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第一轮复习经典资料——数列


高考复习经典好资 料——数列

第五单元





第五单元
第28讲





数列的概念与简单表示法

第29讲
第30讲 第31讲 第32讲

等差数列及其前n项和
等比数列及其前n项和 数列求和 数列的综合问题

单元网络

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核心导语
一、等差与等比数列 1.函数背景——数列可以看成定义域为 N*(或它的有限子集 {1,2,?,n})的函数. 2. 判断与证明——判断或证明数列是等差(等比)数列的最基本 的方法是根据等差(等比)数列的定义. 3.数列基本量——等差与等比数列的五个基本量 a1,d(或 q), n,an,Sn,知三可求二. 4. 性质的应用——解决等差(等比)数列问题, 若恰当应用性质, 可减少运算量.

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核心导语

二、数列的应用 1.数列求和——除了等差数列、等比数列的求和外,还会 涉及裂项相消求和、错位相减求和等方法. 2.适度交汇——数列是一种特殊的函数,应用函数与方程 思想,构造辅助函数解决数列中的不等式恒成立问题等.

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使用建议
1.编写意图 课标与大纲相比,对数列内容的要求变化不大,即主干知 识基本不变,最大的变化是课标突出了数列与函数的内在 联系,删减了烦琐的计算、人为技巧化的难题,注重应用, 关注学生对数列模型的本质的理解,因此,近几年课标区 高考对数列考查的难度降低.在编写本单元时注意到了如 下的几个方面: (1)注重双基:降低难度,强化对等差、等比数列的定义、 性质、通项公式与前n项和等基础知识和通性通法的训练, 注重应用等差数列、等比数列的性质.应用性质解题,往 往可以回避求首项和公差或公比,使问题得到整体解决, 能够减少运算量.学生通过本单元的复习能够熟练运用数 列的基本知识和基本方法解决问题.
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使用建议
(2)淡化递推数列:新课标降低了对递推数列的要求,只要 求根据数列的首项和递推公式写出它的前几项,并归纳出 通项公式;课标考试大纲虽然未提及递推数列,但近两年 也进行了适当的考查,课标区高考对递推数列的考查难度 相对降低.因此,本单元把简单的递推数列问题在各讲中 适当呈现,但严格控制难度. (3)强化数列求和:数列求和在高考的数列的解答题中占有 突出位置,除了等差数列、等比数列的求和外,还会涉及 裂项求和、错位相减求和等求和方法,在本单元的编写中 专门设置了一讲重点复习数列求和.

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使用建议
(4)适度交汇:考虑到高考对数列的考查具有交汇性的特点, 编写中适度加入了数列和函数、数列和不等式等的交汇题 目;渗透数列推理题(开放性、探索性试题)、新定义题的 复习;等差数列和等比数列的实际应用是考试大纲明确要 求的,在第32讲中设置了关于数列的实际应用的探究点. 2.教学建议 数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础, 所以在高考中占有重要的地位.高考对数列的考查比较全 面,等差数列、等比数列的考查每年都不会遗漏.根据近 几年课标区高考对数列的考查要求,在指导学生复习该单 元时要注意如下两点:

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使用建议
(1)重视基础知识、基本方法的复习,加强基本技能 的训练.数列中的基础知识就是数列的概念、等差数 列(概念、中项、通项、前n项和)、等比数列(概念、中 项、通项、前n项和);基本方法主要有基本量方法、 错位相减求和法、裂项求和法、等价转化法等;基本 技能主要是运算求解的技能、推理论证的技能等,在 复习中要把这些放在突出的位置. (2)突出数学思想方法在解题中的指导作用.数列是 特殊的函数,深刻领会函数思想和方程的思想,这是 解决数列问题的关键;数列问题中蕴含着极为丰富的 数学思想方法,如由前n项和求数列通项、等比数列求 和的分类整合思想,数列问题可以通过函数方法求解 的函数思想,等差数列和等比数列问题中求解基本量 的方程思想,
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使用建议
把一般的数列转化为等差数列或者等比数列的等价转化思想 等,要引导学生通过具体题目的解答体会数列问题中的数学 思想方法,并逐步会用数学思想指导解题. 3.课时安排 本单元共5讲,每讲1个课时;一个45分钟滚动基础训练卷和 一个突破高考解答题,2个课时.本单元建议7个课时完成复 习任务.

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第28讲 数列的概念与简单 表示法

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考试说明

1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、 通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.

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第28讲
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数列的概念与简单表示法

1.数列的概念 一定顺序 排列着的一列数称为 (1)数列的定义:按照____________ 项 数列,数列中的每一个数叫作这个数列的________ . (2)数列与函数的关系:从函数观点看,数列可以看成以 定义域 的函数________, 正整数集 N*(或它的有限子集)为________ 当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函 数值. 列表法 、________ 图像法 (3)数列有三种表示法,它们分别是________ 解析法 . 和________

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第28讲
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数列的概念与简单表示法

项数有限

项数无限
an+1≥an

an+1≤an
an+1=an |an|≤M 大于 小于

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数列的概念与简单表示法

3.数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式:如果数列{an}的第 n 项 an 与________ 序号 n an=f(n) 来表示, 之间的关系可以用一个公式________ 那么这个公 式叫作这个数列的通项公式. (2)递推公式: 如果已知数列{an}的第 1 项(或前几项), 且从第二项(或某一项)开始的任一项 an 与它的前一项 an- 一个公式 来表示,那么 1(或前几项)间的关系可以用_____________ 这个公式就叫作这个数列的递推公式.

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数列的概念与简单表示法

—— 链接教材 ——

1 1 3 2 1.[教材改编] 数列 0,3,2,5,3,?的通项公式为 ________.

n-1 [答案] an= n+1
0 1 2 3 4 [解析] 数列可化为2,3,4,5,6,?,观察归纳得 n-1 an= . n+1
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数列的概念与简单表示法

2 2.[教材改编] 已知数列{an}的通项公式为 an= 2 , n +n 则数列{an}的第 5 项为________.

1 [答案] 15
2 2 1 [解析] 由 an= 2 ,n=5,得 a5= 2 = ,即 n +n 5 +5 15 1 数列{an}的第 5 项为 . 15

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第28讲
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数列的概念与简单表示法

3 . [ 教材改编 ] 已知非零数列 {an} 的递推公式为 an = n ? a - (n>1), 且 a1=3, 则数列{an}的第 4 项为________. n-1 n 1

[答案] 12

[解析] 依次对递推公式中的 n 赋值,当 n=2 时,a2 3 4 =2a1;当 n=3 时,a3=2a2=3a1;当 n=4 时,a4=3a3 =4a1=12,即数列{an}的第 4 项为 12.

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第28讲
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数列的概念与简单表示法

4.[教材改编] 已知数列{an}的通项公式为 an=30+n- n2,则-60 是数列{an}中的第________项.
[答案]10

[解析] 假设-60 是{an}中的一项,则-60=30+n -n2, 即 n2-n-90=0,解得 n=10 或 n=-9(舍去). ∴-60 是{an}中的第 10 项.

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数列的概念与简单表示法

—— 疑 难 辨 析 ——
1.数列概念的易错易混点 (1)数列 2, 3, 4 与数列 4, 3, 2 表示同一个数列. ( ) (2)-5,-5,-5,?不能表示数列.( ) (3)数列可以看成自变量 n 从 1 开始依次取正整数所 对应的一列函数值.( ) (4)数列的项数是有限的.( ) (5) 数列是特殊的函数,数列也有单调性、奇偶 性.( )

[答案]

1.(1)?

(2)?

(3)√ (4)?

(5)?

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第28讲
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数列的概念与简单表示法

[解析] (1)数列的共同特征是数列中的数按照一定顺 序排列, 故相同的一组数按不同顺序排列时表示不同的数 列. (2)数列定义中只规定数列中的数要按照一定顺序排 列,故数列中的数可以重复,-5,-5,-5,?表示常 数列. (3) 数列是一种特殊的函数,其定义域是正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,?,n}),值域是自变量顺 次从小到大依次取值时的对应值. (4)数列按项数分为有穷数列和无穷数列. (5)递增数列、 递减数列就是单调数列; 数列可以看成 一个定义在 N*(或它的有限子集{1,2,3,?,n})上的特 殊函数,故其图像不可能关于 y 轴或原点对称,所以数列 不具有奇偶性.
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第28讲
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数列的概念与简单表示法

2.an 与 n 关系的疑难点 (1)一个数列的通项公式是唯一的,每个数列都有通项 公式.( ) (2)若数列{an}的通项公式为 an=f(n),则数列{an}的单 调性与函数 y=f(x)的单调性一致.( )

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第28讲
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数列的概念与简单表示法

[答案] (1)? (2) ?
[解析] (1)数列的通项公式不唯一,给出前 n 项时,写 出的通项公式可以不止一个,如数列-1,1,-1,1,?, 通项公式可以为 an=(-1) 或
n

? ?-1(n为奇数), an=? 并 ? ?1(n为偶数).

不是每一个数列都有通项公式,有的数列没有通项公式. (2)数列可以看成以正整数集 N*(或它的有限子集{1, 2,3,?,n})为定义域的函数 an=f(n),当自变量从小到 大依次取值时对应的一列函数值,其图像为函数 y=f(x) 图像上的孤立点,但数列{an}的单调性与函数 y=f(x)的单 调性不一定一致.
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第28讲
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数列的概念与简单表示法

3.由递推公式确定数列的方法技巧 1 (1)若已知数列{an}的递推公式为 an+1= ,且 2an-1 a2=1,则可以写出数列{an}的第 1000 项.( ) (2)等差数列与等比数列都是递推数列.( ) (3)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn+Sm=Sn+m, 且 a1=1,那么 a10=10.( )

[答案] (1)√

(2)√

(3)?

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第28讲
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数列的概念与简单表示法

[解析] (1)由数列的递推公式的定义知,已知 a2 可求 a3,?,因此可以写出数列{an}的任何一项,故正确. (2)由等差数列的定义,知 an+1=an+d(d 是常数),则 等差数列是递推数列; 由等比数列的定义, 知 an+1=qan(q 是常数),则等比数列也是递推数列. (3)由 a10=S10-S9=S1+S9-S9=S1=a1=1,即 a10= 1.

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第28讲

数列的概念与简单表示法

?

探究点一

根据数列的前几项求数列的通项公式

8 15 8 例 1 [2013· 山西四校联考] 数列 0,-1,5,- 7 ,3,?
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的一个通项公式是(

)

2 n n +2 A.an=(-1) 2n+3 2 n n+1 -1 B.an=(-1) 2n-1 2 n n +1 C.an=(-1) 2n+1 2 n n+1 +1 D.an=(-1) 2n-3

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第28讲

数列的概念与简单表示法

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(2)[2013· 武汉调研] 在如图 5281 所示的数表中,第 i 行第 j 列的数记为 ai,j,且满足 a1,j=2j-1,ai,1=i,ai+1,j+1= ai ,j +ai +1 ,j(i ,j∈N*),则此数表中的第 2 行第 8 列的数是 ________; 记第 3 行的数 3, 5, 8, 13, 22, 39, ?为数列{bn}, 则数列{bn}的通项公式是________. 第1行 1 2 4 8 ? 第2行 2 3 5 9 ? 第 3 行 3 5 8 13 ? ?? 图 5281

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第28讲

数列的概念与简单表示法

点 面 讲 考 向

[思考流程](1)分析:数列各项的特征.推理:项与 项数之间的关系.结论:得出通项公式. (2)分析:把数列各项分解.推理:观察其规律,以及 项与项数之间的关系.结论:得出通项公式.
[答案] (1)B (2)129 bn=2n-1+n+1

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第28讲

数列的概念与简单表示法

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0 3 8 15 24 [解析] (1)把已知数列写为1,-3,5,- 7 , 9 ,?, 各项的分母是 1,3,5,7,9,?,其通项公式为 bn =2n-1;对于分子 0,3,8,15,24,?,联想到数列 1, 4,9,16,?,即数列{n2},可得分子的通项公式为 cn= n2-1;又偶数项为负,则可得它的一个通项公式为 an=
2 n n+1 -1 (-1) . 2n-1

(2)由已知,得 a2,j=a1,j+1, ∴a2,8=a1,7+a2,7=a1,7+a1,7+1=2?26+1=129. 观察数列 3,5,8,13,22,39,?,可以看出每一项可 表示为 1+1+1,2+2+1,4+3+1,8+4+1,16+5+1, 32+6+1,?,∴归纳出通项公式为 bn=2n-1+n+1.
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第28讲

数列的概念与简单表示法

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 根据数列的前几项写通项时, 常用方法 是观察法,观察数列的特征,找出各项共同的规律,观察 时要注意以下几方面的特征: ①分式中分子、 分母的特征; ②相邻项的变化特征; ③各项符号的特征, 对于正负符号 + 的变化,可用(-1)n 或(-1)n 1 来调整并对此进行归纳、 联想. 有时还需把各项变形, 再观察各项之间的关系结构 与各项与项数 n 的关系,进而确定数列的通项公式.

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第28讲

数列的概念与简单表示法

变式题 (1)[2013· 淄博二模] 在如图 5282 所示的数阵 中,第 9 行的第 2 个数为________.
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图 5282

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第28讲

数列的概念与简单表示法

点 面 讲 考 向

(2)[2013· 广州二模] 数列{an}的项是由 1 或 2 构成, 且 首项为 1,在第 k 个 1 和第 k+1 个 1 之间有 2k-1 个 2,即 数列{an}为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,?, 记数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,则 S20 = ________ ; S2013 = ________.

[答案]

(1)66

(2)36

3981

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数列的概念与简单表示法

点 面 讲 考 向

[解析] (1)每行的第二个数构成一个数列{an},由题 意知 a2=3,a3=6,a4=11,a5=18,则 a3-a2=3,a4 -a3=5, a5-a4=7, ?, an-an-1=2(n-1)-1=2n-3, 各式两边同时相加,得 (2n-3+3)?(n-2) 2 an-a2= = n -2n, 2 即 an=n2-2n+a2=n2-2n+3(n≥2),故 a9=92- 2?9+3=66.

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第28讲

数列的概念与简单表示法

(2)数列{an}的前 20 项中,共有 4 个 1,16 个 2,
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则 S20=4?1+16?2=36. 记第 k 个 1 与其后面的 k 个 2 组成第 k 组,其组内 元素个数记为 bk,则 bk=2k, b1+b2+?+bn=2+4+?+2n=n(n+1)<2013, 由 44?45=1980<2013,45?46=2070>2013, 可知 n=44,即前 2013 项中有 44 个 1 以及 1969 个 2,故 S2013=44+1969?2=3982.

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第28讲

数列的概念与简单表示法

?

探究点二

由数列的前n项和Sn求通项公式an

点 面 讲 考 向

例 2 (1)[2013· 晋中四校联考] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-1,则其通项公式为 an=( ) A.3?2n-1 B.2?3n-1 C.2n D.3n (2)[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 若数列{an}的前 n 项和 Sn 2 1 = an+ ,则{an}的通项公式是 an=________. 3 3

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数列的概念与简单表示法

点 面 讲 考 向

[思考流程](1)条件:已知数列{an}的前 n 项和 Sn. 推理:由 an 与 Sn 的关系求通项 an.结论:得出数列{an}的 通项公式 an. (2)条件:已知 an 与 Sn 的关系式.推理:利用关系式 an=Sn-Sn-1 求解.结论:化归为求等比数列的通项公式 an.
[答案] (1)B (2)(-2)n-1

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数列的概念与简单表示法

点 面 讲 考 向

[解析] (1)当 n=1 时,a1=S1=3-1=2, - - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n 1-1)=2· 3n 1, 又 a1=2 满足上式,故数列{an}的通项公式为 an=2· 3n-1. 2 1 2 1 (2)因为 Sn=3an+3①,所以 Sn-1=3an-1+3②,①-②得 an 2 2 2 1 =3an-3an-1,即 an=-2an-1.又因为 S1=a1=3a1+3?a1=1, 所以数列{an}是以 1 为首项,-2 为公比的等比数列,所以 an - =(-2)n 1.

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数列的概念与简单表示法

点 面 讲 考 向

[归纳总结](1)已知 Sn 求 an,常用方法是利用 an= Sn-Sn-1(n≥2),这里易因忽略条件 n≥2 而出错,即由 an =Sn-Sn-1 求得 an 时的 n 是从 2 开始的自然数.要验证 a1 是否满足 an.若满足,则统一用 an 表示;若不满足,则 通项公式用分段函数形式表示. (2)给出 Sn 与 an 的递推关系,要求 an,常用思路:一 是利用 Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为 an 的递推关系,再求其 通项公式;二是转化为 Sn 的递推关系,先求出 Sn 与 n 之 间的关系,再求 an.

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第28讲

数列的概念与简单表示法

点 面 讲 考 向

变式题 [2013· 沈阳三检] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn =n2-7n+1,第 k 项满足 3<ak<6,则 k 等于( ) A.9 B.8 C.7 D.6

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数列的概念与简单表示法

[答案] D
点 面 讲 考 向

[解析] 当 n=1 时,a1=S1=1-7+1=-5?(3,6); 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(n2-7n+1)-[(n-1)2- 7(n-1)+1)]=2n-8, ∴数列{an}的通项公式为
? ?-5,n=1, an=? ? ?2n-8,n≥2.

由 3<ak<6,得 3<2k-8<6,解得 5.5<k<7, 又 k∈N*,所以 k=6.

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数列的概念与简单表示法

?

探究点三

数列的函数特征

点 面 讲 考 向

例 3 [2013· 金华模拟] 定义:对于任意 n∈N*,满 an+an+2 足条件 2 ≤an+1 且 an≤M(M 是与 n 无关的常数)的 无穷数列{an}称为 T 数列. (1)若 an=-n2+9n(n∈N*),证明:数列{an}是 T 数 列; 3 n (2)设数列{bn}的通项为 bn=50n- (2) , 且数列{bn} 是 T 数列,求常数 M 的取值范围.

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第28讲

数列的概念与简单表示法

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)条件:给出数列{an}的通项公式.目 标:证明数列{an}是 T 数列.方法:利用二次函数及不等 式性质证明. (2)条件:已知数列{bn}是 T 数列.目标:求常数 M 的取值范围.方法:类比函数的性质求解.

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第28讲

数列的概念与简单表示法

点 面 讲 考 向

解:(1)证明:由 an=-n2+9n,得 an+an+2-2an+1=-n2+9n-(n+2)2+9(n+2)+2(n+ 1)2-18(n+1)=-2, an+an+2 所以数列{an}满足 2 ≤an+1. ? 9?2 81 又 an=-?n-2? + ,当 n=4 或 5 时,an 取得最大值 4 ? ? 20,即 an≤20. 综上,数列{an}是 T 数列.

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第28讲

数列的概念与简单表示法

(2)因为 1?3?n -2?2? , ? ?

?3?n+1 ?3?n bn+1-bn=50(n+1)-?2? -50n+?2? =50 ? ? ? ?

点 面 讲 考 向

1?3?n 所以当 50-2?2? ≥0,即 n≤11 时,bn+1-bn>0,此时 ? ? 数列{bn}单调递增; 当 n≥12 时,bn+1-bn<0,此时数列{bn}单调递减. 故数列 {bn} 的最大项是 b12 ,所以 M 的取值范围是 ?3? M≥600-?2?12. ? ?

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第28讲

数列的概念与简单表示法

点 面 讲 考 向

[归纳总结](1)关于数列最大项、最小项、数列有界 性的问题均可借助数列的单调性来解决,判断数列单调性 的方法与判断函数的单调性一致.数列本质上也是函数, 解题时应注意函数的知识与思想方法在数列中的应用. (2)数列是一种特殊的函数,即数列是定义域为正整数 集或其子集的函数.函数所具有的性质在数列中也有,可 以根据研究函数性质的方法研究数列的性质.在研究数列 问题时既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的 特殊性.

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第28讲

数列的概念与简单表示法

思想方法


7.化归与转化思想在求数列通项中的应用

多 元 提 能 力

(1)[2013· 合肥联考] 已知数列{an}满足 a1=15,且 an+1 an -an=2n,则 n 的最小值为________. 6 3Sn (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,如果 a1=7,an= ,那 n+3 么 a48=________. [答案] 27 (1) 4 (2)350

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第28讲

数列的概念与简单表示法

多 元 提 能 力

[解析] (1)由 an+1-an=2n,得 a2 - a1 = 2, a3 - a2 =2?2 , a4 -a3 = 2?3 ,?, an - an- 1 =2(n-1),把这 n-1 个式子累加,得 an-a1=2(1+2+3+? 15 an 2 +n-1)=n(n-1),则 an=n -n+15,即 n =n+ n -1.记 f(x) 15 15 =x+ x (x>0),则 f′(x)=1- x2 . 15 15 令 1- x2 >0,得 x> 15;令 1- x2 <0,得 0<x< 15, ∴f(x)在区间(0, 15)上是减函数,在区间( 15,+∞)上 15 an 是增函数.又 n∈N ,则当 n=3 时, n =3+ 3 -1=7;当 n 15 27 27 an an =4 时, n =4+ 4 -1= 4 ,故 n 的最小值为 4 .
*

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第28讲

数列的概念与简单表示法

3Sn ,得 3Sn=(n+3)an, n+3 3Sn-1=(n+2)an-1,两式相减,得 (2)由 an= an n+2 3an=(n+3)an-(n+2)an-1,即 = n . an-1
多 元 提 能 力

a2 4 a3 5 a4 6 an n+2 则a =2,a =3,a =4,?, = n , a 1 2 3 n -1 an (n+1)(n+2) 各式相乘,得a = , 2?3 1 49?50 6 故 a48= ?7=350. 2?3
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第28讲

数列的概念与简单表示法

[规律解读] 由数列的递推公式求通项公式或研究数列性 质的问题是高考的难点, 解决这类问题的基本思路是通过对递 推公式的变换,运用累加或累乘进行项的相消(或相约),或重 新构造一个数列,将一般的数列化归为等差、等比数列.
多 元 提 能 力

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第28讲

数列的概念与简单表示法

[备选理由] 例 1 是已知数列的递推公式求数列的通项 公式;例 2 是数列函数特征的综合题.

教 师 备 用 题
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第28讲

数列的概念与简单表示法

例 1 【配例 1 使用】 已知数列{an}满足 a1=1,an =an-1+3n-2(n≥2). (1)求 a2,a3; (2)求数列{an}的通项公式.

教 师 备 用 题
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第28讲

数列的概念与简单表示法

教 师 备 用 题

解: (1)由已知数列{an}满足 a1=1, an=an-1+3n-2(n≥2), 得 a2=a1+4=5,a3=a2+7=12. (2)由已知 an=an-1+3n-2(n≥2)得 an-an-1=3n-2, 由递推关系,得 an-1-an-2=3n-5,?,a3-a2=7,a2- a1=4,叠加得 an-a1=4+7+?+3n-2= (n-1)(4+3n-2) 3n2-n-2 = , 2 2 3n2-n ∴an= (n≥2). 2 3?12-1 当 n=1 时,1=a1= =1, 2 3n2-n ∴数列{an}的通项公式为 an= 2 .
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第28讲

数列的概念与简单表示法

例 2 [配例 3 使用] [2013· 广东六校联考] 已知在 等差数列{an}中,a1=31,Sn 是它的前 n 项和,S10=S22. ) (1)求 Sn; (2)这个数列的前多少项的和最大?并求出这个最大 值.

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第28讲

数列的概念与简单表示法

解:(1)∵S10=a1+a2+?+a10, S22=a1+a2+?+a22,又 S10=S22, ∴a11+a12+?+a22=0, 12(a11+a22) =0,即 a11+a22=2a1+31d=0. 2 又 a1=31,∴d=-2, n(n-1) 2 ∴Sn=na1+ d = 31 n - n ( n - 1) = 32 n - n . 2
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第28讲

数列的概念与简单表示法

(2)方法一:由(1)知 Sn=32n-n2, ∴当 n=16 时,Sn 有最大值,Sn 的最大值是 256. 方法二:由 Sn=32n-n2=n(32-n),可知欲使 Sn 有 最大值,应有 1<n<32, n+32-n 2 从而 Sn≤( ) =256, 2 当且仅当 n=32-n,即 n=16 时,Sn 有最大值 256.
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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第29讲 等差数列及其前n项和

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考试说明

1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用 有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系.

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第29讲
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等差数列及其前n项和

1.等差数列的概念 (1) 定 义 : 如 果 一 个 数 列 从 第 2 项 起 , 每 一 项 与 它的前一项的差 _______________________ 都等于同一个常数,那么这个数列就叫 公差 ,通常用 d 表示, 作等差数列.这个常数叫作等差数列的________ an-an-1=d (n≥2,d 为常数). 其符号语言为______________ (2)如果三个数 a,A,b 成等差数列,则 A 叫作 a 与 b 的_ a+b 等差中项 2 _______________ ,其中 A=________________ .

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等差数列及其前n项和

2.等差数列的通项公式与前 n 项和公式 (1)若等差数列{an}的首项为 a1, 公差是 d, 则其通项公式为 ________________ an=a1+(n-1)d ; 若等差数列{an}的第 m 项为 am,则其第 n 项 an 可以表示为 ________________ an=am+(n-m)d . (2)等差数列的前 n 项和公式

n(n-1) n(a1+an) na1+ d 2 2 Sn=________________ =_________________.

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等差数列及其前n项和

3.等差数列的性质 已知{an}是等差数列,Sn 是数列{an}的前 n 项和. (1) 若 m + n = p + q(m , n , p , q∈N*) , 则有 am + an = ap+aq _______________________ . 递增 数列; (2)等差数列{an}的单调性: 当 d>0 时, {an}是________ 递减 数列;当 d=0 时,{an}是________ 常数列 . 当 d<0 时,{an}是________ kd (3)am,am+k,am+2k,?仍是等差数列,公差为________ . (4)数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?成等差数列.

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等差数列及其前n项和

4.等差数列与函数的关系 an=dn+a1-d ,当 (1) 等差数列 {an} 的通项公式可写成 ______________ 一次函数 ,它的图像是直线 y=dx d≠0 时,它是关于 n 的_____________ 孤立的点 ; +(a1-d)上横坐标为正整数的均匀分布的一群_____________ a1 ,它是常数函数. 当 d=0 时,an=________ (2)等差数列{an}的前 n 项和公式可变形为 Sn=_____

d? d 2 ? n +?a1-2?n 2 ? ? _________________ ,当 d≠0 时,它是关于 n 的常数项为的 d 2 d 二次函数 ________________ ,它的图像是抛物线 y=2x +a1-2x 上横 孤立的点 坐标为正整数的均匀分布的一群________________ .

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—— 链接教材 ——
1.[教材改编] 等差数列-3,1,5,?的第 15 项的值 是________.

[答案]53
[解析] 由已知得 a1=-3,d=4, ∴an=-3+(n-1)?4=4n-7, ∴a15=4?15-7=53.

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2.[教材改编] 等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则 数列{an}的公差为________.
[答案] 2

[解析]

? ?2a1+4d=10, 设等差数列{an}的公差为 d.则? ? ?a1+3d=7,

解得 d=2.

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等差数列及其前n项和

3.[教材改编] 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 1 a1=2,S4=20,则 S6 等于________.
[答案] 48

[解析] 设等差数列{an}的公差为 d. 4?3 1 4?3 由已知得 4a1+ 2 d=20,即 4?2+ 2 d=20, 解得 d=3, 1 6?5 ∴S6=6? + ?3=3+45=48. 2 2

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4.[教材改编] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=n2+ n+1,则其通项公式 an=________.
[答案]
? ?3,n=1, ? ? ?2n,n=2

[解析] 当 n=1 时,a1=S1=3. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=n2+n+1-(n-1)2-(n- 1)-1=2n. ∵a1=3 不满足 an=2n.
? ?3,n=1, ∴an=? ? ?2n,n≥2.

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等差数列及其前n项和

—— 疑 难 辨 析 ——
1.等差数列的公差的易错易混点 (1)等差数列的公差不可以是负数.( ) (2)等差数列的公差是相邻两项的差.( ) (3)已知数列{an}的通项公式是 an=pn+q(其中 p,q 为常 数),则数列{an}一定是等差数列.( ) (4)等差数列{an}中,a1=-5,从第 10 项开始为正数, 5 则公差 d 的取值范围是( ,+∞).( ) 9
[答案] (1)? (2)? (3)√ (4)?

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[解析] (1)对于等差数列{an},公差为 d,当 d=0 时,数 列是常数列,d>0 时,数列是递增数列,当 d<0 时,数列是 递减数列. (2)公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后 项来求. (3)当 n≥2 时,an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q]=p,它 是一个与 n 无关的数, 故这个数列是以 p 为公差的等差数列. (4)由已知等差数列{an}从第 10 项开始为正数, 则 a10>0, 且 a9≤0,即
? ?-5+9d>0, 5 5 ? 解得9<d≤8. ? ?-5+8d≤0,

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等差数列及其前n项和

2.等差数列的前 n 项和公式的常用结论 n(n-1) (1)在等差数列的前 n 项和公式 Sn=na1+ d 2 中,Sn 一定是关于 n 的二次函数.( ) (2)如果一个数列{an}的前 n 项和为 Sn=pn2+qn+r, 其中 p,q,r 为常数,且 p≠0,那么这个数列一定是等 差数列.( )
[答案] (1)? (2)?

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等差数列及其前n项和

d 2 d [解析] (1)Sn= n +(a1- )n,当 d=0 时,Sn 不是关于 n 2 2 的二次函数;当 d≠0 时,Sn 是关于 n 的二次函数. (2)由 Sn=pn2+qn+r,可知当 n=1 时,S1=a1=p+q+ r.当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(pn2+qn+r)-[p(n-1)2+q(n- 1)+r]=2pn-(p-q), 若 r=0,a1=p+q+r 满足上式,则数列{an}的通项公式 为 an=2pn-(p-q),∴d=an-an-1=[2pn-(p-q)]-[2p(n- 1)-(p-q)]=2p(常数), 故这个数列一定是等差数列, 首项 a1=p+q, 公差为 2p. 若 r≠0,a1=p+q+r 不满足 an=2pn-(p-q),则数列{an} 不是等差数列.

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等差数列及其前n项和

3.等差数列性质的方法技巧 (1)在等差数列{an}中,a3+a7=a10.( ) (2) 若数列 {an} 和 {bn} 都是等差数列,则数列 {pan - qbn}(p,q 为常数)也是等差数列.( ) (3)若将等差数列定义中的“差”改为“和”,则数 列是周期数列.( )

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等差数列及其前n项和

[答案] (1)?

(2)√

(3)√

[解析] (1)在等差数列{an}中, a3+a7=a1+2d+a1+6d =2a1+8d,a10=a1+9d, 故 a3+a7≠a10. (2)设等差数列{an}和{bn}的公差分别为 d1,d2,则当 n≥2 时, (pan-qbn)-(pan-1-qbn-1)=p(an-an-1)-q(bn-bn-1) =pd1-qd2, 它是一个与 n 无关的数. 故这个数列是以 pd1 -qd2 为公差的等差数列. (3)一个数列从第二项起每一项与它前一项的和都等 于同一个常数,即 a2+a1=a3+a2=a4+a3=?=d,则这 个数列变为 a1,a2,a1,a2,a1,a2,?,是周期为 2 的周 期数列.
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等差数列及其前n项和

?

探究点一

等差数列的函数特征

点 面 讲 考 向

例 1 [2013· 晋中四校一联] 已知等差数列{an}的首 项 a1=20,前 n 项和记为 Sn,满足 S10=S15.求 n 取何值 时,Sn 取得最大值,并求出最大值.

[思考流程] 条件:给出等差数列的两个条件.目标: 求 Sn 的最大值.方法:利用函数的性质求解.

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等差数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

解:设等差数列{an}的公差为 d,由 a1=20,S10=S15, 得 10?9 15?14 5 10?20+ 2 d=15?20+ 2 d,解得 d=-3, ? 5? ∴等差数列{an}的通项公式为 an=20+(n-1)?-3?= ? ? 5 65 -3n+ 3 .

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等差数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

5 65 方法一:令 an=- n+ =0,得 n=13,即 a13=0. 3 3 当 n≤12 时,an>0;当 n≥14 时,an<0. 5 又公差 d=-3<0,∴数列{an}单调递减, ∴当 n=12 或 n=13 时, Sn 取得最大值, 最大值是 S12 =S13=130. n(a1+an) 5 2 125 方法二:Sn= =-6n + 6 n= 2 5? 25?2 3125 - ?n- 2 ? + , 6? 24 ? 又 n∈N*,则当 n=12 或 n=13 时,Sn 取得最大值, 最大值是 S12=S13=130.
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等差数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 对于等差数列{an},它的通项公式可写 成 an=dn+a1-d,an 可以看作关于 n 的一次函数(特殊 地,公差为 0 时是常数函数)图像上的离散点;当 d≠0 d 2 时, 前 n 项和 Sn 可以看成关于 n 的二次函数 Sn=2n +a1 d -2n 的图像上的离散点(特殊地, 当公差为 0 时, Sn 可看 成关于 n 的正比例函数或常数函数的图像上的离散点).

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?

探究点二
例2

等差数列的判断与证明

点 面 讲 考 向

[2013· 广东卷改编] 设数列{an}的前 n 项和为 2Sn 1 2 Sn,已知 a1=1, n =an+1- n2-n- ,n∈N*. 3 3 (1)求 a2 的值; (2)求数列{an}的通项公式. [思考流程] 条件:已知数列{an}的前 n 项和 Sn 与 an 的递推关系.目标:求数列{an}的通项 an.方法:由递推 式化归为等差数列问题求解.

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等差数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

2Sn 1 2 2 解: (1)已知 n =an+1- n -n- ,n∈N*, 3 3 1 2 ∴当 n=1 时,2S1=a2- -1- , 3 3 即 2a1=a2-2,解得 a2=4. 2Sn 1 2 2 (2)由 n =an+1- n -n- ,n∈N*,得 3 3 1 3 2 2 2Sn = nan + 1 - 3 n - n - 3 n = nan n(n+1)(n+2) .① 3



1



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等差数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

(n-1)n(n+1) 当 n≥2 时,2Sn-1=(n-1)an- .② 3 由①-②,得 2(Sn-Sn-1)=nan+1-(n-1)an-n(n+1). ∵an=Sn-Sn-1, ∴2an=nan+1-(n-1)an-n(n+1),即 nan+1-(n+1)an =n(n+1),
?an? an+1 an a1 ? ? ∴ - =1,数列 n 是首项为 1 =1,公差为 1 的 n+1 n ? ?

等差数列, an ∴ n =1+1?(n-1)=n,即 an=n2(n≥2). 又 a1=1 满足上式,故数列{an}的通项公式为 an=n2.

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点 面 讲 考 向

[归纳总结] (1)判断数列{an}是不是等差数列,通常 有两种方法:①定义法,证明 an-an-1=d(n≥2,d 为常 数);②等差中项法,证明 2an=an-1+an+1(n≥2). (2)用定义证明等差数列时,常采用的两个式子 an+1 -an=d 和 an-an-1=d,但它们的意义不同,后者必须 加上“n≥2”,否则,当 n=1 时,a0 无定义.

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等差数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

变式题 [2013· 福建五地七校联考 ] 已知数列 {an} 的 x 首项 a1=1,且点(an,an+1)在函数 f(x)= 的图像上, 4x+1 1 bn=a (n∈N*). n (1)求证:数列{bn}是等差数列,并求数列{an},{bn} 的通项公式. (2)试问数列{an}中 ak? ak+1(k∈N*)是否仍是{an}中的 项?如果是,请指出是数列的第几项;如果不是,请说 明理由.

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点 面 讲 考 向

1 1 an 解:(1)证明:由已知得 an+1= , =4+a , 4an+1 an+1 n 1 1 ∴ - =4,即 bn+1-bn=4, an+1 an ∴数列{bn}是以 1 为首项,4 为公差的等差数列, ∴数列{bn}的通项公式为 bn=1+4(n-1)=4n-3. 1 1 又 bn=a ,故数列{an}的通项公式为 an= . 4n-3 n

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点 面 讲 考 向

1 1 (2)由(1)可得 ak?ak+1= ? = 4k-3 4(k+1)-3 1 1 = , 16k2-8k-3 4(4k2-2k)-3 ∵4k2-2k=2k(2k-1)∈N*, ∴ak?ak+1∈{an},∴ak?ak+1 是数列{an}中的项,是第 4k2 -2k 项.

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?

探究点三

等差数列的基本运算

点 面 讲 考 向

例 3 (1)[2013· 安徽卷] 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S8=4a3,a7=-2,则 a9=( ) A.-6 B.-4 C.-2 D.2 (2)[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 设等差数列{an}的前 n 项 和为 Sn,若 Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则 m=( ) A.3 B.4 C.5 D.6

[思考流程] (1)条件: 给出数列{an}的两个条件. 推 理:用通项公式与前 n 项和表示.结论:确定两个最基 本的量 a1 与 d. (2)条件:已知数列{an}的前 m 项和.推理:利用 an 与 Sn 的关系求解.结论:结合等差数列的定义与通项公 式确定 a1 与 d.
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[答案]
点 面 讲 考 向

(1)A

(2)C

[解析] (1)设公差为 d,则 8a1+28d=4a1+8d,即 a1 =-5d,a7=a1+6d=-5d+6d=d=-2,所以 a9=a7+ 2d=-6. (2)设首项为 a1,公差为 d,由题意可知 am=Sm-Sm-1 =2,am+1=Sm+1-Sm=3,故 d=1. m(a1+am) 又 Sm= =0,故 a1=-am=-2. 2 m(m-1) m(m-1) 又 Sm=ma1+ d=0,即-2m+ 2 2 =0,所以 m=5.
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等差数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

[归纳总结] (1)等差数列的通项公式及前 n 项和公 式,共涉及五个量 a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就 能求出另外两个(简称“知三求二”).解决这类问题的 基本方法就是根据等差数列的通项公式、求和公式列出 方程(组)求解. (2)确定等差数列的关键是确定首项 a1 和公差 d,a1 与 d 是确定等差数列的两个最基本的量,所有等差数列 的基本运算都可围绕 a1 与 d 来解决.

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等差数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2013· 昆明检测] 已知等差数列{an}满足 a2 +a4=4,a5=4a3,则数列{an}的前 10 项的和等于( ) A.23 B.95 C.135 D.138 (2)[2013· 贵州六校联盟联考] 等差数列{an}的前 n 项和 为 Sn,已知 a5=8,S3=6,则 a9=( ) A.8 B.12 C.16 D.24
[答案] (1)B (2)C

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[解析] (1)由 a2+a4=4,a5=4a3,得
点 面 讲 考 向
? ?(a1+d)+(a1+3d)=4, ? ?a1+2d=2, ? 即? ? ? ?a1+4d=4(a1+2d), ?3a1+4d=0,

解得 a1=-4,d=3,则数列{an}的前 10 项的和为 10?9 S10=10?(-4)+ 2 ?3=95. (2)由已知 a5=8,S3=6,得 ?a1+4d=8, ? ? ?a1+4d=8, ? 即? 3?2 3a1+ 2 d=6, ? ?a1+d=2, ? ? 解得 a1=0,d=2,则 a9=a1+8d=16.
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?

探究点四

等差数列的性质的应用

点 面 讲 考 向

例 4 (1)[2013· 广东卷] 在等差数列{an}中,已知 a3 +a8=10,则 3a5+a7=________. (2)[2013· 哈尔滨一模] 已知数列{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 S9=27,则 a2-3a4 等于________.

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等差数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析: 由数列{an}的条件联想性质. 推 理:分步应用等差数列的性质.结论:得到所求问题与 已知条件的关系. (2)分析: 由数列{an}的前 9 项和得出 a5 的值. 推理: 逐步应用等差数列的性质求解.结论:得出所求问题与 a5 的联系.
[答案] (1)20 (2)-6

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等差数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

[解析] (1)方法一:a3+a8=2a1+9d=10,故 3a5+a7 =3(a1+4d)+a1+6d=2(2a1+9d)=20. 方法二: 3a5+a7=2a5+(a5+a7)=2a5+2a6=2(a5+a6) =2(a3+a8)=20. 9(a1+a9) (2)由 a1+a9=2a5,得 S9= =9a5, 2 又 S9=27,则 a5=3. 方法一:∵a3+a5=2a4,a3+a4=a2+a5, ∴a2-3a4=a2-a4-2a4=a2-a4-(a3+a5)= a2-(a4+a3)-a5=a2-(a2+a5)-a5=-2a5=-6. 方法二:设等差数列{an}的公差为 d,则 a4-a2=2(a5 -a4)=2d, ∴a2-3a4=-2a5=-6.
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等差数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 这类问题可以根据基本量方法,通过列方 程组的方法求出首项和公差;利用等差数列的性质“若 m +n=p+q, 则 am+an=ap+aq” , 可以有效地简化计算. 应 用时应注意必须是两项相加,一般地,am+an≠am+n.

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等差数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

变式题 (1)[2013· 成都一模] 两等差数列{an}, {bn}的前 a5 n 项和分别为 Sn 和 Tn,且(2n+7)Sn=(5n+3)Tn,则 的值是 b5 ( ) 28 23 53 48 A.17 B.15 C.27 D.25 (2)[2013· 甘肃天水三模] 已知等差数列{an}的前 n 项和 S4 S6 为 Sn,且S =4,则S =( ) 2 4 9 3 5 A.4 B.2 C.3 D.4
[答案] (1)D (2)A
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Sn 5n+3 [解析] (1)由(2n+7)Sn=(5n+3)Tn,得T = , 2 n + 7 n
点 面 讲 考 向

a1+a2n-1 S2n-1 5(2n-1)+3 2an an ∴b = = = = = 2 b b1+b2n-1 T2n-1 2(2n-1)+7 n n 10n-2 , 4n+5 a5 10?5-2 48 ∴b = =25. 4 ? 5 + 5 5

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等差数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

S4 (2)由 =4,可设 S2=x,S4=4x. S2 ∵S2,S4-S2,S6-S4 成等差数列, ∴2(S4-S2)=S2+(S6-S4), 则 S6=3S4-3S2=12x-3x=9x, S6 9 x 9 因此,S =4x=4. 4

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思想方法

8.方程思想在等差数列中的应用

例 (1)[2013· 滨州一模] 已知数列{an}为等差数列,其前 n 项 和为 Sn,若 a3=6,S3=12,则公差 d=( ) 3 A.1 B.2 C.3 D. 5 (2)[2013· 石家庄一模] 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 多 ) 元 a1=-11,a3+a7=-6,则当 Sn 取最小值时,n 等于( 提 A.9 B.8 C.7 D.6
能 力

[答案] (1)B

(2)D

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第29讲

等差数列及其前n项和

[解析] (1)在等差数列{an}中,由 a3=6,S3=12,得
? ? ?a3=a1+2d=6, ?a1=2, ? 解得? ? ? ?S3=3a1+3d=12, ?d=2,

多 元 提 能 力

则等差数列{an}的公差 d=2.

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第29讲

等差数列及其前n项和

(2)设等差数列{an}的公差为 d,由题意可得
? ?a1=-11, ? 解得 ? ?(a1+2d)+(a1+6d)=-6,

d=2,

多 元 提 能 力

则数列{an}的通项公式 an=a1+(n-1)d=2n-13, 等差数列{an}的前 n 项和为 n[-11+(2n-13)] 2 2 Sn = = n - 12 n = ( n - 6) -36, 2 当 n=6 时,Sn 有最小值,最小值是-36.

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第29讲

等差数列及其前n项和

多 元 提 能 力

[规律解读] 数列的通项公式和前 n 项和公式在解题 中起到变量代换的作用,而 a1 和 d 是等差数列的两个基 本量.等差数列的基本问题大多可以列出关于两个基本 量的方程组来求解,这种方法可称为基本量法.等差数 列的通项公式与前 n 项和公式紧密地联系着五个基本量, 可“知三求二”.因此,方程思想是解决此类问题的基 本思想方法.

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第29讲

等差数列及其前n项和

[备选理由] 例 1 以数列为背景,综合等差数列基本量的 求解、等差数列求和公式以及不等式等知识的应用;例 2 是等 差数列的通项公式与前 n 项和公式的综合问题.

教 师 备 用 题
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第29讲

等差数列及其前n项和

例 1 【配例 4 使用】 [2013· 莆田二检] 设数列{an} 的前 n 项和为 Sn, 已知 a1=1, 等式 an+an+2=2an+1 对任意 n∈N*均成立. (1)若 a4=10,求数列{an}的通项公式; (2)若 a2=1+t,且存在 m≥3(m∈N*),使得 am=Sm 成 立,求 t 的最小值.
教 师 备 用 题
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第29讲

等差数列及其前n项和

解:(1)∵an+an+2=2an+1 对 n∈N*都成立, ∴数列{an}为等差数列. 设数列{an}的公差为 d, ∵a1=1,a4=10, ∴a4=a1+3d=10, 解得 d=3, ∴an=a1+(n-1)d=3n-2.
教 师 备 用 题
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第29讲

等差数列及其前n项和

教 师 备 用 题

(2)∵a2=1+t,∴公差 d=a2-a1=t, ∴an=a1+(n-1)d=1+(n-1)t, n(n-1) n(n-1) Sn=na1+ d = n + t . 2 2 由 am=Sm 得 m(m-1) 1+(m-1)t=m+ t. 2 m ∵m≥3,∴t=1+ 2 t, 2 ∴t = .∵m≥3, 2-m ∴t≥-2,∴t 的最小值为-2.
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第29讲

等差数列及其前n项和

例 2 【配例 1 使用】[2012· 长春调研] 等差数列{an} 的各项均为正数,其前 n 项和为 Sn,满足 2S2=a2(a2+1), 且 a1=1. (1)求数列{an}的通项公式; 2Sn+13 (2)设 bn= n ,求数列{bn}的最小值.
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等差数列及其前n项和

教 师 备 用 题

解:(1)由 2S2=a2(a2+1)=a2 2+a2,可得 2(a1+a1+d) =(a1+d)2+(a1+d). 由 a1=1,数列{an}的各项均为正数,可得 d=1, ∴数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列, ∴数列{an}的通项公式是 an=n. n(n+1) 2Sn+13 (2) 根 据 (1) 得 Sn = , bn = = n 2 n(n+1)+13 13 =n+ n +1. n 33 所以数列{bn}的最小值是 b4= . 4

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第29讲

等差数列及其前n项和

13 由于函数 f(x) =x + x (x>0) 在区间 (0, 13) 上单调递 减,在区间( 13,+∞)上单调递增, 13 22 88 13 而 3< 13<4,且 f(3)=3+ = = ,f(4)=4+ = 3 3 12 4 29 87 4 =12, 29 所以当 n=4 时,bn 取得最小值,且最小值为 +1= 4 33 4. 33 所以数列{bn}的最小值是 b4= . 4
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教 师 备 用 题

双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第30讲 等比数列及其前n项和

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考试说明
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用 有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.

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第30讲
双 向 固 基 础

等比数列及其前n项和

1.等比数列的概念 (1)定义: 如果一个数列从第 2 项起, 每一项与它的前一项的比 ____________ 都等于同一个常数,那么这个数列就叫作等比数列.这个常数叫 公比 ,通常用 q 表示,其符号语言为 作等比数列的________ an =q a n-1 ___________( n≥2,q 为常数). (2)如果三个数 a,G,b 成等比数列,则 G 叫作 a 与 b 的 等比中项 ± ab . ________,其中 G=________ 2.等比数列的通项公式与前 n 项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为 a1,公比是 q,则其通项公式为 n-1 a = a q n 1 ________ ;若等比数列{an}的第 m 项为 am,则其第 n 项 an 可以 n-m a = a q n m . 表示为________ na1 ; (2)等比数列的前 n 项和公式:当 q = 1 时, S n=________ a1(1-qn) a1-anq 1-q 1-q 当 q≠1 时,Sn=_______________ =_______________ .
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第30讲
双 向 固 基 础

等比数列及其前n项和

3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列,公比为 q,Sn 是数列{an}的前 n 项和. apaq (1)若 m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则有 aman=________ . (2)等比数列{an}的单调性: 递增 数列; 当 q>1,a1>0 或 0<q<1,a1<0 时,数列{an}是________ 当 q>1,a1<0 或 0<q<1,a1>0 时,数列{an}是________ 递减 数列; 常数列 . 当 q=1 时,数列{an}是________ qk (3)am,am+k,am+2k,?仍是等比数列,公比为________. (4)若公比 q≠1,则数列 Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,?成等比 数列.

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第30讲
双 向 固 基 础

等比数列及其前n项和

4.等比数列与函数的关系 a1 n a = n 等比数列{an}的通项公式可写成________ 当 q>0, qq , a1 x a1 且 q≠1 时,函数 y= q q 是一个不为零的常数 q 与指数 a1 函数 qx 的乘积,它的图像是函数 y= q qx 的图像上横坐 孤立的点; a1 标为正整数的一群________ 当 q=1 时, an=________ , 它是常数函数.

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双 向 固 基 础

等比数列及其前n项和

—— 链接教材 ——
1.[教材改编] 已知等比数列{an}中,a3=3,a10=384, 则该数列的通项公式 an=________.

[答案] 3?2 [解析] 设等比数列{an}的公比为 q,则
2 ? ?a3=a1q =3,① ? 9 ? ?a10=a1q =384,②

n-3

由②÷ ①,得 q7=128,即 q=2. 3 把 q=2 代入①,得 a1=4. 3 - - - ∴数列{an}的通项公式 an=a1qn 1=4?2n 1=3?2n 3.
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等比数列及其前n项和

2.[教材改编] 已知等比数列{an}满足 a1+a2=3,a2+ a3=6,则 a7=________.
[答案]64

[解析] 设等比数列{an}的公比为 q, 由已知得
? ? ?a1+a1q=3, ?a1=1, ? 解得? 2 ? ? ?a1q+a1q =6, ?q=2.

则 a7=a1q6=26=64.

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等比数列及其前n项和

3.[教材改编] 设{an}是公比为正数的等比数列,若 a1 =1,a5=16,则数列{an}的前 7 项和为________.
[答案] 127

[解析] 设等比数列{an}的公比为 q(q>0), 由 a5=a1q4=16,a1=1,得 16=q4,解得 q=2, a1(1-q7) 1-27 ∴S7= = =127. 1-q 1-2

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等比数列及其前n项和

4.[教材改编] 设数列{an}是等比数列,其前 n 项和为 Sn,且 S3=3a3,则此数列的公比 q=________. 1 [答案] 1 或- 2

[解析] 当 q=1 时,S3=3a1=3a3,符合题目条件; a1(1-q3) 当 q≠1 时, =3a1q2. 1-q ∵a1≠0,∴1-q3=3q2(1-q), ∴2q3-3q2+1=0,即(q-1)2(2q+1)=0, 1 解得 q=- . 2 1 综上所述,数列{an}的公比 q 的值是 1 或- . 2
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双 向 固 基 础

等比数列及其前n项和

—— 疑 难 辨 析 ——
1.等比数列的概念的易错易混点 (1)与等差数列类似, 等比数列的各项可以是任意一个实 数.( ) (2)公比 q 是任意一个常数,它可以是任意实数.( ) (3)若 b2=ac,则 a,b,c 成等比数列.( ) (4)指数函数 f(x)=2x 图像上一系列点的横坐标构成数列 {xn}, 对应的纵坐标构成数列{yn}, 若{xn}是等差数列, 则{yn} 是等比数列.( )

[答案] 1.(1)?

(2)?

(3)?

(4)√

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双 向 固 基 础

等比数列及其前n项和

[解析] (1)根据等比数列的定义, 在求每一项与它的 前一项的比时, 分母不能为零, 即 a1≠0, 由此推出 an≠0, 故 an≠0 是数列{an}成等比数列的必要非充分条件. (2)公比 q 不仅可以是正数也可以是负数,但不能为 零. (3)若 a,b,c 有一个为 0,则 a,b,c 不成等比数列; 若 a,b,c 都不为 0,则由 b2=ac,可得 a,b,c 成等比 数列. yn+1 (4)设等差数列{xn}的公差为 d, 则 y = n 2d,所以{yn}是等比数列. =

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双 向 固 基 础

等比数列及其前n项和

2.等比数列的前 n 项和公式的常用结论
?an? (1)若数列{an}和{bn}都是等比数列, 则数列?b ?也是等比 ? n?

数列.( ) (2)如果一个数列{an}是等比数列,则它的前 n 项和为 Sn a1(1-qn) = .( 1 -q
[答案] (1)√

)
(2)?

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第30讲
双 向 固 基 础

等比数列及其前n项和

[ 解析 ] (1) 设等比数列 {an} 和 {bn} 的公比分别为 an-1 an q1,q2,令 cn=b ,则 cn-1= . bn-1 n an bn cn an b n q1 当 n≥2 时, = = ÷ = ,故数列 cn-1 an-1 an-1 bn-1 q2 bn-1
?an? ? ?也一定是等比数列. ?bn?

(2) 当 q = 1 时, Sn = na1 ;当 q≠1 时, Sn = a1(1-qn) . 1 -q
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第30讲
双 向 固 基 础

等比数列及其前n项和

3.关于等比数列的性质的方法技巧 (1)在等比数列{an}中,a3a7=a10.( ) 1 (2)若等比数列{an}中,a1=1,公比 q=2,则 a2 与 a4 的 1 等比中项为 .( ) 4 (3)若等比数列{an}中,a1=2,a5=18,则 a3=± 6.( )

[答案] (1)?

(2)?

(3)?

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双 向 固 基 础

等比数列及其前n项和

[解析] (1)在等比数列{an}中,a3a7=a1q2?a1q6= 8 9 a2 1q ,a10=a1q , 故 a3a7≠a10. (2)已知数列{an}是等比数列,且 a1=1,公比 q 1 1 13 1 = ,则 a2= ,a4=( ) = . 2 2 2 8 1 1 2 设 a2 与 a4 的等比中项为 G, 则 G =a2a4=2?8= 1 1 16,所以 G=±4. (3)由等比数列的性质,得 a2 3=a1a5=36,又 a3 =a1q2>0,故 a3=6.
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等比数列及其前n项和

?

探究点一

等比数列的函数特征

点 面 讲 考 向

例1 [2013· 襄阳调研] 已知等比数列{an}满足 an+1 - +an=9?2n 1,n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 若不等式 Sn>kan-2 对一切 n∈N*恒成立,求实数 k 的取值范围.

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第30讲

等比数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

[ 思考流程 ] (1) 条件:给出等比数列 {an} 的递推公 式.目标:求数列{an}的通项公式.方法:利用等比数 列的定义及递推公式求解. (2)条件:给出含 Sn 与 an 的不等式.目标:求参数 k 的取值范围.方法:利用不等式及函数的性质求解.

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等比数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

解:(1)设等比数列{an}的公比为 q. ∵an+1+an=9· 2n-1,an+2+an+1=9· 2(n+1)-1, 且 an+2+an+1=q(an+1+an), an+2+an+1 ∴q= =2. an+1+an 在 an+1+an=9· 2n-1 中,取 n=1,得 a2+a1=9,即 2a1+a1=9,解得 a1=3, ∴数列{an}的通项公式为 an=3· 2n-1,n∈N*.

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等比数列及其前n项和

a1(1-qn) 3(1-2n) (2)Sn= = =3(2n-1). 1-q 1-2
点 面 讲 考 向

由 Sn>kan-2,得 3(2n-1)>k· 3· 2n 1-2,


3(2n-1)+2 3· 2n-1 1 即 k< = = 2 - n-1 n-1 n-1. 3· 2 3· 2 3?2 1 n-1,f(n)在区间[1,+∞)上单调递增, 3?2 1 5 ∴当 n=1 时,f(n)有最小值,最小值为 f(1)=2-3=3, ? 5? 5 ∴k<3,即实数 k 的取值范围为?-∞,3?. ? ? 令 f(n)=2-

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等比数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 数列是一种特殊的函数, 常通过构造函 数解决数列问题,其实质是把所求问题转化为以函数为 背景的问题,把函数性质提供给数列,让数列问题迎刃 而解.

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?

探究点二

等比数列的判断与证明

点 面 讲 考 向

例 2 [2013· 福州一检] 已知数列{an}中,a1=1,点 (an,an+1)在函数 y=3x+2 的图像上(n∈N*). (1)证明:数列{an+1}是等比数列; (2)求数列{an}的前 n 项和.

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等比数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)条件:由已知得 an+1 与 an 的递推关 系.目标:证明数列{an+1}是等比数列.方法:构造新 数列,由递推式化归为数列相邻两项的比值问题求解. (2)条件: 由(1)可得 an 的通项公式. 目标: 求数列{an} 的前 n 项和.方法:分组求和.

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等比数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

解:(1)证明:∵点(an,an+1)在函数 y=3x+2 的图像 上,∴an+1=3an+2. 令 bn=an+1,故只需证{bn}是等比数列. bn+1 an+1+1 3an+2+1 3(an+1) bn = an+1 = an+1 = an+1 =3,b1=a1+ 1=2, ∴数列{bn}是以 2 为首项,3 为公比的等比数列, 即数列{an+1}是以 2 为首项,3 为公比的等比数列.

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第30讲

等比数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

(2)由(1)知,数列{an+1}是以 2 为首项,3 为公比的 等比数列, ∴an+1=2· 3n-1,即数列{an}的通项公式为 an=2· 3n-1 -1, ∴数列{an}的前 n 项和 - Sn=(2-1)+(2?3-1)+?+(2?3n 1-1) =2(1+3+?+3n-1)-n 1-3n =2? -n=3n-n-1. 1-3

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第30讲

等比数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

[归纳总结] (1)判断数列{an}是不是等比数列, 通常有 两种方法:定义法和等比中项法. an+1 (2)用定义证明等比数列时,常采用两个式子 a =q n an 和 =q,但后者必须加上“n≥2”,否则 n=1 时,a0 an-1 无定义.

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等比数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

[2013· 郑州模拟] 已知数列{an}中,a1=1, 5 2 a2=4,且满足 an+2=3an+1-3an(n∈N*). (1)设 bn=an+1-an,求证:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

变式题

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等比数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

5 2 解:(1)证明:由递推式 an+2=3an+1-3an,得 2 2 an+2-an+1=3(an+1-an),即 bn+1=3bn. 又 b1=a2-a1=4-1=3, 2 所以数列{bn}是以 3 为首项,3为公比的等比数 列.

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等比数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

2 (2)因为数列{bn}是以 3 为首项,3为公比的等比数列, ?2?n-1 所以数列{bn}的通项公式为 bn=3?3? .又 bn=an+1- ? ? ?2?n-1 ?2?0 an,即 an+1-an=3?3? ,则 a2-a1=3?3? ,a3-a2= ? ? ? ? ?2?1 ?2?n-2 3?3? ,?,an-an-1=3?3? ,各式相加,得 an-a1 ? ? ? ?
?2?0 ?2?1 ?2?n-2 =3?3? +3?3? +?+3?3? =3? ? ? ? ? ? ? ?2?n-1 1-?3? ? ?

2 1-3

=9-

?2?n-1 9?3? ,∴数列{an}的通项公式是 ? ?

?2?n-1 an=10-9?3? . ? ?
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等比数列及其前n项和

?

探究点三

等比数列的基本运算

点 面 讲 考 向

例 3 (1)[2013· 新课标全国卷Ⅱ] 等比数列{an}的 前 n 项和为 Sn, 已知 S3=a2+10a1, a5=9, 则 a1=( ) 1 1 1 1 A.3 B.-3 C.9 D.-9 (2)[2013· 北京卷] 若等比数列{an}满足 a2+a4=20, a3 + a5 = 40 ,则公比 q = ________ ;前 n 项和 Sn = ________.

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等比数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)分析:给出等比数列{an}的两个条件.推理: 用通项公式与前 n 项和表示.结论:解方程组确定 a1 与 q. (2)分析:已知等比数列{an}的两项和.推理:利用通项公 式 an 求解.结论:两式相除得 a1 与 q,再利用前 n 项和公式求 和.

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等比数列及其前n项和

[答案] (1)C
点 面 讲 考 向

(2)2

2n+1-2

[解析] (1)S3=a2+10a1?a1+a2+a3=a2+10a1?a3= a3 1 2 2 9a1?q =9,a5=9?a3q =9?a3=1?a1= 2= . q 9 (2)∵a3+a5=q(a2+a4),∴40=20q,q=2. 又∵a2+a4=a1q+a1q3=20,∴a1=2,∴an=2n,∴Sn =2n+1-2.

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等比数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 求解与等比数列的基本量有关的问题时, 常用 以下思想方法: ①方程思想:在等比数列的通项公式、前 n 项和公式中联 系着五个量 a1,q,n,an,Sn,已知其中三个量,可以通过解 方程(组)求出另外两个量; a1 a1 n ②整体思想:当公比 q≠1 时,Sn= (1-q ),令 = 1-q 1-q a1 n t,则 Sn=t(1-q ),即把 与 qn 当成一个整体求解; 1-q ③分类讨论思想:在应用等比数列前 n 项和公式时,必须 a1(1-qn) 分类求和,当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1 时,Sn= . 1-q 在判断等比数列单调性时, 也必须对 a1 与 q 进行分类讨论.
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等比数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

(1)[2013· 莆田质检 ] 已知等比数列 {an} 的 7 公比 q=2,前 n 项和为 Sn,若 S3=2,则 S6 等于( ) 31 63 A. 2 B. 2 127 C.63 D. 2 (2)[2013· 洛阳模拟] 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 S1,2S2,3S3 成等差数列,则数列{an}的公比为( ) 1 1 1 A.2 B.4 C.3 D.3

变式题

[答案] (1)B (2)D

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等比数列及其前n项和
a1(1-q3) 7 7 [解析] (1)由 S3= ,得 = , 2 2 1-q

点 面 讲 考 向

a1 1 又公比 q=2,解得 =-2. 1-q
? 1? a1(1-q6) a1 2 3 ∴S6= = [1-(q ) ]=?-2??(1-43) 1-q 1-q ? ?

63 =2. (2)由 S1,2S2,3S3 成等差数列,得 S1+3S3=2?2S2,即 a1+3a1(1+q+q2)=4a1(1+q). 又 a1≠0,化简,得 3q2-q=0, 1 又 q≠0,故 q=3.
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等比数列及其前n项和

?

探究点四

等比数列的性质的应用

点 面 讲 考 向

3 例 4 (1)[2013· 襄阳调研] 公比为 2的等比数列{an} 的各项都是正数,且 a3a11=16,则 log2a16=( ) A.4 B.5 C.6 D.7 (2)[2013· 湛江一模] 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S2=6,S4=30,则 S6=________.
[思考流程] (1)分析:需要求出 a16 的值.推理:利用 a3a11 可得 a7, 再根据公比即得 a16.结论: 求出对数值即可. (2)分析:需要找出欲求 S6 需要的数据.推理:利用 等比数列和的性质或利用基本量方法均可得出 S6 所需的 数据.结论:计算即得.
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等比数列及其前n项和

[答案] (1)B (2)126
点 面 讲 考 向

[解析] (1)方法一:由等比中项的性质,得 a3a11=a2 7=16. 又数列{an}的各项为正,∴a7=4, ∴a16=a7?q9=32,得 log2a16=5. 方法二:设等比数列{an}的公比为 q,由题意,an>0,则 ?a16?2 1 2 2 ? ? a3?a11=a7= q9 =26a16=24, ? ? 10 5 即 a2 16=2 ,解得 a16=2 ,得 log2a16=5.

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等比数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

(2)方法一:由 S4≠2S2,可知公比 q≠1, 则 S2,S4-S2,S6-S4 成等比数列, ∴(S4-S2)2=S2(S6-S4).∵S2=6,S4=30, ∴(30-6)2=6(S6-30),解得 S6=126. 方法二:由已知 S2=6,S4=30,得
2 a ( 1 - q ) ? 1 ? =6, 1- q ? 2 2 ? 两式相除,得 1 + q = 5 , q =4, 4 a ( 1 - q ) ? 1 =30, ? 1- q ?

a1(1-q6) a1 a1 则 =-2.∴S6= = [1-(q2)3]= 1-q 1-q 1-q (-2)?(1-43)=126.
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第30讲

等比数列及其前n项和

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 在一个无穷等比数列中,其中任何一项都是 和这项项数距离相等的两项的等比中项, 即 a2 am+k(m, m=am-k· k 为正整数,且 m>k).在等比数列的基本运算问题中,一般是 利用通项公式与前 n 项和公式,建立方程组求解,但如果灵活 运用等比数列的性质,可减少运算量.

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第30讲

等比数列及其前n项和

思想方法

9.方程思想在等比数列中的应用

多 元 提 能 力

例(1)已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则 a1+ a10=( ) A.7 B.5 C.-5 D.-7 (2)[2013· 苏北四市质检] 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 3 9 a3= ,S3= ,则公比 q=________. 2 2

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第30讲

等比数列及其前n项和

1 [答案] (1)D (2)1 或- 2

[解析]

? ? ?a4+a7=2, ?a4=-2, (1) 由 ? 解得? 或 ? ? a a = a a =- 8 a = 4 ? 5 6 ? 7 4 7

多 元 提 能 力

? 3 ? ? ?q3=- , a = 4 , q =- 2 , ? 4 ? 2 ? 则? 或? ? ?a7=-2, ? ?a1=1 ? 1 ?a1=-8, 故 a1+a10=a1(1+q9)=-7.

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第30讲

等比数列及其前n项和

多 元 提 能 力

3 9 (2)由 a3=2,S3=2,得 ? 2 3 ?a1q =2, ? ?a1(1+q+q2)=9, 2 ? 1+q+q2 两式相除,得 q2 =3, 即 2q2-q-1=0, 1 解得 q=1 或 q=-2.

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第30讲

等比数列及其前n项和

多 元 提 能 力

[规律解读] 解决等比数列的基本运算问题的关键是 应用等比数列的通项公式及前 n 项和公式,化归为方程 或方程组求解.解题时,容易出现的问题主要有两个方 面:一是计算出现失误,特别是利用因式分解求解方程 的根时,不注意对根的符号进行判断;二是不能灵活运 用等比数列的基本性质转化已知条件,导致列出的方程 或方程组较为复杂,增大运算量.

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第30讲

等比数列及其前n项和

[备选理由] 例 1 是数列与函数的关系问题的求解;例 2 是等差数列与等比数列的综合问题, 求等比数列的和应注 意对公比 q 分类讨论.

教 师 备 用 题
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第30讲

等比数列及其前n项和

例 1 【配例 1 使用】 [2013· 杭州二检] 在各项均为正 数的等比数列{an}中,a2=2,2a3,a5,3a4 成等差数列,bn =2log2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; Sn-4n (2)设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和,数列{cn}满足 cn= na , n 当 cn 最大时,求 n 的值.

教 师 备 用 题
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第30讲

等比数列及其前n项和

解:(1)设等比数列{an}的公比为 q. ∵2a3,a5,3a4 成等差数列, ∴2a5=2a3+3a4,即 2q2=2+3q,解得 q=2 或 q 1 =- (舍去). 2 又 a2=2,则 an=2· 2n-2=2n-1, 即数列{an}的通项公式为 an=2n-1.
教 师 备 用 题
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等比数列及其前n项和

(2)bn = 2log22n = 2n , 则 {bn} 是等 差 数 列 , Sn = n(2+2n) =n2+n, 2
?1?n-1 n2-3n ? ? 则 cn= n-1 =(n-3)· ,cn+1-cn=(n-2) n· 2 ?2? ?1?n ?1?n-1 ?1?n ? ? -(n-3) ? ? ? ? (4-n). = ?2? ?2? ?2?

教 师 备 用 题

∵当 n≤4 时,cn+1≥cn,当 n≥5 时,cn+1<cn, ∴cn 取最大值时,n 的值是 4 和 5.

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第30讲

等比数列及其前n项和

例 2【配例 2 使用】 已知等差数列{an}满足 a5=9, a2+a6=14. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=an+ (q>0),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

教 师 备 用 题
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等比数列及其前n项和

解:(1)设数列{an}的首项为 a1,公差为 d,则由 a5=9, a2+a6=14,
? ?a1+4d=9, 得? ? ?2a1+6d=14, ? ?a1=1, 解得? ? ?d=2,

所以数列{an}的通项公式为 an=2n-1.
教 师 备 用 题
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第30讲

等比数列及其前n项和

(2)由 an=2n-1 得 bn=2n-1+q2n 1. ①当 q>0 且 q≠1 时, Sn=[1+3+5+?+(2n-1)]+(q1


2n q ( 1 - q ) 3 5 2n-1 2 +q +q +?+q )=n + ; 1-q2

②当 q=1 时,bn=2n,得 Sn=n(n+1). 所以数列{bn}的前 n 项和为 ?n(n+1)(q=1), ? Sn=? 2 q(1-q2n) n+ (q>0且q≠1). 2 ? 1-q ?

教 师 备 用 题

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双 向 固 基 础 点 面 讲 考 向 多 元 提 能 力 教 师 备 用 题

第31讲 数列求和

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考试说明

1.掌握等差数列、等比数列的前 n 项和公式. 2.掌握一般数列求和的几种常见的方法.

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第31讲
双 向 固 基 础

数列求和

1.公式法 (1)直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和. ①等差数列的前 n 项和公式 n(a1+an) n(n-1) na1+ d Sn=__________ =______________ (其中 a1 为首项,d 为公差). 2 2 ②等比数列的前 n 项和公式 na1 ; 当 q=1 时,Sn=________ a1-anq a1(1-qn) 1-q 其中 a1 为首项, 当 q≠1 时,Sn=___________ =________( 1-q q 为公比). (2)一些常见的数列的前 n 项和: n(n+1) n(n+1) 2 ②2+4+6+?+2n=________; ①1+2+3+4+?+n=________; n2 ③1+3+5+?+2n-1=________ .
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第31讲

数列求和

双 向 2.几种数列求和的常用方法 固 (1) 分 组 求 和 法 : 一 个 数 列 的 通 项 公 式 是 由 基 础若干个等差或等比或可求和 __________________的数列组成, 则求和时可用分组求和法,

分别求和后相加减. 两项之差 ,在求和时 (2)裂项相消法:把数列的通项拆成________ 中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和. 1 1 1 - n n+1 ; 常用的裂项公式:① =________ n(n+1) 1 1 ? 1? ? ? 1 ?2n-1-2n+1? 2? ② =________ ;? (2n-1)(2n+1) 1 n+1- n . ③ =________ 一个等差数列和一个 n+ n+1 等比数列的对应项之积 (3)错位相减法:如果一个数列的各项是由________________ 构成的,那么这个数列的前 n 项和即可用错位相减法求得.
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数列求和

(4)倒序相加法: 如果一个数列{an}, 首末两端等 “距离” 同一个常数 的两项的和相等或等于____________ ,那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法求得.

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第31讲
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数列求和

—— 链接教材 ——

1 1 1 1 1.[教材改编] 数列 12,34,58,?, [(2n-1)+2n]的 前 n 项和 Sn=__________.

1 [答案] n +1- n 2
2

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第31讲
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数列求和

? 1? 1 1 1 [解析] Sn=12+34+58+?+?(2n-1)+2n? ? ? ?1 1 1 1? =(1+3+5+?+2n-1)+?2+4+8+?+2n? ? ? ?1?n? 1? ? ? ? ? (1+2n-1)· n 2?1-?2? ? = + 2 1 1 -2

1 =n +1-2n.
2

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数列求和

1 1 1 2. [教材改编] 数列 1, , , ?, 1+2 1+2+3 1+2+?+n 的前 n 项和为________.

2 [解析] 该数列的通项为 an= ,分裂为两项差的 n(n+1) ?1 1 ? ? 形式为 an=2?n-n+1? ?, ? ? 则数列的前 n 项和为 ? ? 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? 2n ? ? ? ? 1 - + - + - +?+ - 1 - Sn=2? 2 2 3 3 4 =2? n+1?= . n n+1? ? ? ? ? n+1
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2n [答案] n+1

第31讲
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数列求和

3 . [ 教 材 改 编 ] 已 知 数 列 {an} 中 , an = 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S9= __________.

[答案] 377

[解析] S9=(a1+a3+a5+a7+a9)+(a2+a4+a6+a8) 1-45 4?(3+15) = + =377. 2 1-4

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数列求和

2 4 6 2n 4.[教材改编] 数列2,22,23,?, 2n ,?前 n 项和为 __________.

[答案] 4-

n+2
2n-1

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数列求和
[解析]
?2n? 由题可知,数列? 2n ?的通项是等差数列{2n}的 ? ?

?1? 通项与等比数列数列?2n?的通项之积. ? ?

2 4 6 2n 设 Sn= + 2+ 3+?+ n ,① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n 则2Sn=22+23+24+?+ n+1,② 2 ①-②,得 ? 1? 2 2 2 2 2 2n ? ? ② 1-2 Sn=2+22+23+24+?+2n- n+1= 2 ? ? 1 2n 2- n-1- n+1, 2 2 n+2 ∴Sn=4- n-1 . 2
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数列求和

—— 疑 难 辨 析 ——
1.数列求和的方法技巧 (1)等差数列的前 n 项和是用裂项相消法推导的.( ) (2)等比数列的前 n 项和是用倒序相加法推导的.( ) ? ? 1 ? ? ? (3)数列 2n(2n-1)?可以用裂项相消法求和.( ) ? ? ? ? 1 (4)数列{an}的通项 an=n+n, 计算前 n 项和 Sn 可用分组 相加法.( )
[答案] (1)? (2)? (3)? (4)?

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数列求和

[解析] (1)因为等差数列任意的第 k 项与倒数第 k 项的和 等于首末两项的和, 故等差数列的前 n 项和是用倒序相加法 推导的. (2)因为等比数列的每一项乘公比 q,就得到它后面相邻 的一项,故等比数列的前 n 项和的推导采用了“错位相减, 消除差别”的方法.

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数列求和

1 1 1 (3) = - ,因为 2n 是偶数,2n-1 2n(2n-1) 2n-1 2n 是奇数,求和时它们的倒数不能相互抵消,达不到求和的目 的.数列中的每一项均能分裂成一正一负两项,这只是用裂 项相消法的前提, 还必须满足在求和过程中前后项能够相互 抵消. (4) 分组求和法适用于一个数列的通项公式由可求和的 1 数列组成,数列{an}的通项公式为 an=n+n,数列{an}由数 ?1? ?1? 列{n}和?n?组成,而数列?n?不能求和. ? ? ? ?

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数列求和

2.数列求和的常用结论 (1)设数列{an}的通项公式是 an=(-1)n, 则数列{an}的前 n 项和 Sn=0.( ) (2)若数列 a1,a2-a1,a3-a2,?,an-an-1 是首项为 1, 公 比 为 3 的 等 比 数 列 , 则 数 列 {an} 的 通 项 公 式 是 an = 3n-1 ) 2 .( (3)推导等差数列求和公式的方法叫作倒序相加法, 利用 此 法 可 求 得 sin21 ° + sin22 ° + sin23 ° + ? + sin288 ° + sin289°=44.5.( )
[答案] (1)? (2)√ (3)√

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数列求和

[解析 ] (1)若 n 为偶数,则 Sn=0;若 n 为奇数,则 Sn =-1. (2)应用等比数列的前 n 项和公式求和,可得 1-3n 3n-1 a1+(a2-a1)+?+(an-an-1)= ,即 an= 2 . 1-3 (3)设 S=sin21°+sin22°+sin23°+?+sin288°+ sin289°,则 S=sin289°+sin288°+sin287°+?+sin22°+sin21 °, 即 S = cos21 °+ cos22 °+ cos23 °+?+ cos288 °+ cos289°,与第一个式子相加,得 2S=89,所以 S=44.5.
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数列求和

3.数列求和的疑难点 (1)若数列中的每一项均可分裂成一正一负两项, 则此数 列可用裂项相消法求和.( ) (2) 设 Sn = a + a2 + a3 + ? + an(a≠0) , 则 Sn = a(1-an) .( 1-a )

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数列求和

[答案] (1)?

(2)?

[ 解析 ] (1) 数列中的每一项均能分裂成一正一负两 项, 这只是用裂项相消法的前提, 还必须满足在求和过程 中前后项能够相互抵消. a(1-an) (2)当 a=1 时,Sn=n;当 a≠1 时,Sn= . 1-a 本题的错误在于未能注意到公式中 q≠1 的条件.因此在 解题时,当公比 q 是一个字母时,一定要讨论 q 的取值.

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数列求和

?

探究点一

分组转化法求和

点 面 讲 考 向

例 1 [2013· 安徽卷] 设数列{an}满足 a1=2,a2+a4 =8,且对任意 n∈N*,函数 f(x)=(an-an+1+an+2)x+an ?π ? ? ? =0. +1cos x-an+2sin x 满足 f′? ? ?2? (1)求数列{an}的通项公式; ? 1 ? (2)若 bn=2?an+2a ?,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. ? n?

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第31讲

数列求和

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)条件: 已知

?π f′? ?2 ?

? ? ?的值及数列的两个条 ?

件.目标:求出通项公式.方法:证明{an}为等差数列, 再利用通项公式列方程组求解. (2)条件: 已知 bn 与 an 的递推关系. 目标: 求数列{bn} 的前 n 项和.方法:化归为两个数列,分组求和.

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第31讲

数列求和

点 面 讲 考 向

解:(1)由题设可得 f′(x)=an-an+1+an+2-an+1sin x-an+ π * 2cos x.对任意 n∈N ,f′( 2 )=an-an+1+an+2-an+1=0,即 an+1 -an=an+2-an+1,故{an}为等差数列. 由 a1=2,a2+a4=8,解得{an}的公差 d=1, 所以 an=2+1· (n-1)=n+1. ? 1 ? 1 1 ? ? n + 1 + (2)由 bn=2(an+2a )=2? =2n+2n+2, 知 Sn=b1 2n +1 ? n ? ?

n(n+1) +b2+?+bn=2n+2· 2 + 1 2n.

=n2+3n+1-

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数列求和

点 面 讲 考 向

[归纳总结] (1)对于不能由等差数列、等比数列的 前 n 项和公式直接求和的问题,一般需要将数列通项的 结构进行合理的拆分,转化成若干个等差数列、等比数 列后再求和. (2)数列求和,要认真观察数列的通项公式,对通项 变形.如果通项能拆分成几项的和,且将这些项适当分 组,可分别构成等差数列、等比数列或可求和的数列, 分别应用公式求和,从而可求得原数列的和.

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数列求和

点 面 讲 考 向

变式题 [2013· 郑州三模] 已知数列{an}是公差不为 0 的等差数列,a1=2,且 a2,a3,a4+1 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an+2an,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

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数列求和

点 面 讲 考 向

解:(1)由 a2,a3,a4+1 成等比数列,得 a2 3=a2(a4 +1). 设数列{an}的公差为 d,且 a1=2,则 (a1+2d)2=(a1+d)(a1+3d+1), 即 d2-d-2=0,解得 d=-1 或 d=2. 当 d=-1 时,a3=0,与 a2,a3,a4+1 成等比数列 矛盾, ∴d=2,数列{an}的通项公式为 an=a1+(n-1)d=2 +2(n-1)=2n(n∈N*).

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数列求和

点 面 讲 考 向

(2)由 bn=an+ ,得数列{bn}的前 n 项和 Sn=b1+b2+b3+?+bn

=(2+4+?+2n)+(4+42+?+4n) n(2+2n) 4(1-4n) 2 4 n = + =n +n+ (4 -1). 2 3 1-4

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?

探究点二

裂项相消法求和

点 面 讲 考 向

例 2 已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0, S5 =-5. (1)求{an}的通项公式; ? ? 1 ? ? ? (2)求数列 a a ?的前 n 项和. ? 2n-1 2n+1? ? ?

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数列求和

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)条件:已知等差数列的两个条件.目 标:求出通项公式.方法:列方程组求解基本量. (2)条件:已知数列{an}的通项公式.目标:求新数 列的前 n 项和.方法:分析通项的构造,裂项相消求和.

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数列求和

点 面 讲 考 向

解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,则 n(n-1) Sn=na1+ d. 2
? ?3a1+3d=0, 由已知可得? ? ?5a1+10d=-5,

解得 a1=1,d=-1.

故等差数列{an}的通项公式为 an=2-n.

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数列求和

点 面 讲 考 向

1 1 (2)由(1)知 = = a2n-1a2n+1 (3-2n)(1-2n) 1 ? 1? ? 1 ? - ?, 2? ?2n-3 2n-1? ? ? 1 ? ? 1 1 1 1 1 1 ? ? 数列 a a 的前 n 项和为2( -1+1-3+?+ ? ? - + - 1 2n-3 ? 2n 1 2n 1? 1 n - )= . 2n-1 1-2n

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数列求和

点 面 讲 考 向

[归纳总结] (1)若数列{an}的通项能转化为 f(n+1) -f(n)的形式,常采用裂项相消法求和,其基本思路是变 换通项,把每一项分裂为两项,裂项的目的是产生连续 的可以相互抵消的项. (2)使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时消 去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项.

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数列求和

点 面 讲 考 向

变式题 [2013· 江西卷 ] 正项数列 {an} 满足: a 2 n - (2n - 1)an-2n=0. (1)求数列{an}的通项公式 an; 1 (2)令 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. (n+1)an

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数列求和

点 面 讲 考 向

解:(1)由 a2 n-(2n-1)an-2n=0,得(an-2n)(an+1)=0. 由于{an}是正项数列,所以 an=2n. 1 1 (2)由 an=2n,bn= ,则 bn= = (n+1)an 2n(n+1) 1 ? 1? ?1 ? - ?, n n + 1 2? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 Tn=2(1-2+2-3+?+ -n+n- ) n-1 n+1 1 ? 1? n ? =2?1-n+1? = ? 2(n+1). ? ?

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数列求和

?

探究点三

错位相减法求和

点 面 讲 考 向

例 3 [2013· 山东卷] 设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S4=4S2,a2n=2an+1. (1)求数列{an}的通项公式; an+1 (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Tn,且 Tn+ n =λ(λ 2 为常数),令 cn=b2n(n∈N*),求数列{cn}的前 n 项和 Rn.

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数列求和

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)条件:已知等差数列的两个条件.目 标:求出通项公式.方法:应用通项公式与前 n 项和公 式,列方程组求解基本量. (2)分析:数列{cn}是由等差数列与等比数列相应项 的积构成的.目标:求数列{cn}的前 n 项和.方法:利 用错位相减法求和.

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数列求和

解:(1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. 由 S4=4S2,a2n=2an+1,
点 面 讲 考 向
? ?4a1+6d=8a1+4d, 得? ? ?a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1,

解得 a1=1,d=2,因此 an=2n-1,n∈N*. n (2)由题意知 Tn=λ- n-1,所以当 n≥2 时,bn=Tn-Tn-1= 2 n-1 n-2 - n-1+ n-2 = n-1 , 2 2 2 n
?1?n-1 2n-2 故 cn=b2n= 2n-1 =(n-1)?4? ,n∈N*. 2 ? ?

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第31讲

数列求和
?1?0 ?1?1 ?1?2 ?1?3 Rn=0??4? +1??4? +2??4? +3??4? +?+ ? ? ? ? ? ? ? ?

所以

点 面 讲 考 向

?1?n-1 ?1?1 ?1?2 ?1?3 1 (n-1)??4? ,则4Rn=0??4? +1??4? +2??4? + ? ? ? ? ? ? ? ? ?1?n-1 ?1?n ?+(n-2)??4? +(n-1)??4? ,两式相减得 ? ? ? ?

1 ?1?n ? ? - ?1?n 1 1+3n?1?n 4 ?4? ? ? ,整理得 Rn= = -(n-1)??4? = - 1 3 3 ? ? ?4? 1-4 3n+1 3n+1 1 1 9(4- 4n-1 ).所以数列{cn}的前 n 项和 Rn=94- 4n-1 .
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第31讲

数列求和

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 用错位相减法求和时,应注意两点: 一是要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数 的情形;二是在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注 意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn” 的表达式.

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第31讲

数列求和

点 面 讲 考 向

变式题 [2013· 海口二模] 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1 =1,an>0,4Sn=(an+1)2(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; an (2)求数列{2n}的前 n 项和 Sn.

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数列求和

点 面 讲 考 向

(a1+1)2 解:(1)当 n=1 时,a1=S1= ,解得 a1=1,满足 4 已知条件. (an+1)2 (an-1+1)2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= - , 4 4 整理,得(an-1)2-(an-1+1)2=0, 即(an+an-1)(an-an-1-2)=0.因为 an>0,所以 an-an-1=2, 所以数列{an}是以 1 为首项,2 为公差的等差数列, 所以 an=2n-1.

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第31讲

数列求和

点 面 讲 考 向

an 2n-1 (2)由(1)得2n= 2n , 2n-1 1 3 所以 Sn=2+22+?+ 2n , 2n-3 2n-1 1 1 3 2Sn=22+23+?+ 2n + 2n+1 , 两式相减,得 2n-1 1 2n-1 3 1 1 1 1 1 1 S = + + +?+ n-1- n+1 = +1- n-1- n+1 = 2 n 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2n+3 2n+3 - n+1 ,所以 Sn=3- 2n . 2

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第31讲

数列求和

易错究源

13.错位相减求和中常见的错误

例 (1) 已知等差数列 {an} 的通项公式为 an = 2 - n ,则数列
? ? an ? ? ? n-1?的前 ?2 ? ? ?

n 项和为__________.

多 元 提 能 力

? ?9-2an? ? 9 (2)已知数列{an}的通项公式为 an=2-n,则数列? n ?的 ? ? ? 2 ? 前 n 项和 Tn=__________.

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数列求和
? ? an ? ? ? [错解](1)设数列 2n-1?的前 ? ? ? ?

n 项和为 Sn,则

2-n 1 0 -1 Sn=20+21+ 22 +?+ n-1 , 2 2-n 1 1 0 -1 ∴2Sn=21+22+ 23 +?+ 2n ,两式相减,得
多 元 提 能 力

2-n 1 1 1 1 1 (1-2)Sn=20+(-1)(21+22+?+ n-1)+ 2n = 2

1-

2-n 3-n + 2n = 2n , 3-n n 项和为 Sn= n-1 . 2
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? ? an ? ? ? ∴数列 2n-1?的前 ? ? ? ?

第31讲

数列求和

9-2an n (2)因为 2n = n-1, 2 n- 1 2 3 n 所以 Tn=1+2+22+?+ n-2 + n-1,① 2 2 n- 1 3 n 所以 2Tn=2+2+2+?+ n-3 + n-2,② 2 2
多 元 提 能 力

1 1 1 n ②-①得 2Tn - Tn = 2 + 1 + 2 +?+ n-2 - n-1 = 4 - n-1 - 2 2 2 n+1 =4- n-1 . 2n-1 2 n n+1 故 Tn=4- n-1 . 2
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数列求和

多 元 提 能 力

[错因]错位相减后所得的项分为两部分,一 是第一项与最后一项, 二是中间的等比数列的项. 相 减后有两个易错点:一、两式相减时最后一项因为 没有对应项而忘记变号;二、对相减后的和式的结 构认识模糊,错把中间 n-1 项和当作 n 项和.要处 理好原来数列的第一项、中间等比数列的前 (n - 1) 项的和、原来数列的第 n 项乘公比后得到最后一项 这三个部分的关系,否则容易出错.

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数列求和

多 元 提 能 力

n+2 [答案] (1) n-1 (2)4- n-1 2 2 ? ? an ? ? ? - [解析] (1)设数列 2n 1?的前 n 项和为 Sn,则 ? ? ? ? a1 a2 an Sn= 0+ 1+?+ n-1,即 2 2 2 n
2- n 1 0 -1 Sn=20+21+ 22 +?+ n-1 , 2 2-n 1 1 0 -1 ∴ Sn= 1+ 2+ 3 +?+ n , 2 2 2 2 2 两式相减,得
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数列求和

?1 ? 1 1 ? 2-n 1? 1 ? ?1- ?Sn= 0+(-1)? 1+ 2+?+ n-1? - n = 2 2? 2 ? 2 2 ? ?2 ?

多 元 提 能 力

1 ? 1? ? ? 1 - - n 1 2 ? 2? n ? ? 2-n 1- 1 - 2n =2n, 1-2 ? ? an ? ? n ? ? - ∴数列 2n 1 的前 n 项和为 Sn= n-1. ? ? 2 ? ? .

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第31讲

数列求和

9-2an n (2)因为 n = n-1, 2 2 n-1 2 3 n 所以 Tn=1+ + 2+?+ n-2 + n-1,① 2 2 2 2
多 元 提 能 力

n-1 3 n 所以 2Tn=2+2+ +?+ n-3 + n-2,② 2 2 2 1 1 n ②-①得 2Tn-Tn=2+1+2+?+ n-2- n-1=4- 2 2 n+2 n+2 - - - =4- n-1 .故 Tn=4- n-1 . 2n 2 2n 1 2 2 1 n

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第31讲

数列求和

[备选理由] 例 1 是等差数列与裂项相消求和的综合问 题;例 2 是倒序相加法求和的综合题.

教 师 备 用 题
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数列求和

例 1 【配例 2 使用】

已知正项等差数列{an}的前 n

1 项和为 Sn,且满足 a1+a5=3a2 3,S7=56. (1)求数列{an}的通项公式 an;
?1? (2)若数列{bn}满足 b1=a1 且 bn+1-bn=an+1, 求数列?b ? ? n?

的前 n 项和 Tn.
教 师 备 用 题
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数列求和

1 2 1 2 解:(1)∵{an}是等差数列且 a1+a5=3a3,∴2a3=3a3. 又∵an>0,∴a3=6. 7(a1+a7) ∵S7= =7a4=56,∴a4=8, 2 ∴d=a4-a3=2, ∴数列{an}的通项公式 an=a3+(n-3)d=2n.
教 师 备 用 题
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第31讲

数列求和

教 师 备 用 题

(2)∵bn+1-bn=an+1 且 an=2n,∴bn+1-bn=2(n+1). 当 n≥2 时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+?+(b2- b1)+b1= 2n+2(n-1)+?+2?2+2=n(n+1); 当 n=1 时,b1=a1=2 满足上式,∴bn=n(n+1). 1 1 1 1 ∴b = =n- , n(n+1) n+1 n 1 1 1 1 ? 1? ?1 1? ∴ Tn = b + b +?+ + b = ?1-2? + ?2-3? +?+ bn-1 ? ? ? ? n 1 2 ? 1 ? 1? 1 ? 1 n ? ? ?1 ? - - ?n-1 n?+?n n+1?=1-n+1=n+1. ? ? ? ?

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数列求和

例 2 【补充使用】 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 3 对任意 n∈N+都有 an>0,满足(a1+a2+?+an)2=a3 1 +a2 +?+a3 n. (1)求数列{an}的通项公式; ? 1? (2)当 0<λ<1 时,设 bn=(1-λ)?an+2?,cn=λ(an+1), ? ?
? 1 ? 数列?b c ?的前 ? n n?

9n-1 n 项和为 Tn,求证:Tn> . 4n+3

教 师 备 用 题
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第31讲

数列求和

解:(1)由题设条件知当 n=1 时,a1=1.当 n=2 时,a2 =2.
2 由题意知,a3 n+1=(a1+a2+?+an+an+1) -(a1+a2+? +an)2, 由于 an>0,所以 a2 n+1=2(a1+a2+?+an)+an+1. 同样有 a2 n=2(a1+a2+?+an-1)+an(n≥2), 2 由此得 a2 n+1-an=an+1+an,所以 an+1-an=1. 所以数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,即数 列{an}的通项公式为 an=n.

教 师 备 用 题
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数列求和
? 1? (1-λ)(2n+1) ? (2) 证明:∵bn =(1- λ) an+2? = , 2 ? ?

教 师 备 用 题

cn=λ(n+1), 1 4 ∴ bc = ≥ λ ( 1 - λ )( 2 n + 1 )( 2 n + 2 ) n n 16 16 16 = - , (2n+1)(2n+2) 2n+1 2n+2 ??1 1? ?1 1? ? 1 ? 1 ? 1 ?? ? ? ? ? ? ? - Tn≥16? 3-4 + 5-6 +?+?2n+1 2n+2??=16 [(3+ ? ? ? ?? ? ?? 1 1 1 1 1 1 1 4 + 5 + ? + 2n+1 + 2n+2 ) - 2( 4 + 6 + ? + 2n+2 ) ] = ? 1 1 1 1? ? 16?n+2+n+3+?+2n+2-2? ?. ? ?

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第31讲

数列求和

1 1 1 设 tn= + +?+ ,倒序相加得 n+2 n+3 2n+2 ? 1 1 ? 1 1 1 ? ? + 2tn = ?n+2 2n+2? + ( + )+?+( + n+3 2n+1 2n+2 ? ? 4(n+1) 1 4 4 4 )≥ + +?+ = , n+2 3n+4 3n+4 3n+4 3n+4
?2(n+1) 1? 2(n+1) 8n ? - ∴t n > ,从而 Tn>16? = . ? ? 2 3 n + 4 3n+4 ? ? 3n+4

教 师 备 用 题

9n-1 (5n-4)(n-1) 8n ∵ - = ≥0, 3n+4 4n+3 (3n+4)(4n+3) 9n-1 ∴Tn> . 4n+3
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第32讲 数列的综合问题

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考试说明

1.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关 系,并能用有关知识解决相应的问题.认识数列的函数特性, 能结合方程、不等式、解析几何等知识解决一些数列问题. 2.能依据现实的生活背景,提炼相关的数量关系,将现 实问题转化为数学问题,构造等差、等比数列模型,并加以解 决.

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第32讲
双 向 固 基 础

数列的综合问题

1.数列的综合应用 (1)等差数列和等比数列的综合 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查 的重点. 应用等差、 等比数列的通项公式、 前 n 项和公式, 建立关于基本量首项 a1 和公差 d(或公比 q)的方程组,以 及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点. (2)数列和函数 数列是特殊的函数. 等差数列的通项公式和前 n 项和 公式分别是关于 n 的一次和二次函数. 等比数列的通项公 式和前 n 项和公式在公比不等于 1 的情况下是公比 q 的指 数函数模型,可以根据函数的观点解决数列问题.

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第32讲
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数列的综合问题

(3)数列和不等式 以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景的 数列的综合问题,体现了在知识交汇点上命题的特点.通 过数列的求通项以及求和,解决不等式问题,这类不等式 是关于正整数的不等式, 可以通过比较法、 基本不等式法、 导数方法和数学归纳法解决. 2.数列的实际应用 (1)解决数列应用问题的基本思路

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第32讲
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数列的综合问题

(2)数列应用题常见模型 ①等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量,该 模型是等差数列模型,增加(或减少)的量就是公差; ②等比模型:如果后一个量与前一个量的比是一个固定 的数,该模型是等比数列模型,这个固定的数就是公比; ③递推数列模型:如果题目中给出的前后两项之间的关 系不固定, 随项的变化而变化, 应考虑 an 与 an-1 的递推关系, 或前 n 项和 Sn 与 Sn-1 之间的递推关系.

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第32讲 数列的综合问题
双 向 固 基 础

—— 链接教材 ——

1.[教材改编] 在△ABC 中,三内角 A,B,C 成等差数 列,则角 B 等于________.

[答案] 60°
A+C [解析] ∵A,B,C 为等差数列,∴B= 2 ,即 A +C=2B.又 A+B+C=180°,∴3B=180°,即 B=60°.

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第32讲 数列的综合问题
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2.[教材改编] 某剧场有 20 排座位,后一排比前一排多 2 个座位, 最后一排有 60 个座位, 则剧场共有________个座位.

[答案] 820 [解析] 设第 n 排的座位数为 an(n∈N*),数列{an}为 等差数列,其公差 d=2,则 an=a1+(n-1)d=a1+2(n- 1). 由已知 a20=60,得 60=a1+2(20-1),解得 a1=22, 20(a1+a20) 则 剧 场 总 共 的 座 位 数 为 S20 = = 2 20?(22+60) =820. 2
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第32讲 数列的综合问题
双 向 固 基 础

3.[教材改编] 某企业去年的产值是 100 万元,计划 在今后 5 年内每年比上一年产值增长 10%, 则这五年的总 产值是________万元.
[答案] 671.561 [解析] 这五年的产值构成等比数列{an},其中 a1= 100(1+10%)=110,公比 q=1+10%,

S5



a1(1-q5) 1-q



110(1-1.15) 1-1.1



110(1-1.610 51) =671.561. -0.1
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第32讲 数列的综合问题
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4.[教材改编] 一弹性球从 100 m 高处自由落下,每 次着地后又跳回到原来高度的一半再落下,则第 10 次着 地时所经过的路程和是________m.

39 [答案] 29964

[解析] 第 10 次着地时,经过的路程为 100+2(50+25+?+100?2-9) =100+2?100(2-1+2-2+?+2-9) 2 1(1-2 9) =100+200? 1-2-1
- -

25 39 =300-64=29964(m).
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数列的综合问题

—— 疑 难 辨 析 ——
1.数列综合题的易错易混点 (1)在曲线 y=lg x 上取点, 若横坐标为等比数列{xn}, 则 对应的纵坐标为等差数列{yn}.( ) (2)一个细胞由 1 个分裂为 2 个, 则经过 5 次分裂后的细 胞总数为 63.( )
[答案] (1)√ (2)?

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数列的综合问题

xn [解析] (1)设等比数列的公比为 q,则 yn-yn-1=lg xn-1 =lg q(常数),所以{yn}是等差数列. (2)设经过 n 次分裂后的细胞总数为 an+1,则数列{an}是 公比为 2 的等比数列,经过 5 次分裂后的细胞总数为 a6=25 =32.

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数列的综合问题

2.增长率问题的常用结论 (1)某厂生产总值的月平均增长率为 q,则年平均增长率为 12q.( ) (2)某商品降价 10%后欲恢复原价,则应提价 10%.( ) (3)某商品月末的进货价比月初的进货价下降了 8%,而销 售价不变.利润率月末比月初高出 10% ,则月初的利润率是 18%.( )
[答案] (1) ? (2)? (3) ?

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数列的综合问题

[解析] (1)设原来的生产总值为 1,年平均增长率 为 x,则 1+x=(1+q)12,x=(1+q)12-1. (2)设原价为 1, 提价的百分率为 x, 则(1-10%)(1 1 +x)=1,x=9≈11.11%. (3)设月初的进货价为 1,月初利润率为 x,则 1 +x=(1-8%)(1+x+10%),解得 x=0.15,即月初的 利润率是 15%.

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第32讲
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数列的综合问题

3.存贷款利率的方法技巧 (1)我国银行的存款都是单利计息, 属于等差模型. ( ) (2)采用单利计息与复利计息的利息都一样.( ) (3)贷款 A 元,每年偿还 a 元,n 年还清,年利率为 r,则 n 年本利合计是 A(1+nr)元.( )
[答案] (1)√ (2)? (3)?

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第32讲
双 向 固 基 础

数列的综合问题

[解析] (1)我国银行的存款都是单利计息,设本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 n,则本利和 an=a(1+rn),属 于等差模型. (2)设本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 n,则复利 的本利和 an=a(1+r)n,属于等比模型,复利和单利的计 息是不同的. (3)贷款 A 元,每年偿还 a 元,n 年还清,年利率为 r, 则 n 年本利合计为 a(1+r)n-1+a(1+r)n-2+?+a(1+r)+ a[(1+r)n-1] a= (元). r

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第32讲

数列的综合问题

?

探究点一

等差、等比数列的综合问题

点 面 讲 考 向

例 1 [2013· 新课标全国卷Ⅱ] 已知等差数列{an}的公 差不为零,a1=25,且 a1,a11,a13 成等比数列. (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+?+a3n-2.

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第32讲

数列的综合问题

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)条件:等差数列{an}中的三项成等比 数列.目标:求等差数列{an}的通项公式.方法:列方 程求公差. (2)条件:已知等差数列{an}的通项公式.目标:求 数列{a3n-2}的前 n 项和.方法:证明数列{a3n-2}是等差 数列.

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数列的综合问题

点 面 讲 考 向

解: (1) 设等差数列 {an} 的公差为 d. 由题意, a 2 11 = a1a13, 即(a1+10d)2=a1(a1+12d), 于是 d(2a1+25d)=0. 又 a1=25,所以 d=0(舍去),d=-2. 故 an=-2n+27. (2)令 Sn=a1+a4+a7+?+a3n-2. 由(1)知 a3n-2=-6n+31, 故数列{a3n-2}是首项为 25, 公差为-6 的等差数列.从而 n Sn=2(a1+a3n-2) n =2(-6n+56) =-3n2+28n.
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第32讲

数列的综合问题

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 等差数列与等比数列的综合考查是高考 的基本题型,基本解题思路是通过基本量方法求出数列 的通项,再利用数列中 an 和 Sn 的关系,通过变换其中的 关系把数列转化为等差数列、等比数列,从而进行数列 求和、不等关系的判断等.

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数列的综合问题

点 面 讲 考 向

变式题 [2013· 湖北卷] 已知 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和,S4,S2,S3 成等差数列,且 a2+a3+a4=-18. (1)求数列{an}的通项公式. (2)是否存在正整数 n,使得 Sn≥2013?若存在,求 出符合条件的所有 n 的集合;若不存在,说明理由.

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第32讲

数列的综合问题

解:(1)设数列{an}的公比为 q,则 a1≠0,q≠0.由题 意得
点 面 讲 考 向
? ?S2-S4=S3-S2, ? ? ?a2+a3+a4=-18,
2 3 2 ? ?-a1q -a1q =a1q , 即? 2 ? ?a1q(1+q+q )=-18,

? ?a1=3, 解得? ? ?q=-2,

故数列{an}的通项公式为 an=3(-2)n 1.


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数列的综合问题

点 面 讲 考 向

3[1-(-2)n] (2)由(1)得 Sn= =1-(-2)n. 1-(-2) 若存在 n,使得 Sn≥2013,则 1-(-2)n≥2013, 即(-2)n≤-2012. 当 n 为偶数时,(-2)n>0,上式不成立; 当 n 为奇数时, (-2)n=-2n≤-2012, 即 2n≥2012, 则 n≥11. 综上,存在符合条件的正整数 n,且所有这样的 n 的集合为{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.

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数列的综合问题

?

探究点二

数列在实际问题中的应用

点 面 讲 考 向

例 2 [2013· 泉州质检 ] 某工业城市按照“十二五”(2011 年至 2015 年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求,进行 减排治污.现以降低 SO2 的年排放量为例,原计划“十二五” 期间每年的排放量都比上一年减少 0.3 万吨,已知该城市 2011 年 SO2 的年排放量约为 9.3 万吨. (1)按原计划,“十二五”期间该城市共排放 SO2 约多少万 吨?

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第32讲

数列的综合问题

点 面 讲 考 向

(2)该城市为响应十八大提出的建设“美丽中国”的号召, 决定加大减排力度. 在 2012 年刚好按原计划完成减排任务的条 件下,自 2013 年起,SO2 的年排放量每年比上一年减少的百分 率为 p, 为使 2020 年这一年的 SO2 年排放量控制在 6 万吨以内, 求 p 的取值范围. 8 2 9 2 (参考数据 3≈0.950 6, 3≈0.955 9.)

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数列的综合问题

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)条件:排放量按年份计算,每年减 少相同的数量.目标:求排放总量.方法:化归为等差 数列模型求解. (2)条件:每年减少的百分率相同.目标:求减少的 百分率.方法:化归为等比数列模型求解.

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数列的综合问题

点 面 讲 考 向

解: (1)设“十二五”期间, 该城市共排放 SO2 约 y 万吨. 依题意,2011 年至 2015 年 SO2 的年排放量构成首项为 9.3,公差为-0.3 的等差数列, 5?(5-1) 则 y=5?9.3+ ?(-0.3)=43.5(万吨). 2 所以按计划“十二五”期间该城市共排放 SO2 约 43.5 万吨.

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数列的综合问题

点 面 讲 考 向

(2)由已知得, 2012 年的 SO2 年排放量为 9.6-0.3?2 =9(万吨), 则 2012 年至 2020 年 SO2 的年排放量构成首项为 9, 公比为 1-p 的等比数列. 8 2 由题意得 9?(1-p)8<6,即 1-p< 3, 8 2 把 3 ≈ 0.950 6 代入,得 1 - p<0.950 6 ,解得 p>4.94%. 故 SO2 的年排放量每年减少的百分率 p 的取值范围 是(4.94%,1).

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数列的综合问题

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 用数列知识解相关的实际问题,关键是 列出相关信息,把应用问题抽象为等差、等比数列问题, 合理建立数学模型——数列模型.求解时,要明确目标, 即搞清是求和,还是求通项,还是解递推关系问题,所 求结论对应的是解方程问题,还是解不等式问题,还是 最值问题,然后经过数学推理与计算得出的结果,放回 到实际问题中进行检验,最终得出结论.

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数列的综合问题

?

探究点三

数列与函数、不等式的综合问题

点 面 讲 考 向

例 3 [2013· 北京门头沟区一模] 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=1,且满足下列条件:①?n∈N*,an x2+x ≠0;②点 Pn(an,Sn)在函数 f(x)= 的图像上. 2 (1)求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn; (2)求证:0≤|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|<1.

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数列的综合问题

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)条件:点 Pn 在函数 f(x)的图像上.目 标:求数列{an}的通项公式 an 及前 n 项和 Sn.方法:由条 件推出数列{an}是等差或等比数列. (2)条件:已得数列{an}的通项公式.目标:证明不 等式.方法:先表示|PnPn+1|,再利用不等式性质证明.

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数列的综合问题

点 面 讲 考 向

x2+x 解:(1)由点 Pn(an,Sn)在函数 f(x)= 2 的图像上, a2 a2 n+an n+an 得 Sn = 2 . 当 n≥2 时 , an = Sn - Sn - 1 = 2 - a2 n-1+an-1 ,整理,得(an+an-1)(an-an-1-1)=0. 2 又?n∈N*,an≠0,则 an+an-1=0 或 an-an-1-1= an 0.当 an+an-1=0 时,a1=1, =-1, an-1 即数列{an}是首项为 1,公比为-1 的等比数列, 则数列{an}的通项公式为 an=(-1)n-1,前 n 项和 Sn 1-(-1)n = ; 2
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第32讲

数列的综合问题

点 面 讲 考 向

当 an-an-1-1=0 时,a1=1,an-an-1=1, 即数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列, n2+n 则数列{an}的通项公式为 an=n, 前 n 项和 Sn= 2 . - (2) 证 明 : 当 an + an - 1 = 0 时 , Pn( ( - 1)n 1 , 1-(-1)n ), 2 则|Pn+1Pn+2|=|PnPn+1|= 5,即|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|= 0;当 an-an-1-1=0 则 |Pn


? n2+n? ? ? 时,Pn?n, ?, 2 ? ?

1Pn



2| =

1+(n+2)2 , |PnPn



1|



1+(n+1)2,
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第32讲

数列的综合问题

|Pn
点 面 讲 考 向



1Pn



2|

- |PnPn



1|



1+(n+2)2 -

2 2 1 +( n + 2 ) - 1 -( n + 1 ) 1+(n+1)2= 1+(n+2)2+ 1+(n+1)2

2n+3 = 2 2 , 1+(n+2) + 1+(n+1) ∵ 1+(n+2)2>n+2, 1+(n+1)2>n+1, 2n+3 ∴0< 2 2<1, 1+(n+2) + 1+(n+1) 综上,得 0≤|Pn+1Pn+2|-|PnPn+1|<1.

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第32讲

数列的综合问题

点 面 讲 考 向

[归纳总结] (1)以函数为背景的数列问题,关键是 从题设中提炼出数列的基本条件,综合函数与不等式的 知识求解.数列是特殊的函数,以数列为背景的不等式 证明问题及以函数为背景的数列的综合问题体现了在知 识交汇点上命题的特点. (2) 数列中的不等式问题一般是关于正整数的不等 式,解决不等式问题的方法都可以用来解决数列中的不 等式.

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第32讲

数列的综合问题

?

探究点四

数列与解析几何的综合问题

点 面 讲 考 向

例 4 [2013· 韶关调研] 如图 5322 所示, 过点 P(1, 0)作曲线 C:y=x2(x∈(0,+∞))的切线,切点为 Q1,设 点 Q1 在 x 轴上的投影是点 P1;又过点 P1 作曲线 C 的切 线,切点为 Q2,设 Q2 在 x 轴上的投影是 P2;??依此 下去,得到一系列点 Q1,Q2,Q3,?,Qn,设点 Qn 的 横坐标为 an. (1)求直线 PQ1 的方程; (2)求数列{an}的通项公式;

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第32讲

数列的综合问题

点 面 讲 考 向

(3)记 Qn 到直线 PnQn+1 的距离为 dn, 求证: n≥2 时, 1 1 1 + +?+ dn>3. d1 d2

图 5322

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第32讲

数列的综合问题

点 面 讲 考 向

[思考流程] (1)条件: 曲线与曲线外点 P.目标:求过 点 P 的切线方程.方法:求导数确定切线的斜率. (2)条件:曲线与曲线外点 Pn+1.目标:求数列{an}的 通项公式.方法:由斜率得到 an 与 an-1 的关系. (3)条件:已得点 Pn 的坐标.目标:证明不等式.方 法:先求出 dn,再证明.

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第32讲

数列的综合问题

解:(1)对 y=x2 求导,得 y′=2x.
点 面 讲 考 向

设点 Q1(a1,a2 1),得直线 PQ1 的斜率 a2 1-0 即 =2a1,解得 a1=2, a1-1 ∴

=2a1,

=4,则直线 PQ1 的方程为 4x-y-4=0.

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第32讲

数列的综合问题

2 (2)设点 Qn(an,a2 ) , Q ( a , a Pn-1(an-1,0), - - n n 1 n 1 n-1),

点 面 讲 考 向

a2 n-0 ∴直线 Pn-1Qn 的斜率 kPn-1Qn= =2an, an-an-1 an =2(n≥2), an-1 即数列{an}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列, 所以数列{an}的通项公式是 an=2n. 化简,得

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第32讲

数列的综合问题

(3)证明: 由(2)知 Pn(2n, 0), Qn+1(2n+1, 22n+2), Qn(2n,
2n+2 2 -0 n+2 2n 2 ),则直线 PnQn+1 的斜率 kPnQn+1= n+1 =2 , 2 -2n

点 面 讲 考 向

∴直线 PnQn+1 的方程为 y=2n 2x-22n 2,
+ +

|2n+2?2n-22n-22n+2| 4n 4n ∴ dn = = < n= n +2 2 n 4 ? 2 (2 ) +1 16?4 +1 2n 1 4 4 ,∴dn>2n. ?1 ?1?2 ?1?n? 1 1 1 故d +d +?+d >4?2+?2? +?+?2? ?= ? ? ? ? ? ? n 1 2 1? ?1?n? ?1-? ? ? 2? ?2? ? ? ?1?n? ?1-? ? ?≥3. 4? = 4 1 ?2? ? ? 1-2
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第32讲

数列的综合问题

点 面 讲 考 向

[归纳总结] 数列与解析几何的综合问题,主要指的 是用几何方法构造数列,往往通过数列的某几项或数列 的通项作为曲线上的点的坐标来建立关系,或者是含数 列通项的点在曲线的切线上,这样就会把导数综合在一 起.因此此类问题一般是数列的递推关系问题.

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第32讲

数列的综合问题

答题模板

10.数列综合题的解题步骤

例 [2013· 浙江卷] 在公差为 d 的等差数列{an}中,已知 a1 =10,且 a1,2a2+2,5a3 成等比数列. (1)求 d,an; (2)若 d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|.
多 元 提 能 力

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第32讲

数列的综合问题

多 元 提 能 力

[规范解答] (1)由题意得 5a3· a1=(2a2+2)2, (2 分) 即 d2-3d-4=0, 故 d=-1 或 d=4.(3 分) 所以 an=-n+11,n∈N*或 an=4n+6, n∈N*.(5 分)

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第32讲

数列的综合问题

多 元 提 能 力

(2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn, 因为 d<0, 由(1)得 d=-1,an=-n+11.(6 分) 则当 n≤11 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|= 1 2 21 Sn=-2n + 2 n;(8 分) 当 n≥12 时,|a1|+|a2|+|a3|+?+|an|= 1 2 21 -Sn+2S11=2n - 2 n+110.(10 分) 综 上 所 述 , |a1| + |a2| + |a3| + ? + |an| =

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第32讲

数列的综合问题

[步骤解读] (1)理解题意,分清等差数列与等比数列的关系; (2)用通项公式表示等差数列的项,再根据这些项成等比数 列,列方程(组)求得数列的基本量,确定数列的通项公式; (3)判定数列的类型以及项的符号,再根据前 n 项和公式计算.
多 元 提 能 力

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第32讲

数列的综合问题

[备选理由] 例 1 主要考查运用数列基础知识,分类讨 论与分组求和;例 2 以函数图像为载体,考查等差数列与 裂项求和.

教 师 备 用 题
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第32讲

数列的综合问题

例 1 【配例 1 使用】 [2013· 延边质检] 数列{an}满足 5-(-1)n a1=1,a2=2,an+2= an+[1+(-1)n+1](n∈N*). 6 (1)求 a3,a4 及数列{an}的通项公式; (2)设 Sn=a1+a2+?+an,求 S2n.

教 师 备 用 题
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第32讲

数列的综合问题

5-(-1) 解:(1)a3= a1+[1+(-1)2]=3, 6 5-(-1)2 4 3 a4= a2+[1+(-1) ]= . 6 3 5-(-1)2k 当 n = 2k 时, a2k + 2 = a2k + [1 + ( - 1)2k + 6 1 ](k∈N*), a2k+2 2 2 得 a2k+2= a2k, 即 = , 所以数列{a2k}是首项为 2, 3 a2k 3 ?2?k-1 3 公比为2的等比数列,所以 a2k=2?3? ; ? ?
教 师 备 用 题
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数列的综合问题

教 师 备 用 题

5-(-1)2k 1 当 n=2k-1 时,a2k+1= a2k-1+[1+(- 6 1)2k](k∈N*), 得 a2k+1=a2k-1+2,即 a2k+1-a2k-1=2, 所以数列{a2k-1}是首项为 1,公差为 2 的等差数列, 所以 a2k-1=2k-1. ?n(n=2k-1,k∈N*), ? 综上可知 an=? ?2?n-2 ?2? ? 2 (n=2k,k∈N*). ? ? 3?


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第32讲

数列的综合问题

(2)S2n=a1+a2+a3+?+a2n-1+a2n=(a1+a3+?+ a2n-1)+(a2+a4+?+a2n) = [1 + 3 + 5 + ? + (2n - 1)] + ? ?2?n-1? 2 ?2+2? +?+2?? ? ? 3 ?3? ? ? ?2?n 2 =n +6-6?3? . ? ?

教 师 备 用 题
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第32讲

数列的综合问题

教 师 备 用 题

例 2【配例 4 使用】 在直角坐标平面内有一点列 P1(x1,y1),P2(x2,y2),?,Pn(xn,yn),?,对一切正整数 13 n,点 Pn 位于函数 y=3x+ 的图像上,且 Pn 的横坐标构 4 5 成以- 为首项,-1 为公差的等差数列{xn}. 2 (1)求点 Pn 的坐标; (2)设抛物线 c1,c2,c3,?,cn,?中的每一条的对称 轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 cn 的顶点为 Pn,且过点 Dn(0, n2+1). 记与抛物线 cn 相切于 Dn 的直线的斜率为 kn, 1 1 1 求k k +k k +?+ . k k 1 2 2 3 n-1 n
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第32讲

数列的综合问题

教 师 备 用 题

5 解:(1)由数列{xn}是以- 为首项,-1 为公差的等差数 2 列,得 5 3 xn=- +(n-1)?(-1)=-n- . 2 2 13 ∵点 Pn 位于函数 y=3x+ 的图像上, 4 13 5 ∴yn=3· xn+ =-3n- , 4 4 ? 3 5? ∴点 Pn 的坐标为?-n-2,-3n-4?. ? ?

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第32讲

数列的综合问题

(2)由抛物线 cn 的对称轴垂直于 x 轴,且顶点为 Pn, ? 2n+3? ? ?2 12n+5 则可设抛物线 cn 的方程为 y=a?x+ - . ? 4 2 ? ? ∵抛物线 cn 过点 Dn(0,n2+1), ?2n+3? ? ?2 12n+5 2 ∴n +1=a? ,得 a=1. ? - 4 2 ? ? ∴抛物线 cn 的方程为 y=x2+(2n+3)x+n2+1, 则 y′=2x+2n+3.
教 师 备 用 题
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第32讲

数列的综合问题

当 x=0 时,kn=2n+3, 1 ? 1 1 1? ? 1 ∴ = = ?2n+1-2n+3? ?, kn-1kn (2n+1)(2n+3) 2? ? 1 1 1 ∴k k +k k +?+ = kn-1kn 1 2 2 3 ? 1 ? 1 ? 1 1? ?1 1? 1? ?? ? ? ? ? ? ? ? - - - + +?+ ?2n+1 2n+3??= 2? ??5 7? ?7 9? ? ?? 1 ? 1? 1 1 ?1 ? - . ?= - 2? ?5 2n+3? 10 4n+6
教 师 备 用 题
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