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2014高考数学(文)二轮专题突破演练(浙江专版)第1部分 专题1 第5讲 导数的简单应用 Word版含解析]


一、选择题 1. (2013· 郑州模拟)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x), 且满足 f(x)=2xf′(e)+ln x, 则 f′(e) =( ) A.1 C.-e
-1

B.-1 D.-e

1 1 解析: 选 C 依题意得, f′(x)=2f′(e)+ , 取 x=e 得 f′(e)=2f′(e)+ , 由此解得 f′(e) x e 1 - =- =-e 1. e 2.设函数 y=f(x)的导函数为 f′(x),若 y=f(x)的图像在点 P(1,f(1))处的切线方程为 x -y+2=0,则 f(1)+f′(1)=( A.4 C.2 ) B.3 D.1

解析:选 A 依题意有 f′(1)=1,1-f(1)+2=0,即 f(1)=3,∴f(1)+f′(1)=4. 3.已知曲线 y=x4+ax2+1 在点(-1,a+2)处切线的斜率为 8,则 a=( A.9 C.-9 B.6 D.-6 )

解析:选 D y′=4x3+2ax,因为曲线在点(-1,a+2)处切线的斜率为 8,所以 y′|x
=-1

=-4-2a=8,解得 a=-6. 4. (2013· 西宁模拟)若曲线 f(x)=acos x 与曲线 g(x)=x2+bx+1 在交点(0, m)处有公切线,

则 a+b 的值为( A.-1 C.1

) B.0 D.2

解析:选 C 依题意得,f′(x)=-asin x,g′(x)=2x+b,于是有 f′(0)=g′(0),即 -asin 0=2×0+b,b=0;m=f(0)=g(0),即 m=a=1,因此 a+b=1. 5.若 a>3,则方程 x3-ax2+1=0 在(0,2)上的实根个数是 A.0 C.2 B.1 D.3 ( )

解析:选 B 令 f(x)=x3-ax2+1,而在区间(0,2)上函数 f(x)的导函数 f′(x)=3x2-2ax =x(3x-2a)<0 恒成立,所以函数 f(x)在(0,2)上是减函数, 又 f(0)=1>0,f(2)=9-4a<0, 所以方程 x3-ax2+1=0 在(0,2)上恰有 1 个实根.

1 6.若 f(x)=- (x-2)2+bln x 在(1,+∞)上是减函数,则 b 的取值范围是( 2 A.[-1,+∞) C.(-∞,-1] B.(-1,+∞) D.(-∞,-1)

)

b 解析:选 C 由题意可知 f′(x)=-(x-2)+ ≤0 在(1,+∞)上恒成立,即 b≤x(x-2) x 在 x∈(1,+∞)上恒成立,由于 φ(x)=x(x-2)=x2-2x(x∈(1,+∞))的值域是(-1,+∞), 故只要 b≤-1 即可. 7.已知常数 a,b,c 都是实数,f(x)=ax3+bx2+cx-34 的导函数为 f′(x), f′(x)≤0 的解集为{x|-2≤x≤3},若 f(x)的极小值等于-115,则 a 的值是( 81 A.- 22 C.2 1 B. 3 D.5 )

解析:选 C 依题意得 f′(x)=3ax2+2bx+c≤0 的解集是[-2,3],于是有 3a>0,-2+ 2b c 3a 3=- ,-2×3= ,b=- ,c=-18a,函数 f (x)在 x=3 处取得极小值,于是有 f(3) 3a 3a 2 81 =27a+9b+3c-34=-115,- a=-81,a=2. 2 1 11 8.已知函数 f(x)= x4-2x2+3m,x∈[0,+∞),若 f(x)+ ≥0 恒成立,则实数 m 的 4 3 取值范围是( 1 ? A.? ?9,+∞? 2? C.? ?-∞,9? 解析:选 A ) 1 ? B.? ?9,+∞? 2? D.? ?-∞,9? f′(x)=x3-4x,x∈[0,+∞),令 f′(x)=x(x-2)(x+2)=0,则 f(x)在(0,2)

1 单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以 f(x)的最小值为 f(2)= ×24-2×22+3m=3m-4. 4 11 11 1 要使 f(x)+ ≥0 恒成立,应满足 3m-4+ ≥0,解得 m≥ . 3 3 9 9.当 a>0 时,函数 f(x)=(x2-2ax)ex 的图像大致是( )

解析: 选 B 由 f(x)=0 且 a>0 得函数有两个零点 0,2a, 排除 A 和 C; 又因为 f′(x)=(2x -2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+(2-2a)x-2a]ex,有 Δ=(2-2a)2+8a>0 恒成立,所以 f′(x)=0 有两个不等根,即原函数有两个极值点,排除 D. 10.(2013· 杭州模拟)若函数 f(x)=(x+1)· ex,则下列命题正确的是( )

1 A.对任意 m<- 2,都存在 x∈R,使得 f(x)<m e 1 B.对任意 m>- 2,都存在 x∈R,使得 f(x)<m e 1 C.对任意 m<- 2,方程 f(x)=m 只有一个实根 e 1 D.对任意 m>- 2,方程 f(x)=m 总有两个实根 e 解析:选 B 因为 f′(x)=[(x+1)ex]′=(x+1)ex+ex=(x+2)ex,故函数在区间(-∞, 1 1 -2),(-2,+∞)上分别为减函数与增函数,故 f(x)min=f(-2)=- 2,故当 m>- 2时,总 e e 存在 x 使得 f(x)<m. 二、填空题 1 3 11 .若函数 f(x) = x3 - x2 + ax + 4 的单调递减区间恰为 [ - 1,4] ,则实数 a 的值为 3 2 ________. 1 3 解析:∵f(x)= x3- x2+ax+4, 3 2 ∴f′(x)=x2-3x+a, 又函数 f(x)的单调递减区间恰为[-1,4], ∴-1,4 是 f′(x)=0 的两 根,∴a=-1×4=-4. 答案:-4 12.若曲线 y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则 α=________. 解析:由题意 y′=αxα 1,在点(1,2)处的切线的斜率为 k=α,又切线过坐标原点,所以


2-0 α= =2. 1-0 答案:2 13.(2013· 合肥模拟)已知函数 f(x)=ex-ae x,若 f′(x)≥2 3恒成立,则实数 a 的取值


范围是________. 解析:据题意有 f′(x)=ex+ae x≥2 3,分离变量得 a≥(2 3-ex)ex=-(ex- 3)2+3,


由于(2 3-ex)ex=-(ex- 3)2+3≤3,故若使不等式恒成立,只需 a≥3 即可. 答案:[3,+∞) 1 14.函数 f(x)= x3-x2-3x-1 的图像与 x 轴的交点个数是________. 3 解析:f′(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3),函数在(-∞,-1)和(3,+∞)上是增函数, 2 在(-1, 3)上是减函数,由 f(x)极小值=f(3)=-10<0,f(x)极大值=f(-1)= >0 知函数 f(x)的图像与 3 x 轴的交点个数为 3. 答案:3

15.(2013· 武汉模拟)已知函数 f′(x),g′(x)分别是二次函数 f(x)和三次函数 g(x)的导函 数,它们在同一坐标系内的图像如图所示.

(1)若 f(1)=1,则 f(-1)=________; (2)设函数 h(x)=f(x)-g(x),则 h(-1),h(0),h(1)的大小关系为__________________(用 “<”连接). 1 1 1 解析:(1)由图像可得 f′(x)=x,所以 f(x)= x2+c1.又 f(1)= +c1=1,解得 c1= ,所 2 2 2 1 1 1 1 以 f(x)= x2+ ,故 f(-1)= + =1. 2 2 2 2 1 1 1 (2)因为 g′(x)=x2, 所以 g(x)= x3+c2, 则 h(x)=f(x)-g(x)= x2+c1- x3-c2, 所以 h(0) 3 2 3 1 5 =c1-c2<h(1)= +c1-c2<h(-1)= +c1-c2,故 h(0)<h(1)<h(-1). 6 6 答案:(1)1 (2)h(0)<h(1)<h(-1)

16.(2013· 四川高考改编)设函数 f(x)= ex+x-a(a∈R,e 为自然对数的底数).若存在 b∈[0,1]使 f(f(b))=b 成立,则 a 的取值范围是________. 解析:由题意得 ex+x-a=x,x∈[0,1]①.化简得 ex+x-x2=a,x∈[0,1].令 g(x)=ex

+x-x2,则 g′(x)=ex+1-2x.设 h(x)=ex+1-2x,则 h′(x)=ex-2.所以当 x∈(0,ln 2)时, h′(x)<0; 当 x∈(ln 2,1)时, h′(x)>0.所以 g′(x)≥g′(ln 2)=3-2ln 2>0, 所以 g(x)在[0,1] 上单调递增,所以原题中的方程有解必须方程①有解,所以 g(0)≤a≤g(1). 答案:[1,e]


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