签。.(北京市朝阳区 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)函数

? f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ) 部分图象如图所示. 2

y
2
?? 3

o
?2

? 6

x

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式,并写出其单调递增区间; (Ⅱ)设函数 g ( x) ? f ( x) ? 2cos 2 x ,求函数 g ( x) 在区间

? ? [? , ] 上的最大值和最小值. 6 4
【答案】解:(Ⅰ)由图可得 A ? 2 ,

T 2? ? ? ? ? ? , 2 3 6 2

所以 T ? ? ,所以 ? ? 2

? ? 时, f ( x) ? 2 ,可得 2sin(2 ? ? ? ) ? 2 , 6 6 ? ? 因为 | ? |? ,所以 ? ? . 2 6 ? 所以函数 f ( x ) 的解析式为 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) . 6 ? ? 函数 f ( x ) 的单调递增区间为 [k ? ? , k ? ? ](k ? Z) 3 6 ? (Ⅱ)因为 g ( x) ? f ( x) ? 2cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ? 2cos 2 x 6 ? ? ? 2sin 2 x cos ? 2 cos 2 x sin ? 2 cos 2 x 6 6 ? ? 3 sin 2 x ? 3cos 2 x ? 2 3 sin(2 x ? ) 3 ? ? ? 5? 因为 x ? [ ? , ] ,所以 0 ? 2 x ? ? . 6 4 3 6 ? ? ? 当 2 x ? ? ,即 x ? 时,函数 g ( x) 有最大值为 2 3 ; [来源:Z.X.X.K] 12 3 2 ? ? 当 2 x ? ? 0 ,即 x ? ? 时,函数 g ( x) 有最小值 0 6 3
当x?
错误!未指定书签。.(2013 届北京西城区一模理科)已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个

零点是

π . 4

(Ⅰ )求实数 a 的值;

(Ⅱ )设 g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x ,求 g ( x) 的单调递增区间.
【答案】(Ⅰ)解:依题意,得 f ( ) ? 0 ,

π 4

??????1 分

即 sin

π π 2 2a ? a cos ? ? ? 0, 4 4 2 2

??????3 分

解得 a ? 1 .

??????5 分 ??????6 分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin x ? cos x .

g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x ? (sin x ? cos x)(? sin x ? cos x) ? 3sin 2x ? (cos2 x ? sin2 x) ? 3sin 2x
? cos 2x ? 3sin 2x
??????7 分

??????8 分 ??????9 分

π ? 2sin(2 x ? ) . ??????10 分 6 π π π 由 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? , 2 6 2 π π 得 kπ ? ? x ? kπ ? , k ? Z . ?????12 分 3 6 π π 所以 g ( x) 的单调递增区间为 [ kπ ? , kπ ? ] , k ? Z . ??13 分 3 6
错 误 ! 未 指 定 书 签 。 . ( 2013 北 京 房 山 二 模 数 学 理 科 试 题 及 答 案 ) 已 知 函 数

f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ?) 的最小正周期为 ? ,且图象过点 ( , ) .

(Ⅰ)求 ?,? 的值;

? 1 6 2

? (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4
【答案】(Ⅰ)由最小正周期为 ? 可知

??

由 f( )?

?

6

1 得 2

又0 ?? ?? , (Ⅱ)由(Ⅰ)知

?
3

?

?

? 1 sin( ? ? ) ? , 3 2
3 ?? ? ? ?

2? ? 2, T

?

3

所以

?
3

?? ?

? 1 ) ? ] ? cos 2 x sin 2 x ? sin 4 x 4 2 2 ? ? k? ? k? ? ? ?x? ? (k ? Z) 解 2 k? ? ? 4 x ? 2 k? ? 得 2 2 2 8 2 8
所以 g ( x) ? cos 2 x ? sin[2( x ?

f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 2

?

? 5? ,? ? , 2 6

?

所以函数 g ( x) 的单调增区间为 [

k ? ? k? ? ? , ? ] (k ? Z) 2 8 2 8
?
6

错误!未指定书签。.(2011 年高考(北京理))已知函数 f ( x) ? 4cos x sin( x+ ) -1

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 [? , ] 上的最大值和最小值.

? ?

6 4

【答案】【命题立意】本题考查了两角和差的三角函数公式和二倍角公式以及三角函数

的图象和性质,会根据角的范围利用三角函数的图象求得三角函数的最值.

? 3 1 -1 sin x ? cos x) ? 1 【解析】(Ⅰ)因为 f ( x) ? 4cos x sin( x + ) ? 4cos x( 6 2 2
? 3sin 2 x ? 2cos2 x ? 1 ? 3sin 2 x ? cos2x ? 2sin(2 x ? ) 6 所以函数 f ( x) 的最小正周期为 ?
(Ⅱ)因为 ?

?

?
6

?x? ?

?
4

,所以 ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

2? 3

于是当 2 x ? 当 2x ?

?
6

?
2

,即 x ?

?
6

时, f ( x) 取得最大值 2;

?
6

??

?
6

,即 x ? ?

?
6

时, f ( x) 取得最小值-1


赞助商链接
相关文章:
...一轮复习试题选编8:三角函数的图象与性质(学生版)
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编8:三角函数的图象与性质(学生版)_数学_高中教育_教育专区。北京市 2014 届高三理科数学一轮复习试题选编 8:三角函数的...
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编:三角函数的图像...
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编:三角函数的图像及性质(教师版)_数学_高中教育_教育专区。山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编:三角函数的图像及性质一...
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编10:三角函数的图...
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编10:三角函数的图像及性质(教师版)_高考_...选择题 1 . (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A. 函数 y ?...
山东省2014届理科数学一轮复习试题选编10:三角函数的图...
山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编 10:三角函数的图像及性质 一、选择题 1 . (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A. 函数 y ? x sin ...
更多相关文章: