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2019-2020版高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理学案 新人教A版选修2-3【优品】

1.3.1 二项式定理
学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会 用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

知识点 二项式定理及其相关概念

思考 1 我们在初中学习了(a+b)2=a2+2ab+b2,试用多项式的乘法推导(a+b)3,(a+b)4 的展

开式.

答案 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4.

思考 2 能用类比方法写出(a+b)n(n∈N*)的展开式吗?

答案 能,(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Cknan-kbk+…+Cnnbn (n∈N*).

梳理

二项式定理 二项式系数
通项

公式(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+…+Cknan-kbk+…+Cnnbn,称为二项式定理 Ckn(k=0,1,…,n) Tk+1=Cknan-kbk

二项式定理的 特例

(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+…+Cknxk+…+Cnnxn

1.(a+b)n 展开式中共有 n 项.( × ) 2.在公式中,交换 a,b 的顺序对各项没有影响.( × ) 3.Cknan-kbk 是(a+b)n 展开式中的第 k 项.( × ) 4.(a-b)n 与(a+b)n 的二项式展开式的二项式系数相同.( √ )

类型一 二项式定理的正用、逆用
例 1 (1)求???3 x+ 1x???4 的展开式.
考点 二项式定理 题点 运用二项式定理求展开式
1



方法一

???3

x+ 1x???4=(3

x

)4



C

1 4

(3

x)3·???

1x???



C

2 4

(3

x)2??? 1x???2+C34(3

x)??? 1x???3+C44

??? 1x???4=81x2+108x+54+1x2+x12.

方法二 ???3 x+ 1x???4=???3x+x 1???4=x12(1+3x)4=x12·[1+C14·3x+C24(3x)2+C34(3x)3+C44(3x)4]=

x12(1+12x+54x2+108x3+81x4)=x12+1x2+54+108x+81x2.

(2)化简:C0n(x+1)n-C1n(x+1)n-1+C2n(x+1)n-2-…+(-1)kCkn(x+1)n-k+…+(-1)nCnn. 考点 二项式定理

题点 逆用二项式定理求和、化简 解 原式=C0n(x+1)n+C1n(x+1)n-1(-1)+C2n(x+1)n-2(-1)2+…+Ckn(x+1)n-k(-1)k+…+Cnn (-1)n=[(x+1)+(-1)]n=xn.

引申探究

若(1+ 3)4=a+b 3(a,b 为有理数),则 a+b=________.

答案 44

解析 ∵(1+ 3)4=1+C14×( 3)1+C24×( 3)2+C34×( 3)3+C44×( 3)4=1+4 3+18+12 3

+9=28+16 3,∴a=28,b=16,∴a+b=28+16=44. 反思与感悟 (1)(a+b)n 的二项展开式有 n+1 项,是和的形式,各项的幂指数规律是:①各项

的次数和等于 n;②字母 a 按降幂排列,从第一项起,次数由 n 逐项减 1 直到 0;字母 b 按升幂

排列,从第一项起,次数由 0 逐项加 1 直到 n.

(2)逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项

展开式的形式靠拢.

跟踪训练 1 化简:(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.

考点 二项式定理

题点 逆用二项式定理求和、化简

解 原式=C05(2x+1)5-C15(2x+1)4+C25(2x+1)3-C35(2x+1)2+C45(2x+1)-C55(2x+1)0=[(2x+ 1)-1]5=(2x)5=32x5.

类型二 二项展开式通项的应用

命题角度1 二项式系数与项的系数

例 2 已知二项式???3 x-32x???10.
(1)求展开式第 4 项的二项式系数; (2)求展开式第 4 项的系数;

2

(3)求第 4 项.

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 求二项展开式特定项的系数

解 ???3 x-32x???10 的展开式的通项是

Tk+1=Ck10(3

x)10-k???-32x???k=Ck10310-k???-23???k·

10?3k
x2

(k=0,1,2,…,10).

(1)展开式的第 4 项(k=3)的二项式系数为 C310=120.

(2)展开式的第 4 项的系数为 C31037???-23???3=-77 760.

(3)展开式的第 4 项为 T4=T3+1=-77 760 x. 反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数 Ckn(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的

系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念.

(2)第 k+1 项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为 Ckn.例如,在(1+2x)7 的展开式中,第四项是 T4=C3717-3(2x)3,其二项式系数是 C37=35,而第四项的系数是 C3723=280.

跟踪训练 2 已知??? x-2x???n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大 162.

(1)求 n 的值;

(2)求展开式中含 x3 的项,并指出该项的二项式系数.

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 求二项展开式特定项的系数



(1)因为 T3=C2n(

x)n-2???-2x???2=4C2n

x

n?6 2



T2=C1n(

x)n-1???-2x???=-2C1n

x

n?3 2



依题意得 4C2n+2C1n=162,所以 2C2n+C1n=81,

所以 n2=81,n∈N*,故 n=9.

(2)设第 k+1 项含 x3 项,则 Tk+1=Ck9(

x)9-k???-2x???k=(-2)kCk9

9?3k
x2

,所以9-23k=3,k=1,

所以第二项为含 x3 的项为 T2=-2C19x3=-18x3.

二项式系数为 C19=9.

命题角度2 展开式中的特定项

例3

? 已知在??
?

3

x-

3?

3

?n x??

的展开式中,第

6

项为常数项.

3

(1)求 n; (2)求含 x2 的项的系数;

(3)求展开式中所有的有理项.

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 求二项展开式的特定项

解 通项公式为

Tk+1=Ckn

n?k
x3

(-3)k

?k
x3

=Ckn(-3)k

n?2k
x3

.

(1)∵第

6

项为常数项,∴当

k=5

n-2k 时,有 3 =0,即

n=10.

(2)令10-3 2k=2,得 k=12(10-6)=2,

∴所求的系数为 C210(-3)2=405.

??10-3 2k∈Z, ? (3)由题意得, 0≤k≤10,
??k∈N.

令10-3 2k=t(t∈Z), 则 10-2k=3t,即 k=5-32t.∵k∈N, ∴t 应为偶数. 令 t=2,0,-2,即 k=2,5,8. ∴第 3 项,第 6 项与第 9 项为有理项,它们分别为 405x2,-61 236,295 245x-2. 反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第 k 项,Tk=Ckn-1an-k+1bk-1;②求含 xk 的项(或 xpyq 的项);③求常数项;④求有理项. (2)求二项展开式的特定项的常用方法 ①对于常数项,隐含条件是字母的指数为 0(即 0 次项); ②对于有理项,一般是先写出通项公式,其所有的字母的指数恰好都是整数的项.解这类问题 必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据数的整除性来求 解; ③对于二项展开式中的整式项,其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有 理项一致. 跟踪训练 3 (1)若???x-ax???9 的展开式中 x3 的系数是-84,则 a=________. 考点 二项展开式中的特定项问题

4

题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 1
解析 展开式的通项为 Tk+1=Ck9x9-k(-a)k???1x???k =Ck9·(-a)kx9-2k(0≤k≤9,k∈N). 当 9-2k=3 时,解得 k=3,代入得 x3 的系数, 根据题意得 C39(-a)3=-84,解得 a=1. (2)已知 n 为等差数列-4,-2,0,…的第六项,则???x+2x???n 的二项展开式的常数项是________.
考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式的特定项 答案 160 解析 由题意得 n=6,∴Tk+1=2kCk6x6-2k, 令 6-2k=0 得 k=3,∴常数项为 C3623=160.

1.(x+2)n 的展开式共有 11 项,则 n 等于( )

A.9 B.10 C.11 D.8

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 由特定项或特定项的系数求参数

答案 B

解析 因为(a+b)n 的展开式共有 n+1 项,而(x+2)n 的展开式共有 11 项,所以 n=10,故选

B.

2.1-2C1n+4C2n-8C3n+…+(-2)nCnn等于( ) A.1 B.1 C.(-1)n D.3n

考点 二项式定理

题点 逆用二项式定理求和、化简

答案 C

解析 逆用二项式定理,将 1 看成公式中的 a,-2 看成公式中的 b,可得原式=(1-2)n=(-

1)n.

3.???x2-1x???n 的展开式中,常数项为 15,则 n 的值为(

)

A.3 B.4 C.5 D.6

考点 二项展开式中的特定项问题

5

题点 由特定项或特定项的系数求参数

答案 D

解析 展开式的通项为 Tk+1=Ckn(x2)n-k·(-1)k·???1x???k=(-1)kCknx2n-3k.令 2n-3k=0,得 n=32k(n,

k∈N*),若 k=2,则 n=3 不符合题意,若 k=4,则 n=6,此时(-1)4·C46=15,所以 n=6.

4.在????

x+

1 ??24 3 x??

的展开式中,x

的幂指数是整数的项共有(

)

A.3 项 B.4 项 C.5 项 D.6 项

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 求多项展开式中的特定项

答案 C

解析

?? ??

x+

1 ?? 24 3 x??

的展开式的通项为

Tk



1



C

k 24

·(

x

)24



k

?? ??

1 ?? 3 x??

k



C

k 24

12? 5k
x6

,故当

k=

0,6,12,18,24 时,幂指数为整数,共 5 项.

5.求二项式( x- 3 x)9 展开式中的有理项.

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 求多项展开式中的特定项



Tk+1=Ck9

? ?

?

1
x2

9?k
? ? ?

?1 ·??x3
?

k
? ? ?

=(-1)kCk9·

27?k
x6

,令276-k∈Z(0≤k≤9),得

k=3



k=9,

所以当 k=3 时,276-k=4,T4=(-1)3C39x4=-84x4,

当 k=9 时,276-k=3,T10=(-1)9C99x3=-x3.

综上,展开式中的有理项为-84x4 与-x3.

1.注意区分项的二项式系数与系数的概念. 2.要牢记 Cknan-kbk 是展开式的第 k+1 项,不要误认为是第 k 项. 3.求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其为特定值.

一、选择题

1.S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4x-3,则 S 等于( )

A.x4

B.x4+1

6

C.(x-2)4

D.x4+4

考点 二项式定理

题点 逆用二项式定理求和、化简

答案 A 解析 S=(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1=C04(x-1)4+C14(x-1)3+C24(x-1)2+C34(x -1)+C44=[(x-1)+1]4=x4,故选 A. 2.设 i 为虚数单位,则(1+i)6 展开式中的第 3 项为( )

A.-20i

B.15i

C.20

D.-15

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 求二项展开式中的特定项

答案 D 解析 (1+i)6 展开式中的第 3 项为 C26i2=-15.

3.(x- 2y)10 的展开式中 x6y4 的系数是( )

A.-840

B.840

C.210

D.-210

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 求二项展开式特定项的系数

答案 B

解析 在通项公式 Tk+1=Ck10(- 2y)kx10-k 中,令 k=4,即得(x- 2y)10 的展开式中 x6y4 的系数

为 C410×(- 2)4=840.

4.在??? x+2x???n 的展开式中,若常数项为 60,则 n 等于(

)

A.3

B.6

C.9

D.12

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 由特定项或特定项的系数求参数

答案 B

解析

Tk+1=Ckn(

x)n-k???2x???k=2kCkn

n?3k
x2

.

令n-23k=0,得 n=3k.

根据题意有 2kCk3k=60,验证知 k=2,故 n=6. 5.若(1+3x)n(n∈N*)的展开式中,第三项的二项式系数为 6,则第四项的系数为( )

7

A.4

B.27

C.36

D.108

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 求二项展开式特定项的系数

答案 D

解析 Tk+1=Ckn(3x)k,由 C2n=6,得 n=4,从而 T4=C34·(3x)3,故第四项的系数为 C3433=108.

n

? 6.在二项式 ?
??

1
x2

?

1
1
2x4

?
? ??

的展开式中,若前三项的系数成等差数列,则展开式中有理项的项数

为( )

A.5

B.4

C.3

D.2

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 求多项展开式中的特定项

答案 C

解析 二项展开式的前三项的系数分别为 1,C1n·12,C2n·???12???2,由其成等差数列,可得 2C1n·12=

1+C2n·???12???2? n=1+n?n8-1?,所以

n=8(n=1

舍去).所以展开式的通项

Tk+1=Ck8???12???k

4? 3k
x4

.若

为有理项,则有

3k 4- 4 ∈Z,所以

k

可取

0,4,8,所以展开式中有理项的项数为

3.

7.设函数 f(x)=??????x-1x???4,x<0, ??- x,x≥0,

则当 x>0 时,f(f(x))表达式的展开式中常数项为( )

A.4

B.6

C.8

D.10

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 求二项展开式的特定项

答案 B

解析 依据分段函数的解析式,

得 f(f(x))=f(-

x)=???

1 -
x

x???4,

∴Tk+1=Ck4(-1)kxk-2.

令 k-2=0,则 k=2,故常数项为 C24(-1)2=6.

二、填空题

8

8.???2x+x12???7 的展开式中倒数第三项为________.

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 求二项展开式的特定项

84 答案 x8

解析 由于 n=7,可知展开式中共有 8 项,

∴倒数第三项即为第六项,

∴T6=C57(2x)2·???x12???5=C57·22x18=8x48 . 9.若(x+1)n=xn+…+ax3+bx2+nx+1(n∈N*),且 a∶b=3∶1,那么 n=________.

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 由特定项或特定项的系数求参数

答案 11

解析 a=Cnn-3,b=Cnn-2.∵a∶b=3∶1, ∴CCnnnn--32=CC2n3n=31,即n?n-6n1??n?n--12??·2=3,

解得 n=11.

10.已知正实数 m,若 x10=a0+a1(m-x)+a2(m-x)2+…+a10(m-x)10,其中 a8=180,则 m 的值

为________.

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 由特定项或特定项的系数求参数

答案 2

解析 由 x10=[m-(m-x)]10,[m-(m-x)]10 的二项展开式的第 9 项为 C810m2(-1)8·(m-x)8, ∴a8=C810m2(-1)8=180, 则 m=±2.又 m>0,∴m=2.

11.使???3x+x 1 x???n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的 n 为________.

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 由特定项或特定项的系数求参数

答案 5

解析 展开式的通项公式 Tk+1=Ckn(3x)n-k???x 1 x???k,

∴Tk+1=3n-kCkn

n?5k
x2

,k=0,1,2,…,n.

9

令 n-52k=0,n=52k,

故最小正整数 n=5.

三、解答题

12.若二项式???x- ax???6(a>0)的展开式中 x3 的系数为 A,常数项为 B,且 B=4A,求 a 的值.
考点 二项展开式中的特定项问题

题点 由特定项或特定项的系数求参数



∵Tk+1=Ck6x6-k???-

ax???k=(-a)kCk6

6? 3k
x2



令 6-32k=3,则 k=2,得 A=C26·a2=15a2;

令 6-32k=0,则 k=4,得 B=C46·a4=15a4.

由 B=4A 可得 a2=4,又 a>0,

∴a=2.

13.已知在???12x2- 1x???n 的展开式中,第 9 项为常数项,求: (1)n 的值; (2)展开式中 x5 的系数;

(3)含 x 的整数次幂的项的个数.

考点 二项展开式中的特定项问题

题点 求多项展开式中的特定项



已知二项展开式的通项为

Tk+1=Ckn???12x2???n-k·???-

1x???k=(-1)k???12???n-kCkn

2n?5k
x2

.

(1)因为第 9 项为常数项,即当 k=8 时,2n-52k=0,

解得 n=10.

(2)令 2×10-52k=5,得 k=25(20-5)=6.

所以 x5 的系数为(-1)6???12???4C610=1805. (3)要使 2n-52k,即40-2 5k为整数,只需 k 为偶数,由于 k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求

的有 6 项,分别为展开式的第 1,3,5,7,9,11 项.

四、探究与拓展

10

14.设 a≠0,n 是大于 1 的自然数,???1+xa???n 的展开式为 a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点 Ai(i,ai) (i=0,1,2)的位置如图所示,则 a=________.
考点 二项展开式中的特定项问题 题点 由特定项或特定项的系数求参数 答案 3 解析 由题意知 A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4). 即 a0=1,a1=3,a2=4.
由???1+xa???n 的展开式的通项公式知 Tk+1=Ckn???xa???k(k=0,1,2,…,n). 故Ca1n=3,Ca2n2=4,解得 a=3. 15.设 f(x)=(1+x)m+(1+x)n 的展开式中含 x 项的系数是 19(m,n∈N*). (1)求 f(x)的展开式中含 x2 项的系数的最小值; (2)当 f(x)的展开式中含 x2 项的系数取最小值时,求 f(x)的展开式中含 x7 项的系数.
考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求二项展开式特定项的系数 解 (1)由题设知 m+n=19,所以 m=19-n, 含 x2 项的系数为 C2m+C2n=C219-n+C2n =?19-n?2?18-n?+n?n2-1?
=n2-19n+171=???n-129???2+3423. 因为 n∈N*,所以当 n=9 或 n=10 时,x2 项的系数的最小值为???12???2+3423=81. (2)当 n=9,m=10 或 n=10,m=9 时,x2 项的系数取最小值,此时 x7 项的系数为 C710+C79=C310+
C29=156.
11