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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修3用样本的数字特征估计总体的数字特征


2.2.2

用样本的数字特征估计总体的数字特征

一、基础过关 1.已知一个样本中的数据为 1,2,3,4,5,则该样本的标准差为 ( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 2.在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰 好是 A 样本数据每个都加 2 后所得数据, A, 两样本的下列数字特征对应相同的是 ( 则 B ) A.众数 B.平均数 C.中位数 D.标准差 3.下表是某班 50 名学生综合能力测试的成绩分布表,则该班成绩的方差为 ( ) 1 2 3 4 5 分数 5 10 10 20 5 人数 34 A. B.1.36 5 C.2 D.4 4.甲、乙两名学生六次数学测验成绩(百分制)如图所示.

①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数;②甲同学的平均分比乙同学高; ③甲同学的平均分比乙同学低; ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 上面说法正确的是 ( ) A.③④ B.①②④ C.②④ D.①③ 5.已知样本 9,10,11,x,y 的平均数是 10,方差是 4,则 xy=________. 6.若 a1,a2,…,a20,这 20 个数据的平均数为 x,方差为 0.20,则数据 a1,a2,…, a20, x 这 21 个数据的方差为________. 7.(1)已知一组数据 x1,x2,…,xn 的方差是 a,求另一组数据 x1-2,x2-2,…,xn-2 的方差; (2)设一组数据 x1,x2,…,xn 的标准差为 sx,另一组数据 3x1+a,3x2+a,…,3xn+a 的 标准差为 sy,求 sx 与 sy 的关系.

8.甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了 6 次测试,测得他们的最大速度(单位: m/s)的数据如下: 27 38 30 37 35 31 甲 33 29 38 34 28 36 乙 (1)画出茎叶图,由茎叶图你能获得哪些信息? (2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度(m/s)数据的平均数、极差、方差,并判断选 谁参加比赛比较合适?

二、能力提升 9.如图,样本 A 和 B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为 x 样本标准差分别为 sA 和 sB,则
A

和 x B, ( )

A. x A> x B,sA>sB B. x A< x B,sA>sB C. x A> x B,sA<sB D. x A< x B,sA<sB 10.

如图是 2012 年某校举行的元旦诗歌朗诵比赛中, 七位评委为某位选手打出的分数的茎叶 统计图, 去掉一个最高分和一个最低分, 所剩数据的平均数和方差分别为 ( ) A.84,4.84 B.84,1.6 C.85,1.6 D.85,0.4 11.由正整数组成的一组数据 x1,x2,x3,x4,其平均数和中位数都是 2,且标准差等于 1,则这组数据为________.(从小到大排列) 12.甲、乙两人在相同条件下各射靶 10 次,每次射靶的成绩情况如图所示:

(1)请填写表: 平均数 方差 中位数 命中 9 环及 9 环 以上的次数 甲 乙 (2)请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析: ①从平均数和方差相结合看(分析谁的成绩更稳定); ②从平均数和中位数相结合看(分析谁的成绩好些); ③从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些); ④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力).

三、探究与拓展 13. 师大附中三年级一班 40 人随机平均分成两组, 两组学生一次考试的成绩情况如下表: 统计量 组别 平均成绩 标准差 90 6 第一组 80 4 第二组 求全班的平均成绩和标准差.

2.2.2
1.B 2.D 3.B

用样本的数字特征估计总体的数字特征

1 1 (1×5+2×10+3×10+4×20+5×5)=3.2,方差 s2= [5×(1 50 50 -3.2)2+10×(2-3.2)2+10×(3-3.2)2+20×(4-3.2)2+5×(5-3.2)2]=1.36.] 1 4.A [甲的中位数为 81,乙的中位数为 87.5,故①错,排除 B、D;甲的平均分 x = 6 1 (76+72+80+82+86+90)=81, 乙的平均分 x = (69+78+87+88+92+96)=85, 故③真, 6 ∴选 A.] 5.91 解析 由题意得 [平均成绩 x =

2 2 即{x+y=20,??x-10? +?y-10? =18. =13 ,或{x=13? y =7 . 解得{x=7? y 所以 xy=91. 6.0.19

1 解析 这 21 个数的平均数仍为 20,从而方差为 ×[20×0.2+(20-20)2]≈0.19. 21 7.解 (1)设 x1,x2,…,xn 的平均数为 x , 1 则有:a= [(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2]. n ∵x1 - 2 , x2 - 2 , … , xn - 2 的 平 均 数 为 x - 2 , 则 这 组 数 据 的 方 差 s2 = ?x1-2- x +2?2+…+?xn-2- x +2?2 n ?x1- x ? +…+?xn- x ?2 = =a. n
2

(2)设 x1,x2,…,xn 的平均数为 x , 则 3x1+a,3x2+a,…,3xn+a 的平均数为 3 x +a. sy= s2 y 1 = [?3 x +a-3x1-a?2+…+?3 x +a-3xn-a?2] n 1 2 = · · x -x1?2+…+? x -xn?2] 3 [? n = 9·2=3sx,∴sy=3sx. sx 8.解 (1)画茎叶图,中间数为数据的十位数.

从茎叶图上看,甲、乙的得分情况都是分布均匀的,只是乙更好一些.乙发挥比较稳定, 总体情况比甲好. 27+38+30+37+35+31 (2) x 甲= =33. 6 28+29+33+34+36+38 x 乙= =33. 6 1 s2 = [(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2]≈15.67. 甲 6 1 2 s乙= [(28-33)2+(29-33)2+(33-33)2+(34-33)2+(36-33)2+(38-33)2]≈12.67. 6 甲的极差为 11,乙的极差为 10. 综合比较以上数据可知,选乙参加比赛较合适. 9.B [样本 A 数据均小于或等于 10,样本 B 数据均大于或等于 10,故 x A< x B,又样 本 B 波动范围较小,故 sA>sB.] 10.C 11.1,1,3,3

解析 假设这组数据按从小到大的顺序排列为 x1,x2,x3,x4, ?x1+x2+x3+x4 x2+x3 则? =2,? =2, 4 2 ? ∴{x1+x4=4,? x +x3=4. 2 1 又 s= [?x -2?2+?x2-2?2+?x3-2?2+?x4-2?2] 4 1 1 = ?x1-2?2+?x2-2?2+?4-x2-2?2+?4-x1-2?2 2 1 = 2[?x1-2?2+?x2-2?2]=1, 2 ∴(x1-2)2+(x2-2)2=2. 同理可求得(x3-2)2+(x4-2)2=2. 由 x1,x2,x3,x4 均为正整数,且(x1,x2),(x3,x4)均为圆(x-2)2+(y-2)2=2 上的点, 分析知 x1,x2,x3,x4 应为 1,1,3,3. 12.解 由折线图,知 甲射击 10 次中靶环数分别为: 9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 将它们由小到大重排为:5,6,6,7,7,7,7,8,8,9. 乙射击 10 次中靶环数分别为: 2,4,6,8,7,7,8,9,9,10. 也将它们由小到大重排为:2,4,6,7,7,8,8,9,9,10. 1 70 (1) x 甲= ×(5+6×2+7×4+8×2+9)= =7(环), 10 10 1 70 x 乙= ×(2+4+6+7×2+8×2+9×2+10)= =7(环), 10 10 1 1 s2 = ×[(5-7)2+(6-7)2×2+(7-7)2×4+(8-7)2×2+(9-7)2]= ×(4+2+0+2+4) 甲 10 10 =1.2, 1 s2 = ×[(2-7)2+(4-7)2+(6-7)2+(7-7)2×2+(8-7)2×2+(9-7)2×2+(10-7)2] 乙 10 1 = ×(25+9+1+0+2+8+9)=5.4. 10 根据以上的分析与计算填表如下: 平均数 方差 中位数 命中 9 环及 9 环以上的次数 7 1.2 7 1 甲 7 5.4 7.5 3 乙 2 (2)①∵平均数相同,s 甲<s2 乙, ∴甲成绩比乙稳定. ②∵平均数相同,甲的中位数<乙的中位数, ∴乙的成绩比甲好些. ③∵平均数相同,命中 9 环及 9 环以上的次数甲比乙少, ∴乙成绩比甲好些. ④甲成绩在平均数上下波动;而乙处于上升势头,从第四次以后就没有比甲少的情况发 生,乙较有潜力. 13.解 设第一组 20 名学生的成绩为 xi(i=1,2,…,20), 第二组 20 名学生的成绩为 yi(i=1,2,…,20), 1 依题意有: x = (x1+x2+…+x20)=90, 20 1 y = (y1+y2+…+y20)=80,故全班平均成绩为: 20

1 (x +x +…+x20+y1+y2+…+y20) 40 1 2 1 = (90×20+80×20)=85; 40 又设第一组学生成绩的标准差为 s1,第二组学生成绩的标准差为 s2, 1 2 2 则 s1= (x1+x2+…+x2 -20 x 2), 2 20 20 1 s2= (y2+y2+…+y2 -20 y 2) 2 2 20 20 1 (此处, x =90, y =80),又设全班 40 名学生的标准差为 s,平均成绩为 z ( z =85), 故有 1 2 2 2 (x +x +…+x2 +y2+y2+…+y20-40 z 2) 20 1 2 40 1 2 1 2 = (20s2+20 x 2+20s2+20 y 2-40 z 2) 1 40 1 = (62+42+902+802-2×852)=51. 2 s= 51. 所以全班同学的平均成绩为 85 分,标准差为 51. s2=


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