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高一数学抛物线的简单几何性质1_图文


抛物线的简单几何性质(一)

复习
标准方程 图形

y 2 ? 2 px( p ? 0)
K

y

d

F x o﹒

M

焦点和准线

p p 焦点 F ( , 0) 和准线 l : x ? ? 2 2

你认为这个标准方程对应的抛物线 还有什么几何性质呢?

类比探索
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质: Y (1)范围 x≥0,y∈R
X

(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴. (3)顶点
抛物线和它的轴的交点.

(4)离心率

始终为常数1 |PF|=x0+p/2

y

P

(5)焦半径
(6)通径

O

F

x

通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相 交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。 通径的长度:2P
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。

思考:通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗?

特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2
y =4x y2=2x 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心 ; 2
4 3 2 1 -2 2 4 6 8 10

2 3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线 ;
-1 -2

y =x 1 2 y = x

4.抛物线的离心率是确定的,为1;
-3 -4 -5

5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.

P越大,开口越开阔

图 形
y
l O F

方程

焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴

e

y2 = 2px p p F ( , 0 ) x?? x (p>0) 2 2
l

y
F O

y2 = -2px p p F ( ? ,0) x ? 2 x(p>0) 2 x2 = 2py p p F (0, ) y ? ? 2 2 x (p>0) x2

y∈R
(0,0) 1 y≥0 x∈R y轴 y≤0

y
O

F

l

y
O F

= -2py F (0,? p ) y ? p 2 x(p>0) 2

l

x∈R

典型例题: 例1.已知抛物线关于x轴对称,顶点在坐标 原点,并且过点M(2, ?2 2 ),求它的标准方程.
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论 解:因为抛物线关于 x轴对称,它的顶点在原 点,并且经过

点M (2,?2 2 ),所以,可设它的标准方 程为y 2 ? 2 Px( P ? 0)

因为点M在抛物线上,所以 (?2 2 )2 ? 2P ? 2,即p ? 2
因此,所求抛物线的标 准方程是y ? 4x
2

变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点

M(2, ?2 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程.

例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F, 且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.

解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);

法三 :设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长. 法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.

还有没有其他方法?

例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法一:由已知得抛物线的焦点 为F(1,0),所以直线AB的方程为 y=x-1
y

A’

A O F B
x

代入方程y 2 ? 4 x, 得( x ? 1)2 ? 4 x, 2 化简得x ? 6 x ? 1 ? 0. ? x1 ? x2 ? 6 ? ? B’ ? x1 ? x2 ? 1
? AB ? 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 8

所以,线段 AB的长是8。

例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. 解法二:由题意可知, p p ? 2, ? 1, 准线l : x ? ?1. 2
y

A’

A O F B
x

设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到 准线l的距离分别为 d A , dB .
由抛物线的定义可知 AF ? d A ? x1 ? 1, BF ? d B ? x2 ? 1,

B’

所以 AB ? AF ? BF ? x1 ? x2 ? 2 ? 8

变式: 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m, 交这抛物线于A、B两点,求证:以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切.
y

分析:运用 抛物线的定 义和平面几 何知识来证 比较简捷.

C H D E F A

B O

x

证明:如图.
设AB的中点为E,过A、E、B分别向准线l引垂 线AD,EH,BC,垂足为D、H、C,
则|AF|=|AD|,|BF|=|BC| ∴|AB| =|AF|+|BF| =|AD|+|BC| =2|EH| 所以EH是以AB为直径的 圆E的半径,且EH⊥l,因 而圆E和准线l相切.
y

C H D E F A

B O

x

练习: 1.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴, 焦点在直线3x-4y-12=0 上,那么抛物线通径 16 长是______________. 2.过抛物线 y2 = 8x 的焦点,作倾斜角为45
0

16 的直线,则被抛物线截得的弦长为_________
3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B, 且|AB|=4 3 ,求直线AB的方程. X=3

例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点, 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
y

A

F
O D B

x

例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的 直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴。

证明:以抛物线的对称 轴为x轴,它的顶点为原点, 建立直角坐标系。设抛 物线的方程为 y 2 ? 2 px, y 2 y 2p 点A的坐标为 ( 0 , y0 ),则直线OA的方程为y ? x, 2p y0 p 抛物线的准线是 x ? ? 2 p2 联立可得点 D的纵坐标为 y?? . y0 O F p 因为点F的坐标是( ,0),所以直线AF的 2 D B p x ? y 方程为 ? 2 2 . y0 p y0 ? 2p 2 p2 联立可得点 B的纵坐标为 y ? ? . 所以DB // x轴。 y0

A
x

小结:
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、

离心率、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 焦点坐标及解决其它问题;

; http://www.senrun-wood.com/ 整木定制 djm831zbg 五哥认真地说:“这孩子的学还没上,你就跟我讲条件,未免太早了吧,依我看还是先让他俩来上学,这些事到时候再说。” 这样一来,小荷和荷花便跟五哥家的刚刚成了同班同学,刚刚却比小荷整整大了两岁。 “爸爸,这是您给我买的吗?”小荷穿上新买的连衣裙,背着小书包,蹦蹦跳跳地跑到我跟前。 我抱起女儿,亲亲她的小脸蛋儿,然后双手举过头顶。 “我要上学了,我要上学了??”女儿一个劲地嚷着,高兴得像只即将出笼的小鸟。 “小荷,快下来,你爸爸累了。”妻子走出内间。这时的她已怀孕八个多月了,走起路来有点吃力。 “爸爸,你累了吗?”我把女儿搂在怀里,望着她那双炯炯有神的大眼睛,高兴地说:“当然不累了,我一看到我的宝贝女 儿,我浑身就充满了力量,不知道什么叫累了。” “小荷,来,把这衣服和书包给你荷花狙送去。” “妈——,我——不——去。”小荷撒起娇来,“荷花也有爹,也有娘,凭什么总是要我们家的东西?” “小荷,这是你马大伯让爸给荷花捎的,人家已经给钱了。”我一边说一边把小荷从怀里放下来。 “老爸,你又在骗人!” “老爸才不骗人呢,再说哪有大人骗小孩的?” “有一天,我和荷花在一起玩,村里的王大娘见了,说我和荷花是亲狙妹,还说,荷花是在马天栓家寄养的??爸,什么是 寄养?” “胡说!”我一下子被震怒了。 妻子向女儿使了个眼神,女儿心领神会的拿起衣服和书包,向我做个鬼脸儿,撅着小嘴跑了出去。 提起马天栓,我气不打一处来,真后悔交了这样一个朋友。 自从荷花到了他家,他便成了我家的“太上皇”,整天呼风唤雨的,不是荷花今天生病了,就是荷花明天想喝三鹿牌奶粉了, 也不知道提前预交的生活费究竟到哪儿去了。更可恶的是,我们全家凑钱给他买了拖拉机,我二哥带着他干了还没有两天,他 就腰疼腿疼,对二哥说,要是有个装卸工该多好啊。其实他才比我大四岁,比二哥却还小两岁呢。说他懒,这是人的本性,也 无可厚非。更可恨的是,他纯粹就是一个地地道道的无赖。就说拉沙的事吧,他不仅误了事让我受了处罚,到后来,谁想到他 竟然背着二哥把运费全支走了。二哥知道后,非要去揍他不可。我去求二哥,就是不为我,为了我的女儿荷花,也不要再去找 他,二哥气得直跺脚! 在外界,村里村外的人们都七嘴八舌地议论着,马天栓一定是遇到贵人了,要不然就是他发了横财,若不是这样,他怎么能买 上拖拉机?吊儿郎当地跑运输的他,不出三年又怎能盖起了五间大瓦房?


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