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简单曲线的极坐标方程.ppt


复习
1、极坐标系的四要素 、 极点;极轴;长度单位; 极点;极轴;长度单位;角度单位 及它的正方向。 及它的正方向。 2、点与其极坐标一一对应的条件 ρ > 0,θ ∈[0,2π ) 3、极坐标与直角坐标的互化公式 y 2 2 2 ρ = x + y , tanθ = ( x ≠ 0) x

x = ρ cosθ , y = ρ sinθ

探究:如图,半径为a的圆的圆心坐标为
(a,0)(a>0),你能用一个等式表示圆上任 意一点的极坐标(ρ,θ)满足的条件?

M (ρ,θ) A

O

C(a,0)

x

解:圆经过极点O。设圆与极轴的另一个交点 是A,那么 OA=2a, 设M ( ρ , θ )为圆上除点O,A 以外的任意一点,那么OM ⊥ AM。在Rt?AMO 中 OM = OA cos ∠MOA即ρ=2a cos θ ...........(1) 可以验证,点O(0, ), A(2a,0)的坐标满足等式(1) 2
所以,等式(1)就是圆上任意一点的极坐标( ρ ,θ ) 满足的条件,另一方面,可以验证,坐标适合 等式(1)的点都在这个圆上。

π

曲线的极坐标方程
一 定义:如果曲线C上的点与方程 f(ρ,θ)=0有如下关系 (1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标 中至少有一个)符合方程f(ρ,θ)=0 ; (2)以方程f(ρ,θ)=0的所有解为坐标的 点都在曲线C上。 则曲线C的方程是f(ρ,θ)=0 。

二 求曲线的极坐标方程的步骤:
与直角坐标系里的情况一样 适当的极坐标系) ①建系 (适当的极坐标系) ②设点 (设M( ρ,θ)为要求方程的曲线上任意一点) )为要求方程的曲线上任意一点) ③列等式(构造⊿,利用三角形边角关系的定理列关于M的等式) 利用三角形边角关系的定理列关于M的等式) 列等式( ④将等式坐标化 ⑤化简 即为曲线的方程) (此方程f(ρ,θ)=0即为曲线的方程) 此方程 即为曲线的方程

的半径为r, 例1、已知圆 的半径为 ,建立怎样的极坐 、已知圆O的半径为 标系,可以使圆的极坐标方程简单? 标系,可以使圆的极坐标方程简单?
M

ρ
O

θ
r x

解:如果以圆心O为极点,从O出发的一条射线 为极轴建立坐标系(如图),那么圆上各点的几 何特征就是它们的极径都等于半径r. 设M ( ρ , θ )为圆上任意一点,则 OM = r , 即

ρ=r
显然,使极点与圆心重合时的极坐标方程在形式 上比(1)简单。

思考:已知一个圆的方程是ρ=5 3 cos θ ? 5sin θ 求圆心坐标和半径。
解:ρ=5 3 cos θ ? 5sin θ 两边同乘以ρ 得

ρ =5 3ρ cos θ-5 ρ sin θ即化为直角坐标为
2

5 3 2 5 2 x + y = 5 3x ? 5 y  即( x ? ) + ( y + ) = 25 2 2 5 3 5 所以圆心为( , ? ), 半径是5 2 2
2 2

你可以用极坐标方程直接来求吗? 你可以用极坐标方程直接来求吗?

解:原式可化为 3 1 π ρ=10(cos θ ? ? sin θ ? ) = 10 cos(θ + ) 2 2 6 所以圆心为(5, ? ), 半径为5 6

π

圆心为( a, β )( a > 0)半径为a 圆的极坐标方程为ρ=2a cos(θ ? β ) 此圆过极点O

练习1 练习1 求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为 ; 中心在极点, 1 中心在极点 半径为2;

ρ =2

(2)中心在C(a,0),半径为 ; 2 中心在 中心在C ,半径为a;

ρ=2acos θ (3)中心在 π/2),半径为 ; 中心在(a, 3 中心在 ,半径为a; ρ=2asin θ

(4)中心在C(ρ0,θ0),半径为 。 4 中心在 中心在C ,半径为r。 2+ ρ 2 -2 ρ ρ cos( θ- θ )= r2 ρ 0 0 0

为圆周上任意一点,如下图所示 解:设P(ρ,θ)为圆周上任意一点 如下图所示 在 设 为圆周上任意一点 如下图所示,在 △OCP中,CP=r,OC=ρ1,OP=ρ. 中 根据余弦定理,得 根据余弦定理 得 CP2=OC2+OP2-2OC·OP·cos(θ-θ1), 即r2=ρ21+ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1). 也就是ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1)+(ρ21-r2)=0. 也就是 这就是圆在极坐标系中的一般方程. 这就是圆在极坐标系中的一般方程 π

变式1: 在极坐标平面上, 求圆心A(8, ), 半径为5的圆的方程. 3

练习2
1.以极坐标系中的点 以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为 为圆心, 为 以极坐标系中的点 为圆心 半径的圆的方程是( ) 半径的圆的方程是

π? π? ? ? A.ρ = 2 cos? θ ? ? B .ρ = 2 sin? θ ? ? 4? 4? ? ? C .ρ = 2 cos(θ ? 1) D.ρ = 2 sin(θ ? 1)
2、曲线的极坐标方程ρ=4 sin θ化为直角坐标 方程是什么?

x + ( y ? 2) = 4
2 2

3、极坐标方程ρ = cos( ? θ )所表示的 4 曲线是 ( D )
A、双曲线 、 C、抛物线 、 B、椭圆 、 D、圆 、

π

解:该方程可以化为ρ=cos(θ ? ) 4 1 π 1 以( , )为圆心, 为半径的圆。 2 4 2

π

解:ρ=cos θ cos
2

π
4

+ sin θ sin

π
4

2 2 ρ = ρ cos θ + ρ sin θ即 2 2 2 2 2 2 x +y ? x? y=0 2 2 2 2 2 2 1 (x ? ) + (y ? ) = 4 4 4

4、圆ρ=10 cos( ? θ )的圆心坐标是 ( C ) 3 π π 2π C、 , ) (5 (5 A、 ,0) B、 ,? ) (5 D、 , ) (5 3 3 3 π 5、写出圆心在点A(2, )处且过极点的圆的 2 极坐标方程,并把它化成直角坐标方程。 π 解:ρ=4 cos(θ ? ) = 4sin θ
2 2 化为直角坐标系为ρ =4 ρ sin θ
2 2 2 2

π

即x + y = 4 y   x + ( y ? 2) = 4

6、已知圆C1 : ρ = 2 cos θ ,圆C2 : ρ 2 ? 2 3ρ sin θ + 2 = 0, 试判断两圆的位置关系。

解:将两圆都化为直角坐标方程为 C1 : ( x ? 1) 2 + y 2 = 1,圆心O1 (1,0)半径为1 C2 : x 2 + ( y ? 3 ) 2 = 1,圆心O2 (0, 3 )半径为1 O1O2 = 2所以两圆相外切。

7、从极点O作圆C:ρ=8cos θ的弦ON, 求ON的中点的轨迹方程。
M

N

解:如图,圆C的圆心(4, 0), 半径r = OC = 4,

O

C(4,0)

连结CM , M 是弦ON的中点 Q ∴ CM ⊥ ON , 所以,动点M 的轨迹方程是ρ=4 cos θ

直线的极坐标方程: 四 直线的极坐标方程:

思考: 思考:在平面直角坐标系中
过点(3,0)且与 轴垂直的直线方程为 x=3 且与x轴垂直的直线方程为 过点 且与 且与y轴垂直的直线方程为 过点(2,3)且与 过点(2,3)且与y轴垂直的直线方程为 y=3 ;

例1: : ⑴求过极点,倾斜角为 求过极点,

π
4
的射线的极坐标方程。 的射线的极坐标方程。 M
π

o



4

x

θ =

π
4

(ρ ≥ 0)

5π 的射线的极坐标方程。 (2)求过极点,倾斜角为 的射线的极坐标方程。 )求过极点, 4

5 θ = π ( ρ ≥ 0) 4 π 的直线的极坐标方程。 (3)求过极点,倾斜角为 的直线的极坐标方程。 )求过极点, 4 5 ( ρ ≥ 0 ) 和 θ = π ( ρ ≥ 0) θ = 4 4
π

和前面的直角坐标系里直线方程的表示形 式比较起来, 式比较起来,极坐标系里的直线表示起来很不 方便,要用两条射线组合而成。原因在哪? 方便,要用两条射线组合而成。原因在哪?

ρ≥0

为了弥补这个不足,可以考虑允许极径可以 为了弥补这个不足, 取全体实数。 取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可 以表示为

θ=

π

4

( ρ ∈ R)



5 θ = π ( ρ ∈ R) 4

例2、求过点 、求过点A(a,0)(a>0),且垂直于极轴的直 , 的极坐标方程。(学生们先自己尝试做) 线L的极坐标方程。(学生们先自己尝试做) 的极坐标方程。(学生们先自己尝试做 解:如图,建立极坐标系,设点 M ( ρ , θ ) 如图,建立极坐标系, M 为直线L上除点 外的任意一点, 上除点A外的任意一点 为直线 上除点 外的任意一点, 连接OM 在 Rt ?MOA 中有 连接

ρ

OM cos ∠MOA = OA


﹚θ o A x

ρ cos θ = a

可以验证, 的坐标也满足上式。 可以验证,点A的坐标也满足上式。 的坐标也满足上式
交流做题心得归纳解题步骤:

求直线的极坐标方程步骤 1、据题意画出草图; 、据题意画出草图; 2、设点 M ( ρ , θ ) 是直线上任意一点; 是直线上任意一点; 、 3、连接MO; 3、连接MO; 4、根据几何条件建立关于 ρ ,θ 的方 、 程, 并化简; 并化简; 5、检验并确认所得的方程即为所求。 、检验并确认所得的方程即为所求。

练习1求过点 练习 求过点A (a,π/2)(a>0),且平行于 求过点 , 极轴的直线L的极坐标方程。 极轴的直线 的极坐标方程。 的极坐标方程 如图,建立极坐标系, 解:如图,建立极坐标系, 为直线L上除点 设点 M ( ρ ,θ ) 为直线 上除点 A外的任意一点,连接OM 外的任意一点,连接 外的任意一点 在 Rt ?MOA 中有 IOMI sin∠AMO=IOAI 即 ρ sin θ =a ∠ 可以验证,点A的坐标也满足上式。 可以验证, 的坐标也满足上式。 的坐标也满足上式

A o

ρ ﹚θ

M x

课堂练习2 设点A的极坐标为 课堂练习 设点 的极坐标为 ( a , 0),直线 l 过点 A且与极轴所成的角为α ,求直线l 的极坐标方程。 且与极轴所成的角为 求直线 的极坐标方程。 如图,建立极坐标系, 解:如图,建立极坐标系,设点 M ( ρ , θ ) 上异于A点的任意一点 连接OM, 点的任意一点, 为直线 l上异于 点的任意一点,连接 , 在 ?MOA中,由正弦定理 得 M
a ρ o = sin(π ? α ) sin(α ? θ )

ρ θ ﹚ ﹚α
A



x

化简得

ρ sin(α ? θ ) = a sin α

显然A点也满足上方程 显然 点也满足上方程

过点P且 例3:设点 的极坐标为( ρ1 ,θ1 ),直线 l 过点 且 :设点P的极坐标为 α 求直线 的极坐标方程。 与极轴所成的角为 ,求直线 的极坐标方程。 l 如图, 为直线上除点P外 解:如图,设点 M ( ρ , θ )为直线上除点 外 的任意一点,连接OM,则 OM = ρ , ∠xOM = θ 的任意一点,连接 , 由点P的极坐标知 由点 的极坐标知 O P = ρ 1 ∠ x O P = θ 1 设直线L与极轴交于点 与极轴交于点A。 设直线 与极轴交于点 。则在?MOP 中 ∠OMP = α ? θ , ∠OPM = π ? (α ? θ1 ) M ρ 由正弦定理得 OM = OP ρ1 P sin ∠OPM sin ∠OMP ρ1 ρ = α 即 ﹚θ1 ﹚ sin[π ? (α ? θ1 )] sin(α ? θ ) o x A ρ sin(α ? θ ) = ρ1 sin(α ? θ1 ) 显然点P的坐标也是上式的解 的坐标也是上式的解。 显然点 的坐标也是上式的解。

练习3 练习 求过点P(4,π/3)且与极轴夹角为π/6的直线 l 的 求过点 且与极轴夹角为 的直线 方程。 方程。

ρ sin(θ ? ) = 2
6

π

直线的几种极坐标方程 1、过极点 、

l

θ = θ 0( ρ ∈ R )

﹚θ o
ρ

M A x M

2、过某个定点垂直于极轴 、

ρ cos θ = a

o

﹚θ A
ρ ﹚θ

3、过某个定点平行于极轴 、 o x ρ sin θ =a 4、过某个定点 ( ρ1 , θ1 ) ,且与极轴成的角度 且与极轴成的角度a 、 M ρ sin(α ? θ ) = ρ1 sin(α ? θ1 ) ρ
o P α ﹚ ﹚ x A
θ1

ρ1

小结: (1)曲线的极坐标方程概念 (2)求曲线的极坐标方程的步骤 (3)会求圆的极坐标方程 (3)会求直线的极坐标方程


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